. CONCEPTO DE FUNCIÓN TEMA 7 : Observa los siguientes ejemplos: El precio de una llamada telefónica depende de su duración. El espacio que recorre un móvil con movimiento uniforme depende del tiempo invertido. La fuerza con que se atraen dos masas depende de la distancia entre sus centros. En estos ejemplos, la epresión depende de puede cambiarse por es función de. Llamamos función f del conjunto A en el conjunto B a una relación de dependencia en la que a cada elemento (variable independiente) de A le corresponde un único elemento y (variable dependiente) de B. Se simboliza: f : A B y Al conjunto A se le llama conjunto inicial y al conjunto B conjunto final. Si al elemento de A le corresponde el elemento y de B, decimos que y es la imagen de, o que es una antiimagen de y. En la siguiente figura se representa una función mediante diagramas de conjuntos: Observa que todos los elementos de A tienen una única imagen, pero que no todos los elementos de B han de tener antiimagen, ni ésta ha de ser única Sin embargo, los siguientes diagramas no representan funciones: Ejercicio: Justifica por qué los diagramas anteriores no representan funciones. Si tanto A como B son conjuntos de números reales, la función f se llama función real de variable real. En ocasiones, una función se puede epresar mediante una fórmula que permite calcular las imágenes de los elementos del conjunto inicial y las antiimágenes de los elementos del conjunto final. Por ejemplo, si consideramos la función que a cada número real,, le asigna su triple, podemos f : R R escribir:, o más abreviadamente:. Esta fórmula se denomina epresión analítica de f. / IBR IES LA NÍA
º) Epresa mediante una función: a) Asignar a cada número real el cuadrado de dicho número. b) El coste de una llamada telefónica, si el establecimiento de llamada es de 0 y la tarifa por minuto, de 0. c) Asignar a un nº el cuadrado del perímetro del triángulo equilátero que tiene por lado dicho número. d) El área de un cuadrado en función de su diagonal. e) La suma de las longitudes de un lado de un triángulo y su altura correspondiente es 0cm. Epresa su área en función de la altura e indica su dominio. º) Considera las siguientes funciones y calcula las imágenes de - y, y las antiimágenes de -5 y 5 por cada una de ellas: a) b) + c) 5 d). DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN En general, en la epresión de una función no se suele indicar ni el conjunto inicial, A, ni el conjunto final, B. Estos conjuntos suelen determinarse según el tipo de función y la forma en que se eprese. Por ejemplo, en la función real de variable real no se puede sustituir por 0, o en la función g ( ) + tampoco. Así pues, 0 no puede estar en el conjunto inicial o dominio de ninguna de estas funciones. En una función real de variable real, f (), el dominio es el subconjunto de números reales que tienen imagen por f. El recorrido o imagen de f () es el conjunto de valores que son imágenes de los elementos del dominio. En el ejemplo anterior, la función g () sólo tiene imágenes positivas o cero, por tanto sólo Re c ( g) 0,+ pertenecerán al recorrido los números mayores o iguales que 0: [ ) Cuando una función está epresada con su gráfica, determinar su dominio es observar el conjunto de valores reales del eje de abscisas que tienen imagen. Un procedimiento visual consiste en proyectar la gráfica sobre el eje de abscisas; en este D ( f ), 5, +. caso ] ] ] [ Para el recorrido haríamos un procedimiento similar pero proyectando sobre el eje de ordenadas; en este caso Rec ( f ), ] ] / IBR IES LA NÍA
Ojo!: No todas las gráficas representan funciones; debemos comprobar que todos los valores de tienen una sola imagen: Estas dos gráficas sí representan funciones, ya que si levantamos verticales en cada valor de sólo cortamos la gráfica una vez Sin embargo, las dos siguientes no corresponden a funciones pues hay elementos de que tienen más de una imagen Cuando una función viene dada por su epresión analítica: o Si es una función polinómica tiene por dominio todo R, al estar siempre definidas las operaciones suma, multiplicación y potencia de números reales. o Si es una función racional, es decir, su epresión es el cociente de dos polinomios, el dominio está formado por todos los números reales que no anulan el denominador. o Si es una función irracional, es decir, presenta un radical que contiene a la variable independiente, depende de que el índice de la raíz sea par o impar. Si es par el dominio son los valores de que hacen el radicando positivo o nulo. Si es impar, no hay ninguna restricción por parte de la raíz. º) Sea f la función representada en la figura. Halla: a. La imagen por f de 0, y b. Las antiimágenes por f de y e y c. La epresión analítica de f(). / IBR IES LA NÍA
4º) Indica cuáles de las siguientes gráficas corresponden a una función. Justifica la respuesta: 5º) En la figura se representa la función f : a) Indica su dominio y su recorrido. b) Halla la imagen de -, - y c) Halla la antiimagen o antiimágenes de - y 0. 6º) Indica el dominio y el recorrido de las siguientes funciones a partir de su gráfica: 7º) Halla el dominio y el recorrido de las siguientes funciones: a. + b. d. c. + + 4 8º) A partir de las gráficas, halla: 4/ IBR IES LA NÍA
a) El dominio y el recorrido de las funciones. b) f (), f (6), f (7), f ( ), f ( 9 ), f (0), f (), f ( ) c) g ( 4), g ( ), g (0), g (), g ( ), g (0) d) h ( 5), h ( ), h ( ), h (0), h (), h (5), h ( ), h ( ), h () 9º) Halla el dominio de las siguientes funciones: a. b. + + c. 5 + + d. + e. 6 + f. + g. 9 h. + 9 i. 5 j. 6 + 8 k. + 4 l. + + m. + + 4 n. + 0º) Calcula el recorrido de las siguientes funciones: a. b. o. 4 + p. 4 + q. r. + 5 6 s. 4 + 6 t. 4 4 4 u. + 4 + 8 v. w. c. + d. 5 + 4 + 4. DEFINIDAS A TROZOS Una función definida a trozos (o definida por intervalos) es aquella que tiene varias epresiones analíticas diferentes, dependiendo del valor de la variable independiente. 5/ IBR IES LA NÍA
si Así, la función dada por: si < < o bien si una función definida en tres trozos. ], ] ], [ [, + [ si si es si Para calcular la imagen de un elemento observamos a qué intervalo pertenece y lo sustituimos en la epresión analítica correspondiente a dicho intervalo. Por ejemplo: Si 4, sustituimos en. Así f ( 4) Si, la imagen no está definida, ya que - no pertenece a ningún intervalo de definición de la función. Si 0' 5, sustituimos en. Así f ( 0'5) Si, sustituimos en. Así f ( ) Puesto que las epresiones que definen cada uno de los trozos tienen sentido para cualquier número real, el dominio está formado por la unión de los intervalos dados en la definición de la función. D ( f ) ], ] ], [ [, + [ ], ] ], + [ Si observamos la gráfica de la función vemos que su recorrido es: Rec ( f ) [, + [ º) Representa gráficamente las siguientes funciones e indica el dominio y el recorrido de cada una de ellas: a. b. c. + + 0 < 4 4 4 < < 6 < 0 < 0 > 0 º) Halla el dominio de las siguientes funciones: a. 6 < 0 d. e. b. 0 + < 0 0 > + < < < 4 5 0 < < < < 5 > 5 6/ IBR IES LA NÍA
< + 5 c. < 4 > º) En el recibo del agua de un municipio se cobra una cuota fija de 4. Los primeros 50 m consumidos se pagan a 0 /m y, a partir de ahí, el precio es de 0 5 /m. Determina la función que permite conocer el importe de la factura según los metros cúbicos de agua consumidos. 4º) Calcula la epresión analítica de la función representada en la gráfica e indica su dominio y su recorrido: 5º) Epresa la función valor absoluto de, como una función a trozos. 6º) Representa gráficamente las siguientes funciones e indica su dominio y su recorrido: a) + b) 4. CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN 4. PERIODICIDAD: Considera la función representada en la figura. Las imágenes de -,0,,4,. coinciden. También coinciden las imágenes de -,-,,,. De hecho la imagen de cualquier número real coincide con la de +, +4,.Decimos que esta función es periódica, con período fundamental. Una función f es periódica de período T si cumple que: f()f(+t) Desde el punto de vista gráfico, son funciones que se repiten cada cierto intervalo de amplitud T. Ejemplo: Aquí tienes las gráficas de dos funciones periódicas. Indica su período fundamental 7/ IBR IES LA NÍA
4. ACOTACIÓN Observa de nuevo la primera gráfica del apartado anterior.la función está acotada porque las imágenes están comprendidas entre y 0. Su representación gráfica está comprendida entre dos rectas horizontales de la forma y k. Una función está acotada superiormente si eiste un número real, k, tal que k para cualquier D( f ). El número k es una cota superior de la función. Una función está acotada inferiormente si eiste un número real, k, tal que k para cualquier D( f ). El número k es una cota inferior de la función. Si la función está acotada superior e inferiormente, decimos que está acotada. 7º) Indica cuáles de la funciones del ejercicio 6 de la página 4 son: a. Periódicas y averigua su período fundamental. b. Acotadas y determina una cota superior y una cota inferior. 8º) Estudia la acotación de las funciones del ejercicio 6 de la página 4 y de la siguiente: 4. SIMETRÍAS Considera la función f representada en la figura. Cualquier número real que consideremos y su opuesto tienen la misma imagen. Decimos que la función es par y la gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas. Una función es par si verifica f( )f() En esta otra gráfica cualquier número real que consideremos y su opuesto tienen imágenes opuestas. Decimos que la función es impar y su gráfica es simétrica respecto al origen. Una función es impar si verifica f( ) f() 9º) Estudia la simetría de las funciones dadas por las siguientes gráficas: 8/ IBR IES LA NÍA
0º) Estudia la simetría de las funciones del ejercicio 6 página 4. º) Completa, si es posible, la gráfica de las siguientes funciones para que f() sea una función a) par b) impar º) Estudia la simetría de las siguientes funciones: +,. 4,,, 4.4 SIGNO DE UNA FUNCIÓN Determinar el signo de una función es hallar para qué valores de es f()>0 y f()<0. Para estudiar este signo deberemos resolver una inecuación. Si disponemos de la gráfica de la función estudiar el signo equivale a determinar los intervalos en que está por encima o por debajo del eje de abscisas. 9/ IBR IES LA NÍA
º) Estudia el signo de las funciones cuya gráfica está representada en el ejercicio 8 de la página 4. 4º) Determina los intervalos de signo constante de la siguientes funciones: a. + 6 b. + c. d. Todas las funciones del ejercicio. 4.5 MONOTONÍA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Se dice que f es creciente en un intervalo si dados dos puntos cualesquiera y de dicho intervalo se verifica que si < entonces f ( ) f ( ). Se dice que f es decreciente en un intervalo si dados dos puntos cualesquiera y de dicho intervalo se verifica que si < entonces f ) f ( ). ( Una función tiene un máimo relativo en si eiste un intervalo que contiene a, tal que f ( ) en dicho intervalo. Una función tiene un mínimo relativo en si eiste un intervalo que contiene a, tal que f ( ) en dicho intervalo. 5º) Las gráficas de las funciones, +, + son: a) Da los intervalos de monotonía de las tres. b) Estudia los etremos relativos y absolutos. 6º) Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos de: 7º) Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de + 7,, + 0/ IBR IES LA NÍA
5. OPERACIONES CON Dadas dos funciones reales de variable real f y g se definen las operaciones adición, sustracción, multiplicación y división de la siguiente forma: Adición: ( f + g)( ) + g( ) Sustracción: ( f g)( ) g( ) Multiplicación: ( f g)( ) g( ) División: ( f : g)( ) g( ) Estas funciones están definidas cuando pertenece al dominio de f y g simultáneamente. En el caso del cociente además se debe cumplir que g ( ) 0. Ejercicio: 8º) Dadas las funciones diferencia de ellas., g ( ), calcula la función suma f + g, la función f f g, la función producto f g y la función cociente, y halla el dominio de cada una g 6. COMPOSICIÓN DE En el conjunto de las funciones reales de variable real podemos definir otra operación, absolutamente diferente a las anteriores, llamada composición de funciones. Si f y g son dos funciones reales de variable real se llama función compuesta de f y g, y se escribe go f, a la función que se obtiene aplicando g a la imagen de por f: ( g o f )( ) g [ ] (f compuesta con g) Observa en el esquema anterior que la eistencia de la función go f está garantizada siempre que esté en el D(f) y además el Re c ( f ) esté contenido en D(g). Análogamente se define la función g compuesta con f : ( f o g)( ) f [ g( ) ] 9º) Dadas las funciones y g ( ) 7, halla si es posible ( f o g)( ), ( go f )( ), ( go f )(0). 0º) Dadas las funciones + y g ( ), calcula: / IBR IES LA NÍA
a) ( go f )() b) ( go f )( ) c) ( f o g)( ) d) ( f o g)( ) º) Calcula las funciones compuestas que se indican a continuación, siendo + 5, g ( ), h ( ) : + a) go f d) ho g b) f o g e) go ho f c) ho go f º) Dadas las funciones y g ( ), calcula las composiciones f o g y el dominio de cada una. go f y 7. FUNCIÓN INVERSA Consideremos la función f que asigna a cada número real el doble de dicho número. También podemos considerar la función que a cada número real le asigna su mitad. Representamos esta función por f y la llamamos función inversa de f. f : R R 4 6 f : R R 4 6 Luego, si la función f hace corresponder al nº su imagen yf(), la función corresponder al nº yf() el valor original (de alguna manera por f ) f hará f invierte el proceso realizado Dada una función f() se llama función inversa de f(), a otra función f ( ) que cumple: o ( f o f )( ) y ( f f )( ) / IBR IES LA NÍA
No todas las funciones admiten inversa, sólo aquellas que no tengan elementos del dominio con la misma imagen (inyectivas). De lo contrario, para un valor de y habría varios posibles valores de, y f no sería una función. No tiene inversa Sí tiene inversa En general, para calcular la función inversa de una función se intercambia por y, y se despeja y en función de. Para comprobar si la función obtenida es efectivamente la inversa de la original justificamos que al componerlas se obtiene la identidad. º) Comprueba que las funciones que hemos definido como ejemplo al iniciar este apartado son inversas. º) Calcula la función inversa de las siguientes funciones:, + h ( ) 4º) Dadas las funciones + y f, g go f. 5º) Dadas las funciones g ( ) g ( ) +,, calcula el dominio de: f, g, f+g, f g, f.g, 9 5, g ( ), comprueba que ( go f ) f g o / IBR IES LA NÍA