I. Relaciona las columnas. UNL UNIVERSI UTÓNOM E NUEVO LEÓN ILO ESOLR 017 018 SEMESTRE: ENERO JUNIO 018 LORTORIO E MTEMÁTIS II FEH: MRZO E 018 ELORÓ: EMI E MTEMÁTIS II SEGUNO SEMESTRE JEFE E EMI: MTR. RIN I. GRZ ERVNTES PROGRM EUTIVO: PROPEÉUTIO LVE: N/ NOMRE: GRUPO: N. L. LIFIIÓN 1. ( ) Porción del espacio limitada por segmentos de recta (lados). xiomas o postulados. ( ) Son criterios de semejanza de triángulos: Superficie 3. ( ) Son características de un triángulo equilátero: Ángulo exterior 4. ( ) Principios que se aceptan como ciertos o evidentes. onjugados 5. ( ) Son criterios de congruencia de triángulos: E Medianas 6. ( ) onjunto de todos los puntos que limitan un cuerpo plano geométrico F Mediatriz 7. ( ) Si al sumar dos ángulos el resultado es igual a 360, podemos decir que los ángulos son: 8. ( ) Recta que pasa por el punto medio de alguno de los lados de un triángulo formando ángulos rectos. 9. ( ) Si a un triángulo lo corta una recta paralela a uno de sus lados; entonces se forman dos triángulos, los cuales son: G H I Ángulos de igual medida y lados congruentes isectriz Polígono 10. ( ) El baricentro es el punto único de intersección de las en un triángulo. J LLL, LL, L 11. ( ) En un triángulo cualquiera, la suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado. 1. ( ) Si a rectas paralelas las cortan transversales, sobre estas se determinan segmentos proporcionales. 13. ( ) La medida del de un triángulo es igual a la suma de las medidas de sus dos ángulos interiores opuestos. K L M Teorema Thales Semejantes LLL, LL, 14. ( ) Es el segmento de recta que une al vértice de un triángulo con su lado opuesto formando un ángulo recto (90 ) con este último. N esigualdad triangular 15. ( ) Semirrecta que divide un ángulo en dos ángulos de igual medida, y tiene su origen en el vértice del ángulo en cuestión. O ltura II. Responde VERERO o FLSO a los siguientes enunciados. 1) En un polígono convexo la suma de los ángulos exteriores es igual a 180 ) En un polígono convexo un ángulo exterior es suplementario con un ángulo interior. 3) En un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales. 4) En un paralelogramo los lados opuestos no son congruentes. 5) Las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente 6) Los ángulos de la base de un trapecio isósceles son iguales, a diferencia de un trapecio no isósceles en el cual estos ángulos no son iguales. 7) Los ángulos contiguos a los lados no paralelos suman 360 8) El segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia se llama secante. 9) La medida de un ángulo central en una circunferencia es igual a la medida del arco que lo subtiende (comprende). 10) La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco que lo subtiende.
.G.,R..,H.. Prepa 7, U..N.L. Laboratorio de Matemáticas, 016 Pág. III. Utiliza la siguiente figura para completar la tabla. Ángulos Nombre aracterística. Ej:, G lternos externos =G, E, H,,G E,F IV. Los siguientes ejercicios están diseñados para que veas un ejemplo y luego desarrolles varios por ti solo, similares a los ejemplos. Valor absoluto 30 x + 5 =17 x + 5 = 17 30 x + 5 = 13 x + 5 = 13 x + 5 = ±13 Paso 1: ejar solo el valor absoluto en cualquier lado de la igualdad En el caso de que el valor absoluto quede negativo, deberás multiplicar por (-1) toda la ecuación Ya que quedó de esta forma, es entonces cuando aplicamos la regla del valor absoluto. (observa como el interior del valor absoluto no se debe modificar Para resolverla vamos a utilizar los dos valores x + 5 = 13 x = 13 5 x = 8 x + 5 = 13 x = 13 5 x = 18 Por lo tanto el conjunto solución es: S = 18, 8 4x =18 4x = ±18 4x = ±18 Este tipo de ejemplo podemos resolverlo de diferentes maneras (observa los ejemplos). V. Resolver las ecuaciones de Valor bsoluto a) 1 (4x = ±18 ) b) 4x = 18 + 4x = 0 x = 0 4 x = 5 4x = 18 + 4x = 16 x = 16 4 x = 4 18 = 4x + 18 = 4x 16 = 4x 0 = 4x 16 4 = x 0 4 = x 4 = x 5 = x Por lo tanto el conjunto solución es: S = 4, 5 3x + 4 6 = 3 6 x = 35 S = 14,11.3 S = 9,41 6 x 4 = 8 x + 4 = 81 S = S = 5, 13
.G.,R..,H.. Prepa 7, U..N.L. Laboratorio de Matemáticas, 016 Pág. 3 Método de completar Trinomio uadrado Perfecto x 6x 16 = 0 x 6x = 16 x 6x + 9 = 16 + 9 x 3 = 5 x 6x + 6 Pasamos el termino independiente hacia el otro lado de la igualdad para completar el trinomio = 16 + 6 l termino lineal ( el que tiene como variable «x» ) lo dividimos entre dos y el resultado lo elevamos al cuadrado, en MOS lados de la ecuación. l completar el trinomio, factorizar el extremo que contiene el trinomio cuadrado perfecto y resolver la ecuación con ayuda del valor absoluto. x 3 = 5 x 3 = 5 x 3 = ±5 espues despejamos la variable «x» para los valores positivos y negativos x 3 = 5 x = 5 + 3 x = 8 x 3 = 5 x = 5 + 3 x = Por lo tanto el conjunto solución es: S =, 8 VI. Resolver las ecuaciones cuadráticas por medio el método de trinomio cuadrado perfecto x 8x 5 = 0 x 16x 9 = 0 S = 10.4,.4 S =.54,16.54 3x 18x 7 = 0 x 8x 0 = 0 S = 7.4, 1.4 S =,10 Método de Formula General x 6x + 8 = 0 a = 1, b = 6, c = 8 x = ( 6) ± ( 6) 4(1)(8) (1) x = 6 ± 36 3 x = 6 ± 4 x = 6 ± VII. Resolver las ecuaciones cuadráticas por el método de formula general. x = 6 + x = 4 x = b ± x = 6 x = b 4ac a Por lo tanto el conjunto solución es: S = 4, 9x 17x + 6 = 0 x + 8x 5 = 0 S = 1.41,. 47 S = 0.54, 16.54 3x + 17x =6 x = 4x 1 S = 6, 1 3 S =.9, 1.7
b 4.G.,R..,H.. Prepa 7, U..N.L. Laboratorio de Matemáticas, 016 Pág. 4 Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de Factorización x + 3x 10 = 0 Identificar los múltiplos de -10 10 1 1 10 5 5 uscar que la suma o resta de los múltiplos me den como resultado el termino del medio ( 3x ) que en este caso es : 5 + = 3 Entonces su factorización es: x + 5 x = 0 x + 5 = 0 x = 0 x = 5 x = Por lo tanto el conjunto solución es: S = 5, VIII. Resolver las ecuaciones cuadráticas por el método de Factorización x 5x + 6 = 0 x + 3x 4 = 0 x x 4 = 0 S = 3, S = 4,1 S = 4,6 3x + x = 10 + x x 3x 18 = 0 x = 7x 10 S =, 5 3 S = 3,6 S = 5, IX. Resolver los siguientes problemas de aplicación alcula la altura de un triangulo si longitud es 4 cm menor que el doble de su base y su área es de 63 cm. b El largo de un rectángulo mide m mas que su ancho. Si el área es de 10m, determina la longitud de su largo h = 14cm largo= 1m La hipotenusa de un triangulo rectángulo mide 17 cm y un cateto mide 7 cm mas que el otro. alcula la longitud de sus catetos Javier tiene el doble de edad que ntonio. El producto de sus edades es de 7, uál es la edad de cada uno de ellos? c = 15 y c = 8 Javier = 1 años ntonio = 6 años
.G.,R..,H.. Prepa 7, U..N.L. Laboratorio de Matemáticas, 016 Pág. 5 Grados a Radianes onvierte 00 a Radianes grados = 180 radianes π onsiderar su equivalencia: radianes = grados π 180 radianes 00 π 180 = 00π 180 ebemos simplificar la fracción a su máxima expresión (00π)/ (180)/ = (100π)/ (90)/ = (50π)/5 (45)/5 = 10π 9 radianes Radianes a Grados onvierte 5π radianes a Grados 1 grados = 5π 5π 180 1 = 180 1 π π Tomas la fracción doble y la simplificas 5π 1 π 1 = 5π 1π = 5 1 Regreso la fracción simplificada grados = 180 5 1 = 75 X. onvierte los grados a radianes o vise versa 6 45 rad = 113 90 π rad = 1 4 π 156 185 7π 9 rad = 13 37 π rad = 15 36 π π 18 grad = 140 grad = 10 5π 6 7π 4 grad = 150 grad = 315 Sistema ircular: Medida del Ángulo, Radio y rco θ = S r θ = Ángulo sistema circular S = medida del rco r = radio del círculo Encuentra la medida del ángulo ( en radianes y grados), radio o arco, según lo requiera. r = 0cm S = 4cm θ =? r =? S = 15cm θ = 45 r = 36 cm S =? θ = S r θ = 4cm 0cm θ = S r r = S θ S = θr θ = 1. rad radianes 45 π 180 grados = S = π 36 = 9.4 cm 1 180 1.rad π = 16 3.1416 = 68.75 = 45π 180 = 9π 36 = π 15cm =.785 r = = 19.10 cm 4.785 θ = π 1
.G.,R..,H.. Prepa 7, U..N.L. Laboratorio de Matemáticas, 016 Pág. 6 XI. onvierte los grados a radianes r = 35 cm S =.4 m θ =? r =? S = 40 cm θ = 35 θ = 39.5 r = 65.48 cm r = 74 cm S =? θ = 63 r =? S = 35 cm θ = 79 S = 81.36 cm r = 5.38 cm lasificación de Ángulos omplementarios Suplementarios onjugados Opuestos por el Vértice os ángulos cuya suma da como resultado 90. cada ángulo se le llama complemento del otro. os ángulos cuya suma es 180. cada ángulo se le llama suplemento del otro. os ángulos cuya suma resultan en 360. cada ángulo se le llama conjugado del otro. uando dos rectas se intersectan, los pares de ángulos adyacentes que se forman, se llaman opuestos por el vértice y son iguales os ángulos complementarios están a razón de 5:4. etermina la medida del ángulo mayor. 5x + 4x = 90 9x = 90 x = 90 9 x = 10 5x = 50 4x = 40 6x 13 7x O 6x 13 + 7x = 180 13x 15 = 180 13x = 180 + 15 13x = 195 x = 195 13 x = 15 O = [7 15 ] O = 103 O = [6 15 13] O = 77 XII. Resuelve los siguientes ejercicios. os ángulos conjugados están a razón de 8:6 calcula la medida del ángulo menor. x = 5.71 ngulo Menor = 154.9 Sean y dos ángulos complementarios, donde = 1x 36 y = 4x + 1. etermina la medida del ángulo x = 7.15 = 40.5
.G.,R..,H.. Prepa 7, U..N.L. Laboratorio de Matemáticas, 016 Pág. 7 alcula el valor de " x " etermina el valor de " x " (x + 18) (3x 8) (4x 6) 8x 30 O x + 90 x = 0 x = 5 alcula el valor de " x " y " y " etermina el valor de " x " 5x + 6 x 8y + 18 10x + 1 x x = 6 y = 15.75 x = 6 Ángulos entre rectas paralelas cortadas por una transversal. Ángulos correspondientes Ángulos alternos internos Ángulos alternos externos Ángulos conjugados externos Ángulos conjugados internos os ángulos, uno interno y otro externo, situados en el mismo lado de la transversal y con vértices en dos paralelas distintas.. Son iguales Son pares de ángulos, ambos internos, situados en lados distintos respecto a la transversal, los cuales son iguales. Son pares de ángulos, ambos externos, situados en lados distintos respecto a la transversal, los cuales son iguales. os ángulos internos (o externos) que estén situados del mismo lado de la transversal. os ángulos conjugados internos (externos) son suplementarios (es decir, suman 180 ). 1 = 4 = 5 = 8 3 = 6 1 = 8 4 + 6 = 180 + 8 = 180 = 3 = 6 = 7 4 = 5 = 7 3 + 5 = 180 1 + 7 = 180 XIII. Encuentra el valor de las variables en cada problema. 11 r1 (4x ) y r1 lternos internos 11, 4x + 8 Opuestos por el vértice 4 x + 1, 4x + 8 4(x + 1) (4x + 8) r lternos internos 4x, (5x 1) (5x 1) r Opuestos por el vértice y, 4x x = 7 x = 10 y = 19
.G.,R..,H.. Prepa 7, U..N.L. Laboratorio de Matemáticas, 016 Pág. 8 r1 r Opuestos por el vértice 10 x + 7, 130 r1 (17x + 6) onjugados externos 130, 7y 3 10(x + 7) 130 r1 r (3x ) 8y + 4 (7y 3) r x = 6 y = 8.5 x = 3 y = 4 Triángulos, lasificación y Propiedades. y x + y + z = 180 x z w = x + y XIV. Escribe debajo de cada triangulo, su nombre según correspondan sus ángulos o lados. 5 cm 5 40 50 3 cm 3 cm 4 cm 4 cm 8 cm 13 cm 30 50 70 60 3 cm 4 cm En un triangulo rectángulo, los ángulos agudos guardan una razón de :7. Encuentra la medida del ángulo mayor. ángulo mayor = 70 alcula el valor de las variables " x " e " y ". etermina el valor de las variables " x " e " y ". x 64 (6x 5) 3y (6x + 9) (8x 4) 6y 10 x = 17 y = 3 x = 16 y = 9.33
.G.,R..,H.. Prepa 7, U..N.L. Laboratorio de Matemáticas, 016 Pág. 9, calcula los ángulos S, P, R etermina el valor de " z ". T Q S 80 P 45 R 75 z 35 50 P = 100 R = 35 S = 45 z = 0 ongruencia de Triángulos. LLL LL L ajo los criterios de congruencia, identifica a cual criterio pertenece. = <1=< emuestra que < = < rgumento = <1=< riterio LL Justificación ato ato Lado compartidos 1 l demostrar que el triangulo es congruente bajo el criterio LL, podemos afirmar que <c=<d 1 XV. emuestra lo que se te pide en cada problema utilizando los criterios de congruencia. y E se bisecan mutuamente en emuestra que el E riterio: rgumento Justificación E
.G.,R..,H.. Prepa 7, U..N.L. Laboratorio de Matemáticas, 016 Pág. 10 Triangulo Equilátero E es trisecada emuestra que el E riterio: rgumento Justificación E Si, = E y E =, emuestra que E, y son puntos medios de y E riterio: rgumento Justificación F E Si, es equilátero, E, F y F es el punto medio de y E es el punto medio de. emuestra que F E, escribe el criterio riterio: rgumento Justificación F E Semejanza de Triángulos. LL LLL
.G.,R..,H.. Prepa 7, U..N.L. Laboratorio de Matemáticas, 016 Pág. 11 16 x N M = MN 1 + 35 35 = 16 x 56x = 16 35 x = 560 56 x = 10 1 M 35 7x 5 1 E 0 15 = E 7x 5 + 0 0 = 1 + 15 15 15 7x + 15 = 0 7 105x + 5 = 540 105x = 540 5 105x = 315 x = 315 105 x = 3 XVI. Resuelve lo que se te pide. emuestra que el I~ II riterio: E = 8 I E = 7 E E = 40 II E = 35 E alcula el valor de " x " E = x 6 = x + 1 E = 1 = 4 x = 7 alcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 5 m al mismo tiempo que una señal de tráfico de.5 m proyecta una sombra de 0.75 m..5m.75m 5 m h = 16.67m
.G.,R..,H.. Prepa 7, U..N.L. Laboratorio de Matemáticas, 016 Pág. 1 Polígonos, clasificación, elementos y propiedades. Suma de ángulos interiores Ángulo interior Suma de ángulos exteriores Numero de iagonales ngulo Exterior ngulo entral Suma ngulo Interior y ngulo Exterior Sai(n) i(n) Sae(n) d e(n) θ(n) Sai(n) = 180 (n - ) Sai n i n = n n 180 = n Sae(n) = 360 d= n(n 3) e n = 360 n θ(n) = 360 n i(n) + e(n)=180 XVII. Resuelve los siguientes problemas. Los ángulos interiores de un hexágono se representan mediante = 5x, = 3x, =.5x, = 3.5x, E = 6x y F = 5x. Encuentra la medida del ángulo F. etermina el numero de lados de un polígono cuyos ángulos interiores suman 160 F = 144 El ángulo exterior de un polígono regular es de 45. Halla el numero de lados. La suma de sus ángulos interiores. La medida de cada ángulo interior. El numero total de diagonales que se pueden trazar. El valor del ángulo central n = 9 uantos lados tiene un polígono en el que se pueden trazar 104 diagonales. n = 8 Sai(n) = 1080 d = 0 i n = 135 uantas diagonales se pueden trazar en un polígono regular cuando su ángulo interior mide el doble de su ángulo exterior? n = 16 d = 9
.G.,R..,H.. Prepa 7, U..N.L. Laboratorio de Matemáticas, 016 Pág. 13 uadriláteros. uadrado Rectángulo Rombo Trapecios Un cuadrado es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados congruentes y sus ángulos interiores todos son rectos. Un rectángulo es un paralelogramo que tiene todos sus ángulos interiores rectos Un rombo es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados congruentes Los ángulos contiguos a cada uno de los lados no paralelos de un trapecio son suplementarios. = = = ada diagonal de un cuadrado lo divide en dos triángulos congruentes, rectángulos e isósceles. Las diagonales de un rombo, se bisecan mutuamente. Los ángulos de la base de un trapecio isósceles son congruentes. XVIII. Resuelve los siguientes problemas. El perímetro de un rombo es de 40 cm y una de sus diagonales mide 16 cm. uánto mide la otra diagonal? La base mayor de un trapecio isósceles mide 30.5 cm, la base menor 0 cm y la altura mide 14 cm. uánto mide cada uno de los lados no paralelos? d = 1 El lado de un cuadrado mide 10 cm. uánto mide su diagonal En el siguiente trapecio, alcula z y x x = 14.95 15 4z 6x 4z + 4 d = 10 cm x = 9.17 z = 19.5 alcula el b en el siguiente trapecio isósceles alcula "x" y "z" utilizando los siguientes valores del siguiente paralelogramo b =? = 4z 60, = z, = x 1.5 cm 10 cm b = 30 cm b = 15 cm x = 60 z = 30
.G.,R..,H.. Prepa 7, U..N.L. Laboratorio de Matemáticas, 016 Pág. 14 Áreas de regiones poligonales. uadrado Rectángulo Paralelogramo Triangulo Trapecio Rombo = l l = lado P = 4l = bh b = base h = altura P = (h + b) = bh b = base h = altura P = (h + b) = bh b = base h = altura P = 3l = 1 h(b + b ) b = base mayor b = base menor h = altura = dd d = diagonal d = diagonal Encuentra el área de un triangulo equilátero si su lados miden 0 cm h =? 0 cm 10 cm 0 cm h = 0 10 = h = 300 h = 17.3 0 (17.3) =173.0 Encuentra el área de un trapecio isósceles, si b = 17 cm, l = 10 cm y h = 6 cm l E h b b F P = b + h E = 10 6 E = 100 36 E = 64 E = 8 P = 4l b = E + b + F b = 8 + 17 + 8 b = 33 = 1 (6)(17 + 33) = 150 cm XIX. Resuelve los siguientes problemas. Un rombo con una d = 30 y uno de sus lados = 17. encuentra el área. etermina la base y altura de un paralelogramo si están a razón de 4:5 y su área es de 180 m = 136 u Halla el área de un rectángulo si su base mide 5 cm y su diagonal mide 1 b = 36m h = 40m Encuentra el área de un triangulo equilátero, cuyo perímetro es 60 cm = 54.55 cm Halla la altura de un trapecio, si sus bases miden 13 y 17 respectivamente y su área es de 4 m = 173. cm La base de un paralelogramo se representa por (x+3) y la altura por (x+1), si su área es de 48 cm. alcula la base y altura h =.8m b = 8 cm h = 6 cm
.G.,R..,H.. Prepa 7, U..N.L. Laboratorio de Matemáticas, 016 Pág. 15 Encuentra el área del triangulo rectángulo cuyos catetos miden 8 y 18 respetivamente. Las diagonales de un rombo están a razón de 6:4. Si el área es de 64 m. Encuentra la diagonal mayor. = 7 u d = 13.86 m ircunferencia y irculo. ngulo entral Es cualquier ángulo con vértice en el centro y cuyos lados son radios de la circunferencia. O = ngulo Inscrito Es cualquier ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas de la circunferencia. = XX. Resuelve los siguientes problemas. Encuentra el valor de "x", "z" = = 35 = 70 O = O = 70 x = 35 z = 50 Encuentra el valor de «a» y «b» Encuentra el valor de «x» y «z» a = 56 b = 56 x = 78 z = 39 Encuentra el valor de «x» En una circunferencia los arcos, y están a razón de 3:4:5 encuentra los ángulos internos del triangulo inscrito. a = 45 b = 60 x = 0 c = 75