MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN ÁREA Y PERÍMETRO DE FIGURAS PLANAS Y TEOREMA DE PITÁGORAS ÁREA Y PERÍMETRO DE FIGURAS PLANAS LINEA POLIGONAL: Se llama línea poligonal a la gura formada por la unión de segmentos de recta. FIGURA PLANA: Es una región del plano limitada por una línea cerrada. POLÍGONO: Es una gura plana limitada por una línea poligonal cerrada. Los segmentos de recta que forman la poligonal se llaman lados del polígono. Si los lados del polígono sólo se intersectan en los extremos, llamados vértices del polígono, y cualquier línea recta que atraviesa el polígono, sólo lo interseca en dos puntos, decimos que el polígono es convexo, en caso contrario decimos que es cóncavo. Si todos los lados de un polígono convexo son congruentes, decimos que el polígono es regular. Los polígonos reciben nombres especiales de acuerdo con el número de lados, así: No.de lados Nombre 3 Triángulo 4 Cuadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono...... n Eneágono 1
CUADRILÁTEROS De acuerdo con los lados y los ángulos, algunos cuadriláteros reciben nombres especiales,así: Cuadrado: Es un cuadrilátero cuyos cuatro lados son congruentes, y sus cuatro ángulos internos son rectos. Rectángulo: Es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son congruentes y sus cuatro ángulos internos son rectos. Paralelogramo: Es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. Trapecio: Es un cuadrilátero que tiene dos lados opuestos paralelos. PERÍMETRO DE UN POLÍGONO: Es la suma de las medidas de los lados del polígono. El perímetro se mide en unidades de longitud, como: milímetro [mm], centímetro [cm], pies [f t],entre otras. ÁREA DE UN POLÍGONO: Es la medida de la super cie limitada por los lados del polígono. El área se expresa en unidades cuadradas
Unidad cuadrada: Es la gura limitada por un cuadrado cuyo lado mide una unidad de longitud. Se usan, entre otras: Centímetro cuadrado [cm ]: gura limitada por un cuadrado en el que cada lado mide 1 cm. Milímetro cuadrado [mm ]: gura limitada por un cuadrado en el que cada lado mide 1 mm. El área de un polígono es el número de unidades cuadradas necesarias para cubrir "perfectamente" la gura (sin traslapos). CIRCUNFERENCIA: Es la línea cerrada formada por todos los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de un punto jo llamado centro. A la distancia ja la llamamos radio de la circunferencia, y la denotamos r: CÍRCULO: Es una gura plana limitada por una circunferencia. Se llama diámetro d de la circunferencia al segmento de recta que une dos puntos sobre la circunferencia, y pasa por el centro, entonces d = r. PERÍMETRO Y ÁREA DE ALGUNAS FIGURAS PLANAS 1. Rectángulo: b: base. h: altura. P = (b + h) A = bh 3
. Cuadrado: l: lado P = 4l A = l 3. Paralelogramo: b: base. h: altura. l: lado adyacente a la base. P = (b + l) A = bh 4. Triángulo: b: base. h: altura. a y c: los otros dos lados: P = a + b + c A = 1 bh 5. Trapecio: B: base mayor. b: base menor. h: altura a y c: los otros dos lados. P = a + B + b + c A = 1 (B + b) h 4
6. Círculo: R: radio d: diámetro Longitud de la Circunferencia: C = R = d Área del círculo: A = R En un triángulo rectángulo los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. TEOREMA DE PITÁGORAS Si ABC es un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Prueba: Sea h la medida de la hipotenusa, es decir de BC, y a; b las medidas de los catetos AB y AC del ABC: Construyamos un cuadrado cuyos lados tienen longitud a + b, así: Área del cuadrado de lado a + b : (a + b) = a + ab + b Área del cuadrado de lado h : h Área de los cuatro triángulos cuyos catetos son a y b : 4 ab = ab 5
Luego, a + ab + b = ab + h Y así, h = a + b El teorema de Pitágoras se puede interpretar geométricamente diciendo que el área del cuadrado construido teniendo la hipotenusa como lado, es igual a la suma de los cuadrados de las áreas de los cuadrados construidos teniendo como lado cada uno de los catetos. Esta a rmación es válida si en vez de cuadrados, sobre los lados del triángulo se construyen guras proporcionales. Ejemplo: Cuál es la altura de un triángulo equilátero si la longitud de sus lados es 10 cm? Solución: Consideremos el ABC de la gura. Tracemos la altura del triángulo sobre AB y llamemos D al punto de intersección de ésta con el lado AB. Como ABC es isósceles, la altura CD también es mediana y entonces AD = DB y cada uno mide 5 cm. 6
Si consideramos ahora CDB, rectángulo en D y cuya hipotenusa es CB, aplicando el Teorema de Pitágoras, tenemos que: CB = CD + DB 10 = CD + 5 100 = CD + 5 CD = 100 5 CD = 75 CD = 8:66 cm Ejercicio: Pruebe, justi cando cada uno de los pasos, que en un triángulo equilátero de lado a, la altura h = p 3 a. Ejemplo: Se tiene una ventana compuesta de un cuadrado y un semicírculo en la parte superior, como se muestra en la siguiente gura: Si el perímetro de la ventana es 8 m, qué cantidad de vidrio debemos comprar para cubrir la ventana? Solución: Sea x la longitud del lado del cuadrado. Entonces, el radio del semicírculo es x. (Ver gura). 7
Área de la ventana = área del cuadrado + área del semicírculo. Como el área del cuadrado es x y el área del semicírculo es 1 ((x ) ) = 1 8 x, entonces el área de la ventana es x (1 + 1 ), y necesitamos calcular el valor de x: 8 Como el perímetro de la ventana es P = 3x + 1 tenemos que x 3 + = 8; y entonces el valor de x es Calculemos ahora el área de la ventana, h x i = 3x + x = x 3 + ; x = 8 6 + = 16 6 + : A = x (1 + 1 16 8 + 8 ) = 6 + 8 = 16 8 + 6 + : Luego, debemos comprar 16 8 + 6 + m de vidrio para cubrir la ventana. 8