FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLESY ADMINISTRATIVAS MATEMÁTICA FINANCIERA. CPC. Oscar Suzuki Muroy HUANCAYO - PERÚ

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3 FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLESY ADMINISTRATIVAS MATEMÁTICA FINANCIERA CPC. Oscar Suzuki Muroy HUANCAYO - PERÚ

4 TABLA DE CONVERSIONES UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES Educació a Distacia. Huacayo. Impresió Digital SOLUCIONES GRAFICAS SAC Jr. Puo Hyo. Telf

5 Excelecia Académica Matemática Fiaciera Al iiciar el proceso de formació e el campo de la cotabilidad y/o admiistració debemos setar las bases ecesarias que permita a los estudiates u coocimieto sobre los coceptos fiacieros para la toma de decisioes. A través de este curso, se aalizará los temas relacioados a las matemáticas fiacieras que servirá de soporte para que pueda eteder el cálculo del valor del diero e el tiempo para cotabilizar operacioes fiacieras y, e las diferetes ramas de la admiistració para que tega presete e las operacioes de iversió de activos, e la elaboració de presupuestos para sustetar el fiaciamieto de uevos proyectos para mejorar el ciclo de vida de los productos y poder plaear los desembolsos e igresos a las empresas.

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7 INDICE UNIDAD TEMÁTICA 1 Coceptos básicos 7 Matemática Fiaciera 7 Pricipal 7 Tasa de iterés 7 Tasa omial 8 Tasa proporcioal 8 Tasa efectiva 8 Iterés 8 Capitalizació simple 8 Capitalizació compuesta 9 Moto 9 Horizote temporal 9 Resume 11 Bibliografía recomedada 11 Auto evaluació formativa 11 UNIDAD TEMÁTICA 2 Iterés simple 13 Iterés simple 13 Iterés simple exacto y ordiario 16 Numerales 17 Descueto 18 Descueto racioal o matemático 19 Descueto comercial o bacario 20 Resume 22 Bibliografía recomedada 22 Auto evaluació formativa 22 UNIDAD TEMÁTICA 3 Iterés compuesto 25 Iterés Compuesto 25 Tasas equivaletes de tazas 31 Descueto Compuesto 31 Descueto Bacario compuesto 33 Resume 34 Bibliografía recomedada 35 Auto evaluació formativa 35

8 UNIDAD TEMÁTICA 4 ANUALIDADES 37 CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES 37 Aualidad cierta 37 Aualidad vecida 38 Aualidad aticipada 38 Aualidad diferida 39 Aualidad cotigete 39 * Fórmulas para calcular el moto y valor actual de aualidades simples, ciertas, vecidas. 39 * Fórmulas para calcular el moto y valor actual de aualidades aticipadas o adelatadas. 45 * Fórmulas para calcular el moto y valor actual de aualidades perpetuas. 46 Resume 47 Bibliografía recomedada 47 Autoevaluació formativa 48 UNIDAD TEMÁTICA 5 AMORTIZACIÓN 51 Tabla de amortizació 52 Sistema de amortizació 52 Sistema de amortizació fracés 52 Sistema de amortizació alemá 56 Sistema de pago e cuotas decrecietes 56 Sistema de amortizació americao 57 Sistema de amortizació flat 60 Resume 61 Bibliografía recomedada 61 Auto evaluació formativa 62 DEPRECIACIÓN UNIDAD TEMÁTICA 6 Objetivos de la depreciació 64 Métodos de depreciació 64 Método de líea recta 65 Método de las uidades producidas 65 Método de la suma de los dígitos de los años 66 Método del doble saldo decreciete 68 Resume 69 Bibliografía recomedada 69 Auto evaluació formativa 70 63

9 UNIDAD TEMÁTICA 7 FACTORES FINANCIEROS 71 Factor simple de capitalizació (FSC) 72 Factor simple de actualizació (FSA) 73 Factor de actualizació de series (FAS) 74 Factor de recuperació de capital (FRC) 75 Factor de capitalizació de la serie (FCS) 75 Factor de depósito de fodo de amortizació (FDFA) 77 Resume 78 Bibliografía recomedada 78 Auto evaluació formativa 79 UNIDAD TEMÁTICA 8 Itroducció al cálculo actuarial 81 Termiología de seguros 81 Tabla de mortalidad 83 Tablas de geeracioes 85 Tablas de cotemporáeos 85 Tablas completas 85 Tablas abreviadas 85 Pricipales fucioes de la tabla de mortalidad 85 Probabilidad de vida y muerte para períodos mayores a u año 86 Probabilidad abreviada de vida 88 Probabilidad completa de vida 88 Cotrato de seguros 89 Seguro de vida etera 89 Seguro de vida dotal 90 Resume 92 Bibliografía recomedada 92 Auto evaluació formativa 93

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11 Excelecia Académica Matemática Fiaciera CONCEPTOS BÁSICOS El presete fascículo tiee como propósito explicar los coceptos básicos para mejor eteder del texto Idicadores de Logro Al termiar el estudio del presete fascículo, el estudiate estará e capacidad de: * Compreder los coceptos de matemática fiaciera, pricipal, iterés y moto. * Defiir el horizote temporal de u flujo de efectivo * Coceptualizar y aalizar las diferetes tasas de iterés. * Explicar y aalizar las distitas capitalizacioes de iterés 1.- MATEMÁTICA FINANCIERA. Se deomia Matemática Fiaciera, a la rama de la matemática aplicada que estudia el valor del diero e el tiempo, combiado el capital, la tasa y el tiempo para obteer u iterés que permite tomar decisioes de iversió. Si Ud. posee um y decide depositar e ua istitució fiaciera. Qué opció elegiría?: 1.- El que le reditúa 5% aual co capitalizació mesual 2.- al 60.5% co capitalizació aual. 2.- PRINCIPAL (P). La RealAcademia de la Legua Española lo defie como: Valor de lo que, de maera periódica o accidetal, ride u ocasioa retas, itereses o frutos. Se dice a la catidad de diero a partir del cual se paga itereses. 3.- TASADE INTERÉS (i). Es la medida de los itereses pagados por el uso del capital ajeo, represetado por u porcetaje. Éste se mide por el cociete que resulta de dividir el iterés co el pricipal. i I P Uiversidad Peruaa Los Ades 7

12 Matemática Fiaciera Excelecia Académica Tasa omial.- Es ua tasa referecial que o icorpora capitalizacioes. Tasa proporcioal.- Es la expresió de la tasa omial expresada e diferetes periodos de tiempo. Tasa efectiva.- Es la expresió de capitalizar ua tasa omial varias veces e la Horizote de tiempo. Se dice que es la tasa de iterés pagado realmete. 4.- INTERÉS (I). Es el precio que se paga por el uso del capital ajeo durate u determiado espacio de tiempo. E cosecuecia, el iterés viee a ser la diferecia etre el capital recibido y el moto devuelto e ua fecha determiada. El moto del iterés depede de: La magitud del pricipal La tasa de iterés El horizote de tiempo El riesgo de la iversió Otras variables de orde ecoómico, político, social, etc. Ejemplo Ua cueta bacaria que tiee u plazo de 180 días se abrió co u pricipal de um. Por ese periodo de tiempo el baco le ofrece ua tasa de iterés de 8%. Acuato ascederá el iterés al térmio del semestre? I = * (8/100) I = *0.08 I = 400 um El iterés e u préstamo es el costo de la o dispoibilidad e el tiempo de ese diero. Capital Iterés Moto V P Tiempo VF 8 Uiversidad Peruaa Los Ades

13 Excelecia Académica Matemática Fiaciera C= Capital VP = Valor Presete M= Moto VF = Valor Futuro I = Iterés E el trascurso de la iversió, los itereses puede ser susceptibles a icremetarse al pricipal, a este proceso se de llama capitalizació y podemos citar: 1. Capitalizació simple.- Se realiza al vecimieto de la operació. 2. Capitalizació compuesta.- Se realiza e el horizote de la iversió y los itereses se computa sobre el uevo moto capitalizado. 5.- MONTO (S). Es la catidad total a pagar por el uso del capital ajeo. Resulta de la sumatoria del pricipal y los itereses devegados que se origió a ua tasa de iterés fijada etre las partes cotratates. S = P + I Ejemplo Al vecimieto de la deuda, se aboa la catidad de um luego de haber pactado iicialmete u préstamo de um por u espacio de 12 meses. S = P + I = I I = I = El pricipal esta costituido por los 8 500um El iterés por la diferecia de meos 8 500, vale decir, por 1 500um El moto por um 6.- HORIZONTE TEMPORAL(S). Es la líea horizotal e la que se represeta el itervalo de tiempo de los flujos de efectivo desde que se origia hasta que se liquide. El tiempo cero aparece e el lado izquierdo y los periodos futuros hacia la izquierda. Uiversidad Peruaa Los Ades 9

14 Matemática Fiaciera Excelecia Académica H=90días h 1 =13días h 2 =63días h 3 =14días 2/7 15/7 16/9 30/9 Observació Hay u aspecto que es importate teer e cueta: el tipo de iterés y el plazo debe referirse a la misma medida temporal (si el tipo es aual, el plazo debe de ir e año, si el tipo es mesual, el plazo irá e meses, etc). Como se calcula el tipo de iterés equivalete, segú distita uidad de tiempo? Muy fácil, lo vamos a ver co u ejemplo: tipos equivaletes a ua tasa aual del 15%. x Base temporal Calculo Tipo resultate x Año 15 / 1 15 % Semestre 15 / 2 7,5 % Cuatrimestre 15 / 3 5 % Trimestre 15 / 4 3,75 % Mes 15 / 12 1,25 % Día 15 / 365 0,041 % Fuete: Actividad 1. Igrese a la siguiete págia web y realice la clasificació de las tasas de iterés y su respectiva utilizació: res.pdf 10 Uiversidad Peruaa Los Ades

15 Excelecia Académica Matemática Fiaciera Resume A través del autoapredizaje ha adquirido los coocimietos sobre los coceptos básicos de la matemática fiaciera como rama de la matemática aplicada que ayuda a la toma de decisioes e las iversioes. El pricipal, capital que es exigible al térmio de u cierto tiempo llamado horizote de tiempo produce por su uso ua utilidad que se le deomia itereses, que sumado al capital geera el moto. El iterés se puede capitalizar al térmio de la iversió, al cual se le llama capitalizació simple o e varias oportuidades durate la líea del tiempo y estos itereses se calcula sobre el uevo moto geerado la capitalizació compuesta Las tasas de itereses, so la represetació porcetual de los itereses y estos se clasifica e omiales, proporcioales y efectivas. Bibliografía recomedada práctico. Colombia: Pearso Educació de Colombia Ltda., 1a ed, Ayres Jr Frak, Matemáticas Fiacieras. Mexico: Mc Graw Hill, Autoevaluació formativa Coceptos básicos - UNIDAD No. 1 Nombre Apellidos Fecha Ciudad Semestre 1. Cree Ud. que es importate las Matemáticas Fiacieras para el Cotador Público /Admiistrador de empresas? Haga u breve cometario 2. Qué diferecias ecuetra e capitalizació simple y compuesta? 3. Cuál es la tasa de iterés que os idica lo efectivamete pagado? Ejemplo 4. Que etiede por moto? Ejemplo 5. Determiar el horizote temporal de u depósito realizado e el Baco La mejor tasa el día 2 de eero de 2006 y se cacela el 01 de febrero del mismo año. 6. Se ha recibido del Baco El Bue Pagador la suma de 1 300um por cocepto de la redeció de u depósito a u año, cuyo pricipal es 1 000um. Cuál es la tasa de iterés de la operació? 7. Cuál es el moto actual de la cueta de ahorros que se abrió e el Baco Buea gete co u pricipal de 1 500um y que devegó hasta hoy ua tasa de 4%? 8. La Admiistració Tributaria tiee fijado como tasa de iterés moratorio el 1,50% mesual. Cuál es la tasa proporcioal diaria? Uiversidad Peruaa Los Ades 11

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17 Excelecia Académica Matemática Fiaciera INTERES SIMPLE Idicadores de Logro Al fializar el estudio de este segudo fascículo, el estudiate estará e capacidad de: * Defiir el iterés simple * Calcular el iterés simple * Eteder y aplicar la ley de iterés simple a ua operació de capitalizació y descueto 1.- INTERÉS SIMPLE Se deomia iterés simple a la operació fiaciera dode iterviee u capital, u tiempo predetermiado de pago y ua tasa o razó, para obteer u cierto beeficio ecoómico llamado iterés. El iterés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permaece ivariable. Vale decir, el iterés obteido e cada itervalo uitario de tiempo es el mismo. La retribució ecoómica causada y pagada o es reivertida, por cuato, el moto del iterés es calculado sobre la misma base. El iterés simple es ua fució directa etre el tiempo (t), la tasa de iterés e tato por uo (i) y el capital iicial (c), este se represeta por la fórmula: I c t i I I I C C C Uiversidad Peruaa Los Ades 13

18 Matemática Fiaciera Excelecia Académica Mometo 1 = 1 I 01 = VP* i I 01 = Iterés del período 0 1 VF1 = VP + (VP. i) Mometo 2 = 2 I 02 = VP + VP* i VF 2 = VP + (VP* i) + (VP* i) = VP (1 + 2i) Mometo = VF VP 1 i (1) Despejado de (1) obteemos el tipo de iterés y el plazo: i I VP, VF 1 i VP, I, VP i VF 1 VP i I VP i, I VP i Ejemplo 1: Calcular el iterés simple producido por um. durate 90 días a ua tasa de iterés aual de 5%. Como: Por tato: días años I , Uiversidad Peruaa Los Ades

19 Excelecia Académica Matemática Fiaciera Tambié: VP = Iterés aual = 5% = 3 meses VF =?I =? Ejemplo 2: Cuál es la tasa de iterés aual si ivierto hoy 500 y recibo e u año 800? Tiempo e años I = = 300 i = (300 /500) = 0,6 aual La tasa de iterés es del 60% aual Ejemplo 3: Sí hoy ivertimos 2 000um. al 8% para el primer año, co icremetos del 1% para los próximos tres años. Cuál es el moto que retiraríamos detro de 4 años? E estos casos o aplicamos directamete la fórmula geeral del iterés simple, por cuato el tipo de iterés e cada período es diferete. Debemos sumar al pricipal los itereses de cada período, calculado siempre sobre el capital iicial pero a la tasa vigete e cada mometo. VP = 2 000; = 4; i(1...4) = 0,08; 0,09; 0,10 y 0.11; VF =? Al ejercicio correspode la relació siguiete: VF = VP+ (VP* i ) + (VP* i ) + (VP* i ) + (VP* i ) VF= (2 000*0,08)+ (2 000*0,09)+ (2 000*0,10)+ (2 000*0,11)= um. El moto a retirar detro de cuatro años es 2 760um Ejemplo 4: E la fecha obteemos u préstamo por 5 000um para ser pagado después de 3 años a 9 800um. Deseamos saber: 1º El iterés y 2º la tasa de iterés periódica VP = 5 000; VF = 9 800; = 3; I =?; i =? 1º Ecotramos el iterés co la fórmula: I = = 4 800um. Uiversidad Peruaa Los Ades 15

20 Matemática Fiaciera Excelecia Académica El iterés es 4 800um. 2º Co la fórmula despejadas de 1, obteemos la tasa periódica aual del préstamo: i ,32 3 La tasa periódica aual es 32% Ejemplo 5: U Baco obtiee fodos al costo de 12% y presta a los microempresarios al 58,6% aual, gaádose así el 46,6% bruto. Si los igresos auales que obtuvo de esta forma fuero de um., Cuáto diero prestó? I = ; = 1; i = 0,466; VP =? = VP*1*0,466 despejamos VP: VP = 500,000/0.466 = ,37 um.+ Observació El tipo de iterés ( i) y el plazo ( ) debe referirse a la misma uidad de tiempo (si el tipo de iterés es aual, el plazo debe ser aual, si el tipo de iterés es mesual, el plazo irá e meses, etc.). Siedo idiferete adecuar la tasa al tiempo o viceversa. Al utilizar tasas de iterés mesual, el resultado de estará expresado e meses 2.- INTERES SIMPLE EXACTO Y ORDINARIO El iterés simple exacto, es aquél tipo de iterés cuyo cálculo se efectúa tomado como base que el año tiee 365 días (366 e años bisiestos). El iterés simple ordiario se calcula, e cambio tomado como base que el año tiee 360 días. Debemos resaltar que al usar u año de 360 días, los cálculos a efectuar se abrevia y además se icremeta lo que el acreedor cobra por cocepto de iterés. Ejemplo: Calcular el iterés simple exacto y ordiario de u capital de ,00um que geera u iterés del 12,7% e u plazo de 240 días. 16 Uiversidad Peruaa Los Ades

21 Excelecia Académica Matemática Fiaciera C=10 000,00 I = c*i*t i=12.7% I = *0.127*240/365 = t= 240 días I = *0.127*240/360 = NUMERALES: El umeral, es el producto de cada uevo saldo de ua cueta y el úmero de días de permaecia de ese saldo si movimieto. E ua fecha determiada podemos obteer el iterés multiplicado la sumatoria de los umerales por la tasa diaria de iterés. E la práctica fiaciera, para el cálculo de los itereses, los umerales o úmeros mercatiles costituye el producto del saldo deudor o acreedor por el úmero de días que permaece dicho saldo al debe o haber. Ejemplo: Ua persoa e el trascurso del mes de julio 2006 ha realizado e su cueta de ahorros el siguiete movimieto: Día Operació Importe 01 Depósito Retiro Depósito Depósito Qué iterés habrá acumulado al 01 de agosto del 2006 si la tasa de iterés simple fue de 1%? Días Saldo Numerales Etoces, la acumulació de itereses al 01 de agosto es: Multiplicador fijo: 0,01/30 = 0, , * = 34,60um NUMERALES Iic*t k k Uiversidad Peruaa Los Ades 17

22 Matemática Fiaciera Excelecia Académica 4.- DESCUENTO Es el proceso de deducir la tasa de iterés a u capital determiado para ecotrar el valor presete de ese capital cuado el mismo es pagable a futuro. Del mismo modo, aplicamos la palabra descueto a la catidad sustraída del valor omial de la letra de cambio u otra promesa de pago, cuado cobramos la misma ates de su vecimieto. La proporció deducida, o tasa de iterés aplicada, es la tasa de descueto. E u tipo de fiaciamieto respaldado e título-valores: letras de cambio, y pagaré y cuya operatividad está regulada por dispositivos legales. Los bacos puede fiaciar a sus cuetas corretístas si les otorga ua líea de descueto de letras y pagarés y e mérito a esta operació aticipa el importe del valor omial del título-valor que vece e el futuro, y deduce el iterés de forma aticipada, por el tiempo que falta para el vecimieto de la obligació. Así el cliete del baco que tiee e su poder u paquete de letras por cobrar que todavía o se ha vecido, puede covertirlo e diero e efectivo a través del descueto al obteer u importe meor a la suma de sus respectivos valores omiales; del mismo modo puede coseguir efectivo si acepta u pagaré de determiado importe que vece e el futuro, lo descueta y recibe su respectivo valor presete o valor líquido. 5.- DESCUENTO SIMPLE Es la operació fiaciera que tiee por objeto la represetació de u capital futuro por otro equivalete co vecimieto presete, a través de la aplicació de la fórmula del descueto simple. Es u procedimieto iverso al de capitalizació. VF = Valor futuro VP = Valor actual D = Descueto D = VF VP Uiversidad Peruaa Los Ades

23 Excelecia Académica Matemática Fiaciera D = VF VP D = VF VF (1 *d) VP = VF * * d VF 1 d Ejemplo: VF = Plazo = 6 meses = 6 Tasa = 5% mesual d = 0,05 VP = (1-6 * 0,05) = 7000 Descueto racioal o matemático: Es el iterés deducido por aticipado del valor omial de u título valor y que se calcula co ua tasa vecida por el plazo que media la fecha etre la fecha que se aticipa su pago y la fecha de su vecimieto. Se calcula sobre el valor actual o presete, coicide co el iterés. Dode: Descueto racioal simple D Sj 1 j Valor omial del título-valor, valor futuro Tasa de iterés omial vecida Número de períodos de tiempo compredido etre la fecha de descueto y la fecha de vecimieto del título-valor. Ejemplo: Ua letra de cambio, co valor omial de um, fue girada el 01 de abril y descotada el 7 de abril por el Baco ABC, co ua TNA de 18%, tiee como fecha de vecimieto el 6 de julio del mismo año. Calcule el importe del descueto racioal simple. Uiversidad Peruaa Los Ades 19

24 Matemática Fiaciera Excelecia Académica S= j= 0,18 =90/360 D=? ,18 D , , Ejemplo: U pagaré cuyo valor omial es 3 800um y que tiee como fecha de vecimieto el 26 de Febrero e el Baco el 18 de Eero del mismo año a ua TNAde 24%. Se requiere calcular el importe del descueto racioal simple que se efectuó al valor omial de la letra de cambio. Datos: S=3 800um, j=0,24 y =39/360 D 3 800*0,24*39/ ,24 * 36/360 96,30um Descueto bacario: Es el producto del valor omial del título-valor por la tasa aticipada omial y por el úmero de periodos que falta para el vecimieto del descueto. Dode: D Sd * Descueto bacario simple Valor omial del título-valor, valor futuro Tasa aticipada omial aplicable sobre S Número de períodos de tiempo compredido etre la fecha de descueto y la fecha de vecimieto del título-valor. 20 Uiversidad Peruaa Los Ades

25 Excelecia Académica Matemática Fiaciera Ejemplo: Ua letra de cambio tiee u valor omial de 5 000um que fue descotada e el Baco ABC cuado faltaba 90 días para su vecimieto. Se requiere coocer el importe del descueto bacario simple que efectuó el Baco, que aplicó ua tasa de descueto aticipada omial del 1,5% mesual Datos: S=5 000um, d =0,015 y = 90/30 Solució: Ejemplo: Ua letra de cambio cuyo valor omial es 3 800um y que tiee como fecha de vecimieto el 26 de Febrero, se descueta e el baco el 18 de eero del mismo año, co ua tasa aticipada omial de 24% aual. Se requiere calcular el importe del descueto bacario simple que se efectuó al valor omial de la letra. Datos: S=3 800um, d =0,24 y = 39/ D , um 30 Observació 39 D 3 800*0,24* = 98,80um 360 El descueto sobre el valor omial y el iterés sobre el valor presete del titulo-valor geera el mismo resultado 1 2. Actividad 2.1. El participate desarrollará el tema: Descueto comercial. Resolver los siguietes problemas: Calcule el descueto comercial por efectuar sobre el precio de veta de u artículo, si éste es de 1 000um y se cocede ua rebaja de 5% Calcule el importe de los descuetos comerciales que se efectuará e ua veta a plazos, amortizable co pagos mesuales de 100um que vece el 1 de cada mes, que otorga los siguietes descuetos. a) 5% por adelatarse al vecimieto y b) 2% si los pagos se efectúa hasta el 7 de cada mes. La empresa el Bue vestir S.A. adicioal a la veta de sus artículos u marge de utilidad de 20% sobre el costo de la mercadería. Por cambio de temporada piesa rematar el stock de chompas cuyo costo uitario es 50um, lo que sigifica rebaja su marge de 20% a 5% sobre el costo. Cuál es el uevo importe de la utilidad bruta? Uiversidad Peruaa Los Ades 21

26 Matemática Fiaciera Excelecia Académica Resume Hemos observado que ua cueta esta e el régime de iterés simple cuado se produce ua sola capitalizació de iterés. Al utilizar como base el año caledario, se produce el iterés simple exacto y la utilizació del año comercial colleva al iterés simple ordiario. Los umerales mercatiles costituye el producto del saldo deudor o acreedor por el úmero de días que permaece dicho saldo al debe o haber, los que sirve para el cálculo de los itereses. Se dice descueto a la aticipació del pago de los títulos valores al deducir por aticipado los itereses por el tiempo que falta para su vecimieto de la obligació. Bibliografía recomedada Aliaga Valdez Carlos, Carlos Aliaga Calderó Matemáticas Fiacieras U efoque práctico. Colombia: Pretice Hall, primera edició, Ayres Jr Frak, Matemáticas Fiacieras. Mexico: Mc Graw Hill, Motoya Williams Héctor. Matemáticas fiacieras y Actuariales por computadora, Perú: Pacífico editores, Autoevaluació formativa Iterés simple - UNIDAD No. 2 Nombre Apellidos Fecha Ciudad Semestre Co tus propias palabras efectúa u aálisis comparativo etre capitalizació y descueto. U estudiate prometió pagarle las clases a su profesor particular luego de 5 meses. El importe pactado fue de 350um. Dicho importe y icluía u recargo por cocepto de itereses, habiédose pactado ua tasa de iterés del 35% simple aual. Cuáles hubiera sido los hoorarios del profesor si cosiderar itereses? Hallar el valor presete de u documeto de 5 000um pagaderos e 10 meses, supoiedo u redimieto aual del 18% Si teemos um y lo ivertimos por u año co el 28% de iterés aual. Cuáto diero tedremos al fializar el año? 22 Uiversidad Peruaa Los Ades

27 Excelecia Académica Matemática Fiaciera Se colocó ua cueta abierta co u pricipal de 5 000um, a ua tasa de iterés simple de 30% aual. Calcule el plazo e el que el iterés ascedió a 15% del pricipal. Hallar el valor líquido de u pagaré de um que vece a los tres meses, si el tipo de descueto es del 6% mesual Se obtiee del baco ABC u descueto de pagaré a 90 días por um. El Baco deduce los itereses que es el 8% aual al mometo de depositar el préstamo. Cuáto es el aboo e su cueta corriete del cliete? Deseamos aticipar al día de hoy u capital de UM 5,000 co vecimieto detro de 2 años a ua tasa aual del 15%. Determiar el valor actual y el descueto de la operació fiaciera Debemos descotar ua letra de UM 10,000 faltado 60 días para su vecimieto, la tasa de descueto aual es del 48%, la comisió de cobraza es el 3.8% y otros gastos UM Determiar el importe efectivo recibido por el cliete. U pagaré de UM 2,800, o devega iterés co vecimieto a los 5 meses, descotado e el Baco. El valor líquido ascedía a UM 2,680. Calcular el tipo de descueto utilizado. Uiversidad Peruaa Los Ades 23

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29 Excelecia Académica Matemática Fiaciera INTERÉS COMPUESTO Cuado ua operació fiaciera ivolucra más de u periodo, se debe especificar si el capital se ecuetra e el régime de iterés simple o e el de iterés compuesto, puesto que si trata de u solo periodo, el moto es el mismo e ambos casos. Idicadores de Logro Al termiar el estudio del presete fascículo, el estudiate podrá: * Defiir los coceptos fudametales del iterés compuesto. * Calcular el iterés compuesto * Eteder y aplicar la ley de iterés compuesto a ua operació de capitalizació y descueto 1.- INTERÉS COMPUESTO Aliaga Carlos e su libro Matemáticas Fiacieras U efoque práctico, al referirse a este tema dice: El iterés compuesto puede verse como ua sucesió de operacioes a iterés simple, e la que el moto fial de ua de ellas costituye el pricipal de la siguiete. Ua cueta está bajo u régime de iterés compuesto cuado: El capital devega iterés geerado por ua tasa de iterés efectiva, la que a su vez puede estar e fució de ua tasa de iterés omial que capitaliza cada cierto período de tiempo. Se produce más de ua capitalizació de iterés durate el horizote temporal pactado, au cuado este plazo sea diferete del plazo de la tasa de iterés. Por ejemplo la tasa puede ser mesual y el horizote semestral para la operació El iterés compuesto es u régime e el cual u iterés geerado por u capital, e uidad de tiempo, se capitaliza; es decir, se icorpora al capital, el mismo que geera el mismo iterés e la siguiete uidad de tiempo y así sucesivamete durate el horizote temporal. El capital al fial de cada uidad de tiempo crece de maera geométrica si el pricipal, la tasa de iterés y el plazo de ésta última se matiee costates Moto Co Pricipal y Tasa Efectiva Costate Calcula e moto fial o valor futuro e ua cueta a iterés compuesto cuado el pricipal y la tasa de iterés efectiva o varía, o se produce icremetos i reduccioes del pricipal, i se produce retiros de iterés durate el horizote temporal. Cosideramos a i y, co períodos de tiempo de la misma duració; sigifica que si i es aual, es úmero de años, si i es mesual, es úmero de meses y así sucesivamete para otros períodos de tiempo. Uiversidad Peruaa Los Ades 25

30 Matemática Fiaciera Excelecia Académica Factor Simple de Capitalizació (1+i) Al térmio (1+i) Valor Presete a Iterés Compuesto se le deomia factor simple de capitalizació (FSC) a iterés compuesto; por tato la fórmula se represeta así: La fució de FSC, es llevar al futuro cualquier importe del presete o traer al presete cualquier importe del pasado. Las fórmulas del moto compuesto, pricipal, tasa de iterés y úmero de períodos, se preseta e la siguiete figura: VP VF(1 i) VF VP(1 i) El valor de la variable puede obteerse al dividir la duració del horizote temporal por la duració del período de la tasa. VF VP * FSC i; 1 VF i 1 VP Log(VF/ VP) Log(1 i) VF=VP(1+i) VF I VP VP 0 VP=VF(1+i) - Fuete: Aliaga Carlos Matemáticas Fiacieras U efoque práctico De la fórmula se despeja: VP VF(1 i) 26 Uiversidad Peruaa Los Ades

31 Excelecia Académica Matemática Fiaciera La fórmula calcula el valor presete cuado el pricipal y la tasa efectiva o varía durate el horizote temporal El Factor Simple de Actualizació (1+i) - Al térmio (1+i) - se le deomia factor simple de actualizació (FSA) a iterés compuesto; por tato, la fórmula puede represetare como: VP VF * FSA i; Se lee: el FSAa ua tasa de i, durate períodos, trasforma u valor futuro VF e u valor presete VP. el FSA es el valor presete compuesto, a ua tasa periódica i de u capital de 1 um, ubicado temporalmete períodos e el futuro. Su fució es traer al presete cualquier importe del futuro o llevar al pasado cualquier importe del presete. Ejemplo 1: Calcular el moto acumulado al cabo de 4 años, a partir de u capital iicial de um, a ua TEAde 18% Ejemplo 2: Calcular el moto que produjo u capital iicial de um, colocado e u baco durate 15 días, a u TET de 4% VP = ; i = 0,04; = 15/90 4 VF (1 0,18) ,78 Ejemplo 3: E cuáto tiempo u capital de um se habrá covertido e u moto de um, si dicho capital origial se colocó e u Baco y percibe ua TEAde 8%? S=10 300; P = ; i = 0,08; =? 15 / 90 VF (1 0,04) , Log , Log(1 0,08) Uiversidad Peruaa Los Ades 27

32 Matemática Fiaciera Excelecia Académica El valor idica la catidad de años debido a que la tasa proporcioada como dato es ua TEA. La catidad de días se obtiee al multiplicar por 360 (que es el úmero de días e u año) y se obtiee como resultado 138 aproximadamete. La catidad de meses se obtiee al multiplicar por 12 (úmero de meses e u año), la catidad de quiceas se obtiee al multiplicar por 24 (úmero de quiceas e u año), y así sucesivamete Moto co Pricipal Costate y Tasa Efectiva Variable Cuado e ua operació fiaciera: - El pricipal permaece ivariable durate el plazo de la operació; es decir, o se produce adicioes o deduccioes al pricipal después del depósito o colocació iicial. -La magitud o los plazos de la tasa de iterés efectiva so variables detro del horizote temporal. Se produce ua variació e la magitud de la tasa de iterés cuado ésta está sujeta a variacioes; por ejemplo, cuado u TEA de 18% cambia a ua TEA de19%. Se produce ua variació e el plazo de la tas de iterés cuado las tasas de iterés detro del horizote temporal se expresa e diferetes uidades de tiempo; por ejemplo, cambios de TEAa TET a TEM, etcétera El horizote temporal se divide e z subhorizote e cada uo de los cuales la tasa de iterés efectiva así como su plazo, se matiee costates. Si: i la tasa de iterés vigete durate el k-ésimo subhorizote. k el úmero de períodos de la tas e el k-ésimo subhorizote. k Etoces: La expresió es el producto de factores del tipo, dode k toma valores eteros e el itervalo (1;z), y puede represetarse de la siguiete maera :. Por tato, la expresió se puede represetar así: Ejemplo: VF VP (1 i ) (1 i ) (1 i )...(1 i ) z VF VP (1 i k ) k z 1 2 z k Se requiere el moto compuesto que origió u depósito de ahorro de 5 000um, colocado a plazo fijo e el Baco ABC el 2 de julio al 30 de septiembre del mismo año, co ua TEAde 24%. E ese plazo la TEAque origialmete era 24%, bajó a 22% el 15 de julio y a 20% el 16 de septiembre z k1 (1 i) k 28 Uiversidad Peruaa Los Ades