MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL VARIABLES Xij 1. Construcción de modelos de programación lineal con variables Xij. 2. Aplicaciones en finanzas, marketing, producción. 3. Modelos de transporte y transbordo. 4. Problemas de asignación. 1
Modelos de Programación Lineal con variables X ij 1. Construcción de modelos de Programación Lineal con variables Xij Las variables tendrán dos o más atributos. Ampliación a problemas de administración de operaciones: transporte e inventarios. 2
1. Modelos de transporte Modelo de transporte: Determinar plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son: 1. Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino. 2. El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino. Un solo ítem a transportar, por ello, un destino puede recibir su demanda de una o más fuentes. 3
1. Modelos de transporte Objetivo: Determinar la cantidad que se enviará de cada fuente a cada destino Minimizando costo del transporte total. Supuesto básico: Costo del transporte en una ruta es directamente proporcional al número de unidades transportadas. 4
1. Modelos de transporte Los asuntos de transporte, asignación y transbordo pertenecen a una clase especial de problemas de programación lineal llamados problemas de flujo de red. Característica: Planeación de la distribución de bienes y servicios desde Varias localidades de suministro a varias localidades de Demanda. Aplicaciones: 1. Control y diseño de plantas de fabricación, 2. Determinación de territorios de ventas, 3. Localización de centros de distribución y almacenaje. 5
1. Modelos de transporte F1 F2 F3 D1 D2 D3 Fn Dm Plantea que hay ciertas fuentes (F) abastecedoras de determinados destinos (D) receptores, donde hay que transportar cierta cantidad de recursos productivos (naturales, intermedios o finales) desde las fuentes hacia los destinos 6
1. PROBLEMA DE TRANSPORTE Se busca el mínimo costo de operación, para lo cual se requiere considerar los costos unitarios de operación desde cada fuente hacia cada destino.. Mín Z = Cij Xij Cij i j i=1 j=1 Cij : Costo unitario de operación desde la fuente i hasta el destino j Xij : Unidades a asignar desde la fuente i hasta el destino j
Ejemplo 1: Considere una empresa que realiza recarga de extintores en sus tres plantas ubicadas en los distritos de Villa el Salvador, Ate y Ventanilla. Esta empresa cuenta con cuatro centros de distribución ubicados en los distritos de Los Olivos, San Miguel, Surco y Santa Anita. La capacidad de producción (en unidades) de cada una de las plantas, así como los pronósticos de las demandas para los próximos seis meses son los que se indican en los cuadros siguientes: 8
Origen Planta Capacidad de producción (6 meses) 1 Villa El Salvador 5000 2 Ate 6000 3 Ventanilla 2500 Total 13500 Destino Centro de Distribución Pronóstico de demanda (6 meses) 1 Los Olivos 6000 2 San Miguel 4000 3 Surco 2000 4 Santa Anita 1500 Total 13500 9
Costo de transporte unitario (en nuevos soles) desde punto de origen a cada destino: Destino 1 Destino 2 Destino 3 Destino 4 Origen 1 3 2 7 6 Origen 2 7 5 2 3 Origen 3 2 5 4 5 La administración requiere determinar cuánto de la producción debe destinarse a cada centro de distribución al mínimo costo. 10
FORMULACION DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE Sean las variables de decisión: x ij = Cantidad de unidades que se transportarán desde el origen i hasta el destino j. Destino 1 Destino 2 Destino 3 Destino 4 Origen 1 x 11 x 12 x 13 X 14 Origen 2 x 21 x 22 x 23 x 24 Origen 3 x 31 x 32 x 33 x 34 11
Sea la representación gráfica o RED. Nomenclatura: Círculos o Nodos: Representan cada origen y destino Líneas o Arcos: Representan las rutas de embarque posible. Origen Destino 5000 1 2 1 6000 6000 2 x 22 2 4000 2500 3 x 33 3 2000 4 1500 12
La función objetivo es: Min z = 3 x 11 + 2 x 12 + 7 x 13 + 6 x 14 + 7 x 21 + 5 x 22 + 2 x 23 + 3 x 24 + 2 x 31 + 5 x 32 + 4 x 33 + 5 x 34 Restricciones de producción para la planta 1: x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 5000 Restricciones de producción para la planta 2: x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 6000 Restricciones de producción para la planta 3: x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 2500 13
Para los destinos, se dan las siguientes restricciones de abastecimiento: Para el destino 1 debe cumplirse que: x 11 + x 21 + x 31 = 6000 Para el destino 2 debe cumplirse que: x 12 + x 22 + x 32 = 4000 Para el destino 3 debe cumplirse que: x 13 + x 23 + x 33 = 2000 Para el destino 4 debe cumplirse que: x 14 + x 24 + x 34 = 1500 14
2. PROBLEMA DE TRANSBORDO Este problema es una extensión del problema de transporte en el que se agregan nodos intermedios, llamados nodos de transbordo, para representar localizaciones como almacenes. El objetivo del problema de transbordo es determinar cuántas unidades deben embarcarse a lo largo de cada ruta de modo que se satisfaga los requerimientos de todos los destinos con el mínimo costo de transporte posible. 17
Supongamos un problema de transporte con las plantas 1 y 2 (nodos de origen), los almacenes 3 y 4 (nodos de transbordo) y destinos 5, 6, 7 y 8 (nodos de destino). La planta 1 produce 600 unidades y la planta 2 produce 400 unidades. Los destinos consumen 200, 150, 350 y 300 unidades respectivamente. Los costos de transporte por unidad de las plantas 1 y 2 a los almacenes 3 y 4 se muestran en la siguiente tabla: Almacén 3 Almacén 4 Planta 1 2 3 Planta 2 3 1 18
Los costos de transporte por unidad de los almacenes 3 y 4 a los destinos 5, 6 y 7 se muestran en la siguiente tabla: Destino 5 Destino 6 Destino 7 Destino 8 Almacén 3 2 6 3 6 Almacén 4 4 4 6 5 Una representación de red del problema se muestra en la siguiente figura: 19
DIAGRAMA DEL TRANSBORDO 5 200 600 1 2 3 6 6 150 400 2 1 4 6 7 350 8 300 20
Para satisfacer las demandas con el mínimo costo de transporte, definamos las variables de decisión de la siguiente manera: X ij : Cantidad de unidades a trasladar desde el origen i hasta el destino j. Para los nodos de origen: x 13 = unidades transportadas del nodo 1 al nodo 3 x 14 = unidades transportadas del nodo 1 al nodo 4 x 23 = unidades transportadas del nodo 2 al nodo 3 x 24 = unidades transportadas del nodo 2 al nodo 4 21
Para los nodos de transbordo: x 35 = unidades transportadas del nodo 3 al nodo 5 x 36 = unidades transportadas del nodo 3 al nodo 6 x 37 = unidades transportadas del nodo 3 al nodo 7 x 38 = unidades transportadas del nodo 3 al nodo 8 x 45 = unidades transportadas del nodo 4 al nodo 5 x 46 = unidades transportadas del nodo 4 al nodo 6 x 47 = unidades transportadas del nodo 4 al nodo 7 x 48 = unidades transportadas del nodo 4 al nodo 8 22
Nótese que, dada la naturaleza del problema, no tiene sentido definir las siguientes variables: x 12, x 21, x 34, x 43, x 56, x 57, x 78,. etc. La función objetivo es: Min z = 2x 13 + 3x 14 + 3x 23 + 1x 24 + 2x 35 + 6x 36 + 3x 37 + 6x 38 + 4x 45 + 4 x 46 + 6 x 47 + 5 x 48 Las restricciones de los nodos de origen son: x 13 + x 14 600 x 23 + x 24 400 23
Las restricciones de los nodos de transbordo son: x 13 + x 23 = x 35 + x 36 + x 37 + x 38 x 14 + x 24 = x 45 + x 46 + x 47 +x 48 Las restricciones de los nodos de destino son: x 35 + x 45 = 200 x 36 + x 46 = 150 x 37 + x 47 = 350 x 38 + x 48 = 300 24
3. EL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN Se usan cuatro barcos cargueros para transportar bienes de un puerto a otros cuatro puertos (numerados 1, 2, 3 y 4). Se puede usar cualquier barco para hacer cualquiera de los cuatro viajes. Sin embargo, dadas algunas diferencias entre los barcos y las cargas, el costo total de cargar, transporte y descargue de bienes para las distintas combinaciones de barcos y puertos varían mucho. Estos costos se muestran en la siguiente tabla: Barco PUERTO 1 2 3 4 1 5 4 6 7 2 6 6 7 5 3 7 5 7 6 4 5 4 6 6 El objetivo es asignar los barcos a los puertos en una correspondencia uno a uno, de manera que se minimice el costo total de los cuatro barcos. 25
Xij = 0, No asigne el barco i-ésimo ( i = 1, 2, 3 y 4 ) al puerto j-ésimo ( j = 1, 2, 3 y 4 ) Xij = 1, Si asigne el barco i-ésimo ( i = 1, 2, 3 y 4 ) al puerto j-ésimo ( j = 1, 2, 3 y 4 ) Minimice Z = 5X11 + 4X12 + 6X13 + 7X14 + 6X21 + 6X22 + 7X23 + 5X24 + 7X31 + 5X32 + 7X33 + 6X34 + 5X41 + 4X42 + 6X43 + 6X44 S.A: X11 + X12 + X13 + X14 = 1 Restricciones que aseguran X21 + X22 + X23 + X24 = 1 que un solo barco X31 + X32 + X33 + X34 = 1 es asignado a un solo puerto X41 + X42 + X43 + X44 = 1 X11 + X21 + X31 + X41 = 1 Restricciones que aseguran X12 + X22 + X32 + X42 = 1 que un solo puerto X13 + X23 + X33 + X43 = 1 es asignado a un solo barco X14 + X24 + X34 + X44 = 1 Xij 0 ; i = 1,2,3 y 4 ; j = 1,2,3 y 4 26
EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio 1: (Inversión en agroindustria) El administrador del fundo La Ponderosa tiene que decidir acerca de la inversión en dos de sus terrenos. El primer terreno tiene 800 hectáreas de tierra para sembríos y cuenta con 1000 m 3 de agua. El segundo terreno tiene cuenta con una extensión de 1800 hectáreas y dispone de 2400 m 3 de agua. Las alternativas para el cultivo son mangos o paltas. El mango requiere de 6m 3 de agua por hectárea y generan una utilidad de US$ 600 por hectárea; mientras que las paltas requieren de 4m 3 de agua por hectárea y generan US$ 850 por hectárea. Además se ha establecido una cuota máxima (en hectáreas) para cada cultivo: 1600 para el mango y 1200 para la palta. Formular el modelo para determinar cuántas hectáreas de mango y cuantas de palta se deben producir en cada uno de los dos terrenos, a fin de maximizar utilidades. 27
Ejercicio 2: (fabricar o comprar) Un proveedor de autopartes tiene que decidir, con respecto a los productos Alfa y Beta si los produce en sus propios talleres o los adquiere con sus proveedores. Producir una unidad del producto alfa cuesta S/. 1 y comprarlo al proveedor S/. 1,2. Producir una unidad del producto Beta cuenta S/. 1,7 y comprarlo S/. 1,5. Las tasas de producción son de 4 y 5 unidades por hora para Alfa y Beta, respectivamente. Los requerimientos semanales mínimos son de 100 unidades de Alfa y 200 unidades de Beta. Se dispone semanalmente de 40 horas para la producción. No se pueden producir más de 70 unidades de Alfa ni más de 120 unidades de Beta. Los proveedores pueden proveer un máximo de 130 unidades semanales. Formular el modelo para determinar cuántas unidades de cada tipo de producto debe producir y cuantas adquirir de los proveedores. 28
Ejercicio 3: La fábrica de pelotas BALL fabrica mensualmente dos productos diferentes: pelotas de vóley y de fútbol, cuenta con tres talleres ubicados en las zonas 1, 2 y 3. El tiempo requerido (EN MINUTOS) para cada tipo de pelota en cada taller, el costo por hora, así como la cantidad de horas disponibles para el siguiente mes se indican en el cuadro adjunto: Taller Tipo de pelota Tiempo Costo del taller Capacidad Voley Fútbol disponible (soles/hora) (unidades) 1 4 3 200 60 2500 2 5 2 220 48 1800 3 4 2 180 56 3200 Demanda 4800 5100 Considere que las pelotas de vóley tienen un precio de venta de S/. 36 y las de fútbol de S/. 42. Formule el modelo de PL que ayude a optimizar el plan de producción. 29
Ejercicio 4 La empresa POP desea realizar una encuesta con respecto al uso de cierto bronceador que acelera el proceso de bronceado bajo sombra. Para ello han decidido encuestar a jóvenes que encontraron en las playas de Costa Verde y del Sur. El propósito es cumplir con los requerimientos del cliente al menor costo posible. Se entrevistarán al menos 2300 jóvenes. De los entrevistados, por lo menos 1000 deben tener menos de 20 años. Al menos 60% de los entrevistados deben tener entre 20 y 30 años. Finalmente, no más de un 20% del total de entrevistados de la costa verde, tendrán más de 30 años. Los costos unitarios de las encuestas son los siguientes: Playa Edad de los entrevistados Menor de 20 Entre 20 y 30 Mayor de 30 Costa Verde 6 10 6 Sur de Lima 7 10 8 Formule el modelo de PL correspondiente. 28
Ejercicio 5: Una empresa naviera ha recibido un pedido para transportar por lo menos 400 autos y 500 camionetas. El pedido debe ser completado hasta fines de abril. El cliente adicionalmente le ha dado las siguientes indicaciones: La empresa cuenta con tres barcos para el transporte cuales pueden llegar al destino a principios de febrero, mediados de marzo y fines de abril, respectivamente. Cada auto ocupa 12 m 3 mientras que las camionetas ocupan 15 m 3. El primer barco sólo puede acomodar 200 vehículos, mientras que el segundo y tercer barco tienen espacio para 4500 y 6000 m 3, respectivamente. El primer barco sólo puede transportar autos a un costo de US$ 450 cada uno. El segundo barco puede transportar vehículos de los dos tipos a un costo de US$ 35 por m 3, de igual manera el tercer barco puede transportarlos a un costo de US$ 40 por m3. La empresa naviera se ha comprometido a entregar al menos 250 autos y también al menos 200 camionetas hasta mediados de marzo. 29
Ejercicio 6: Problema de Transporte. Una empresa multinacional de motores tiene cuatro plantas de montaje en Sudamérica: Arequipa, Santa Cruz, Antofagasta y Santiago de Chile. Los motores se fabrican en Estados Unidos, y se embarcan en tres puertos: Ilo, Arica y Mejillones. De estos tres puertos se envían los motores a las cuatro plantas en Sudamérica. Los requerimientos en unidades de motores de las cuatro plantas es la siguiente: Planta Cantidad de motores Arequipa 400 Santa Cruz 900 Antofagasta 200 Santiago de Chile 500 Puerto Cantidad de motores disponibles Mejillones 500 Ilo 700 Arica 800
Análisis de Costos Destino Origen Arequipa Santa Cruz Antofagasta Santiago Mejillones 120 130 41 62 Ilo 61 40 100 110 Arica 120 90i 88 42 Considere que la cantidad de unidades enviadas desde Ilo serán al menos la mitad de las unidades enviadas desde Arica. Formule el modelo de PL adecuado