0 SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DEL BACHILLERATO CENTRO DE ESTUDIOS DEL BACHILLERATO / LIC. JESUS REYES HEROLES Guía para elaborar el PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE Calculo Dierencial Válido para el periodo de Eámenes etraordinarios de: OCTUBRE-FEBRERO 0-0 IMPORTANTE: ES OBLIGATORIO PRESENTAR ESTA GUÍA CONTESTADA PARA TENER DERECHO A PRESENTAR EL EXAMEN EXTRAORDINARIO. La guía deberá presentarse contestada en un cuaderno proesional cuadro grande. CEB / LIC. JESUS REYES HEROLES Semestre A
PRESENTACIÓN Dentro del marco de la Reorma Educativa en la Educación Básica y Media Superior, la Dirección General del Bachillerato incorporó en su plan de estudios los principios básicos de la Reorma Integral de la Educación Media Superior, RIEMS cuyos propósitos son ortalecer y consolidar la identidad de este nivel educativo, en todas sus modalidades y subsistemas; proporcionar una educación pertinente y relevante al estudiante que le permita establecer una relación entre la escuela y su entorno; y acilitar el tránsito académico del estudiantado entre los subsistemas y las escuelas. Para contribuir al logro de las inalidades anteriores y contribuir al apoyo en el egreso de los estudiantes, la Dirección General del Bachillerato se ha dado a la tarea de llevar a cabo acciones y desarrollar herramientas que incrementen la aprobación en periodos etraordinarios, ortaleciendo, aclarando y desarrollando las competencias establecidas dentro del plan de estudios de la asignatura. A continuación te presentamos la guía de la asignatura de Cálculo Dierencial. Esta asignatura tiene la inalidad de propiciar el desarrollo de la creatividad, el pensamiento lógico y crítico entre el estudiantado, mediante procesos de razonamiento, argumentación y estructuración de ideas que conlleven al despliegue de distintos conocimientos, habilidades, actitudes y valores, en la resolución de problemas matemáticos que en sus aplicaciones trasciendan el ámbito escolar, tal como se establece en las competencias disciplinares etendidas del campo de las matemáticas, La asignatura de CÁLCULO DIFERENCIAL le permite al estudiante contar con una cultura matemática sólida, mediante la cual puede analizar cualitativa y cuantitativamente los dierentes enómenos relacionados con la razón de cambio instantánea y promedio lo que permitirá dar soluciones a problemas del conteto real del estudiante al acilitarle la ormulación de modelos matemáticos de problemas inancieros, económicos, químicos, ecológicos, ísicos y geométricos y la resolución de problemas de optimización. Además, proporciona herramientas para el desarrollo individual y social del individuo. En el Cálculo Dierencial la aplicación de los teoremas esenciales propicia en el alumnado una evolución en sus capacidades de abstracción y razonamiento que con lleva a una madurez matemática, misma que le será de utilidad en sus estudios superiores. La presente guía es una invaluable herramienta elaborada a partir de los objetivos de aprendizaje y desempeños a lograr que maneje el programa de estudios respectivo a la asignatura. Presenta un enoque práctico dividió en bloques, cada bloque contiene problemas resueltos paso a paso, listas de ejercicios propuestos con sus respectivas respuestas para veriicar resultados además presenta una bibliograía con datos de libros y páginas web para que los alumnos puedan aclarar dudas, buscar conceptos o ejercicios de práctica. PROFESOR: JUAN DOMINGUEZ MARTINEZ
COMPETENCIAS A DESARROLLAR COMPETENCIAS GENÉRICAS. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contetos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.. Participa y colabora de manera eectiva en equipos diversos.. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. COMPETENCIAS DISCIPLINARES EXTENDIDAS DEL CAMPO DE MATEMÁTICAS COMPETENCIAS DISCIPLINARIAS. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o ormales BLOQUE I II III IV X X X X. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando dierentes enoques. X X X X. Eplica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos X X X X matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráicos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la inormación y la comunicación. X X X X. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.. Cuantiica, representa y contrasta eperimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades ísicas de los objetos que lo rodean.. Elige un enoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o enómeno y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráicas, mapas, diagramas y tetos con símbolos matemáticos y cientíicos. X X X X X X X X X X PROFESOR: JUAN DOMINGUEZ MARTINEZ
TEMARIO BLOQUE I ARGUMENTAS EL ESTUDIO DEL CÁLCULO MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS MATEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES Objetivos de aprendizaje Evolución del Cálculo HISTORIA Y EVOLUCIÓN DEL CALCULO BLOQUE II. RESUELVES PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL. Objetivos de aprendizaje Los límites: su interpretación en una tabla, en una graica y su aplicación en unciones algebraicas. El cálculo de límites en unciones algebraicas TEOREMAS DE LOS LIMITES Y SUS APLICACIONES LIMITES UNILATERALES LIMITES AL INFINITO FUNCIONES CONTINUAS Y TIPOS DE DISCONTINUIDAD LIMITES Y CONTINUIDAD INTERPRETADOS EN UNA GRAFICA PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LOS LIMITES BLOQUE III. CALCULAS, INTERPRETAS Y ANALIZAS RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES, SOCIALES, ECONÓMICOS y ADMINISTRATIVOS Objetivos de aprendizaje La variación de un enómeno a través del tiempo. La velocidad, la rapidez y la aceleración de un móvil en un periodo de tiempo. DEMOSTRACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA Y NOTACIÓN DE LA DERIVADA FORMULAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS Y SUS APLICACIONES FORMULAS PARA DERIVAR FUNCIONES TRASCENDENTALES Y SUS APLICACIONES REGLA DE LA CADENA Y SUS APLICACIONES BLOQUE IV. CALCULAS E INTERPRETAS MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Objetivos de aprendizaje Producciones, máimos y mínimos. Variaciones en las producciones, máimos y mínimos relativos. APLICACIONES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA. CALCULO DE PUNTOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS, INTERVALOS CRECIENTES Y DECRECIENTES PROFESOR: JUAN DOMINGUEZ MARTINEZ
BLOQUE I ARGUMENTAS EL ESTUDIO DEL CÁLCULO MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS MATEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES Desempeños del estudiante al concluir el bloque Reconoce el campo de estudio del Cálculo Dierencial, destacando su importancia en la solución de modelos matemáticos aplicados a situaciones cotidianas. HISTORIA Y EVOLUCIÓN DEL CÁLCULO Investiga los siguientes temas. Te puedes apoyar en la bibliograía anea al inal de la guía. Mencione el signiicado de la palabra cálculo.. Qué bases dieron origen al cálculo dierencial?. Elabora una línea del tiempo donde muestres a los personajes que contribuyeron al descubrimiento del cálculo. En la cúspide de la pirámide debe estar Newton y Leibniz. Cómo ayudo la geometría analítica el descubrimiento del cálculo?. Por qué crees que el cálculo se considera como las matemáticas en movimiento?. Describa la aportación de GOTTFRIED LEIBNIZ al cálculo dierencial.. Eplique los razonamientos de ISAAC NEWTON sobre el método de las luiones. 8. En sus comienzos el cálculo ue desarrollado para estudiar cuatro problemas cientíicos y matemáticos: 9. Cuál es la dierencia entre los trabajos de Newton y de Leibniz? 0. Por qué consideras tan importante el descubrimiento del cálculo? BLOQUE II. RESUELVES PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL. Desempeños del estudiante al concluir el bloque Aplica el concepto de límite a partir de la resolución de problemas económicos, administrativos, naturales y sociales de la vida cotidiana. Calcula límites a partir de la elaboración de gráicas en derive y su interpretación de las representaciones gráicas de unciones, mostrando habilidades en la resolución de problemas de situaciones cotidianas. Investiga los siguientes temas. Te puedes apoyar en la bibliograía anea al inal de la guía.- Qué es un límite?.- Cuál es la notación para el límite?.- Cuántos tipos de límites eisten?.- A que se le llama ites unilaterales?.- Cuándo un límite eiste? PROFESOR: JUAN DOMINGUEZ MARTINEZ
.-Enlista los teoremas de los ites.- Cuándo una unción es continua 8.- Cuáles son los tipos de discontinuidades que eisten? TEOREMA DE LOS LÍMITES Y SUS APLICACIONES PROBLEMAS RESUELTOS.-Encuentra el ite indicado Paso, Para resolver el ite debes aplicar los teoremas, los cuales de manera resumida indican que para encontrar el ite solo es necesario sustituir en el valor al cual se acerca = +- Paso Realiza las operaciones = +-=+- =.-Encuentra el ite indicado 0 EJERCICIOS PROPUESTOS Encuentra los siguientes ites 0 9 8 0 8 0 9 0 0 PROFESOR: JUAN DOMINGUEZ MARTINEZ
LIMITES UNILATERALES Dependiendo del sentido por el cual se acerque al valor de tenemos el límite por la izquierda y el ite por la derecha Limite por la derecha L Límite por la izquierda L c c Limite de la unción c L PROBLEMAS RESUELTOS Encuentra los límites de izquierda y derecha de las siguientes unciones. Concluye sobre la eistencia del límite y recuerda usar la notación correcta 9.- Paso. Elabora tablas. Una de las tablas debe tener valores para muy cercanos a Valor al que se acerca por la izquierda y la otra tabla valores que se acerquen por la derecha LIMITE POR LA IZQUIERDA LIMITE POR LA DERECHA 9 9 y Y.9..99.0.9999.000.999999.00000 Paso Sustituye los valores de de ambas tablas en la unción para encontrar el valor de y LIMITE POR LA IZQUIERDA LIMITE POR LA DERECHA 9 9 PROFESOR: JUAN DOMINGUEZ MARTINEZ
y Y.9.9.99.99.9999.9999.999999.999999...0.0.000.00.00000.00000 Paso Analiza los resultados, observa que pasa con el valor de y cuando se acerca a. El resultado de los límites unilaterales es el valor al cual se acerca y cuando se acerca a 9 9 Paso Concluye sobre la eistencia del ite. Si el resultado de los ites unilaterales son iguales el ite de la unción eiste 9 9 Por lo tanto 9.- LIMITE POR LA IZQUIERDA LIMITE POR LA DERECHA y X Y.9-0.999-000.99999-00000. 0.00 000.0000 00000.9999999-0000000.000000 0000000 8 PROFESOR: JUAN DOMINGUEZ MARTINEZ
Debido a que los límites unilaterales son ininitos el límite de la unción no eiste No eiste EJERCICIOS PROPUESTOS Encuentra los límites de izquierda y derecha de las siguientes unciones. Concluye sobre la eistencia del límite y recuerda usar la notación correcta 0 0 8 LIMITES AL INFINITO Encuentra el ite al ininito del las siguientes unciones PROBLEMAS RESUELTOS Paso. Observa la unción y ubica la de la mayor potencia X Paso. Divide la de mayor potencia entre todos los términos de la unción = Paso. Como se acerca a un numero muy grande ininito entonces todos los términos divididos entre n son iguales a cero = EJERCICIOS PROPUESTOS Encuentra el ite al ininito del las siguientes unciones 9 PROFESOR: JUAN DOMINGUEZ MARTINEZ
8 FUNCIONES CONTINUAS Y TIPOS DE DISCONTINUIDAD PROBLEMAS RESUELTOS Una unción es continua en a si cumplen las siguientes condiciones a = c donde c es un numero real Eiste a a= a Si una de las condiciones no se cumple, la unción no es continua y puede presentar una discontinuidad de salto, ininita o evitable Indica si la unción es continua en el valor indicado o el tipo de discontinuidad que presenta en = Paso Encontrar 0 Paso Encontrar el ite 0 Paso Analiza los pasos anteriores y revisa y los resultados eisten y si son iguales Los resultados en los pasos son iguales sin embargo el resultado es ininito y por lo tanto no eiste. La unción no es continua en =, presenta una discontinuidad ininita. 0 PROFESOR: JUAN DOMINGUEZ MARTINEZ
EJERCICIOS PROPUESTOS Indica si las unciones son continuas en el valor indicado o el tipo de discontinuidad que presenta cuando = cuando = cuando =- cuando = cuando =0 LÍMITES Y CONTINUIDAD INTERPRETADOS EN UNA GRAFICA PROBLEMAS RESUELTOS A partir de la graica determina los ites e indica la unción es continua o el tipo de discontinuidad que presenta y F= La unción es continua en = por qué? 9 8-9 -8 - - - - - - - 8 9 - - - - - - - -8-9 Para este tipo de problemas no es necesario hacer calculo, se resuelven de manera visual Paso Observa la graica y ubica el valor al cual se acerca, en este caso Paso Ubica las graicas a la izquierda y derecha de ese valor Paso Sigue la graica para cada etremo y observa a que valor se acerca y cuando se acerca a por la izquierda y por la derecha Paso Observa la graica y aplica el teorema sobre la eistencia de los ites y sobre continuidad en una unción PROFESOR: JUAN DOMINGUEZ MARTINEZ
y NOEXISTE F= - La unción es continua en = por qué? NO PORQUE LOS LIMITES UNILATERALES SON DIFERENTES. LA FUNCION PRESENTA UNA DISCONTINUIDAD DE SALTO 9 8-9 -8 - - - - - - - 8 9 - - - - - - - -8-9 Si se aproima a por la izquierda se aproima a, pero si se aproima por la derecha se aproima a -, entonces el ite de la unción no eiste porque sus ites unilaterales son dierentes y automáticamente al no eistir el ite tampoco eiste la continuidad EJERCICIOS PROPUESTOS.- La unción es continua por qué? y 8 - - - - - -8 PROFESOR: JUAN DOMINGUEZ MARTINEZ
.- La unción es continua por qué? 0 9 8 y - 8 -.- La unción es continua por qué?.- y 9 8-8 9 - - =^ La unción es continua por qué? PROFESOR: JUAN DOMINGUEZ MARTINEZ
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LOS LÍMITES Resuelve los siguientes problemas.-se lanza una pelota hacia el aire con una velocidad de 0m/s, su altura en metros después de t segundos se epresa con ht=0t-t Encuentra a Su altura cuando t= segundos h t h b t t y su signiicado.-un grupo de estudiantes de bachillerato encontró que el costo en pesos de einar % de contaminantes del aire arrojados por un complejo industrial, viene modelado por C 000000 00 a Halla el costo de einar 90% de los contaminantes b Halla el ite C cuando 00.-Una pequeña empresa ha encontrado que el costo en pesos de producir artículos es C=00++ En relación con esta ecuación encuentra a El costo de producir 0 artículos b C t C0 0 0 BLOQUE III CALCULAS, INTERPRETAS Y ANALIZAS RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES, SOCIALES, ECONÓMICOS y ADMINISTRATIVOS Desempeños del estudiante al concluir el bloque Calcula e interpreta el valor representativo de un proceso o enómeno económico, social o natural en unción del tiempo, mediante la resolución de problemas del conteto real. Analiza y resuelve problemas matemáticos que modelan razones de cambio para cuantiicar el cambio ísico, químico, biológico, económico, entre otros, después de transcurrido un tiempo. DEMOSTRACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA Y NOTACIÓN DE LA DERIVADA Investiga los siguientes temas. Te puedes apoyar en la bibliograía anea al inal de la guía.- Que es una derivada?.- Cual es la notación de las derivadas? PROFESOR: JUAN DOMINGUEZ MARTINEZ
PROFESOR: JUAN DOMINGUEZ MARTINEZ.- A partir de la demostración geométrica de la derivada, indica cual es la ormula general de la derivada FORMULAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS Y SUS APLICACIONES FORMULARIO PARA DERIVADAS 0 ' C ' ' ' u w w u uw sen cos ' ' ' ' ' w w u u w w u sec ' tan C C ' ' ' u e e u u tan sec ' sec ' n n n ' ' log 9 u u u cot csc ' cot ' n n cn c sen ' cos csc ' csc PROBLEMAS RESUELTOS PASO Aplicar las ormulas básicas de derivación. Recuerda que cuando derivas a todos los eponentes del restas la unidad 0 ' 0 '
PASO Aplicar leyes de los eponentes para cambiar la raíz por su respectiva potencia y cambiar la del denominador al numerador = / PASO Aplicar las ormulas de las derivadas / ' PASO / 8 Simpliicar y aplicar las leyes de los eponentes ' / 8 ' 8 9 8 Paso Aplica la órmula para derivar unciones que tienen como principal operación la multiplicación uw ' u ' w w ' u 9 8 ' 9 8 9 Paso Realiza las operaciones de multiplicación y simpliicación ' 9 8 9 ' 9 9 PROFESOR: JUAN DOMINGUEZ MARTINEZ
PROFESOR: JUAN DOMINGUEZ MARTINEZ EJERCICIOS PROPUESTOS Encuentra la derivada de las siguientes unciones 8 9 8 9 8 8 0 0 8 9 8 8 9 0 FORMULAS PARA DERIVAR FUNCIONES TRASCENDENTALES Y SUS APLICACIONES EJERCICIOS PROPUESTOS Encuentra la derivada de las siguientes unciones sen cos sen cos In e tan sec cos 8 sen cos 9 sen tan 0 REGLA DE LA CADENA Y SUS APLICACIONES La regla de la cadena es un procedimiento utilizado para derivar unciones compuesta. PROBLEMAS RESUELTOS Encuentra la derivada de la unción compuesta
PASO Aplica la regla de la cadena. El eponente principal multiplica al numero uera de paréntesis en este caso es, al eponente se le resta y lo anterior se multiplica por la derivada de los números que se encuentran dentro de los paréntesis ' PAO Multiplicar y si es necesario simpliicar ' 8 9 PASO Aplica las leyes de los eponentes 9 = 9 PASO Aplica la regla de la cadena 9 ' PASO Multiplicar y si es posible simpliicar 8 9 ' PASO Aplicar leyes de los eponentes para que todas las potencias sean positivas 8 ' 9 sen PASO Aplica la regla de la cadena, debes usar las ormulas para derivar unciones trigonométricas ' cos PASO Realizar las multiplicaciones necesarias ' cos 8 PROFESOR: JUAN DOMINGUEZ MARTINEZ
PROBLEMAS PROPUESTOS Aplica la regla de la cadena para encontrar la derivada de las siguientes unciones compuestas 9 0 sen 8 8 9 APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS APLICACIONES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE VELOCIDAD Y ACELERACION.- Una partícula se mueve a lo largo de una recta horizontal de acuerdo con la ecuación de movimiento s=t -t+ donde s se mide en centímetros y t en segundos. Encuentra a La velocidad instantánea en t segundos b El valor de t para una velocidad instantánea igual a cero c Los valores de t en que la velocidad es positiva o negativa d Dibuja la trayectoria de la partícula.- Si se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba a una velocidad de 9 m/seg su distancia s en metros sobre el suelo después de t segundos se epresa por s=t=9t-t Encuentra a La velocidad instantánea del proyectil para t=,t=,t= b La aceleración del proyectil cuando t= y t= c El tiempo en el cual el proyectil alcanza su máima altura d La altura máima del proyectil e El tiempo que tarda el proyectil en llegar al suelo d La velocidad instantánea del proyectil cuando llega al suelo.- Si se arroja una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 0 m/seg, la ecuación de movimiento es s=8t-t ; s es el numero de metros en la distancia de la pelota desde su punto de partida en t segundos y la dirección positiva es hacia arriba. Encuentra a La velocidad instantánea de la pelota para t=,t= b La aceleración del proyectil cuando t= y t= c El tiempo en el cual la pelota alcanza su máima altura 9 PROFESOR: JUAN DOMINGUEZ MARTINEZ
d La altura máima de la pelota e El tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo d La velocidad instantánea de la pelota cuando llega al suelo.- Una partícula se mueve a lo largo de una recta horizontal de acuerdo a la ecuación s=t -t Encuentra a La velocidad instantánea de la partícula a los t segundos b La velocidad instantánea a los t= y t= c La aceleración instantánea de la partícula a los t segundos d La aceleración instantánea a los t= y t= BLOQUE IV CALCULAS E INTERPRETAS MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Desempeños del estudiante al concluir el bloque Calcula máimos y mínimos en unciones algebraicas y trascendentes aplicando métodos algebraicos. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA. CALCULO DE PUNTOS MAXIMOS Y MINIMOS, INTERVALOS CRECIENTES Y DECRECIENTES Investiga que es y cuál es el procedimiento para aplicar el criterio de la primera derivada PROBLEMAS RESUELTOS Aplica el criterio de la primera derivada y para cada unción encuentra lo siguiente a Puntos críticos b Intervalos crecientes y decrecientes c Puntos máimos y/o mínimos d Con los datos anteriores graica la unción =- Pasó Deriva la unción =- Paso Encuentra los puntos críticos igualando la derivada a cero y despejando - =0 =± Paso Con ayuda de los puntos críticos indica cuales son los intervalos en que se divide la unción α-,--,,α+ Paso Elige un numero de cada intervalo llamado k α-,- el numero - 0 PROFESOR: JUAN DOMINGUEZ MARTINEZ
-, el numero 0,α+ el numero Paso Sustituye el numero que elegiste en α-,- el numero - -=-- =- -, el numero 0 0=-0 =,α+ el numero =- =- Paso Aplica el criterio de la primera derivada k >0 Intervalo creciente k <0 Intervalo decreciente α-,- el numero - -=-- =- Intervalo decreciente -, el numero 0 0=-0 = Intervalo creciente,α+ el numero =- =- Intervalo decreciente Paso Sustituye los puntos críticos en para encontrar los máimos y mínimos =- -=--- =-+8=- Punto mínimo -,- =- =-8= Punto máimo, Paso 8 Graica los intervalos ubicando los puntos máimos y/o mínimos y siguiendo la tendencia creciente o decreciente de la graica 8 y, 0 8 - - - - - - - - - -8-0 - - -,- - -8 PROFESOR: JUAN DOMINGUEZ MARTINEZ
a Puntos críticos - y b Intervalos crecientes y decrecientes Crecientes -, Decrecientes α-,-u,α+ c Puntos máimos y/o mínimos Máimo, Mínimo -,- d Con los datos anteriores graica la unción Graica de arriba = - = - Bibliograía Martínez de G., Mayra et al. 009. Cálculo dierencial e integral. Méico: Santillana. Mazón, R. José, M. 99. Cálculo dierencial. Méico: McGraw-Hill. Mora V., Emiliano y del Río F., M. 009. Cálculo dierencial e integral. Ciencias sociales y económicas administrativas. Méico: Santillana. Ortiz C. F. J. 00. Cálculo Dierencial. Méico: Grupo Editorial Patria. Salazar, G., Bahena R. y Vega H., 00. Cálculo Dierencial. Méico: Grupo Editorial Patria. COMPLEMENTARIA: Stewart, James. 00. Cálculo Dierencial e Integral. Méico: CENGAGE Learning. Stewart, James. 00. Cálculo Conceptos y Contetos. Méico: CENGAGE Learning. Larson, R., et al. 00. Cálculo dierencial e integral. Méico: McGraw-Hill. ELECTRÓNICA: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/optimizacion_de_unciones/optimiza cion.htm http://thales.cica.es/rd/recursos/rd9/unidadesdidacticas/9--u-continuidad.html http://www.igueraspacheco.com/lbotella/geom/fractals/ractals.htm#cons http://m.answers.yahoo.com/question/inde?qid=0080000aaxy http://ima.ucv.cl/lianggi/cd%0videos/inde.htm http://www.isica.uson.m/manuales/mecanica/mec-lab0.pd http://www.angelire.com/de/calculus/leibniz.html http://www.google.com.m/libros PROFESOR: JUAN DOMINGUEZ MARTINEZ