El kiosco Plan de Clase (1/5) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 1 Secundaria Eje temático: FEyM Contenido: 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. Intenciones didácticas: Que los alumnos conozcan, tracen y exploren las mediatrices de los lados de un triángulo. Consigna: En equipo resuelvan los siguientes problemas: 1. En una ciudad pequeña se quiere construir un kiosco que quede a la misma distancia del Palacio Nacional, de la Secretaría de Educación y del Edificio del Congreso. El siguiente dibujo representa con puntos estos tres lugares, marca el lugar donde deben construir el kiosco para que cumpla con la condición pedida. Palacio Nacional Secretaría de Educación Edificio del Congreso 2. Con sus instrumentos geométricos realicen los siguientes trazos. Después, respondan las preguntas. Apoyen el compás en el punto A y con una abertura mayor a la mitad del segmento AB tracen un arco. Con la misma abertura tracen un arco que corte al anterior en dos puntos, ahora apoyándose en el punto B. Anoten P y Q a los dos puntos donde se cortan los arcos. Tracen la recta que pasa por P y por Q. A B
a) Elijan varios puntos de la recta que trazaron y midan la distancia de cada uno a los extremos del segmento. b) Qué relación encuentran? c) La recta que trazaron recibe el nombre de mediatriz del segmento. Regresen al primer problema y traten de resolverlo usando mediatrices, si es que lo resolvieron de otra manera. Consideraciones previas: Para trabajar este desafío se requiere que los estudiantes tengan sus instrumentos geométricos. Es muy probable que resuelvan el primer problema al tanteo, usando sólo su percepción visual para ubicar el punto pedido y no apliquen el trazo de las mediatrices para resolverlo. Por el momento se trata que lo hagan de cualquier manera, por lo que es conveniente permitir que concluyan y definan una respuesta. El propósito de los trazos planteados en el problema 2 es que los alumnos aprendan a trazar la mediatriz de un segmento y que exploren una de sus definiciones: Conjunto de puntos que están a la misma distancia de los extremos del segmento. El concepto de mediatriz como la perpendicular en el punto medio se trabajará más adelante. Una vez que los alumnos saben cómo encontrar los puntos que están a la misma distancia de otros dos, se les invita a retomar el primer problema para que traten de aplicar lo aprendido para resolverlo. Esto no siempre es un paso sencillo, debido a que lo que los alumnos aprenden para los puntos no lo transfieren de manera inmediata a los segmentos y viceversa. Es probable que algunos no logren visualizar los tres puntos del primer problema como los tres vértices de un triángulo y como los extremos de sus lados. Si se observa que tienen dificultad en esto, se puede: Invitar a que tracen el triángulo que forman los tres puntos. Motivar la reflexión con preguntas como: Los lados del triángulo, son segmentos? Podrían encontrar los puntos que están a la misma distancia de los extremos de los lados? Cómo? Servirá de algo trazar las mediatrices de los lados del triángulo? En la puesta en común es importante retomar: El concepto estudiado de mediatriz de un segmento (conjunto de puntos que equidistan de los extremos del segmento). Que las tres mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto (donde queda el kiosco) que recibe el nombre de circuncentro y es el centro de la circunferencia que toca los tres vértices del triángulo y que se llama circunferencia circunscrita.
Finalmente, para que los alumnos practiquen lo estudiado es recomendable que tracen las mediatrices de los lados de un triángulo acutángulo, uno rectángulo y otro obtusángulo; anoten dónde quedó ubicado el circuncentro y tracen la circunferencia circunscrita. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre
La fuente del jardín Plan de Clase (2/5) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 1 Secundaria Eje temático: FEyM Contenido: 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. Intenciones didácticas: Que los alumnos conozcan, tracen y exploren las bisectrices de los ángulos de un triángulo. Consigna 1: En equipo resuelvan los siguientes problemas: 1. Se tiene un jardín de forma triangular y se va a construir en él una fuente circular de tal manera que toque los tres lados del terreno y la parte restante se cubrirá de pasto. El siguiente triángulo es un croquis del jardín, traza la fuente. 2. Con sus instrumentos geométricos realicen los siguientes trazos. Después respondan las preguntas. Apoyen el compás en el vértice del ángulo y tracen un arco que corte a los dos lados del ángulo. Anoten A y B en los puntos de corte. Apoyen el compás en A y tracen un arco. Apoyen el compás en B y tracen otro arco que corte al anterior. Anoten P en el punto de corte. Tracen la recta que pasa por V y por P. V
a) Elijan varios puntos de la recta que trazaron y midan la distancia a los lados del triángulo. b) Qué relación encuentran? c) La recta que trazaron recibe el nombre de bisectriz. Regresen al primer problema y traten de resolverlo usando bisectrices, si es que lo resolvieron de otra manera. Consideraciones previas: Para trabajar este desafío se requiere que los estudiantes tengan sus instrumentos geométricos. Debido a que este desafío tiene la misma estructura que el anterior, quizá algunos alumnos quieran pasar directamente al problema 2 para resolver el problema 1. Es importante que se les pida que primero traten de usar sus propios recursos para tratar de crear en ellos la necesidad de un conocimiento nuevo que aprenderán después. Lo más probable es que traten de ubicar al tanteo usando su percepción visual el punto donde deben colocar el compás y luego tendrán que decidir cuánto lo abren, notarán que no es una tarea sencilla. El propósito de los trazos planteados en el problema 2 es que los alumnos aprendan a trazar la bisectriz de un ángulo y que exploren una de sus definiciones: Conjunto de puntos que están a la misma distancia de los lados del ángulo. Una de las dificultades en esta parte del trabajo es que los alumnos observen que la perpendicular de un punto a una recta es su distancia. Si se considera necesario se puede dar una breve explicación grupal de cómo se usa la escuadra para tomar esta medida: En la puesta en común es necesario retomar: El concepto estudiado de bisectriz de un segmento (conjunto de puntos que equidistan de los lados del segmento). Que las tres bisectrices de los ángulos de un triángulo se cortan en un punto (donde colocan el compás para trazar la fuente circular) que recibe el nombre de incentro y es el centro de la circunferencia que toca en un punto de cada lado del triángulo y que a ésta se le llama circunferencia inscrita. Finalmente, con el propósito de que los alumnos practiquen lo estudiado es conveniente que tracen las bisectrices de los ángulos de un triángulo acutángulo, uno rectángulo y otro obtusángulo; anoten dónde quedó ubicado el incentro y tracen la circunferencia inscrita.
Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre
Un triángulo zen Plan de Clase (3/5) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 1 Secundaria Eje temático: FEyM Contenido: 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. Intenciones didácticas: Que los alumnos conozcan, tracen y exploren las medianas en un triángulo. Consigna: En equipo, realicen lo siguiente: 1. Recorten en cartón o cartulina gruesa un triángulo cualquiera. De preferencia que sus tres lados sean de diferente medida. Después, hagan un orificio por el cual pasarán un hilo para colgar el triángulo. El desafío es encontrar dónde hacer el orificio de tal manera que el triángulo quede horizontal, es decir, en equilibrio. 2. Con sus instrumentos geométricos realicen los siguientes trazos: Localicen los puntos medios de los lados del siguiente triángulo. Unan cada vértice con el punto medio del lado opuesto.
Los segmentos que trazaron en el problema anterior reciben el nombre de medianas. Regresen al primer problema y traten de resolverlo usando las medianas del triángulo, si es que lo resolvieron con otro procedimiento. Consideraciones previas: Para trabajar este desafío se requiere que los estudiantes tengan sus instrumentos geométricos. Si se ha trabajado los dos desafíos anteriores a éste, quizás los alumnos quieran ir directo al problema 2 porque saben que resolviéndolo podrán encontrar el punto pedido en el primer problema. Por esa razón se podría plantear el problema 1 de manera oral. Con el problema 2 los alumnos conocerán cómo trazar las medianas en un triángulo y una vez que lo hayan hecho podrán aplicar estos trazos en su triángulo de cartón para encontrar su centro de gravedad que es el punto de equilibrio que se busca. Una dificultad que pueden tener los alumnos para el trazo de la mediana es la localización de los puntos medios de los lados del triángulo cuando las medidas no son cantidades fáciles de manejar. Los alumnos podrán usar su regla graduada si así lo desean, aunque no siempre encuentren con exactitud el punto medio. Una manera más precisa es con un procedimiento similar al del trazo de la mediatriz: Es importante que ellos decidan qué procedimiento quieren seguir. En la puesta en común se mencionará que el punto que encontraron y que es la intersección de las medianas recibe el nombre de baricentro o centro de gravedad. Si el tiempo lo permite pida que tracen medianas en diferentes triángulos y exploren dos hechos interesantes: Hay alguna relación entre la distancia de un vértice al baricentro con la distancia del baricentro al punto medio del lado opuesto?, cuál? Para dar respuesta a estas preguntas, es muy probable que los alumnos acudan a la medición para encontrar alguna relación, pues es el recurso que conocen. Se espera que
ellos concluyan que sí existe una relación y que ésta es que la primera distancia corresponde al doble de la otra; por lo que, tomando como unidad la mediana, la distancia del vértice al baricentro corresponde a 3 2 de ésta, y la longitud del baricentro al punto medio del lado opuesto, a 3 1. Al trazar las 3 medianas en un triángulo, éste queda divido en 6 triángulos pequeños, qué relaciones hay entre las áreas de estos triángulos?, por qué sucede esto? Si se considera que cada mediana divide al triángulo en dos triángulos de igual área, los seis triángulos que se generan a partir de ellas también guardan la misma relación. Esto se puede observar si para cada par de triángulos que tienen la misma medida en su base, se identifica la altura; por ejemplo, en las siguientes figuras, los triángulos 4 y 3, 5 y 6, 1 y 2: C C F 6 5 1 4 E 2 3 B F 6 5 1 4 E 2 3 B A D C A D F 6 5 1 4 E 2 3 B Observaciones posteriores: A D 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre
Diferente base, diferente altura Plan de Clase (4/5) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 1 Secundaria Eje temático: FEyM Contenido: 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. Intenciones didácticas: Que los alumnos conozcan, tracen y exploren las alturas de un triángulo. Consigna: En equipo completen la tabla. En cada caso tomen como base el lado que se indica. P R Q Tomar como base: Lado QR Lado PQ Lado PR Medida de la base Medida de la altura Área del triángulo PQR Consideraciones previas: Para trabajar este desafío se requiere que los estudiantes tengan sus instrumentos geométricos. Lo que más puede desconcertar a los alumnos al plantearles este reto es el hecho de que se les pida el área de un triángulo que no está apoyado en ninguno de sus lados. Esto es porque están acostumbrados a que la base del triángulo es uno de los lados en el que parece apoyarse porque está horizontal. Otro hecho que también puede desconcertarlos es
la idea de que cualquier lado puede ser tomado como base y, por lo tanto, no hay una única altura sino tres: una por cada lado del triángulo. No obstante que los estudiantes han trabajado la altura de un triángulo desde la primaria, en realidad se trata de un concepto que les cuesta mucho trabajo y sobre el que han construido algunas ideas erróneas. Por ejemplo, creen que la altura siempre está dentro del triángulo y que es vertical, estas ideas se forman porque generalmente así se les presentan en clase y en los libros de texto. Por otro lado, el trazo de las alturas no es una cuestión sencilla, mucho menos si se trata de triángulos obtusángulos (como el del problema). Si es necesario se puede invitar a que entre todos definan la altura de un triángulo, considerando que es la perpendicular que va del lado que se va a tomar como base al vértice opuesto y puede trazarse usando regla y compás o con regla y escuadra como se muestra a continuación: P R Q Otro hecho que puede confundir a los alumnos es que la palabra altura se emplea de dos maneras: es un objeto geométrico (un segmento) y también es un número (la medida de ese segmento), ambas correctas. Se espera que los alumnos se den cuenta de que no importa cuál lado tomen como base, el área debe ser la misma siempre y cuando consideren la altura correspondiente a esa base al realizar el cálculo. Es importante hacer notar que las diferencias encontradas en los resultados pueden deberse a las limitaciones de los instrumentos de medida, al grosor del lápiz, a la lectura de las medidas (porque se presenta lo que se llama error de paralaje: desde diferentes posiciones se ven diferentes medidas), etc. Para practicar el trazo de alturas, se puede pedir a los alumnos que tracen las alturas de un triángulo acutángulo, uno rectángulo y uno obtusángulo y encuentren el punto donde se cortan. Comente que ese punto recibe el nombre de ortocentro y que para encontrarlo a veces es necesario prolongar las alturas. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre
Analizamos propiedades Plan de Clase (5/5) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 1 Secundaria Eje temático: FEyM Contenido: 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen y comparen las características y propiedades de las rectas y los puntos notables del triángulo. Consigna: En equipo completen las siguientes tablas. Anoten una cuando la característica sí se cumpla y una X cuando no se cumpla. Son perpendiculares a los lados del triángulo o a la prolongación de éstos. Pasan por un vértice del triángulo Cortan los lados del triángulo en los puntos medios Dividen a la mitad los ángulos del triángulo Se cortan en un punto Son paralelas a los lados del triángulo Cortan los lados del triángulo en una razón de 2 a 1 Mediatrices Medianas Alturas Bisectrices Siempre se encuentra en el interior del triángulo Se puede localizar en un vértice del triángulo Puede localizarse fuera del triángulo Es el centro de un círculo que toca los tres vértices de triángulo Es el centro de un círculo que toca los tres lados del triángulo Es el punto de equilibrio de un triángulo Está a la misma distancia de los vértices del triángulo Incentro (bisectrices) Baricentro (medianas) Ortocentro (alturas o su prolongación) Circuncentro (mediatrices)
Consideraciones previas: Para trabajar este desafío se requiere que los estudiantes tengan sus instrumentos geométricos. Se espera que con lo trabajado en los planes anteriores los alumnos puedan completar estas tablas que les servirán como resumen de las propiedades de las rectas y los puntos notables del triángulo. Aunque si es necesario, podrán consultar sus respuestas a los problemas de los planes anteriores y los trazos que hicieron en su cuaderno. En caso de que en una característica todos los alumnos del grupo hayan decidido poner palomita en un lugar donde no debe ir, se puede plantear un contra-ejemplo para que noten su error. Por ejemplo, si deciden que el ortocentro siempre se encuentra en el interior de un triángulo, entonces se puede proponer el caso del triángulo rectángulo en el que dos lados (los catetos) al mismo tiempo son alturas del triángulo, por lo que el ortocentro queda en el vértice que corresponde al ángulo recto. Ortocentro Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre 14/15