Ley de Gavitación de Newton Ley de Gavitación Univesal
La fueza gavitacional ente dos masas m 1 y m 2, sepaadas po una distancia es F 12 = G m 1m 2 2 12 G = 6.67 10 11 Nm 2 /kg 2 es la constante de gavitación de Newton, 12 es el vecto unitaio con oigen en la patícula 1 y que apunta a la patícula 2. 2
Balanza de Cavendish Ejemplo 1. 3 bolas de billa de 0.300-kg se ponen sobe una mesa en las posiciones que muesta la figua. Calcule la fueza gavitacional sobe m 1 debida a las otas bolas. F x = 6.67 10 11 0.09/0.09 = 6.67 10 11 F y = 6.67 10 11 0.09/0.16 = 3.75 10 11 Vaiación de la aceleación de gavedad 3
con la altua mg = GMm (R T + h) 2 g(h)= GM (R T + h) 2 Ejemplo 2. Densidad de la Tiea. Sabiendo que g = 9.8m/s 2, encuente la densidad de la Tiea g = GM 2 R, ρ = M 4 T πr 3 = 3g 4πGR T 3 T ρ = 3x9.8 4x3.14x6.67x10 11 x6, 4x10 6 = 29.4 5.35 x103 = 5.5x10 3 kg/m 3, R T = 6.4 10 6 m Leyes de Keple A pati de la ley de Gavitación y de las leyes de la mecánica se obtienen las leyes de Keple del movimiento planetaio: 1) Los planetas se mueven en elipses, con el Sol en uno de los focos. 4
2) La línea que une el planeta con el Sol, bae áeas iguales en tiempos iguales. Esta ley se deduce de la consevación del momentum angula, lo cual se LR deiva del caácte cental de la fueza: LR = R mvr = constante Se tiene: R (t) θ vr (t)dt R (t + dt) da= 1 2 (t)v(t)senθdt.da dt = 1 2 R (t) vr (t) =constante 5
3)El cuadado de los peíodos de los planetas es popocional al cubo de la distancia media al Sol. Demostaemos esta ley paa óbitas ciculaes: La segunda ley de Newton da: m v2 = GMm 2 peo v = 2π, donde T es el peíodo. Se tiene: T 4π 2 GM 3 = T 2 La ley de gavitación y el movimiento de los planetas aceleación de la Luna compaada con la aceleación g a L g = (1/R ( ) L) 2 6.37 10 (1/R E ) 2 = 6 2 = 2.75 10 4 3.84 10 8 aceleación centípeta de la Luna: Cálculo diecto: a L = 2.7 10 3 m/s 2 ( ) a L = v2 2π 2RL = ω 2 R L = = 2.72 10 3 m/s 2 R L T 6
Muy paecidas! Ejemplo 3. Encuente la masa del Sol, usando T T = 3.156 10 7 s,d T = 1.496 10 11 m 4π 2 GM 3 = T 2, M S = 4π2 GT T 2 D T 3 4x3.14 2 x1.5 3 x10 33 133.1 6.7x10 11 3.2 2 = 1014 68.6 x1030 = 1.9x10 30 R:1.99 10 30 kg. Ejemplo 4. Si la velocidad de un satélite en su apogeo es v p, encuente su velocidad en el peigeo v p. L p = mv p p = L a = mv a a v p = a p v a 7
Campo gavitacional. Patícula de pueba de masa m: gr = lim m 0 FR (xr ) m es el campo gavitaciona en gr xr. Conocido el campo gavitacional, se tiene: FR = m gr Campo gavitacional de una paícula de masa M: gr = GM ˆ 2 8
Enegía potencial Gavitacional f Gm U = U f U i = df(), F()= 1 m 2 i 2 La enegía potencial gavitacional está dada po: U = G m 1m 2, U( ) = 0 9
Consideemos 3 patículas: ( m1 m U total = G 2 + m 1m 3 + m ) 2m 23 12 13 23 En geneal: U = G d 3 x 1 d 3 x 2 ρ(xr1)ρ(xr2) xr1 xr2 10
Ejemplo 5. Encuente la enegía potencial gavitacional paa una patícula de masa m a una distancia y sobe la supeficie de la Tiea. Enegía en el movimiento de planetas y satélites E = K + U = 1 2 mv2 GMm Paa un sistema acotado E < 0. Ejemplo 6. Movimiento cicula m v2 = GmM 2 K = 1 2 mv2 = 1 GmM 2 E = 1 GmM = K 2 = constante Ejemplo 7. El space shuttle libea un satélite de comunicaciones de 470 kg. en una óbita 280 km. sobe la supeficie de la Tiea. Un cohete del satélite pone a éste en una óbita geosincónica, tal que el satélite está siempe sobe el mismo punto de la Tiea. Cuánta enegía tuvo que povee el cohete? E i = 1 GmM 2 i mω 2 T f = GmM 2 f = 3 GM 2 f ω T E f = 1 GmM = 2 f 11
E f E i = 1 ( G M 2 m GM ) i f E f E i = 1.19 10 10 J i = 6.65 10 6 m Velocidad de escape Consideemos un cuepo celeste esféico de masa M y adio R. Si dispaamos una patícula adialmente hacia afuea con velocidad v 0, se tiene la consevación de la enegía: E = 1 2 mv 0 2 G Mm R = 1 2 mv2 G Mm Si se impone que la patícula escape a =, debemos pedi que v sea ceo en infinito. Po lo tanto E = 0. Esto es: v 0 = 2GM R v 0 es la velocidad de escape. Paa la Tiea vale: v 0 = 11.3 km/s. La velocidad de escape evistiá vital impotancia cuando discutamos la posibilidad de atmósfea en un cuepo celeste. Como veemos más adelante (distibución de velocidades de Maxwell), a una 12
tempeatua T dada, siempe existe una popoción de moléculas que supea la velocidad de escape y se va del cuepo celeste. Esta fuga de moléculas se acentúa al aumenta la tempeatua o al disminui M y es paticulamente elevante paa moléculas de masa pequeña. Fueza gavitacional debida a objetos 13
extendidos Es más sencillo calcula el potencial gavitacional dm U(xR )= Gm Ejemplo 8. Enconta la fueza gavitacional ejecida po la baa sobe m. h+l ρdx F = Gm h x 2 = ( Gmρ 1 h + L + 1 ) h M = ρl 14
F = G Mm h(l + h) Ejemplo 9. Encuente la fueza gavitacional que ejece un casquete esféico de masa M sobe una masa m situada en P Calculemos el potencial gavitacional D = R 2 sen 2 θ + ( R cosθ) 2 π ρ2πdθ sen θ U = Gm, x = cosθ 0 D 1 dx U = 2πGmρ = 1 R 2 (1 x 2 ) + ( Rx) 2 1 dx 2πGmρ 1 R 2 + 2 2Rx R 2 + 2 2Rx 1 1 = = 4πGmρ 2R 2πGmρ R { G Mm ˆ, R 2 0, < R FR = ( R (R + )) = 4πGmρ 4πGmρ R = G Mm, R = G Mm R, < R Ejemplo 10. Encuente la fueza gavitacional que ejece una esfea unifome de masa M sobe una masa m situada en P. Sumamos sobe casquetes de ancho d y masa dm = 15
4π 2 ρd U = Gm dm = G Mm Ejemplo 11. Encuente la fueza gavitacional que ejece una esfea unifome de masa M sobe una masa m situada a una distancia del cento de la esfea con < R. Dado que las masas exteioes a no poducen fuezas se tiene: M()=4π 0 FR M() m = G 2 ˆ d 2 ρ = 4 3 πρ3 = M 3 R 3 FR = G Mm R 3 ˆ Ejemplo 12. Mosta que una patícula de masa m que se mueve en el túnel de la figua ealiza un movimiento amónico simple y enconta el peíodo. 16
Ley de Gauss Gavitacional S dsr.gr = 4πGM V Obitas: Ecuación y excenticidad E = 1 2 m vr 2 GMm LR = R pr Dado que se conseva el momento angula, la óbita está en un plano pependicula a. Tomemos el eje LR z en la diección de. LR En el plano x, y, intoduzcamos coodenadas polaes, con oigen en el Sol: vr = R = ˆ ṙ ˆ+θ θˆ vr m 2 θ = l E = 1 2 mṙ2 + 1 2 m2 θ 2 GMm = 1 2 mṙ2 + 1 l 2 2 m 2 GMm ṙ = 2E m l2 m 2 2 + 2GM 2 = ṙ 2 + 2 θ 2 17
d dθ = ṙ θ = m l 2 2E m l2 m 2 2 + 2GM u = 1 du dθ = m 2E l m l2 m 2 u2 + 2GMu d 2 u dθ 2 = m l l2 u + GM m du 2 u 2 dθ = + 2GMu m 2 ( ) ) m 2 ( l2 l m 2 u + GM d 2 ( ) u m dθ 2 = u + GM 2 ( ) l m 2 u GM = A cos (θ + φ) φ = 0 l 2E m l2 E = 1 ( ) d 2 ( ) l 2 2 m 1 l 2 + dθ m 2 2 m 2 GMm = ( ) 1 du 2 ( ) l 2 2 m + 1 l 2 dθ m 2 m u2 GMmu = ( ) 1 l 2 m(a sen θ)2 + 2 m 1 l 2 ( ( ) m 2 ) 2 GM + A cos θ 2 m ( ( l ) m 2 ) GMm GM + A cosθ = l 18
1 l 2 2 m A2 1 2 G2 M 2 m 3 l 2 A = 2m ( l 2 E + 1 ) 2 G2 M 2 m 3 l 2 1 = GM ( m l ) 2 ( ) 1 1 + 2l2 E G 2 M 2 m 3 cosθ Ecuación de la cónica: e:excenticidad 1 = 1 (1 e cos θ) se Hipébola e > 1 Paábola e = 1 Elipse 0 < e < 1 Cicunsfeencia e = 0 19
= a(1 e2 ), a es el semieje mayo 1 e cosθ Masa Reducida Poblema de los dos cuepos: E = 1 2 m 1v 1 2 + 1 2 m 2v 2 2 + U( 1 2 ) m 1 1 + m 2 2 = 0, CM m 1 v 1 + m 2 v 2 =0 = 1 ( 2 = 1 + m ) 1 1 m ( 2 1 = 1 + m ) 1 1 m ( 2 v 1 = 1 + m ) 1 1 v m 2 v 2 = m ( 1 1 + m ) 1v 1 m 2 m 2 20
E = 1 2 m 1 m 2 (m 1 ( 1 + m 1 m 2 ) 2 ) v 2 + U()= ) 2 ( 2 m + 1 m2 1 + m 2 2 1 2 µv2 + U() µ = m 1m 2, masa educida m 1 + m 2 El poblema de los dos cuepos se ha educido al poblema de un cuepo con masa µ. Nota que U no ha cambiado. Supongamos un sistema aislado de dos patículas inteactuantes. Sobe la patícula de masa m1 actúa la fueza F12, y sobe la patícula de masa m2 actúa al fueza F21. Ambas fuezas son iguales y de sentido contaio. Las ecuaciones del movimiento de cada patícula son m 1 a 1 = F 12, m 2 a 2 = F 21 21
Como vemos m 1 a 1 + m 2 a 2 = 0. La aceleación del cento de masa es ceo. El cento de masas de un sistema aislado se mueve con velocidad constante, vc=cte El poblema de dos cuepos se pueden educi a un poblema de un solo cuepo, paa ello, calculamos el valo de la aceleación elativa a 1 a 2 Se denomina masa educida del sistema de dos patículas a 1 µ = 1 m 1 + 1 m 2 Podemos escibi la siguiente ecuación del movimiento µa 12 = F 12 El movimiento elativo de dos patículas sometidas únicamente a su inteacción mutua es equivalente al movimiento, especto de un obsevado inecial, de una patícula de masa igual a la educida y bajo una fueza igual a la de inteacción. En el caso de que la inteacción ente los dos cuepos sea descita po la ley de la Gavitación Univesal GMm µr = 2 ˆ Siendo el vecto posición de la patícula 1 especto de la 2, =1-2. Paa esolve este poblema de un solo cuepo, necesitamos únicamente halla el vecto en función del tiempo. 22
La dispesión en el Sistema de Refeencia del Cento de Masa y en el Sistema de Refeencia del Laboatoio, seá uno de los ejemplos más impotantes en el estudio de un sistema aislado fomado po dos patículas que inteaccionan elécticamente. Sistema fomado po dos estellas en óbita cicula. Supongamos un sistema aislado fomado po dos estellas en óbita cicula alededo de su cento de masa. La posición del cento de masas se calculaá de acuedo con la siguiente elación m11=m22 =1+2 La posición del cento de masas está más ceca de la masa mayo. El movimiento de las dos estellas es equivalente al movimiento de una patícula de masa educida µ, bajo la acción de la fueza F que descibe la inteacción mutua, la fueza de atacción ente dos masas sepaadas una distancia =1+2 23
Si dicha patícula descibe un movimiento cicula de adio, su aceleación es ω 2. La segunda ley de Newton se escibe. µω 2 = Gm 1m 2 2 La cantidad ω 2 3 es constante, lo que nos indica que el cuadado del peiodo P = 2p/ω es popocional al cubo del adio (tecea ley de Keple paa óbitas ciculaes) P 2 = 4π 2 3 G(m 1 + m 2 ) Una vez deteminado el movimiento elativo, es deci, el adio que descibe la patícula de masa educida m, el movimiento de cada una de las estellas es el siguiente: 24
La estella de masa m 1 descibe un movimiento cicula de adio 1 = m 2 /(m 1 + m 2 ), alededo del c.m de peiodo P. La estella de masa m 2 descibe un movimiento cicula de adio 2 = m 1 /(m 1 + m 2 ), alededo del c.m y del mismo peiodo. Cuando la masa de una de las patículas es muy gande compaada con la de la ota, el cento de masas coincide apoximadamente con el cento de la pimea patícula y podemos supone que la segunda se mueve alededo de un cento fijo de fuezas. Po ejemplo, un satélite atificial que descibe una óbita alededo de la Tiea. Ejemplo 13. Calcula la masa de la Luna conocidos los datos siguientes: Constante G=6.67 10 11 Nm2/kg2 Distancia Tiea- Luna = 3.84 10 8 m Masa de la Tiea m 1 = 5.98 10 24 kg Peiodo P = 2.36 10 6 s (27.3 días) De la fómula del peiodo P, se despeja la masa de la Luna m 2 = 3.73 10 22 kg El valo coecto es 7.34 10 22 kg. Nuesto cálculo se basa en un modelo simplificado, que no tiene en cuenta el efecto del Sol sobe el peiodo de la Luna, las petubaciones de otos planetas, y la 25
no esfeicidad de la Tiea. La óbita de la Luna no es cicula aunque el esultado (tecea ley de Keple) es válido también paa óbitas elípticas. Hemos mostado que, en un sistema fomado po dos cuepos que inteaccionan de acuedo con la ley de la Gavitación Univesal, conocido el peiodo P y la sepaación ente ambos (po ejemplo, un sistema binaio de estellas) se puede calcula a pati de la tecea ley de Keple, la masa combinada m1+m2 de los dos cuepos. Detección de planetas extasolaes Una estella gia en tono al CM del sistema que compende uno o más planetas. Realizaá un movimiento de bamboleo que se puede descompone(seies de Fouie) en vaios peíodos. Cada peíodo distinto coesponde al peíodo de un planeta del sistema. video Planet_eflex_200.gif 10cm 10cm 10cm yes Potencial Efectivo E = 1 2 mṙ2 + 1 2 l 2 m 2 GMm 26
Potencial efectivo: V ef = 1 2 l 2 m 2 GMm El caso más inteesante se poduce cuando la enegía de la patícula es negativa, tal como se señala en la figua. El movimiento de dicha patícula está limitado a una egión adial compendida ente 1 y 2, que son las abscisas de los puntos intesección de la ecta hoizontal y la cuva de enegía potencial, el pimeo coesponde al peihelio (o peigeo) la distancia de máximo acecamiento de la patícula al cento de fuezas, el segundo al afelio (o apogeo) distancia de máximo alejamiento del móvil al cento de fuezas. Ejemplo 14. Enconta las condiciones paa que la óbita sea cicula. Obsevando el potencial efectivo, vemos que una óbita cicula coesponde a E = V min, donde V min 27
es el mínimo del potencial efectivo. = V ef =0 = l 2, adio de la óbita GMm2 V min = 1 l 2 2 m 2 GMm = 1 ( 12 ) GMm = 1 G 2 M 2 m 3 2 l 2 = E l 2 m 3 + GMm 2 28