DIVISIÓN DE OLINOMIOS.- DIVISIBILIDAD DE OLINOMIOS Dados dos polinomios, D ( ) y d ( ) con d ( ) 0, llamados dividendo y diviso, con g( D( ) ) g( d( ) ), dividi el pimeo D ( ) ente (:) el segundo ( ) (que son únicos), C ( ) y ( ). D ( ) d( ) C( ) ( ), llamados cociente y esto, que cumplen: (Dividendodiviso cocienteesto). ( ( ) ) gad( d( ) ) d es enconta otos dos polinomios gad < (gado del esto es estictamente meno que el gado del diviso) o ( ) 0 (en este caso la división se llama eacta). La división de polinomios, se ealiza en geneal de foma paecida a la de númeos de vaias cifas, aunque las opeaciones que ealizamos mentalmente con los númeos, las vamos indicando con los polinomios. El poceso es el siguiente: - Los polinomios dividendo y diviso se odenan en foma dececiente, y si falta algún témino del dividendo, en su luga se pone un ceo o se deja un hueco (esto no es necesaio en el diviso). - Se divide el pime témino del dividendo ente el pimeo del diviso, dando luga al pime témino del cociente. - Se multiplica dicho témino po el diviso y se coloca debajo del dividendo con los signos contaios (paa estalo del dividendo), cuidando que debajo de cada témino se coloque oto semejante. - Se suman los polinomios colocados al efecto, obteniéndose un polinomio de gado meno al inicial. - Se continúa el poceso de la misma foma hasta que el esto ya no se pueda dividi ente el diviso po se de meno gado. Ejemplo : ( 7 ) : ( ) : es el pime témino del cociente. ( ) se pone cambiado de signo paa estalo del dividendo: cuidado de que cada témino quede debajo del que sea su semejante, paa sumalo con el dividendo., con
La esta (o suma del opuesto) es un nuevo polinomio con el que se vuelve a epeti el poceso; y así sucesivamente hasta llega al esto, que tiene su gado estictamente meno que el diviso C ( ) 7 ( ) CASO ARTICULAR: REGLA DE RUFFINI.- Sive paa calcula el cociente y el esto de la división de un polinomio cualquiea ( ) ente oto de la foma ( a) ±, con a eal, conocido y a 0. Este pocedimiento tiene una disposición páctica muy simple. Recodamos el pocedimiento con un ejemplo. Ejemplo: ( 7 9 7) : ( ) MÚLTILOS Y DIVISORES.- Si la división de ( ) d( ) C ( ) 7 0 0 D : (hecha po el pocedimiento que sea) es eacta ( 0 ), entonces se dice que D ( ) es divisible po d ( ), o que D ( ) es múltiplo de d ( ) o que ( ) D ( ). d es diviso o facto de Cuando la división es eacta, se cumple que: D ( ) d( ) C( ) 0 D( ) d( ) C( ), y ( ) puede epesa como poducto de factoes ( d ( ) y ( ) C ). D se TEOREMA DEL RESTO.- El esto,, de la división de un polinomio ( ) ente oto de la foma ( a) numéico de ( ) paa a, ( a) : ( ) ( ) ( a) : a coincide con el valo
Ejemplo: Al hace la división de ( ) : ( ) (aplicamos la egla de Ruffini): o oto lado: ( ) ( ) ( ) 6. Obsevamos que ambos esultados coinciden. Demostación: Al hace la división de ( ) : ( a) 6, se cumplen las dos condiciones de cualquie división:. g( ( ) ) < g( a) g( ( ) ) < ( ) esunnúmeoeal o ( ) 0 en cualquie caso ( ) nº eal y no depende de ( ). ( ) ( a) C( ) Si calculamos el valo numéico de ( ) paa a sustituyendo en la segunda condición: Este teoema pemite: ( a) ( a a) C( a) ( a) 0 C( a) ( a) Calcula el esto de la división sin ealizala (calculando ( a) ) c.q.d. Calcula ( a) sin sustitui en ( ) la po a (buscando el esto de la división ( ) :( a) Ejecicio: Dado el polinomio ( ) a) El esto de la división de ( ) : ( ) b) El valo numéico de ( ). Calcula:, sin efectua la división. paa, sin sustitui la po. ). CONSECUENCIA DEL TEOREMA DEL RESTO: TEOREMA DEL FACTOR.- Demostación.- a es aíz de un polinomio ( ) ( a) es diviso (o facto) de ( ) a es aíz de ( ) ( a) 0. o el teoema del esto, el esto,, de la división ( ) ( a) ( a) 0 0 ( ) :( a) es división eacta ( a) es diviso de ( ). o lo tanto: ( ) ( a) C( ) 0 ( ) ( a) C( ) (factoización de ( ) :,es: )
OLINOMIO IRREDUCIBLE O RIMO.- Un polinomio ( ) se llama ieducible o pimo, si ( ) o más polinomios con gado. Según esta definición: o Todos los polinomios de gado son ieducibles no se puede epesa como poducto de dos o Algunos polinomios de gado > son también ieducibles, ente ellos algunos polinomios de gado (aquellos cuya ecuación asociada no tiene ninguna solución) FACTORIZACIÓN DE OLINOMIOS EN FACTORES IRREDUCIBLES.- Un polinomio se puede descompone en factoes de muchas fomas: Ejemplo.- ( ), se puede epesa: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) De todas ellas hay una sola foma de descomponelo en factoes ieducibles: ( ) ( ) ( ) Esta factoización es la que vamos buscando siempe. En geneal, paa factoiza un polinomio seguiemos las siguientes pautas: º.- Intentamos saca facto común todo lo que se pueda: Ejemplo: ( ) ( ) con lo que hemos conseguido una pimea factoización de ( ), en la que los factoes: es ieducible (po se de gado ), y ( ), aún no sabemos si es o no ieducible; así que intentamos segui factoizándolo. º.- Intentamos identifica el polinomio que queda, con alguna identidad notable: Ejemplo: Es ( ) el desaollo de alguna identidad notable?, sí, es ( ) Luego: ( ) ( ) ( ). Con esto el polinomio queda factoizado en poducto de polinomios pimos: y ( ) doble (ambos de gado). º.- FACTORIZACIÓN DE OLINOMIOS DE º GRADO: Si el polinomio que quedaba sin factoiza no se puede identifica con una de las identidades notables y es un polinomio de º gado: paa pode factoizalo, se esuelve su ecuación asociada ( ( ) 0 Una vez esuelta, puede ocui que: ).
a) Tenga dos soluciones eales y distintas: {, s} polinomio de º gado se descompone en factoes de la siguiente foma: ( ) coeficiente pincipal ( ) ( s) Ejemplo: Factoiza en polinomios ieducibles: ( ) 6. En este caso se demuesta que el (polinomio de º gado) Su ecuación asociada: ± 6 0 8, Luego la factoización de este polinomio es: ( ) 6 b) Tenga una sola solución eal: s (solución doble). En este caso se demuesta que el polinomio de º gado se descompone en factoes de la foma: ( ) coeficiente pincipal ( s) ( s) coeficiente pincipal ( s) Ejemplo: Factoiza en polinomios ieducibles: ( ) (polinomio de º gado) Su ecuación asociada: ± 6 6 ± 0 0 (solución doble) 8 8 8 Luego la factoización de este polinomio es: ( ) c) No tenga soluciones eales: En este caso ( ) no se puede descompone en factoes, con lo que ( ) es pimo o ieducible (y se había teminado la factoización). Ejemplo: Factoiza en polinomios ieducibles: ( ) Su ecuación asociada: solución ( ) es ieducible (polinomio de º gado) 0 ± R no tiene (no se puede factoiza). º.-Si no podemos usa las técnicas de factoización anteioes, se utiliza el método de factoización que se estudia a continuación, basado en los conceptos siguientes: RAÍZ DE UN OLINOMIO.- Un númeo eal a es una aíz de un polinomio ( ), si el valo numéico de ( ) Ejemplo: es una aíz del polinomio ( ) ( ) 0 a es aíz de a, poque: ( ) 0 paa a vale 0.
Dado un polinomio ( ), su ecuación asociada es: ( ) 0. La ecuación asociada al polinomio ( ) : ( ) 0, tiene como soluciones todas las aíces de ( ) a es aíz de ( ) a es solución de ( ) 0. Ejemplo: aa calcula todas las aíces del polinomio: ( ) 6 : Se esuelve su ecuación asociada: ± 6 0 Luego las aíces de ( ) ( 6), son y ± ± {,} TEOREMA DEL TÉRMINO INDEENDIENTE.- Las aíces enteas ( Z ) de un polinomio ( ), se encuentan ente los divisoes de su témino independiente. Ejemplo.- ( ) 6 tiene como témino independiente -. Los div ( ) { ±, ±, ± } son las posibles aíces enteas de ( ). ( ) 6 9 0 ( ) 6 0 ( ) 68 80 0 ( ) 6( 8) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 La única aíz entea de ( ) es -. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA.- Un polinomio de gado n tiene como mucho n aíces eales (ente enteas y no enteas) Teniendo en cuenta todo esto, usemos un ejemplo paa estudia el método de factoización que nos falta: Ejemplo: ( ) 6 8 Utilizamos el teoema del esto y la división de polinomios po la egla de Ruffini paa calcula todas las aíces enteas del polinomio (dichas aíces se encuentan ente los divisoes enteos del témino independiente, po el teoema del témino independiente):
o Buscamos la pimea aíz entea (), pobando (en oden) ente los divisoes enteos, { ±, ± }, del témino independiente (), el pimeo de ellos que haga que el esto sea 0 (pues po el teoema del esto: ( ) ( ) ( ) 0 es aíz de ( ) : ). Y como el esto de la división de ( ) : ( ) ( ) ( ) ( 6 ) es 0, la división es eacta y se cumple que:, en el que el pime facto es pimo y el segundo facto no se sabe aún si lo es, o no. o Repetimos el poceso con el siguiente facto ( 6 ), teniendo en cuenta que el diviso del témino independiente del polinomio inicial que ha sido aíz antes, puede volve a se aíz del facto que intentamos factoiza, peo los divisoes del témino independiente del polinomio inicial que no han sido aíces anteioes, tampoco pueden se aíces del facto: 6 ( ) ( 6 ) ( ) ( ) ( ) ( 6 ) o Repetimos el poceso hasta consegui que el último cociente sea de gado (si se puede) o de gado (si no conseguimos llega a un cociente de gado), como ocue en nuesto ejemplo: g 6 - -8 div(){ ±, ± } 6 - - g 6 - - 0R div(-){ ±, ± } - -6 g 6 - - 0R div(-){ ±, ± } El polinomio 6 (de º gado), que es el último cociente que hemos obtenido, no tiene aíces enteas; peo puede que tenga aíces eales no enteas, así que intentamos factoizalo con el citeio de los polinomios de º gado( punto º): ( ) 6 (polinomio de º gado) Su ecuación asociada: ± 6 0 8, La factoización de este polinomio es: 6 6 Luego la factoización completa de ( ) es: ( ) ( ) ( ) 6 que también se puede epesa con todos sus coeficientes enteos de la foma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ), en la que todos los factoes son ieducibles (po se de gado ) y tienen sus coeficientes enteos. CÁLCULO DEL OLINOMIO UTILIZANDO SUS RAÍCES.- aa calcula un polinomio de gado n, cuyas aíces eales son: n...,,,, y que tenga a a como coeficiente pincipal, se pocede de la misma foma que con los polinomios de º gado. El polinomio factoizado es: ( ) ( ) ( ) ( ) n pincipal coeficiente... Es deci: ( ) ( ) ( ) ( ) n a... Ejemplo.- El polinomio de gado, cuyas aíces son:, y - (doble) que tiene como coeficiente pincipal al, es: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 60 0 8 ( ) 60 0