Geometría Elaborado por: Jeff Maynard Guillén Eliminatoria III Mayo, 011
Geometría Definición Un paralelogramo es una figura ABCD con cuatro lados, los segmentos AB, BC, CD y DA tales que los pares de lados opuestos (AB y CD o bien BC y DA) son paralelos e iguales. Si los cuatro lados son iguales (en longitud), el paralelogramo es un rombo Si sus cuatro ángulos son rectos, el paralelogramo es un rectángulo. Un rombo rectángulo es un cuadrado. Proposición Las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente. Es decir sus diagonales se cortan en el punto medio. D C A B Proposición 1. El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y mide la mitad de la longitud del tercer lado.. Una recta que biseca un lado de un triángulo y es paralela a otro lado, también biseca el tercer lado. Proposición 1. Si un lado de un triángulo es mayor que otro, el ángulo opuesto al primer lado es mayor que el ángulo opueso al segmento.. Si un ángulo de un triángulo es mayor que otro, el lado opuesto al primer ángulo es mayor que el lado opueso al segundo. Proposición La suma de las longitudes de dos lados de un triángulo es mayor que la longitud del tercer lado. Definición Un polígono, es una configuración geométrica que encierra una sola región del plano, la cual está limitada por segmentos tales que tres vértices consecutivos nunca son colineales. Áreas Proposición Dos paralelogramos con una misma base tienen la misma área si los lados opuestos a la base común son segmentos de la misma recta.
Definición Al elegir un lado de un triángulo como base, la altura sobre esta base es la perpendicular a ella desde el vértices opuesto. Cada triángulo tiene tres alturas. Proposición El área de un triángulo es la mitad de la longitud de una base por la longitud de su altura sobre la base. Proposición Los puntos medios de un cuadrangulo (polígono de 4 vértices), tomados en orden son vértices de un paralelogramo cuya área es la mitad del área del cuadrangulo dado. Proposición Si dos triángulos tienen iguales alturas, sus áreas son proporcionales a sus bases respectivas. Razones y Semejanza de Triángulos Proposición 1. Si una recta es paralela a un lado de un triángulo y no pasa por el vértice opuesto, entonces divide los otros lados en la misma razón. Es decir el triángulo más pequeño, es semejante al más grande.. Si una recta divide dos lados de un triángulo en la misma razón y no pasa por un vértice, entonces es paralela al tercer lado. Ejercicios de Geometría 1. 1 En un triángulo ABC, sean D, E y F puntos sobre los segmentos y, tales que BD DC = CE EA = AF AB = 1. Sean X, Y, Z los puntos de intersección de BE con CF, CF con AD y AD con BE, respectivamente. Probar que se verifica la igualdad: (XY Z) = (AF Y ) + (BDZ) + (CEX) Nota: (P QR) denota el área del triángulo P QR 1 Ejercicio tomado del Banco de preguntas día 1 III Eliminatoria 006 3
Los triángulos ABD y ADC tienen la misma altura (la altura desde A al lado BC). La razón entre sus áreas es igual a: (ABD) ADC = BD AT DC AT = BD, de donde (ABD) = (ADC). Aquí podemos ver que como sus alturas son igua- DC les, la razón entre sus áreas es proporcional. Un proceso análogo en cada uno de los lados nos lleva a obtener: (BCE) = (BEA) y (CAF ) = (CF B) Sumando miembro a miembro las expresiones (ABD) + (BCE) + (CAF ) = (ADC) + (BEA) + (CF B) ( ) Pero, separando en regiones: (ABD) = (AF Y ) + (BF Y Z) + (BZD) (BCE) = (BZD) + (ZDCX) + (CXE) (CAF ) = (AF Y ) + (AY XE) + (CXE) (ADC) = (AY XE) + (XY Z) + (DZXC) + (CXE) (BEA) = (AF Y ) + (F Y ZB) + (XY Z) + (AY XE) (CF B) = (BF Y Z) + (BDZ) + (XY Z) + (DZXC) Al sustituir en ( ) estas igualdades y eliminar términos comunes a cada lado de la igualdad se llega a 3(XY Z) = 3[(AF Y ) + (BDZ) + (CEX)], que al simplificar por 3 es la igualdad pedida en el problema.. En un triángulo acutángulo ABC, se tiene que m C = 45. Sea Q el pie de la altura correspondiente al vértice B, M el punto medio del lado AB y QM = AM. Considere P en el lado BC tal que P M QM. Probar que P Q P M = Se tienen las igualdades AM = MB = QM. m QBC = 180 90 45 = 45 y m ABQ = 90 A, entonces se tiene que m B = m ABQ + m QBC = (90 A) + 45 = 135 A (1) Por ser el triángulo AMQ isósceles, m AMQ = 180 A, de donde m QMB = A y entonces m P MB = m QMB 90 = A 90 () Ejercicio tomado del Banco de preguntas día III Eliminatoria 006 4
De (1) y () se sigue que: m MP B = 180 m B m P MB = 180 (135 A) (A 90 ) = 135 A (3) De (1) y (3) resulta que el triángulo MP B es isósceles y MP = MB = AM = MQ. Por lo tanto MQP es un triángulo isósceles. Por el teorema de Pitágoras se cumple que P Q = P M + QM = P M, de donde P Q = como se quería P M demostrar. 3. 3 Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B. Sea H el pie de la altura desde B hasta el lado AC. Una paralela al lado AB a través del punto C corta a BH en el punto D. Una paralela a BC a través del punto D corta a AC en E. Probar que las rectas AD y BE son perpendiculares. Este problema se puede resolver aplicando semejanza de triángulos, sin embargo, dado que este tema no es evaluable para este nivel, se resolverá de otra forma: Se tiene que DE AB, pues DE BC, y AH BD, pues BH es la altura de B hasta el lado AC. Por lo tanto DE y AH son alturas del triángulo ABD, así que E es el Ortocentro del triángulo ABD, y BE debe ser altura, por lo que BE AD. blacksquare 4. 4 Sea el ABC acutángulo, cuyo ángulo interno A mide 30 ; D, E los pies de las alturas sobre AB y AC respectivamente; M, N los puntos medios de los lados AB y AC respectivamente; y con O punto de intersección de los segmentos DN y EM. Calcule la medida del DOM 3 Ejercicio tomado del Banco de preguntas día III Eliminatoria 006 4 Ejercicio tomado del Banco de preguntas día 1 III Eliminatoria 010 5
El segmento ME es una mediana del AEB y como este es rectángulo entonces AM = ME, entonces m MEA = m BAC = 30. Así tenemos que m BME = m MEA + m BAC = 60, de forma análoga m ADN = 30. Así tenemos que m DOM = 180 m BME m ADN = 90 A 30 o M N E D B C 5. 5 En la figura el ABCD un trapecio isósceles, tal que BD = 16cm y m BDC = 45. Determine el área del trapecio. A B D C Sean BE y AF alturas del trapecio, entonces m DBE = 45 por lo cual DE = BE, además sabemos que DF = EC. Por otra parte sabemos que a CBD = a BEC + a AF D entonces EC EB DF AF a ABCD = + + F E EB entonces DF EB DF EB a ABCD = + + F E EB entonces a ABCD = DF EB + F E EB entonces a ABCD = EB (DF + F E) entonces a ABCD = EB. 5 Ejercicio tomado del Banco de preguntas día III Eliminatoria 010 6
Pero sabemos que DB = 16 y que DE + EB = 16 = EB = 56 = EB = 18 Así tenemos que a ABCD = 18 7