U N I V E R S I D A D D E SAN MARTIN DE PORRES PROGRAMA LA UNIVERSIDAD INTERNA 2012 Tema: VALOR DEL DINERO EN ELTIEMPO D. JORGE L. PASTOR PAREDES 1 INTERES SIMPLE El capital que geea los iteeses pemaece costate duate el tiempo de vigecia de la tasacció. La capitalizació, que es la adició del iteés gaado al capital oigial, se poduce úicamete al témio de la opeació. No cosidea el valo del dieo e el tiempo. Simbología I = Moto de iteeses P = picipal S = VF = valo futuo, moto = úmeo de peíodos de tiempo = tasa de iteés simple 2 1
Fómula Geeal I=P x x dode: I P = x I = P x I = P x 3 Valo Futuo Simple S=P+I S=P+P x x S/P-1 = S=P(1+ x ) = S /P -1 Valo Pesete Simple 1 P=S 1+ x 4 2
INTERES COMPUESTO El iteés geeado po u capital e ua uidad de tiempo, se capitaliza. Se adicioa al capital ateio, fomado u uevo capital, el mismo que geea u uevo iteés e la siguiete uidad de tiempo, y así sucesivamete. Expeimeta al fial de cada uidad de tiempo u cecimieto geomético. Cosidea el valo del dieo e el tiempo. Es ua sucesió de opeacioes a iteés simple, e la que después de la pimea, su moto costituye el capital iicial de la siguiete. 5 Poceso de Capitalizació S =P+P*=P(1+) 1 S =S +S *=S (1+)=P(1+)(1+)=P(1+) 2 1 1 1 S =S +S *=S (1+)=P(1+) (1+)=P(1+).. 3 2 2 2-1 -1-1 2 3 S =S +S *=S (1+)=P(1+) (1+)=P(1+) -1 2 6 3
M ot o 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 Gáfica de Moto simple vs Moto Compuesto S=P(1+i) S=P(1+i) 1 2 3 4 5 6 Años Iteés Simple Iteés Compuesto 7 Elemetos a cosidea e el Iteés Compuesto La tasa omial () La tasa efectiva (i) El úmeo de peíodos de capitalizació e el año (m): elacioado al año bacaio y a la f de la tasa de iteés. La fecuecia de capitalizació (f) : úmeo de días del peíodo capitalizable. El hoizote de tiempo (H): úmeo de días de la opeació, dode: H k =H 1 +H 2 +...H úmeo de días de cada cuota. El úmeo de peíodos de capitalizació () es el hoizote tempoal, úmeo eteo dado po H/f. Ve siguiete cuado. 8 4
m aplicable a ua tasa aual m aplicable a ua tasa mesual Capitalizació Opeació m Capitalizació Opeació m Aual 360/360 1 Semestal 360/180 2 Timestal 360/90 4 Bimestal 360/60 6 Cada 45 d. 360/45 8 Mesual 360/30 12 Quiceal 360/15 24 Diaio 360/1 360 Aual 30/360 0.08333 Semestal 30/180 0.16666 Timestal 30/90 0.33333 Bimestal 30/60 0.50000 Cada 45 d. 30/45 0.66666 Mesual 30/30 1.00000 Quiceal 30/15 2.00000 Diaio 30/1 30.0000 9 VALOR FUTURO O MONTO CAPITALIZABLE S=P(1+) S=P x FSC, Nota: y debe expesase e misma uidad de tiempo. Facto Simple de Capitalizació - FSC FSC =(1+), Moto compuesto de 1 a ua tasa po peíodo, duate peíodos. Fució: Lleva al futuo cualquie catidad pesete o tae al pesete cualquie catidad del pasado. (1 ) 0 S 1 S 2 S 3 S P 1 2 3 VF=S 10 5
FSC co o eteo: H/f S=P(1+) FSC co vaiacioes e la tasa de iteés: Idica que u úmeo eteo de capitalizacioes, e la cuál la pate o etea implica que la última capitalizació se ha ealizado po u plazo meo al establecido. Las capitalizacioes duate el plazo pactado H, se efectúa cambiado la tasa de iteés tatas veces como sea ecesaio paa cada peíodo de tiempo. 1 2 3 4 (1+) (1+) (1+) (1+)... Como: H = f etoces: H H H... H 3 1 2 3 H 1 /f H 2 /f H /f H 4 (1+ ) (1+ ) (1+ ) (1+ ) /f... 1 2 3 4 11 VALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL - S=P(1+) Facto Simple de Actualizació - FSA FSA, =(1+) Valo pesete compuesto de 1a ua tasa po peíodo, duate peíodos. - P=S 1 (1+) Fució: Tae al pesete cualquie catidad futua o lleva al pasado cualquie catidad del pesete. (1 ) 0 S 1 S 2 S 3 S P=S x FSA, VP 1 2 3 S 12 6
Calculo de la Tasa de Iteés 1 S = -1 P Calculo del Númeo de Peíodos de Capitalizació Log(S /P ) = Log(1+) Calculo del Iteés I=S-P I=P(1+) -P I=P (1+) -1 despejado: 1 I P= I (1+) -1 = + 1-1 P I L o g ( ) = P +1 L o g (1 + ) 13 Tasas utilizadas e el Sistema Fiacieo Activa y Pasiva Nomial y popocioal Efectiva y equivalete Vecida y adelatada Compesatoia y moatoia Tasa de iteés e moa TAMN y TAMEX Segú el balace bacaio Po efecto de la capitalizació Segú el mometo del cobo De acuedo al cumplimieto de obligació. Segú el tipo de moeda TIPMN y TIPMEX De iflació y tasa eal Coegida po iflació Disceta y cotiúa Explícita e implícita Legal y moatoia Cosideado la pédida del pode adquisitivo. Po tipo de capitalizació De acuedo a la opeació Paa opeacioes o fiacieas. 14 7
Balace Bacaio Activo Opeacioes Activas Péstamos descuetos sobegios, etc. Tasa Activa TAMN TAMEX Tasa de cobo de emp. fiacieas. Expesada e témios efectivos. Pasivo Opeacioes Pasivas Captacioes ahoos depósitos a plazo, etc. Tasa Pasiva TIPMN TIPMEX Tasa de pago de emp. fiacieas. Expesada e témios omiales más ua f P 15 Tasa Nomial o Popocioal Susceptible de popocioalizase, dividise o multiplicase. Puede se expesada e ota uidad de tiempo difeete a la oigial, co el objeto de capitalizase ua o más veces (/m). Aplicable a opeacioes de iteés simple. Se efectúa a tavés de ua egla de iteés simple. Tasa Efectiva Refleja el úmeo de capitalizacioes que ha expeimetado duate u plazo detemiado. m e=(1+ ) -1 Uidad de tiempo i Aual TEA TNA Semestal TES TNS Cuatimestal TEC TNC Timestal TET TNT Bimestal TEB TNB Mesual TEM TNM Quiceal TEQ TNQ Diaia TED TND 16 8
Tasa Equivalete Dos o más tasas efectivas coespodietes a difeetes uidades de tiempo so equivaletes cuado poduce la misma tasa efectiva paa u mismo hoizote tempoal. Ua tasa de iteés e es equivalete a ota si sus espectivas capitalizacioes ealizadas duate u mismo hoizote tempoal H so iguales. Caso 1: Tasa equivalete patiedo de ua tasa efectiva dada: (1+ ) -1=e m (1+ ) =(1+ e) m (1+') =(1+ ) e Si /m = etoces: 1/ '=(1+ e ) -1 Como =H/f f/h '=(1+ e ) -1 17 Caso 2: Tasa omial equivalete a ua tasa efectiva dada. m (1+ ) -1=e m (1+ ) (1+ ) =(1+ e) e 1/ -1=/m f/h =m (1+ e ) -1 f/h m=m (1+ e ) -1 1/ =m (1+ e ) -1 Subídice m de idica el úmeo de veces que ésta se capitaliza aualmete cuado es aual. 18 9
ANUALIDADES o RENTAS Es u cojuto de dos o más flujos de caja (etas), e el que a pati del segudo los peíodos de tiempo compedidos ete u flujo y el ateio so uifomes. El peíodo uifome de tiempo se deomia: peíodo de eta, puede se aual, mesual, quiceal, etc. Ejemplo: sueldos, amotizacioes, cupoes po iteeses, pesioes de eseñaza, etc. Simbología: P = valo pesete de ua aualidad S = valo futuo o moto de ua aualidad R = eta H = úmeo de días del plazo de la aualidad f = úmeo de días del peíodo de capitalizació = úmeo de peíodos de capitalizació, hoizote tempoal (H/f) = tasa de iteés costate m = úmeo de peíodos de capitalizació e u año de la TNA 19 Clasificació de las Aualidades Cieta Evetual o cotigete Tempoal Pepetua Vitalicia Tempoal Vecida Aticipada Difeida Vecida Aticipada Simple Geeal Vaiable Gáfica 0 100 100 100 100 100 0 1 2 3-1 100 100 100 100 100 0 0 1 2 3-1 Vecida Aticipada 20 10
VALOR FUTURO O MONTO DE UNA ANUALIDAD R(1 + ) -1 R(1 + ) -2 R(1 + ) -3 R(1 + ) 0 R R R R R 0 1 2 3-1 S =? S=R (1+) -1 S=R x FCS, Facto de Capitalizació de Seie FCS = FVIFA 21 VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD S=R (1+) -1 P(1+) =R (1+) -1 P=R (1+) (1+) -1 P R x FAS, Facto de Actualizació de Seie FAS = PVIFA Otas fomas de expesa FAS 1 1 1-(1+) - = (1 +) - 22 11
CALCULO DEL VALOR DE LAS RENTAS EN LAS ANUALIDADES Caso 1 Reta coociedo el valo futuo S = R x FCS, 1 R=S FCS, 1 R=S (1+) -1 R=S (1 +) -1 R S x FDFA, Facto de Depósito al Fodo de Amotizació 23 Caso 2 Reta coociedo el valo pesete P = R x FAS, 1 R=P (1+) -1 (1+) R = P. FRC, Facto de Recupeació de Capital 1 R=P FAS, (1+) R=P (1+) -1 24 12
CALCULO DE EN UNA ANUALIDAD Cálculo de e fució al FCS o FDFA (ecípocos): S x Log +1 R = Log(1+) Cálculo de e fució al FRC o FAS (ecípocos): P x Log 1- R =- Lo g(1+) 25 Caso: CALCULO DE UNA ANUALIDAD U atefacto electodoméstico tiee u pecio de cotado de $1,500 y al cédito se ofece co ua cuota iicial de $300 y 12 cuotas iguales de $130 c/u pagadeas cada fi de mes. Cuál es la TEM cagada e el fiaciamieto? P= 1,200 R= 130 = 12 =? itepolado: 4% 9.3851 9.2307 5% 8.8633 P = R x FAS, 1,200 = 130 FAS,12 1,200 130 = FAS,12 = 9.230769 (9.3851-9.2307) = 4% + (5% - 4%) (9.3851-8.8633) = 4.29% 26 13
FONDOS DE AMORTIZACION Es u moto acumulado po ua aualidad cofomada po etas peiódicas que devega iteés. Objetivo, acumula el impote ecesaio paa cacela ua deuda, ua obligació u oto compomiso adquiido e el pasado. Se usa paa edimi la emisió de boos, eemplaza activos, cacela deudas co vecimietos futuos, etc. Caacteísticas: a) El impote de la deuda u obligació a cacela pemaece costate. b) La fecha de vecimieto es coocida e ivaiable. 27 CASO PRACTICO Ua empesa tiee pogamado ua emisió de boos po $500,000 edimibles al témio de dos años, los mismos que devegaá ua TEA del 4% co pago de iteés al fial de cada timeste. Se desea sabe: a) El impote que depositado al iicio de la emisió de los boos le pemitiá cubi el pago de iteeses. b) El impote de cada depósito timestal a efectua al fodo que le pemita edimi la obligació a su vecimieto. La TEA que puede pecibi la empesa es 7% Solució: a) Capital ecesaio paa geea el pago de iteés timestal. Iteés a paga timestalmete a ua TEA del 4%: I = 500,000[ 1.04 1/4-1] = 4,926.70 28 14
Capital ecesaio paa paga 8 etas de 4,926.70 pecibiedo ua TEA del 7% TET = 1.07 1/4-1 = 0.017058525 P = 4,926.70 x FAS 0.017058525 = 31,878.24 b) Impote de cada depósito timestal paa acumula el fodo R =? R = S x FDFA 0.017058525, 8 S = 500,000 R = 500,000 x 0.1177261905 = 0.017058525 R = 58, 863.09 = 8 29 CUADRO DEL FONDO DE AMORTIZACION Times. Depósitos Iteeses sobe 1.7058525% Adició al Fodo Total e el Fodo 1 58,863.10 58,863.10 58863.10 2 58,863.10 1,004.12 59,867.21 118,730.31 3 58,863.10 2,025.36 60,888.46 179,618.77 4 58,863.10 3,064.03 61,927.13 241,545.89 5 58,863.10 4,120.42 62,983.51 304,529.40 6 58,863.10 5,194.82 64,057.92 368,587.32 7 58,863.10 6,287.56 65,150.65 433,737.97 8 58,863.10 7,398.93 66,262.03 500,000.00 470,904.76 29,095.24 500,000.00 30 15
Fodos de Amotizació dode la icógita es Casos más comues: a) Fodos co etas uifomes dode es u úmeo eteo. b) Fodos co etas uifomes dode es u úmeo o eteo. c) Fodos co etas uifomes y además u depósito iicial e el mometo 0. 31 CASO PRACTICO La costucció del segudo piso de ua casa asciede a $7,985.31 y segú la pofoma del cotatista las codicioes so: $5,000 de cuota iicial y el saldo cacelable e u úico pago a más tada al fial del sexto mes. E cuáto tiempo quedaá extiguida la deuda si los dueños de la casa decide amotizala haciedo apotes de $370 quiceales a u fodo que le epota ua TEA del 6%. Solució =? TEQ = 1.06 1/24-1 = 0.002430821 S = 2,985 R = 370 = 0.002430821 S x Log( 1) R Log(1 ) = 8 quiceas o 4 meses. 32 16
Fodos de Amotizació dode la icógita es Recodado: 1 FDFA FCS =? S = 20,000 R = 3,250 = 6 quiceas itepolado: R = S. FDFA, 3,250 = 20,000. FDFA,6 3,250 = FDFA,6 = 0.1625 20,000 4% 0.1508 0.1625 5% 0.1724 (0.1508 0.1625) 4% (5% 4%) (0.1508 0.1724) = 4.54% 33 PROGRAMAS DE AMORTIZACION DE DEUDAS 1. PROGRAMA DE CUOTAS DECRECIENTES Coocido como pla de amotizacioes costates. El pestataio debe amotiza la deuda e pates iguales y a itevalos egulaes de tiempo. E la amotizació se paga los iteeses al ebati, es deci sobe el saldo pediete. La cuota del péstamo (amotizació más iteeses) es mayo al iicio peo va dismiuyedo e la medida que el saldo pediete es cada vez meo. 34 17
CASO PRACTICO Ua empesa cosigue u péstamo de ua etidad bacaia po 10 milloes de uevos soles pagadeos timestalmete duate 2 años, la tasa de iteés que le coba el baco es 36% aual más 3% de gastos admiistativos. Elaboe el pogama de amotizació co cuotas dececietes, costates y cecietes. Timest. Deuda Amotiz. Iteeses Saldo Cuota 1 10 000 1 250 975, 8 750 2 225 2 8 750 1 250 853, 7 500 2 103 3 7 500 1 250 731, 6 250 1 981 4 6 250 1 250 609, 5 000 1 859 5 5 000 1 250 488, 3 750 1 738 6 3 750 1 250 366, 2 500 1 616 7 2 500 1 250 244, 1 250 1 494 8 1 250 1 250 122, 00 1 374 10 000 4 388 14 388 35 2. PROGRAMA DE CUOTAS CONSTANTES A tavés de este pogama vaía tato las amotizacioes como los iteeses. Las amotizacioes so cecietes mietas que los iteeses so dececietes. La cuota a paga e cada timeste es costate y costituye ua aualidad o eta. La cuota se puede calcula a pati del Facto de Recupeació de Capital (FRC). 36 18
Pogama de Cuotas Costates Timest. Deuda Amotiz. Iteeses Saldo Cuota 1 10 000 882 975, 9 118 1 857 2 9 118 968 889, 8 150 1 857 3 8 150 1 062 795, 7 088 1 857 4 7 088 1 166 691, 5 922 1 857 5 5 922 1 280 577, 4 642 1 857 6 4 642 1 404 453, 3 238 1 857 7 3 238 1 541 316, 1 697 1 857 8 1 697 1 692 165, 5 1 857 10 000 4 861 14 861 8 (1 ) 0.0975(1.0975) FRC 0.1857 x10'000,000 1'857,000 8 (1 ) 1 (1.0975) 1 37 3. PROGRAMA DE CUOTAS CRECIENTES Timest. Deuda Popoc. Amotiz. Iteeses Saldo Cuota 1 10 000 1/36 278 975, 9 722 1 253 2 9 722 2/36 556 948, 9 166 1 504 3 9 166 3/36 833 894, 8,333 1 727 4 8 333 4/36 1 111 812, 7 222 1 923 5 7 222 5/36 1 389 704, 5 833 2 093 6 5 833 6/36 1 667 568, 4 166 2 235 7 4,166 7/36 1 944 406, 2 222 2 350 8 2 222 8/36 2 222 216, 2 438 36 1 10 000 5 523 15 523 38 19