PARTE 3 PROGRESIÓ GEOMETRICA DEFIICIÓ Es un conjunto ordenado en el cuál cada térino se obtiene ultiplicando al anterior por una cantidad constante llaada razón cociente. Tabién podeos decir que progresión Geoétrica es aquella en la cuál el cociente de dos térinos consecutivos es constante. OTACIÓ El signo de la progresión geoétrica es (:) Adeás entre signo y signo se escribe el signo (:) que se lee: coo x es a. : : 3 : 6 : 12 : 24 Se lee: progresión Geoétrica coo 3 es a 6, es a 12, es a 24.
PROGRESIO CRECIETE Toa este nobre cuando sucesivaente los térinos auentan. : : 2 : 4 : 8 : 16.. PROGRESIO DECRECIETE Toa este nobre cuando sucesivaente los térinos disinuyen. : : 80 : 40 : 20 : 10.. PROGRESIO IFIITA O DIVERGETE Toa este nobre cuando el núero de térinos que la coponen es iliitado. PROGRESIO FIITA O COVERGETE Toa este nobre cuando el núero de térinos liitado. DEDUCCIO DE LA FÓRMULA DEL TÉRMIO EÉSIMO Observe la progresión siguiente: Térinos : : 3 : 6 : 12 : 24.. a = 5 μ
Observe nuevaente la progresión R = 2 : : 3 : 6 : 12 : 24 24 = 3 x 2³ Pero 3 = -1 24 es U 3 es a Dos es R Reeplazando encontraos la regla general de la Progresión Geoétrica. μ = ar -1 OTA Recuerde que en una progresión geoétrica la razón, es decir, R se halla dividiendo los térinos consecutivos. Halla el 6º. térino de: : : 4 : 12 : 36 R = 12 4 = 3 DATOS DEL PROBLEMA: a = 4 R = 3 = 6 μ =? REGLA: μ = a R -1
Reeplazando por los valores queda μ = 4 3 6-1 De donde μ = 4 3 5 Según la Ley Distributiva: μ = 4 (3)² (3)³ μ = 4 x 9 x 27 μ = 972 Probando : : 4 : 12 : 36 : 108 : 324 : 972 Sexto térino PROCEDIMIETO PARA HALLAR EL PRIMER TÉRMIO REGLA Basados en la regla general, se despeja a Procediiento: De donde Organizando a = μ = a R -1 = a Elaboreos el iso ejeplo visto para evitar probar. μ Rμ -1 R -1
Establecer el prier térino de una progresión Geoétrica que consta de 6 térinos, con una razón 3 y cuyo últio térino es 972. Solución Datos del Problea: a =? μ = 972 = 6 R = 3 REGLA: a = Reeplazando ppr valores teneos: a = μ R -1 972 3 6-1 a = 972 3 5 a = a = a = a = 4 972 3 2 x 3 3 972 9 x 27 972 243 PROCEDIMIETO PARA HALLAR LA RAZO
REGLA: De la regla general se despeja R Procediiento: μ = a R -1 De donde Organizando μ a R -1 = = R -1 μ a Sacando Raíz 1 a abos iebros queda: R = 1 R = 1 1 1 μ a μ a ELABOREMOS EL MISMO PROBLEMA VISTO Cuál es la razón de una progresión geoétrica cuyo prier térino es 4, el últio térino es 972 y consta de 6 térinos? DATOS DEL PROBLEMA a = 4 μ = 972 = 6 R =?
REGLA: R = 1 μ a Reeplazando por valores: 972 R = 1 4 R = 1 243 R = 5 243 R = 3 Elaboreos la progresión : : : 4 : 12 : 36 : 108 : 324 : 972 36 x 108 3888 4 x 972 3888 Conclusión En una progresión Geoétrica, el producto de térinos equidistantes a los extreos es igual al producto de extreos.
Observe la progresión: R = 3 : : 4 : 12 : 36 : 108 : 324 : 972 Sua = S = 14 56 μ R = 3 (R 1) = 2 1456 x 2 = 2912 S (R 1) 972 x 3 = 2916 4 = 2912 μ R a Conclusión: S (R -1) = μ R a La sua de los térinos por la razón enos uno, es igual al producto del últio térino ultiplicado por la razón enos el prier térino. PROCEDIMIETO PARA HALLAR LA SUMA DE LOS TÉRMIOS PROCEDIMIETO Se despeja s de la regla vista Hagáoslo S (R 1) = μ R a
μ R a S = R 1 Utiliceos el iso ejeplo visto Regla General de la sua de los térinos de una progresión Geoétrica Creciente Una progresión en la cual μ = 972, R = 3 y a = 4, cuál es la sua de sus térinos? Solución Regla: S = μ R a R 1 Cabiando por valores nos queda: 972 x 3 4 S = 3 1 2916 4 S = 2 2912 S = 2 S = 1456 OTA Recuerde que la progresión usada, es creciente, por tanto, S = μ R a R 1
Es la regla general para hallar la suatoria de los térinos de una progresión creciente. PROCEDIMIETO PARA HALLAR LA SUMA DE LOS TÉRMIOS DE UA PROGRESIÓ DECRECIETE OTA En toda progresión Decreciente, casa nuevo térino tiende a cero. Observe: : : 1 : 1 : 1 : 1 2 4 8 16 1 1 1 1 1 Tiende a cero 2 4 8 16 Por lo tanto sucede lo siguiente: S = Si μ tiende al líite de cero, por ser el últio térino de la progresión, se presentará que: S = Pero el cero anula el producto, por lo tanto quedará: S = μ R a R 1 0 R a R 1 a R 1 Al tener a negativa, dificulta la aplicación. Por tanto aplicaos la característica básica de los fraccionarios. Si uerador y Denoinador, lo ultiplicaos por el iso núero, la fracción no se altera. Multipliqueos nuerado y denoinador por (-1) y nos queda que: (-a) (-1) (R-1) (-1)
S = S = Organizando nos queda: S = a R + 1 a 1 R Regla general de la sua de los térinos en una progresión decreciente. Hallar la sua de la progresión: : : 1 : 1 : 1 : 1. 2 4 8 Datos del problea: a = 1 R = 2 1 De donde a = 1 R = 2 1 Aplicaos la regla: S = a 1 R Reeplazaos por valores: S = 1 1 2 1
S = 1 1 2 = x = 2 1 1 1 2 S = 2
VARIACIOES DEFIICIÓ TEORÍA COMBIATORIA Toan este nobre las distintas agrupaciones que se pueden forar con eleentos de 1 en 1, Monoios; de 2 en 2 Binoios, etc. De odo que cada grupo se diferencie de los deás o en el orden que están colocados (si contienen los isos eleentos) o en alguno de los eleentos. CLASES DE VARIACIOES Las variaciones se dividen en dos clases: Ordinarias y Generales. VARIACIOES ORDIARIAS Toan este nobre cuando en el iso grupo no se repinten los eleentos. VARIACIOES GEERALES Toan este nobre, cuando en el iso grupo se repinten los eleentos. A las variaciones generales se les llaa: Variación con repetición. OTACIÓ: Las letras utilizadas en las variaciones son tres: V = Variación = úero total de eleentos que de dispone para la variación, tabién a le llaaos núero base de la variación. = Cantidad de eleentos que foran cada grupo, tabién se le llaa orden de variación. Uniendo las letras vistas V Se lee: Variación de eleentos ordenados en grupos de eleentos.
2 V Se lee: variación en base 8 y orden 2, en otras palabras 8 variación de ocho eleentos para ordenarlos en grupos de dos. REGLA: V = (-1) (-2) ( n + 1) EXPLICACIO CO EJEMPLOS Establecer cuantos grupos onoios se pueden organizar con los cinco prieros núeros naturales, es decir, con: 1, 2, 3., 4 y 5. 1 V Se lee: Variación de 5 eleentos ordenándolos de uno en 5 uno. SOLUCIÓ 1 V = 1, 2, 3, 4, 5 Organizaos 5 grupos, es iposible ás. 5 unidad Es decir, V = Cuando es la Elaboreos otro ejeplo: Establecer cuantos grupos binarios se pueden establecer con los núeros naturales de 1 al 5 OTACIÓ: V = ( 1) 2 5
DATOS DEL PROBLEMA 1) Establecer grupos ordenados de dos en dos. 2) úero de eleentos cinco. SOLUCIÓ 2 V = 5 (5 1) 5 2 V = 5 4 = 20 El úero de grupos ordenados de 5 dos en dos es 20. Probeos: 12 13 14 15 21 23 24 25 Observe que 31 32 34 35 son 20 41 42 43 45 grupos 51 52 53 54 COCLUSIÓ: 1 V = 5 5 2 V = 5.4 5 3 V = 5.4.3 5 4 V = 5.4.3.2 5 2 V = 5.4.3.2.1. unca puede ser ayor que 5 Lo iso en notación algebraica: V = si = 1 V = (-1) si = 2 V = (-1) (-2) si = 3 V = (-1) (-2). ( + 1)
Cuántos grupos distintos de tres cifras se pueden forar con los núeros del 1 al 8. REGLA: 3 V = (-1) (-2) 8 Pero = 8 Por tanto queda 3 V = 8 (8-1) (8-2) 8 3 V = 8. 7. 6 8 3 V = 336 8 Respuesta: Se pueden forar 336 grupos VARIACIOES CO REPETICIÓ REGLA: El ordenar en la variación pasa a ser exponente de. Variación es V = ( 1) ( 2).. ( + 1) VARIACIÓ CO REPETICIÓ REGLA: R V = Cuántos grupos de tres eleentos con repetición se pueden forar con base en cuatro eleentos?
REGLA: R V = Reeplazando por valores R V = 4 3 = 64 Respuesta: se puede conforar 64 grupos. 3 4 PERMUTACIOES DEFIICIÓ Es ordenación de grupos, que sólo se diferencia un grupo de otro en el orden de los eleentos, porque en todos los grupos entran todos los eleentos. EXPRESIOES QUE SIMBOLIZA PERMUTACIÓ V Se lee: Variación donde el ordenador es igual a la base, es decir, = P Se lee: Perutación de eleentos.! Se lee: Perutación de los eleentos ota:! se lee Factorial. Se lee: Perutación de los eleentos. OTA: Para que no se confunda, recuerde que perutar es elaborar una variación en la cuál el núero de eleentos por grupo es igual al núero de eleentos base. En cuántas foras puede sentarse 5 personas en un lado de una esa. REGLA: P M = P 5 = 5.4.3.2.1 = 120 Se pueden sentar de 120 foras Otra fora de ver fácil las perutaciones es:
El núero de perutaciones no es otra cosa que ultiplicar a por todos los núeros naturales que le suceden hasta llegar a la unidad. En la práctica la regla se da en la siguiente fora: P = ( 1) ( 2) ( 3) 1 Cabiando por valores P 8 = (8-1) (8-2) (8-3) (8-4) (8-5) (8-6) (8-7) P 8 = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320 Respuesta = 40.320 foras Por lo visto se dice que: P =! Se lee: P es igual a factorial, es decir: ultiplicada por todos los naturales que le suceden hasta la unidad. Hallar P 5 = 5! Solución P 5 = 5.4.3.2.1 = 120 P 5 = 120. PERMUTACIOES CIRCULARES Síbolo P Θ Las perutaciones anteriores son consideradas coo grupos alineados. Estos grupos se toan coo (!) Se lee factorial. En este caso se dice que: P M = M! Cuando los grupos se toan en círculo se supone que algunos se repiten y disinuyen su núero, por tanto se toa coo (M-1)!, por tanto se dice que P Θ = (M 1)! De cuántas foras distintas se pueden sentar 5 personas alrededor de una esa? REGLA: P Θ = (M 1)! SOLUCIÓ: P 5 = (5 1) = 4! = 4. 3. 1 = 24 foras.
PERMUTACICOES CO REPETICIÓ Cuando hablaos de perutaciones, hablaos de ordenaiento de conjuntos donde entran todos los eleentos. Pero cuando en esos eleentos dados hay eleentos repetidos, el núero de ordenaientos disinuye proporcionalente al núero de eleentos repetidos. El síbolo de perutaciones con eleentos repetidos es: R P = α, β... λ! α, β... λ Iportante! indica el núero de eleentos a perutar. Cada letra griega escrita en la parte superior indica, en el conjunto a perutar, cuantas veces se encuentra repetido cada eleento. Con las letras de la palabra CALADA, cuántas palabras se pueden forar? OTA: El núero de letras de la palabra son seis la a esta repetida 3 veces. Hagáoslo: R α, β... λ P =! α! Indica el núero de los eleentos = 6 Indica el eleento repetido a = 3 veces. Resolviéndolo R P =! 6.5.4.3.2.1 = α! 3.2. 1 = 720 = 120 palabras 6 Cuántos núeros de 8 cifras se pueden forar con 2 cuatros y 4 cincos?
R P = α,β! α! β! Por qué escribios α y β, porque hay dos eleentos repetidos. En este caso α vale 2 porque cuatro que es un eleento del conjunto, está repetido dos veces y β vale 4 porque cinco que es un eleento del conjunto está repetido 4 veces. Teneos: RP 2, 4 = 8 8! 8.7.6.5.4.3.2.1 = 2!4! 2.1.4.3.2. 1 = 40.320 48 = 840 Respuesta: Se pueden forar 840 núeros de 8 cifras con dos cuatros y cuatro cincos. COMBIACIOES Se llaa cobinación al cociente de dividir las variaciones por la perutación de los eleentos de cada grupo. C Es decir: úero de grupo. C = V P úero total de eleentos Entre 8 personas de cuantas foras podeos forar coités de 4 personas? 4 = 4 Variación = V = 8 7 6 5 8 P = 8 Perutación = P = 4 3 2 1 4
C = V P = 8 7 6 5 = 4 3 2 1 1.680 24 = 70 Foras ÚMEROS COMBIATORIOS Una cobinación tabién se puede presentar y desarrollar a través de los llaados núeros cobinatorios. DEFIICIÓ: úero cobinatorio es una expresión ateática que presenta cuantos grupos cobinatorios pueden conforarse con cierto núero de eleentos. Síbolo C Indica el grupo cobinatorio Indica el úero de eleentos a cobinar
El iso síbolo se acostubra con la presentación siguiente: C = ( 1)( 2) Hasta ( - + 1) =!! =!( )! Iportante! Por definición: 0! = 1 Cero factorial es igual a uno. 0 = 1 Se lee: La cobinatoria sobre cero es igual a uno. = 1 Se lee: La cobinatoria sobre es igual a uno. COCLUSIÓ: En cobinaciones teneos cuatro reglas que indican lo iso. C = C = V = P C = ( 1)( 2) Hasta ( - + 1)! C =!!( )!
Elaboreos un problea aplicando las tres fórulas vistas y coprobeos el resultado. Un barco tiene banderas de 15 naciones, si tiene espacio para desplegar cinco a la vez cuantas cobinaciones puede hacer con las 15? 15 C = 5 foras = V P 15 14 13 12 11 = 5 4 3 2 1 = 3003 ( 1)( 2) Hasta ( - + 1) =! 15 14 13 12 11 5 4 3 2 1 = 3003 Foras = =!!( )! = 3 7 6 15.14.13.12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 5.4.3.2.1.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 1 2 1 = 18.018 6 = 3003 foras COCIETE BIOMIAL A las cobinaciones tabién se les llaa coeficiente binoial, porque son utilizadas para establecer cualquier coeficiente en el desarrollo de la elevación de un binoio a una potencia positiva. (Véase Teoría del Binoio). Liitéonos a elaborar un ejeplo utilizando el triángulo de Pascal coo coprobación, teniendo en cuenta que el coeficiente binoial está dado por: Indica el grado del térino
! =!( )! Indica la posición del térino En el triángulo de Pascal la fila que indica los coeficientes para un binoio de quinto grado son: 1 5 10 10 5 1 Tercer térino Utilizando la cobinatoria, hallar el coeficiente del tercer térino en un Binoio de grado cinco. Desarrollo: 5 2 = 5! 2!(5 2)! = 2 5.4.3.2.1. 2.1.3.2.1 1 = 10 Copárelo con Pascal Conclusión: El coeficiente de cualquier térino del desarrollo de un binoio es la cobinatoria de la cual es el grado del binoio y la posición enos uno del térino.
LOGARITMOS DEFIICIÓ Se llaa logarito de un núero, al exponente de la potencia al cuál se debe ELEVAR otro núero llaado BASE para obtener el núero. Esta palabra fue adoptada por apier, que creó y desarrolló la idea. Viene de dos palabras Griegas: Logos (Razón) y Arithos (úeros), para apier, logarito era la razón del núero. Desde nuestro ángulo debeos irarlo coo: Logarito = Exponente BASE Cualquier núero positivo puede toarse coo base para un sistea de Logaritos, pero los sisteas logaríticos conocidos son: Los logaritos eperianos o aturales de base e = 2.71828182845..en Honor a su fundador apier; y los logaritos vulgares, tabién llaados deciales, porque su base es diez o de Briggs en honor a su fundador. En este tratado usaos los logaritos de Briggs o Base 10. LOGARITMOS DE U ÚMERO Recuerde la idea central. Logarito = exponente. Logaritos de un núero es el exponente al que hay que elevar otro núero llaado base, para obtener el núero. Logarito Base. 10 0 = 1 úero Logarito Base. 10 1 = 10 úero Logarito OTACIÓ Base. 10 2 = 100 úero Logarito
Base 10 0 = 1 úero Observe que uno es el núero cuyo logarito es cero. Se escribe Log 10º 1 = 0 {se lee: logarito del núero uno es cero. Logarito úero 10 2 = 100 {se lee el logarito del nuero 100 es 2. Base GEERALIDADES 1) En todo sistea de logaritos, el logarito de la base es UO La base de los logaritos vulgares es diez por lo tanto, Log. 10 = 1 se lee: Logarito de 10 es uno, porque toda cantidad elevada a exponente uno es igual a la isa Cantidad 2) En todo sistea de logaritos, el logarito de uno es cero, porque toda cantidad elevada a exponente cero es igual a la unidad. Log. 1 = 0 se lee: El logarito de uno es cero. 3) Los núeros enores que uno, tienen logarito negativo, porque toda cantidad enor que la unidad, presenta exponente negativo. 10 0 = De donde log. 1 = 0 10 1 = 10 De donde Log. 10 = 1 10 2 = 100 De donde Log. 100 = 2 10 3 = 1000 De donde Log. 1000 = 3 10-1 = 0.1 De donde Log. 0.1 = -1 10-2 = 0,01 De donde Log. 0,01 = -2
10-3 = 0,001 De donde Log. 0,001 = -3 4) Por lo ya explicado se establece que los núeros ayores que uno poseen logarito poseen logarito positivo ya que el logarito de uno es cero, logarito ayor que uno es ayor que cero (positivo) y Logarito de un núero enor que uno es enor que cero (negativo). 5) Los núeros negativos no tienen logaritos. Porque la base de un sistea de logaritos es positiva. Si se presentara base negativa, los pares darían positivos y los ipares negativos, por tanto, la base de los logaritos es positiva y los núeros negativos no tienen logaritos. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 1) LOGARITMO DE U PRODUCTO REGLA: El logarito de un producto es igual a la sua de los logaritos de los factores. Log(A x B) = Log. A + Log. B Sencillo! Cada logarito representa un núero, representa una potencia. Pero un logarito es un exponente, y para ultiplicar potencias se suan sus exponentes. OTA: Si buscaos el núero que corresponde al logarito sua, vereos que el núero es el resultado del producto. A = 50.000 y B = 6000 Establecer el logarito correspondiente a A y B y el valor que le corresponde al logarito sua. 1) 50000 x 6000 = 300`000.000 Log. A x B= Log. A + Log. B 4.69897 + 3.77815125 = 8.477121254
Log. 300`00.00 = 8.477121254 2) LOGARITMO DE U COCIETE REGLA: El logarito de un cociente es igual al logarito del dividiendo enos el logarito del divisor. Log. B A = Log. A log. B Recuerde que trabajar con Logaritos es trabajar con exponentes. Recuerde que para dividir potencias de igual base, que es el caso que nos ocupa, porque aunque el Logarito de A sea diferente al Logarito de B, la base para abas cantidades es igual, por tanto, para dividir potencias de igual base, se restan sus exponentes que en este caso son sus logaritos. A 0 500.000 y B = 1000 Establecer el logarito correspondiente a B A y el valor que le corresponde al logarito diferencia. DESARROLLO A 500.000 = = 500 B 100 Log B A = Log A - Log B 5.698970-3 = 2.698970 Log. 500 = 2.698970 LOGARITMO DE UA POTECIA REGLA: El logarito de la potencia de un núero es igual al exponente de la potencia ultiplicado por el logarito de dicho núero. El otivo de lo anterior es que irado desde el punto de vista de potencia es coo elevar una potencia a otra potencia.
- Si llaaos b a la base del Logarito - Si llaaos al exponente de la potencia cuya base es A. - Si llaaos x al Logarito de la potencia nos queda que b x = A Elevado abos iebros al exponente de A que es nos queda: (b 2 ) = A A = b X Pero B x = es (Log A) Luego: A = (Log A) Hallar el Logarito de 10 5 REGLA: A = (Log A) A = 10 y = 5 Log. A = (Log A) = 5 x 1 = 5 Buscando el valor que corresponde a Logarito 5, nos queda que es: 100.000 LOGARITMO DE UA RAÍZ REGLA: El logarito de una Raíz es igual al Logarito de la cantidad subradical dividido por el índice de la raíz De lo anterior se desprende que: un Logarito es un exponente por tanto, al hablar de logarito de una Raíz, estaos hablando de la
raíz de una potencia. Sabeos que la raíz de una potencia es igual al cociente de dividir el exponente de la cantidad subradical por el índice de la raíz. Veáoslo: Si laaos b a la base del logarito. Si llaaos x al Logarito de la cantidad subradical. Si llaaos al índice de la raíz Si llaaos A a la cantidad subradical. os queda: A = x b = X Logarito de A Índice de la raíz Pero x es el Logarito de A y nos queda: A = Log Hallar el Logarito de Raíz Cuadrada de 30.000 Elaborando la operación queda: A Log. 30. 000 = Log. 30.000 2 = 4477121255 2 Log. 30. 000 = 2.238560627 ELEMETOS LOGARÍTMICOS Todo logarito se copone de las partes siguientes: 1) CARACTERÍSTICAS Toa este nobre la parte entera del Logarito, su valor está dado por el núero de dígitos del núero enos la unidad. la característica de 1000 es 4 1 = 3
características de 1000 = 3 características de 250 = 3-1 -2 características de 250 = 2 características de 15 = 2-1 = 1 características de 15 = 1 características de 5 = 1 1 = 0 características de 5 = 0 2) MATISA Es la parte decial del logarito que se encuentra en una tabla de logaritos ó a través de la calculadora. El log. 5 es ayor que cero y enor que 1 Porque si la base es diez, teneos que: 10 0 = 1 y 10 1 = 10 Luego el logarito de 5 tiene que ser ayor que cero y enor que 1. Esta cantidad fraccionaria la buscaos en la tabla o la través de la calculadora y estableceos que: Log. 5 = 0. 6 9 9 0 La característica es cero Porque 1 1 = 0 La parte decial se llaa antisa Log 15 es ayor que 1 y enor que 2; a través de la calculadora estableceos que Log 15 = 1. 1 7 6 1 Parte entera = Característica Parte Decial = antisa
OTA: Solo las potencias de diez tienen coo logaritos núeros enteros. EJEMPLO Log. 1000 = 3 Log. 100 = 2 Log. 10000 = 4 IMPORTATE! Si un núero tiene las isas cifras significativas, al auentar o disinuir el núero, el valor de la Mantisa se antiene, solo varia la característica Log. De 2,5 = 0.3979 25 = 1,3979 250 = 2.3979 2500 = 3,3979 OPERACIOES CO LOGARITMOS SUMA SUMA DE LOGARITMOS CO CARACTERÍSTICA POSITIVA REGLA Se aplica la sua de deciales en aritética. EJEMPLO Suar los logaritos 3,53432 y 4,46791 elaborando la operación teneos: 3,53432 4,46791 8,00223
COCLUSIÓ El log. 3,53432 + El log 4,46791 = Log 8,00223 SUMA DE LOGARITMOS CUADO SE PRESETA CARACTERÍSTICAS POSITIVAS Y EGATIVAS REGLA: Se elabora la sua algebraica de los Logaritos, teniendo en cuenta que la Mantisa siepre es positiva. Pero si la característica es negativa, convierte al conjunto en egativo. EJEMPLO Suar los logaritos: 1.75832 5.94125 y 2.08719 Elaborando la operación teneos: 1.75832-5.94125 2.08719-2.09574 SUMA DE LOGARITMOS CUADO SE PRESETA CARACTERÍSTICAS EGATIVAS REGLA Se elabora la sua algebraica de los logaritos teniendo en cuenta que son cantidades negativas. EJEMPLO Suar los logaritos -2,40692 y -1,98425-2.40692
-1.98425-4.39117 SUSTRACCIÓ CUADO ES VIABLE LA RESTA ARITMÉTICA ORMAL EJEMPLO Del Logarito 4,62338 restar 2,88905 Elaborando la operación teneos: 4,62338-2,88905 1,73433 Log. 4,62338 enos Log 2,88905 = Log 1,73433 CUADO SE PRESETA UA SUBSTRACCIÓ ALGEBRAICA OTA Elaborar una substracción algebraica es cabiarle el signo al sustraendo. EJEMPLO Del Log 0,87421 Restar Log. 4,23187, elaborando la operación 0,87421-4,23187-3,35766 Del Log 3,53432 restar el Log. -5,76344
Elaborando la operación teneos: Sustraer es Cabiar el signo Del sustraendo, Coo es -5,76344 se Toa +5,76944 y arroja 3,53432 + 5,76344 = 9,29776 3,53432 +5,76344 9,29776 MULTIPLICACIÓ DE LOGARITMOS IMPORTATE! Un logarito se puede ultiplicar por un núero cualquiera OTA En la ultiplicación se puede presentar que la característica sea positiva o que la característica sea negativa. CUADO LA CARACTERÍSTICA ES POSITIVA REGLA En este caso se elabora una ultiplicación noral de un núero entero por un fraccionario El logarito 3,54406 ultiplicado por 2 Elaborando la operación teneos: 3,54406 X2 7,08812 Log. 3,54406 x 2 = Log 7,08812 Probando la operación: Por tanto: Antilogaritos de 3.54406 = 3.500 El factor 2 es exponente
Log de (3.500) 2 = Log 7,08812 Pero (3.500) 2 = 12.250.000 y Log 12.250.000 = 7.08812 COCLUSIÓ Multiplicar un logarito por un núero es hallar el logarito de la potencia cuya base es el antilogarito y cuyo exponente es el núero. CUADO LA CARACTERÍSTICA ES EGATIVA REGLA Se elabora una ultiplicación de un núero entero por un decial, teniendo en cuenta que el decial es negativo. EJEMPLO Multiplicar el Log 3,54406 x 2 Elaborando la operación teneos. Probando la operación: 3,54406 x2 7.08812 Log. 3.54406 x 2 = 7.08812 Antilogarito de 3.54406 = 0.0002714 El factor 2 es exponente (0.0002714) 2 = 0.000000073 Log de 0.000000073 = 7,08812 DIVISIÓ DE LOGARITMOS Dividir un Logarito por un núero, es hallar la raíz del antilogarito, cuyo índice es el núero.
Se presenta dos casos: 1) Que la característica contenga en fora exacta al divisor. 2) Que la característica no contenga en fora exacta al divisor. CUADO LA CARACTERÍSTICA COTIEE E FORMA EXACTA AL DIVISOR REGLA: Se elabora la división de un núero decial por un entero. EJEMPLO El log 4.56792 dividirlo entre 2 Elaborando la división teneos. 4.5 6 7 9 2 2 0 5 2.28396 1 6 0 7 1 9 1 2 0 Log. 4.56792 2 = log 2.28396 Probando la operación: Antilogarito de 4.56792 = 36.976 Sacando Raíz Cuadrada del antilogarito teneos: 36,976 = 192.29 Log de 192.29 = 2.28396 CUADO LA CARACTERÍSTICA O COTIEE EXACTAMETE AL DIVISOR REGLA
El Logarito se divide por el núero. EJEMPLO Aplicando la regla: COCLUSIÓ Log 4,46576 dividido por 3 Probando la operación: 4,46576 3 = 1,488586 Log. 4.46576 3 = Log 1.488586 Antilogarito de 4.46576 = 29.225.36 Antilogarito de 1.488586 = 30.80 Sacando Raíz Cúbica 3 29.225. 36 = 30.80 CUADO LA CARACTERÍSTICA ES EGATIVA REGLA Se procede coo si fuera positiva pero el cociente se toa negativo: Pero: El Log. -4,46576 3 COCLUSIÓ -4,46576 3 = -1,4885866 4.46576-1.4885866
Probando la operación Antilogarito de Antilogarito de 4.46576 = 0.0000342-1.4885866 = 0.03246 3 0.0000342 = 0.03246 COLOGARITMO Llaaos Cologarito de un núero, al logarito de su inverso: REGLA El cologarito de un núero es el iso logarito del núero pero con signo cabiado. Lo anterior procede de lo siguiente. 1) Recuerde que el inverso de un núero es el iso núero pero con la unidad coo uerador. El inverso de 5 es 5 1 2) Recuerde que para dividir potencias de igual base, se restan sus exponentes. a s a 3 = a 5-3 = a 2 3) Recuerde que para el Logarito de uno es cero.
Deducción ateática Si llaaos x a un núero cualquiera, teneos que: Colog. x = Log x 1 = Log 1 Log.x = 0 Log. X = - Log. x Conclusión: Colog. X = - Log. X De lo anterior se puede establecer que Log. b a = Log a + colog b Establecer el Cologarito de 3.420. Desarrollo: Log. 3420 = 3.534026106 Colog. 3420 = -3.534026106 SOLUCIÓ DE ECUACIOES EXPOECIALES A TRAVÉS DE LOGARITMOS DEFIICIÓ Ecuación exponencial es un caso especial de las ecuaciones en la cuál la incógnita o valor a buscar, es el exponente de una cantidad. OTA: Para desarrollar esta clase de ecuaciones se aplica la regla para hallar el Logarito de una potencia Recuerde que: Ejeplo: Resolver Log A = (Log A) 5 x = 125
Pero: Log. A = Log. 125 porque A = 125 y (Log A = x (Log. 5) Y nos queda que: X ( Log 5) = Log 125 Log 125 2.0969100 X = = = 3 Log 5 0.69870 x = 3 Probando: 5 3 = 125 Resolver: 7 2x+1 = 16.807 2x +1 (Log. 7) = Log. 16807 2x + 1 = Log 16.807 Log.7 2x = Log 16.807 Log.7-1 x = Log 16.807 Log.7 2-1
4.2254902 x = 0.84509804-1 2 5-1 4 x = = = 2 2 2 X = 2 Conclusión: 7 2x2+1 = 16.807 7 5 = 16.807 APLICACIÓ DE LOGARITMOS A LA FORMULA DEL UMERO DE TÉRMIOS DE UA PROGRESIÓ GEOMÉTRICA FORMULA GEERAL U = a R -1 Vaos a buscar porque ya sabeos solucionar una ecuación exponencial. Recuerde dos cosas: Logaritos de un producto y Logarito de una potencia. Logarito de un producto: es igual a la sua de los logaritos de los factores. Logarito de una potencia: es igual al exponente ultiplicado por el logarito de la base. Elaboraos el desarrollo basado e las dos reglas vistas.
U = A R -1 Log. U = Log. A + (-1) Log R Observe que es el logarito de una potencia Log U Log A = ( 1) Log R. Log U Log A Log. R Log U Log A Log. R = 1 + 1 = Log U Log A = + 1 Log. R Cuántos térinos tiene una progresión geoétrica cuyo datos son los siguientes: Prier térino es 54 Últio térino es 2560 La razón es dos. Es decir : : 5 : 10 : 20. 2.560 REGLA: Log U Log A = + 1 Log. R Reeplazando por valores
Log 2560 Log 5 = + 1 Log. 2 = 3.410822399965 0.69897004 + 1 0.301029995 2.709253992 = + 1 0.301029995 Conclusión: 2560 = 5 x 2 10-1 = 9 + 1 = 10 LOGARITMO EPERIAO O ATURAL Generalente se utilizan en Mateáticas Superiores, la diferencia con los logaritos deciales es que: En los logaritos deciales la base es diez, ientras que en los logaritos naturales la base es e = 2.7182818284 El procediiento para hallar el Logarito de un núero es siilar cualquiera sea la base. Iportante! a) Si se busca el logarito decial se escribe el núero en la calculadora y se oprie la tecla Log. El resultado en la pantalla es el logarito decial. a) Si se busca el logarito natural se escribe el núero en la calculadora y se oprie la tecla L El resultado en la pantalla es el logarito natural, que desde luego no es igual al decial.
Log. 500 = 2.698970004 L 500 = 6.2146308098 COVERSIÓ DE LOGARITMO DECIMAL A LOGARITMO ATURAL Módulo de conversión: 2.302585 REGLA: Para pasar un logarito decial a logarito natural, el logarito decial se ultiplica por el ódulo de conversión cuyo síbolo es M Pasarlo a L Log. 500 = 2.698970004 L = Log M Pero: M = 2.302585 L 500 = Log 500 x 2.302585 Pero: Log 500 = 2.698970004 L 500 = 2.698970004 x 2.302585 L 500 = 6.21460784 Conclusión: L = Log M
COVERSIÓ DE LOGARITMO ATURAL A LOGARITMO DECIMAL Módulo de conversión M = 0.434294 REGLA: Para pasar un Logarito atural a un logarito Decial, el logarito natural, se ultiplica por el factor de conversión M = 0.434294 L 500 = 621460784 Pasarlo a Logarito decial: Log 500 = 6.21460784 M Log 500 = 6.21460784 x 0.434294 Log 500 = 2698966897 Conclusión: Log = L M