Sucesiones y series numéricas

Capítulo 4 Sucesiones y series numéricas 4.. Sucesiones Una sucesión {s n } es un conjunto ordenado de números {s,s 2,s 3,...,s n,...}. Técnicamente, una sucesión puede considerarse como una aplicación que tiene como dominio el conjunto de los números naturales N, y como recorrido un conjunto numérico (los números reales, por ejemplo). Ejemplo 4.. Las progresiones aritméticas {,2,3,4,,5,...,n,...}, {3,7,,5,...,3 + 4(n ),...} {s,s + d,s + 2d,s + 3d,...,s + (n )d,...} y las progresiones geométricas {2,4,8,6,...,2 n,...}, {r 0,r,r 2,r 3,...,r n,...} son sucesiones reales infinitas. {s,s r,s r 2,s r 3,...,s r n,...} Cauchy y D Alembert rigorizaron el concepto de ite de una sucesión, como sigue. Definición 4.2. Una sucesión {s,s 2,s 3,...,s n,...}. 99

00 CAPÍTULO 4. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS es convergente si existe un número s tal que ɛ > 0 N tal que n N s n s < ɛ. Se dice entonces que s es el ite de la sucesión {s n }, denotándose s = s n. Se admite la notación habitual de ite infinito y menos infinito. Se puede demostrar que el ite, si existe, es único. Ejercicio 4.3. Calcular el ite de la progresión aritmética general y de la progresión geométrica de razón r positiva. El único caso no trivial es cuando r <. Si N > ln ɛ s / ln r entonces n > N tenemos que ɛ s r n < s r N < s r ln ɛ s /ln r = s exp ln r ln s ln r = ɛ y el ite es cero. Este resultado es más fácil de demostrar usando la proposición 4.5. Teorema 4.4. Sean dos sucesiones convergentes {s n } y {t n}, de ites s n = s, t n = t. Entonces los siguientes ites existen, y son iguales a lo indicado: (s n + t n ) = s + t (s n t n ) = s t ) ( sn t n = s t, t n 0, t 0 Es fácil de demostrar la siguiente proposición. Proposición 4.5. Si una sucesión {s n } viene dada por una expresión funcional y si x f (x), entonces s n = f (n) s n = f (x). x Es más, si s n = s y x s f (x) (y s n dom(f )) entonces f (s n) = f ( s n ) = x s f (x) (= f (s) si f es continua).

4.. SUCESIONES 0 Esta proposición, si se puede aplicar, permite utilizar todos los mecanismos disponibles para ites de funciones, en particular la regla de l Hôpital. Ejemplos 4.6. Por aplicación directa de la proposición Otro ite 3n 2 2n + 2n 2 + 4n = 3x 2 2x + x 2x 2 = 3 + 4x 2. ( + n = ( + n) ) x [ ( = exp x ln + )] x x x x = exp = x ln ( ) + x = exp = e x Es interesante observar que el comportamiento de convergencia de una sucesión no varía si cambia un número finito de términos de la sucesión Proposición 4.7. Si dos sucesiones difieren en un número finito de términos, divergen o convergen simultáneamente, y en el último caso hacia el mismo ite. Las sucesiones pueden diverger (no converger) porque su término n-ésimo sea arbitrariamente grande en valor absoluto, o porque no tienden a un valor concreto. Por ejemplo ( s n = ( ) n + ) n no tiende un valor concreto. La siguiente proposición es útil para encontrar ites no calculables de otra manera. Proposición 4.8. Sean dos sucesiones convergentes {s n } y {t n}, tales que s n = L = t n y sea dada una sucesión {u n } acotada entre ambas (a partir de cierto N) s n u n t n, n N. Entonces u n = L.

02 CAPÍTULO 4. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS Ejercicio 4.9. Calcular el ite de s n = n + n. Multiplicando y dividiendo por el conjugado 0 s n < < 0. n + + n n Por el teorema del encaje, el ite es 0. En el ejemplo anterior hemos visto que el ite convierte desigualdades estrictas en no estrictas: s n < t n s n t n. 4... Sucesiones monótonas y de Cauchy Una sucesión es monótona creciente si s n s n+ y monótona decreciente si s n s n+, pudiéndose en ambos casos matizar si la monotonía es n o bien a partir de un cierto N, es decir, n N. Una sucesión está acotada superiormente si existe un número M tal que s n M, n, y acotada inferiormente si existe N tal que N s n, n. Los números M y N se denominan cota superior e inferior, respectivamente, y una sucesión que está acotada tanto inferior como superiormente se denomina sucesión acotada. Teorema 4.0. Una sucesión monótona creciente, acotada superiormente, es convergente. La misma conclusión se puede deducir para sucesiones monótonas decrecientes acotadas inferiormente. La demostración requiere el uso del axioma del supremo de los números reales, e incluso el teorema puede sustituir a dicho axioma, equivaliendo ambas afirmaciones a la propiedad de continuidad de los números reales. 4..2. Sucesiones de Cauchy El siguiente teorema se demuestra utilizando el teorema 4.0. Entendemos por subsucesión un subconjunto de una sucesión, ordenado de acuerdo con el orden prescrito por ésta.

4.. SUCESIONES 03 Teorema 4. (Bolzano-Weierstrass II.). Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente. El teorema suele también enunciarse en términos de puntos de acumulación, para el caso de que la sucesión acotada contiene infinitos puntos distintos. La demostración se realiza probando que tiene que haber al menos una subsucesión monótona creciente, o decreciente. El siguiente concepto es fundamental para estudiar las propiedades básicas de los números reales. Definición 4.2. Una sucesión {s n } se denomina sucesión de Cauchy si ɛ > 0 N tal que n,m N s n s m < ɛ. Teorema 4.3. Una sucesión de números reales es convergente si y solo si es de Cauchy. Que una sucesión convergente es de Cauchy se demuestra fácilmente, ya que ɛ N tal que si n N entonces s n s < ɛ/2, lo cual implica que s n s m = s n s + s s m s n s + s m s < ɛ, n,m N. El problema es demostrar que toda sucesión de Cauchy es convergente. Toda sucesión de Cauchy está acotada, y por ello, según el teorema de Bolzano-Weierstrass, hay una subsucesión s ni convergente. La distancia entre términos s n tiende a cero, con lo que a partir de cierto N, si i s ni = s, se cumplen simultáneamente s n s ni < ɛ/2 (por Cauchy) y s ni s < ɛ/2, y entonces s n s s n s ni + s ni s < ɛ. El teorema 4.3 es de carácter fundamental, y se puede utilizar como axioma para construir los números reales, siendo equivalente al axioma del supremo. Un numero real se define como una clase de sucesiones de Cauchy racionales, siendo dos sucesiones de Cauchy equivalentes si el ite de su diferencia es nulo. Ejemplos 4.4. Dar ejemplos de sucesiones creadas por algoritmos numéricos, como el de la bisección y el algoritmo para calcular raíces cuadradas por iteración. Estudiar convergencia.

04 CAPÍTULO 4. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 4.2. Series Una serie es un tipo de sucesión {s n } en la cual cada término es una suma acumulada (suma parcial) de números de otra sucesión {a n }: Definición 4.5. La suma infinita s n = a + a 2 + + a n = a + a 2 + + a n + n a i. existe, si y solo si la sucesión de sumas parciales s n = n i= a i es convergente. En ese caso se escribe a n = s n i= En el caso convergente, se dice que la serie infinita a n converge, y se usa la palabra serie para remarcar la distinción con la convergencia de la propia sucesión {a n }. Se dice también que esta sucesión es sumable. Hay que avisar, ya desde el principio, de que esta suma infinita no es una simple generalización de una suma finita. No siempre existe y en particular, como veremos, el resultado puede depender del orden de sumación. Ejemplo 4.6. La suma de una progresión geométrica es porque n=0 r n = + r + r 2 + r 3 + = r s n = + r + r 2 + + r n = rn+ r siempre que r < (si no, diverge) Obsérvese que la serie, como en el ejemplo anterior, puede indexarse de formas distintas, no solo con n =,2,... Proposición 4.7. La combinación lineal de series convergentes es convergente, siendo el ite la combinación lineal de los ites: (αa n + βb n ) = α a n + β b n. i=

4.2. SERIES 05 Aplicando a la sucesión de sumas parciales el criterio de Cauchy de convergencia, obtenemos la siguiente proposición. Proposición 4.8 (Caracterización de Cauchy). La sucesión {a n } es sumable si y solo si m, a n+ + a n+2 + + a m = 0, n < m. En particular, cuando m = n + obtenemos una condición necesaria de sumabilidad. Corolario 4.9 (Condición del resto). Si {a n } es sumable, entonces a n = 0. Demostración. También se puede demostrar directamente. Denotemos a la suma con s = s n. Entonces a n = (s n s n ) = s n s n = s s = 0 Esta condición no es suficiente. Ejemplo 4.20. La serie es divergente. n Demostración. El criterio integral ( ver el teorema 4.27 ) Lo demuestra. Existe también una demostración directa. 4.2.. Series de términos positivos Una sucesión no negativa {a n } (es decir, a n 0, n ) es sumable si y solo si el conjunto de sus sumas parciales s n está acotado. Esta propiedad no suele ser fácil de comprobar directamente en una serie dada, pero es el que subyace al siguiente resultado. bastaría que los términos fueran no negativos a partir de cierto N.

06 CAPÍTULO 4. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS Teorema 4.2 (Criterio de comparación de series). Si 0 a n b n n entonces si b n converge, también a n converge, si a n diverge, también b n diverge. La segunda afirmación se obtiene por reducción al absurdo de la primera, que se deduce por acotación y monotonía. Ejemplo 4.22. La serie converge, ya que 2 + sen 3 (n + ) 2 n + n 2 0 2 + sen3 (n + ) 2 n + n 2 3 2 n y esa última es una progresión geométrica de razón /2 (sumable) Hay que observar que no podemos, en principio, determinar el valor exacto de la serie, y que los términos son positivos. El criterio de comparación con una serie geométrica proporciona otro criterio. Teorema 4.23 (Criterio del cociente de d Alembert). Si a n > n, y existe el ite entonces si r < la serie si r > la serie a n+ = r, a n a n converge, a n diverge. Obsérvese que si r = el criterio no decide, y que el orden del cociente es fundamental.

4.2. SERIES 07 Demostración. La demostración consiste en darse cuenta de que a partir de cierto n = N se tiene que a n+ r a n < ɛ, 0 < a n+ < r + ɛ a n Eligiendo ɛ suficientemente pequeña puede encontrarse un s tal que 0 < r + ɛ < s < dándose la recurrencia a n+ s a n donde r < s <. Según ello se puede comparar a n < a N s n con una serie geométrica dominante, de razón s <, y por tanto convergente. Ejemplo 4.24. El criterio del cociente es útil cuando la serie contiene términos con factoriales: n! es convergente, puesto que Incluso n! (n + )! = n = 0. es convergente para todo valor de x, por muy grande que sea, ya que x n n! r n+ n! r n (n + )! = r n = 0. Más potente, pero usualmente de más difícil aplicación que el criterio del cociente, es el criterio de la raíz. Teorema 4.25 (Criterio de la raíz (o de Cauchy)). Si a n 0 n, y existe el ite n an = r, entonces si r < la serie a n converge, si r > la serie a n diverge.

08 CAPÍTULO 4. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS Si r = el criterio no decide. Este criterio suele ser útil si hay una función potencial en los términos de la serie, y se puede demostrar que es más potente que el del cociente (lo incluye) Ejemplo 4.26. La serie es convergente, ya que n=2 (lnn) n n (lnn) n = lnn 0. Pese a la cantidad de criterios desarrollados, no podemos estudiar la convergencia de la serie n p para p >, ya que se puede demostrar que los criterios no deciden (para p la serie diverge por comparación con la armónica) Teorema 4.27 (Criterio integral). Si f (x) es una función positiva y decreciente sobre [, ), la serie y la integral impropia f (n), f (x)dx convergen o divergen simultáneamente. Entonces la serie del ejemplo 4.26 es convergente para p >. Ejercicio 4.28. Estudiar la convergencia de n=2 lnn, n=2 nlnn, n=2 n(lnn) 2 Este criterio nos indica ( como sucedía en la teorái de integrales impropias ) que el siguiente puede ser cierto Teorema 4.29 (Criterio de comparación por paso al ite). Si a n,b n 0 y existe el ite a n = L > 0 b n

4.2. SERIES 09 entonces las series a n, convergen o divergen simultáneamente. b n 4.2.2. Convergencia absoluta y condicional. Reordenación Hemos estudiado con detalle muchos procedimientos de análisis de series con términos no negativos. Todos los procedimientos son válidos para series con términos no positivos, ya que se pueden escribir en función de una serie de términos no negativos: a n = a n. Pasemos a estudiar series con términos de signo arbitrario. Definición 4.30. Dada una serie a n, se dice que converge absolutamente si la serie de valores absolutos a n converge. Como vamos a demostrar, una serie absolutamente convergente es convergente. Teorema 4.3. Toda serie absolutamente convergente es convergente. Demostración. Si implica que a n converge, la caracterización de Cauchy (proposición 4.8) a n+ + + a m = 0. m, La caracterización de Cauchy es una condición necesaria y suficiente, luego la sucesión original {a n } es sumable si Pero esto se sigue de a n+ + + a m = 0. m, a n+ + + a m a n+ + + a m.

0 CAPÍTULO 4. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS El hecho de que la convergencia absoluta sea suficiente para producir la convergencia, permite generalizar las pruebas del cociente y de la raíz a series de términos no necesariamente positivos, utilizando respectivamente los ites a n+ a n y n a n. Podemos, a partir de una serie absolutamente convergente, generar muchas series convergentes poniendo signos al azar en cada término. Pero la convergencia absoluta no es una condición necesaria de convergencia. Veamos el caso de una serie alternada, que es aquél en el que los términos tienen signos alterno. Teorema 4.32 (De Leibniz para series alternadas). Sea una sucesión decreciente de números positivos a a 2 a 3 0 y tendente a cero La serie de signos alternos es convergente. a n = 0 ( ) n+ a n = a a 2 + a 3 a 4 + Es interesante desde el punto de vista práctico estudiar las sumas parciales de una serie de Leibniz. Resulta que. s 2 s 4 s 6, 2. s s 3 s 5, 3. s 2n s 2m+. La afirmación 3 se deduce de que s 2l s 2l+ y que entre un término par s 2n y uno impar s 2m+ podemos encontrar dos términos consecutivos s 2k, s 2k+ con s 2n s 2k s 2k+ s 2m+. Hemos demostrado que las sucesiones de sumas parciales de términos pares e impares son monótonas, y acotadas una por otra. Luego ambas son convergentes, y al ser la distancia entre términos tendente a cero, no pueden tener ites distintos. Es interesante observar que el error absoluto de una serie parcial respecto a la suma final es menor que el módulo del siguiente término a sumar.

4.2. SERIES Ejemplo 4.33. La serie siguiente es convergente ( ) n+ n = s = ln2 pero no absolutamente convergente. Es bastante inútil para calcular ln2, ya que su convergencia es muy lenta: ln2 0.69347 2 + 3 4 + 5 6 + 7 8 + 9 = 879 2520 0.745635 s 0.745635 0.69347 = 0.0524877 < 0 2 + 3 4 + 5 6 + + 99 0.69872 s 0.69872 0.69347 = 0.005025 < 00. Ejemplo 4.34. La siguiente serie es divergente 2 + 2 4 + 3 6 + 4 8 + + n 2n + Obsérvese que la introducción de paréntesis en una serie conduce a una sucesión de sumas parciales que es una subsucesión de la sucesión de sumas parciales de la serie original. Por ello, la serie con paréntesis diverge o converge (al mismo ite) que la serie original. Las series convergentes no absolutamente convergentes se denominan series condicionalmente convergentes. Por qué condicionalmente? Ejemplo 4.35. s = 2 + 3 4 + 5 6 + = ( 2 ) 4 + ( 3 6 ) 8 + ( 5 0 ) 2 + ( 7 4 ) 6 + = 2 4 + 6 8 + 0 2 + 4 6 + = ( 2 2 + 3 4 + 5 6 + 7 8 + ) = 2 s Hemos hecho una reordenación de la serie, y hemos obtenido un resultado distinto! Para la demostración y ampliación de los resultados siguientes, se recomiendan las referencias [, 3].

2 CAPÍTULO 4. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS Teorema 4.36. Si se reordena una serie absolutamente convergente, sigue siendo convergente, con la misma suma. Teorema 4.37. Reordenando una serie condicionalmente convergente, se puede conseguir que la suma sea cualquier número real. 4.2.3. Series telescópicas Dada una serie, hemos visto varios métodos para determinar su carácter convergente o divergente. Sin embargo, averiguar la suma exacta de una serie convergente es una cuestión mucho menos sistematizada, y en la mayoría de los casos inalcanzable. Obsérvese que hasta el momento solo conocemos la suma de la progresión geométrica! Un caso sumable más es el de las denominadas series telescópicas. Proposición 4.38. Una serie a n cuyos términos son la diferencia de dos términos consecutivos de una sucesión: a n = b n+ b n se denomina serie telescópica. Sus sumas parciales son sencillas: n n s n = a i = (b i+ b i ) = b n+ b i= i= y, por lo tanto, su suma se puede calcular como a n = b n b. Osérvese que si a n = b n b n+ = (b n+ b n ) también estamos ante una serie telescópica. Ejemplo 4.39. La series n( + n) = n(2 + n) = 2 ( n ) = n + n + = ( n ) n + 2 = 2 + 4 2 n + 2 = 3 4 Existen muchos casos de series sumables que se obtienen de las denominadas series de Taylor, que son básicamente el tema del capítulo siguiente.