TEMA 6: LA RECTA EN EL PLANO

TEMA 6: LA RECTA EN EL PLANO. ECUACIONES DE LA RECTA Una ecta está fomada o infinitos untos del lano. Halla una ecuación de una ecta es enconta una condición que cumlan todos esos untos y sólo ellos. La ecuación de una ecta debe sei aa decinos qué untos del lano están o no están en dicha ecta. Una ecta a a queda deteminada o dos untos, o bien, o un unto y una diección, dada o un ecto V. Todos los ectoes oocionales a V tendán la misma diección, y llamaemos a cualquiea de ellos ecto diecto de la ecta. Sea P x, y ) un unto conocido de la ecta, sea, ) ( ( un ecto diecto y X ( x, un unto cualquiea: qué condición debe cumli X aa esta en la ecta que definen P y V? En la figua se obsea que aa que X esté en la ecta los ectoes V y PX deben se oocionales: PX λv. Como, además OX OP+ PX, se cumliá que: OX OP+ λv, llamada ecuación ectoial de la ecta. Como conocemos las coodenadas: x, ( x, y ) + λ(, ) ( Si desaollamos esta exesión e igualamos comonentes: x x y y + λ + λ, que son las ecuaciones aaméticas de la ecta. Desejando el aámeto λ de cada una de las ecuaciones aaméticas e igualando las exesiones: x x λ x x y y, esta exesión es la ecuación continua de la ecta. y y λ Si en la ecuación continua oeamos y odenamos los téminos: x x y y x y x + y, si llamamos A al coeficiente de x, B al coeficiente de y, y C al témino indeendiente se obtiene una ecuación lineal con dos incógnitas de la foma: Ax + By + C Esta exesión se conoce como ecuación geneal, imlícita o catesiana de la ecta. A C Desejando y en la ecuación anteio: y x, que se uede escibi en la foma y mx + n B B y es la ecuación exlícita de la ecta. /9 IBR-IES LA NÍA

Ejecicios: º) Halla todas las ecuaciones de la ecta que asa o P(,-) y tiene la diección del ecto V (4,5) º) Ecuaciones de la ecta que asa o P(, 3) y Q(5,l). Di si los siguientes untos están en esa ecta: A(,l), B( l, 7), C( 4, ), D(3,7) 3º) Halla la ecuación continua de la ecta que asa o el unto A(3,-4) y que tiene o ecto diecto V (,3) 4º) Dada la ecta (x,(-,5)+λ(,-3), aeigua si los siguientes untos etenecen a ella (5,-4), (3,-), (7,4), (-/3, 4) x + 3t 5º) Da dos untos, un ecto diecto y dibuja cada una de las ectas: a) b) y 3 t c) y 3 d) 4x 3y + e) y 4x 3 f) (x, (,l) + t( 3,). x y + 3. PENDIENTE DE UNA RECTA. ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE En la ecuación exlícita de la ecta hemos obtenido y mx + n, con A m. B Al coeficiente de x en la ecuación exlícita, m, se le llama endiente de la ecta, y, acabamos de e que coincide con. Cuando x se obtiene el unto (,n) que es el unto de la ecta eteneciente al eje de odenadas, de ahí que n eciba el nombe de odenada en el oigen. Recueda que la endiente de una ecta es el aumento o disminución de y o cada unidad de aumento de x. Obseando la figua: ( m a + n) n ma tg α m a a Luego la endiente de la ecta coincide con la tangente del ángulo que ésta foma con la diección ositia del eje OX. Luego: Si m> tgα> <α<9º La ecta es ceciente Si m< tgα< 9º<α<8º La ecta es dececiente Si m tgα La ecta es hoizontal (constante) Si tomamos la ecuación continua de la ecta: x x y y y y ( x x ), como m y y m x ) que se llama ecuación unto-endiente de la ecta (ya que utiliza un unto ( x P x, y ) y la endiente m de la ecta). ( /9 IBR-IES LA NÍA

Ejecicios: 6º) Escibe, en foma exlícita, la ecuación de la ecta que cota al eje de odenadas en y3 y cuya endiente es 7. 7º) Ecuación de la ecta que asa o (,) y tiene endiente / 8º) Pendiente de las siguientes ectas: a) 4x + 3y l b) y x + l c) x y 3 d) y + 3 e) x l f) y x l g) asa o (,) y ( 3,5) 9º) Calcula la endiente y el ángulo de inclinación de las ectas que unen los aes de untos: a) ( 8, 4), (5,9) [45 ] b) (, 3), (4, 7) [35 ] c) (,4), (,) [9 ] º) Ecuación de la ecta que asa o el unto A(, l/3) y tiene la misma endiente que la ecta que asa o P(,l) y Q(3,4) º) Halla el alo de "k" de modo que: a) 3kx + 5y + k ase o (,4) b) 4x ky 7 tenga endiente 3 c) kx y 3k 6, tenga abscisa en el oigen 5 º) Calcula el áea limitada o 3x + y 6, el eje de abscisas, el de odenadas y la odenada coesondiente a x 4. 3. POSICIONES RELATIVAS DE DOS. PARALELISMO Dos ectas, y s, son aalelas si sus endientes, m y m s, son iguales o si los ectoes que deteminan su diección, V y W s, son oocionales. Se escibiá s: s m m s V k Ws Po ejemlo, las ectas : 6x y + 7 y s : ( x, (,4) + λ(,3 ) son aalelas, uesto que: A 6 3 m 3 y m s 3 B Dos ectas en el lano ueden se secantes, aalelas o coincidentes: Secantes Paalelas Coincidentes Un unto en común Ningún unto en común Todos los untos comunes Paa e cuál es la osición elatia de dos ectas, basta con esole el sistema fomado o las dos ecuaciones de dichas ectas. SCD: una solución ectas secantes (el unto de cote es la solución del sistema) SCI: infinitas soluciones ectas coincidentes SI: ningún unto en común ectas aalelas 3/9 IBR-IES LA NÍA

Ejecicios: 3º) Comueba si las ectas : y x + 3 y s : ( x, (,) + k(,4) son aalelas 4º) Estudia la osición elatia de las ectas y s de ecuaciones: x + y a) b) x + 3y + 3 x + y c) x + 4y + x + y x y Si nos fijamos en los coeficientes de las ecuaciones anteioes, obseaemos que no es necesaio esole el sistema aa detemina la osición elatia. Podemos sabe la osición elatia de dos ectas de foma inmediata comaando los coeficientes de la ecuación geneal, y también analizando los ectoes diectoes y las endientes: : Ax + By + C, (, ), endiente m s : A' x + B' y + C', u u, u ), endiente m POSICIONES Paalelas Coincidentes Secantes ( ECUACIÓN VECTORES PENDIENTES GENERAL DIRECTORES Poocionales Iguales A B C u A' B' C' u mm Poocionales Iguales A B C u A' B' C' u mm No oocionales Distintas A B u A' B' u m m *Obsead que con la ecuación geneal se uede detemina exactamente la osición mientas que con los ectoes diectoes o con la endiente, en el caso de se aalelas o coincidentes, necesitaíamos utiliza oto dato más aa deteminalo (nomalmente se utiliza un unto de una ecta y se comueba si etenece a las dos coincidentes- o sólo a una aalelas-) Ejecicios 5º) Posición elatia de los siguientes aes de ectas: x y + 6 5x y + 7 a) b) 3x + 5y x + 4y + 3 c) 5x y + 7 x + 4y 4 x + 3λ 6º) Halla la ecuación geneal de una ecta aalela a : y que asa o A(4,3) y 3 5λ 7º) Halla la ecuación de la ecta que asa o A(,3) y es: x y + a. Paalela a la ecta 3 b. Paalela a 5x+y c. Paalela al eje X d. Paalela al eje Y e. Paalela a la bisectiz del ime cuadante f. Paalela a la bisectiz del segundo cuadante 8º) Halla la ecuación de la ecta aalela a 3x+6y+5 que tenga odenada en el oigen -. 4/9 IBR-IES LA NÍA

9º) Halla la ecuación de la ecta que asa o (-,3) y es aalela al eje de odenadas. º) La ecta que asa o M(,3) y es aalela a y3x+ detemina con los ejes coodenados un tiángulo. Calcula su áea. º) Detemina k aa que las ectas x y+, x y+3, 3x+y k se coten en un mismo unto. [k5, P(,)] º) La ecta :x y cota al eje de odenadas en el unto A y la ecta s:x 3y+6 cota al de abscisas en el unto B. Halla la ecuación de la ecta que asa o el unto de intesección de y s, y es aalela a la que asa o A y B. [x+3y 8] 4. PERPENDICULARIDAD Dos ectas, y s, son eendiculaes si sus ectoes diectoes, V y W s, son otogonales, es deci, si V W. s Vamos a busca una elación ente las endientes de y s: V (, ), W s ( w, w ) ; si V Ws w + w w w (:w. ), el ime miembo es la endiente de y el segundo es el nº ineso y ouesto de la w w endiente de s m Las endientes de dos ectas eendiculaes son inesas y ouestas. m s Ejecicios: 3º) Son las ectas :x+4y+7 y s : ( x, (,4) + λ(,5) eendiculaes? 4º) Halla unas ecuaciones aaméticas de la eendicula tazada desde el unto A(-,5) a la ecta (x,(8,-3)+k(5,). 5º) Ecuación de la ecta eendicula a y 3x+5 que ase o A(-,3) y x 3 6º) Halla la ecuación de la ecta que asa o el unto de intesección de 3x-5y+9, 4x+7y-9, y cumle: a) Pasa o A(-3,-5) [8x-5y-] b) Pasa o B(4,) [x+y-8] c) Es aalela a x+3y-5 [x+3y-3] d) Es eendicula a 4x+5y- [5x-4y+] 7º) Halla la eendicula tazada o el unto (,4) a la ecta que asa o A(,3) y B(5,). [x y+5] 8º) Dos ectas eendiculaes se cotan en el unto Q(, 3). Si un ecto diecto de una de ellas es V (,5), halla la ecuación continua de una y la exlícita de la ota. 9º) Dadas las ectas x+y, x ay+4, halla el alo de a aa que: º) sean aalelas, º) sean eendiculaes. [a-/4, a] + 3 5/9 IBR-IES LA NÍA

5. ÁNGULO FORMADO POR DOS 8º-α α α 8º-α s El ángulo que deteminan dos ectas secantes es el meno de los dos ángulos que deteminan. Paa hallalo, se calcula el ángulo que foman sus ectoes diectoes, tomando el alo absoluto (aa que el coseno sea ositio y, o tanto, el ángulo sea agudo). Si V y W s son los ectoes diectoes de y s: cos α V W V W Ejecicios: x λ x + 3º) Halla el ángulo deteminado o las ectas : y s : y [3,96º] y 3 + 4λ 3º) Calcula el ángulo fomado o y s: x 5 + 7t a ) ( x, (3,5) + α(, 6) s y -+ 3t x + y 3 x 4 y + 5 b ) : s : c) : y 4x s : 5x + 3y 4 5 3º) Las ectas 3x+y, x+ky foman un ángulo de π/3 ad. Calcula el alo de k. 6. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA La distancia ente un unto y una ecta es la mínima de las distancias ente P y un unto cualquiea de la ecta, y se alcanza al taza la eendicula a que asa o P. En esta figua uedes e cómo el segmento PP es el más coto de todos los segmentos que unen P con : d ( ) d( P ). Dicho unto P ecibe el nombe de oyección otogonal de P sobe. Paa calcula esa distancia hay dos ocedimientos: ) Obtene las coodenadas del unto P : d ( ) PP ) Utiliza la fómula d( ) Ax + By A + B + C 6/9 IBR-IES LA NÍA

) Paa calcula la distancia de P a utilizando su oyección otogonal P : a) Calcula la ecta s eendicula a que asa o P. b) Calcula el unto de cote de las ectas y s (P ). c) d ( ) d( P) P P ) Justificación de la fómula Ax + By + C d( ), siendo P(x,y ) y : Ax + By + C A + B Escibimos las comonentes de todos los ectoes que inteienen: V ( B, A) U ( A, B)o se otogonal a V EP ( x a, y b) U EP senα cos(9º α ) U EP d senα EP d EP U EP U EP U EP Luego: d U A( x a) + B( y A + B b) Ax Aa + By Bb, como E(a,b), sus A + B coodenadas deben cumli la ecuación de : Aa + Bb + C C Aa Bb, sustituyendo en la Ax + By + C fómula anteio: d( ) A + B Ax Consideando que la distancia nunca debe se negatia: d( ) + By A + B + C Ejecicios: 33º) Calcula la distancia de P(,) a : 3x + y 5. [ ] x 3 λ 34º) Calcula la distancia de la ecta : al unto de intesección de las y λ ectas s : x + 3y y t : x + y +. [ 4 5 ] 35º) Calcula la longitud de la altua coesondiente al étice A en el tiángulo de étices A(,4), B(7,5) y C(-,-3). [ 5 ] 7/9 IBR-IES LA NÍA

7. DISTANCIA ENTRE DOS Paa calcula la distancia ente dos ectas sólo consideaemos el caso de ectas aalelas, ya que en caso contaio se cotan y su distancia seía ceo. La distancia ente las dos ectas es la longitud del segmento eendicula a ambas. El cálculo de la distancia ente las dos ectas se educe al cálculo de la distancia ente un unto cualquiea de una de ellas a la ota ecta: d(, s) d( P, s) Ejecicios: 36º) Distancia ente las ectas x+y 4, x+y+3.[4,9] 37º) Halla el alo de k en cada caso de foma que: a) (+k)x (3 k)y+4k+4 ase o (,3) [k ] b) kx+(3 k)y+7 su endiente sea 7 [k7/] c) 5x y+3+k, la distancia al unto ( 3,) sea 4 [ 6 y 88] 38º) Halla la distancia del oigen de coodenadas a la ecta que asando o el unto P(,) tiene endiente. [ ] 39º) Calcula el áea del tiángulo cuyos étices son A(-,), B(3,-) y C(,5). [9] 8. MEDIATRIZ. MEDIANA. ALTURA A) Mediatiz de un segmento AB: Recta eendicula al segmento AB o su unto medio. Es el luga geomético de los untos que equidistan de los extemos. Cicuncento: Las tes mediatices de los lados de un tiángulo coinciden en un unto llamado cicuncento. Puesto que equidista de los tes étices, dicho unto es el cento de la cicunfeencia que asa o los tes étices (cicunfeencia cicunscita al tiángulo). B) Mediana de un tiángulo: es la ecta que une cada étice con el unto medio del lado ouesto. Baicento: Las tes medianas de un tiángulo concuen en un unto llamado baicento. Es el cento geomético del tiángulo y sus coodenadas se ueden obtene sumando las coodenadas de los tes étices y diidiendo ente tes. 8/9 IBR-IES LA NÍA

C) Altua de un tiángulo: Es la ecta eendicula a un lado que asa o el étice ouesto (en muchas ocasiones hay que olonga el lado aa aecia la eendiculaidad) Otocento: Las tes altuas de los lados de un tiángulo coinciden en un unto llamado otocento. Ejecicios: 4º) Dado el tiángulo de étices A(,3), B(, ) y C(4, 5), calcula: a) Mediana que asa o B b) Altua que asa o B c) Mediatiz del lado AC y áea del tiángulo. [y/4x-7/4; u ] 4º) La ecta x+3y-6 detemina con los ejes coodenados un segmento AB. Halla la ecuación de la mediatiz de AB. [6x-4y-5] 4º) La ecta x+y9 es mediatiz de un segmento AB, cuyo extemo A es (,). Halla las coodenadas de B. [B(4,5)] 43º) Calcula el cicuncento, baicento y el otocento del tiángulo de étices A(,), B(,), C( 3, ). [O(-/3,8/3), Ci(-/6,-/6), Ba(-/3,-/3)] 44º) Calcula el áea del cículo cicunscito al tiángulo del ejecicio anteio. [5,3 u ] 45º) Halla la ecuación de la ecta que asa o el unto A(l,) y o el simético de B( l,3) esecto al oigen de coodenadas. [xl] 46º) Calcula m y n aa que las ectas de ecuaciones 3x-my, nx+4y5 sean aalelas y la imea ase o (,). [m;n-6] 47º) Halla el alo de k aa que la ecta 3x+ky+ fome un ángulo de 6º con el sentido negatio del eje de abscisas. [k 3 ] 48º) Halla el unto simético A' de A(3,) esecto a la ecta x+y-. [A (3/5,8/5)] 49º) El aalelogamo ABCD tiene los étices A(-,), B(,-), C(3,). Halla las coodenadas de D y su áea. [D(,4), 9] 5º) Las ectas de ecuaciones 3x+4y-, x+y 6 deteminan con los ejes coodenados un cuadiláteo. Calcula su eímeto y su áea. [ + 6 u ; 6 + 5 u ] 5º) El lado desigual de un tiángulo isósceles tiene o extemos A(,. ) y B(4,). El étice C etenece a la ecta x y+8. Detemina C, la longitud de la altua h c y el áea del tiángulo. 5º) Calcula el alo de k aa que las ectas kx+(k-)y+3, (4k-7)x-(k+)y8: 63 a) Sean aalelas y calcula la distancia ente ellas.[ y 7/9; y ] 3 5 74 b) Sean eendiculaes. 53º) Dos lados de un aalelogamo están sobe las ectas : y5x+, s: x+3y+7, y el étice exteio a ellas es P(4,6): a) Ecuaciones de las ectas que contienen a los lados [y5x-4, x+3y-] b) Coodenadas de los étices [(,7), (-3/6,-33/6), (35/6,-49/6)] c) Áea del aalelogamo [9 u ] 54º) Ecuaciones de las ectas aalelas a 8x 5y+34 que distan 3u del unto A(,3) 55º) Calcula el baicento, el otocento y el cicuncento del tiángulo A(-5,6), B(-,-4), C(3,). [Ba(-,4/3), O(7/4,3/), Ci(-9/8,5/4)] 9/9 IBR-IES LA NÍA