SEÑALES Y SISTEMAS. PROBLEMAS RESUELTOS.CAPITULO III Problema : Un sistema LIT cuando se alimenta con la señal sgn(t), definida como: sgn(t) = t 0 t 0 produce la siguiente salida: Determine la salida cuando la entrada es la siguiente: SOLUCION: La nueva entrada la podemos expresar como sgn(t-) - sgn(t+), por lo tanto la salida a esta entrada será la siguiente:
Otra forma sería derivar sgn(t) quedando δ(t); por lo tanto la derivada de la salida al sgn(t) dará h(t). Finalmente se convoluciona h(t) con la nueva entrada x(t). Problema : Un sistema descrito por la siguiente ecuación en diferencia y(n)-y(n-)=x(n). Determine la salida y(n) cuando la entrada es: x (n) kπn = 3 Cos k= SOLUCION: Como la entrada es una sumatoria de sinusoides, lo más conveniente es encontrar la respuesta en frecuencia del sistema y luego calcular la salida para cada una de ellas y aplicar superposición. Las frecuencias de las 3 sinusoides son: π/, π,.5π. Hay que evaluar la función transferencia en estas tres frecuencias: La salida será: Problema 3: Dado el siguiente sistema:
a) x(n) = -x(n-). Por lo tanto b) Para encontrar x(n) hay que conseguir primero la respuesta al impulso del sistema total para luego convolucionar con x(n). La ecuación que rige el sistema total es la siguiente: Para conseguir la respuesta al impulso, buscamos la solución de la homogénea Esto produce una respuesta que debemos invertir y retardar unidades de tiempo para lograr el verdadero h(n) Para evaluar K, se sabe que h()=0 ; por lo tanto(evalúe la ecuación) h()=-, eso implica que K=
Ahora se convoluciona esto con la entrada Gráficamente, al girar x(n), podemos observar que la convolución existe desde que n-8= es decir n=0 y hasta el infinito. Además la convolución se calculará, en su zona de existencia, como: Esto resulta igual a:
Problema 4: Un sistema L.I.T está definido por la siguiente ecuación Si b=3a, determine y(t) y su espectro cuando la excitación es x(t)=sen ( at + 30º) + Sen ( bt + 60º) SOLUCION: Calculamos la función de transferencia La salida será por tanto: Para dibujar el espectro expresaremos a y(t) en función de cosenos Así el espectro bilateral será:
Problema 5: Para el siguiente sistema determine la salida cuando x(t) = Cos( πt/t + 45º) SOLUCION: Hay varias posibilidades para resolver este problema: A) Encontramos la respuesta al impulso y se procede a convolucionar con x(t)
h(t) = r(t) - r(t-t) -u(t-t) donde r(t) es una rampa que se inicia en t=0(es decir la integral del escalón) B) Encontrar H(jω) Evaluar esta respuesta para ω=π/t y la salida entonces será: C) Se pasa directamente la señal x(t) por el sistema asumiendo integradores en reposo. Problema 6: Para el sistema mostrado: a) Escriba la ecuación diferencial que lo describe
Se duplica el retardador y luego se intercambian los bloques de izquierda y derecha quedando: Ahora es fácil ver que la ecuación es: Ax(n)+Bx(n-)+Cy(n-)=y(n) b) Determine la función de transferencia del sistema o Respuesta en frecuencia. Usando la ecuación diferencial, se coloca como x(n) una exponencial e jθn y sabiendo que la salida es y(n)=x(n)h(jθ ) = e jθn H(jθ ), se despeja H(jθ ) A e jθn +Be jθ(n-) +Ce jθ(n-) H(jθ )= e jθn H(jθ )
H(jθ )= (A +Be -jθ )/(- Ce -jθ ) c) Determine la respuesta impulsiva del sistema Hay que resolver la homogénea; la raíz da real e igual a C. Por lo tanto h(n) podría ser h(n)=kc n u(n) Sin embargo la ecuación en diferencia tiene un término del tipo x(n-): Esto significa que h(n)= K C n u(n)+ K C (n-) u(n-). Al igualar la ecuación en n=0 y en n= resultan K =A y K =B. Finalmente h(n)= AC n u(n)+ BC (n-) u(n-). Problema 7: Sea una señal x(t) que alimenta a un sistema LIT con h(t): x(t) = h(t) = t t t 0 Determine t o para que la salida sea máxima en t=8 seg. Determine el máximo valor que alcanza y(t) SOLUCION: La Convolución de dos pulsos del mismo ancho produce un triángulo. En este caso la Convolución existe t 0 -+= t 0 hasta t 0 ++3= t 0 +4. El centro del triángulo estará entonces en t 0 + y esto al igualarlo a 8 seg. Produce t 0 =6 Problema 8 : Demuestre analíticamente que al conectar dos sistemas LIT en casacada, la respuesta impulsiva equivalente es igual a la convolución de las respuestas impulsivas individuales.
y(n) = k ' = g(n) = k= n k = λ k = n λ k= k= g(n k') = y (k')h x(k') h h (k)h h λ= (n k) = (k k')h (n k) (n λ)h k = k ' = (n k) = ( λ k') = x(k')h g(n k') = k= h x(n) * g(n) k= (k k')h h (k)h (n k)h (n k) = (n k k') (k k') Así re observa que la salida y(n) se consigue convolucionando la entrada con una respuesta impulsiva que es la convolución de las respuestas impulsivas individuales.