262
Ángulos. Ángulos en posición estándar o posición normal. Son aquellos ángulo cuyo lado inicial esta sobre el semi-eje x positivo. Lado terminal Lado inicial Podemos tener ángulos en posición estándar que sean: Positivos: el lado terminal gira en sentido contrario a las manecillas del reloj. 90 180 0 360 270 263
Negativos: el lado terminal gira en igual sentido que las manecillas del reloj. 270 180-360 00 90 Práctica 1. Considere los siguientes gráficos. I- II- III- Cuáles de ellas corresponden a un ángulo en posición estándar? Solo III Solo II Solo II y III Solo I y II 264
2. Considere los siguientes ángulos en posición estándar. I- II- III- De ellos son NEGATIVOS Solo I Solo II Solo I y III Solo III 3. Si el lado terminal de un ángulo en posición normal se ubica en el segundo cuadrante, entonces la medida de ese ángulo es: 4. Un ángulo cuya medida en radianes es I II III IV 13 se ubica en el cuadrante 36 5. La medida de un ángulo ubicado en el segundo cuadrante corresponde a 265
6. En cual cuadrante se ubica el lado terminal de un ángulo de medida -115º? I II III IV 7. En cual cuadrante se ubica el lado terminal de un ángulo de medida 575º? I II III IV 8. El lado terminal de un ángulo en posición estándar se ubica en el segundo cuadrante. Una posible medida de ese ángulo es -315º -195º -105º -85º 9. Analice las siguientes proposiciones I. El lado Terminal de un ángulo cuya medida es el tercer cuadrante. 11 se 12 ubica en II. El lado Terminal de un ángulo cuya medida es ubica en el segundo cuadrante. 11 12 se De ellas, Cuáles son verdaderas? Solo I Solo II Ambas Ninguna 266
10. Considere la siguiente figura. Un posible valor del ángulo destacado es -120º -275º 130º 210º 11. De las figuras, cuál corresponde a un ángulo en posición normal? a) b) c) d) 12. La medida en radianes de un ángulo en posición estándar cuyo lado terminal se ubica en el tercer cuadrante es 120 5 12 11 12 13 12 267
13. Si el par ordenado (-5,3) pertenece al lado terminal de un ángulo en posición estándar, ese lado se ubica en el cuadrante I II III IV 14. Si el lado terminal de un ángulo estándar contiene el punto (-3,-2), entonces el lado terminal pertenece al cuadrante I II III IV 15. Si el par ordenado pertenece al lado final de un angulo en posición estándar, ese lado se ubica en el cuadrante: I II III IV Ángulos Cuadrantales. Un ángulo en posición estándar es cuadrantal si su lado terminal queda ubicado sobre alguno de los semi-ejes coordenados. Por lo que cumple que: o bien en radianes con un número entero. Para determinar si un ángulo es cuadrantal realizaremos los siguientes pasos: 1. Si el ángulo esta dado en grados dividiremos este por 90º, si el resultado es un número entero tenemos un ángulo cuadrantal. 268
2. Si el ángulo esta dado en radianes dividiremos este por, si el resultado es un número entero tenemos un ángulo cuadrantal. 360 180 270 Práctica 16. Cuál medida corresponde a un ángulo cuadrantal? 17. La medida de un ángulo cuadrantal corresponde a: 18. Cuál medida corresponde a un ángulo cuadrantal? 405º 510º -490º -540º 269
19. Cuál medida corresponde a un ángulo cuadrantal? 45º 135º 270º 300º 20. Analice las siguientes representaciones de ángulos. I- II- III- Cuáles de ellas representan ángulos en posición estándar y cuadrantales? Todas Solo I Solo II Ninguna 21. La medida, en radianes, de un ángulo cuadrantal corresponde a 270
22. Cuál medida, en radianes, corresponde a un ángulo cuadrantal? 23. Cuál medida corresponde a un ángulo cuadrantal? 45º 135º 270º 300º 24. Cuál medida corresponde a un ángulo cuadrantal? 405º 510º -490º -540º Ángulos Coterminales. Dos ángulos en posición estándar son coterminales si tienen el mismo lado terminal. Para determinar ángulos coterminales podemos aplicar la relación: con un número entero. Son dos ángulos en posición estándar, que tienen el mismo lado terminal. 110 225 250 135 271
Práctica 25. Si radianes, la medida de un ángulo en coterminal a corresponde a: 26. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de es: 27. Si m =12º, entonces un ángulo coterminal con corresponde a: 28. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de -65 es: 65º 295º -155º -245º 29. Las medidas de un par de ángulos coterminales son: 30º y -30º 330º y 390º 330º y -390º -330º y -390º 272
30. En cual sistema de coordenadas, se representan ángulos coterminales? 31. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de 135º es -405º -135º 855º 45º 32. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de -165 es: -525º 165º -15º 15º 33. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de radianes es 273
34. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de º es: 115º 130º 245º 345º 35. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de corresponde a: 36. Un ángulo coterminal con un ángulo de medida -370º corresponde a: 10º 80º -10º -80º 37. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de 65º es: º 425º 605º º Ángulo de Referencia. Un ángulo de referencia de un ángulo en posición estándar no cuadrantal, es aquel ángulo cuyo lado inicial es el lado terminal del ángulo dado y su lado inicial está en el semieje x positivo o negativo. El ángulo de referencia siempre es agudo y positivo. 274
I CUADRANTE y II CUADRANTE y x x 180º III CUADRANTE y IV CUADRANTE y 360º x x 180º Práctica 38. El ángulo de referencia de un ángulo cuya medida es corresponde a 2 39. De acuerdo con los datos de la figura, la medida del ángulo corresponde a: -75º -105º -165º -195º 275
40. La medida del ángulo de referencia de un ángulo que mide 640 corresponde a: 41. Un ángulo negativo de medida en posición estándar y con el lado terminal en e tercer cuadrante determina un ángulo de referencia de 70º, cuál es el valor en radianes de? 42. El ángulo de referencia de un ángulo de medida 300º corresponde a 30º 60º -30º -60º 43. El ángulo de referencia de un ángulo cuya medida es -280º corresponde a 10º 80º -10º -80º 276
44. La medida de un ángulo de referencia de un ángulo de es º º 30º 60º 45. Un ángulo de medida en posición normal y con el lado Terminal en el segundo cuadrante determina un ángulo de referencia de 30º entonces un valor de es 330º 300º 150º 120º 46. En la figura, es un ángulo en posición normal y determina un ángulo de referencia de 60º, entonces la medida de corresponde a -150º -120º 120º 150º 1-1 1 47. En la figura, es un ángulo en posición normal y determina un ángulo de referencia de 30º, entonces la medida de corresponde a -150º -120º 120º 150º 1-1 1 277
48. El ángulo de referencia de un ángulo cuya medida es 290º corresponde a -70º -20º 70º 20º 49. De acuerdo con los datos de la figura, el valor de es: -327º -323º 327º 303º Medidas de ángulos en radianes y en grados. Para pasar de grados a radianes. Para pasar de radianes a grados. Práctica 50. Un ángulo mide. Cuál es su medida en radianes? 300-278
51. La medida en grados, de un ángulo cuya medida en radianes es, es 15.71 1800 900 450 52. Un ángulo mide 330º. Cuál es su medida en radianes? 11 6 6 11 30 150 53. Un ángulo mide 2º. Cuál es su medida en radianes? 54. La medida en grados, de un ángulo de 4, es 3-60º -120º -240º -480º 279
55. Analice las siguientes proposiciones I- -160 equivale en radianes a 4 9 5 II- 150 equivale en radianes 6 De ellas, Cuáles son verdaderas? Ninguna Ambas Solo II Solo I 56. Un ángulo mide 9 radianes. Cuál es su medida en grados? 10º 20º 80º 100º 57. La medida de un ángulo en radianes es 510º 255º 162º 63º 17 Cuál es la medida en grados? 6 58. La medida de un ángulo en radianes es 3. Cuál es la medida en grados? 280
15 59. La medida de un ángulo en radianes es Cuál es la medida en grados de ese 4 ángulo? 48º 96º 675º 1350º 60. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de 2 es: 3 61. La medida en grados de un ángulo de medida -150º -210º -330º -240º 11 es 6 62. La medida en radianes de un ángulo que mide 144º es 281
63. La medida en grados de un ángulo que mide 4 radianes es: 3 0º 450 0º 17 64. La medida de un ángulo en radianes es Cuál es la medida en grados? 6 510º 255º -162º 63º 65. La medida en grados de un ángulo que mide 9 radianes es: A) 9 B) 20 1620 C) 3240 D) 282
Razones trigonométricas de. CATETO OPUESTO A HIPOTENUSA C CATETO ADYACENTE SENO: la denotamos como, y es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. COSENO: la denotamos como cos, y es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. TANGENTE: la denotamos como tan, y es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente de un triángulo rectángulo. 283
COSECANTE: la denotamos como csc, y es la razón entre el la hipotenusa y cateto opuesto de un triángulo rectángulo. SECANTE: la denotamos como sec, y es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente de un triángulo rectángulo. COTANGENTE: la denotamos como tan, y es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto de un triángulo rectángulo. Para recordar las razones trigonométricas se puede usar las razones trigonométricas se puede usar la frase SOHCAHTOA Si trabajamos con la frase de izquierda a derecha obtendremos las razones básicas, y si lo hacemos de derecha a izquierda obtendremos las razones inversas. 284
El círculo trigonométrico Sentimos -1 1 y Todos x, y ( cos, sen ) x 1 El círculo trigonométrico nos sirve para encontrar el valor de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo especial. Tantas -1 Cosas Vemos que es un círculo cuyo radio es uno. De ahí tenemos las siguientes relaciones. SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Dependiendo del cuadrante podemos determinar el signo de las razones trigonométricas. SON POSITIVAS I cuadrante II cuadrante III Todas las razones IV cuadrante cuadrante seno Tangente coseno cosecante cotangente secante sen y cos x Además debemos saber que se establece la siguiente relación sen tan cos 285
Práctica 66. Si entonces el lado final del angulo se ubica en siguiente cuadrante: I II III IV 67. Si y entonces el lado Terminal de se localiza en el I cuadrante II cuadrante III cuadrante IV cuadrante 68. Si es positivo y es positivo, entonces el ángulo se encuentra en el: IV cuadrante III cuadrante II cuadrante I cuadrante 69. Si es negativo y es positivo, entonces el ángulo se encuentra en el: III cuadrante IV cuadrante II cuadrante I cuadrante 70. la función tangente es negativa en los cuadrantes: A) I y II B) I y III C) II y III D) II y IV 286
71. Para un ángulo en el II cuadrante se cumple que: es positivo y es negativo es negativo y es positivo es positivo y es negativo es positivo y es negativo 72. Para un ángulo en el II cuadrante se cumple que: >0 y >0 <0 y >0 <0 y <0 <0 y >0 73. Según los datos de la figura, el valor de corresponde a 74. De acuerdo con los datos de la figura, se cumpla con certeza que a b a b a 287
75. De acuerdo con los datos de la figura el valor de es 2 2 76. De acuerdo con los datos de la figura, si las coordenadas de P son,, 6 6 entonces el valor de es 77. En la figura, es la medida de un ángulo en posición normal, el cual determina un ángulo de referencia de 60º, entonces el valor de sec corresponde a: A) B) C) D) 288
78. En la figura, es la medida de un ángulo en posición normal, el cual determina un ángulo de referencia de 30º, entonces el valor de csc corresponde a: 79. De acuerdo con los datos de la figura, el valor de cos es -2 80. De acuerdo con los datos de la figura, el valor de cot es 289
81. En la figura, es un ángulo exposición normal y determina un ángulo de referencia de 60º, entonces cos corresponde a 82. De acuerdo con los datos de la figura, si el ángulo cuya medida es determina un ángulo de referencia de 60º entonces el valor de es 83. De acuerdo con los datos de la figura, en el círculo trigonométrico, la medida de OC equivale a A) B) C) D) 290
84. De acuerdo con los datos de la figura, en el círculo trigonométrico, la medida de BC equivale a 85. El lado final de un ángulo de medida colocado en posición estándar, interseca a la circunferencia trigonométrica en, entonces el valor de es: 86. El lado final de un ángulo de medida colocado en posición estándar, interseca a la circunferencia trigonométrica en, entonces el valor de es: 291
87. En la figura es un angulo en posición normal y determina un ángulo de referencia de 20, entonces el valor de es de: 180 200 210 250 y 1-1 1 x 88. Si está en el III cuadrante y = x 1, entonces es igual a -1 1 x 2 1 2 x 1 2 x 1 x 2 1 1 x 2 1 89. Si se sabe que está en el segundo cuadrante y tan =x entonces cos = es igual a x 1 x 1 x 2 1 x 2 1 x 1 1 x 2 292
90. La expresión cot (-248º) es equivalente a t 22º º 2º º 91. El valor de 8 corresponde a 3-92. El valor de º es equivalente a 93. Cuál de las siguientes igualdades es incorrecta? 293