LAS ESTADÍSTICAS DE ORDEN COMO UNA APLICACIÓN DE TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES VARIABLES. OLGA ARDILA SANCHEZ oardilas@gmail.com

LAS ESTADÍSTICAS DE ORDEN COMO UNA APLICACIÓN DE TRANSORMACIÓN DE UNCIONES VARIABLES OLGA ARDILA SANCHEZ odils@mil.com Tbjo d Gdo p Op l Tiulo d Mmáico Dico Bio Lozo Rojs UNDACION UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ ACULTAD DE MATEMATICAS BOGOTA D.C. 7 6

RESUMEN Es bjo s u complmo d ls vibls lois l plicció d ls écics d somcios p co l ució d disibució d u vibl pi d o coocid spcil ls sdísics d od dod ss sdísics ju u ppl impo l ici sdísic piculm poqu lus d sus popidds o dpd d l disibució d l cul u obid l mus loi. ABSTRACT This wok is complm o h dom vibls h pplicio o h chiqu o somios o id h disibuio ucio o vibl om oh o ld kow d spcil h sisics o od wh sisicl hs pl impo pp ol i h sisicl ic picull bcus som o popis do o dpd o h disibuio o which ws obid h dom smpl. 7

AGRADECIMIENTOS Adzco l poso Bio Lozo Rojs qui m compño poo co los vliosos pos l jcució d s bjo dzco mbié l doco Aoio Vlsco Muños dco d l culd d mmáics cd uo d los docs compños qu uvio u po impo p mí omció lo lo d l c. dc mis pds hmos po l poo cosjos du odo s impo d omció. 8

INTRODUCCION El ps bjo s cu dividido dos ps l pim p cos d s cpíulos d cocpos básicos qu s uiliz ls sdísics d od l sud p s l dsollo dl m. S há u ioducció: sob ls vibls lois discs coius; dod ls vibls lois s cooc poqu odos los suldos posibls d u spcio musl s pud som cidds uméics. Tmbié s sob ls disibucios discs qu su l co ls disibucios coius qu pc cudo s mid po ulimo s bod sob ls écics d somcios qu s usd o disibucios d pobbilidd vibls lois discs como disibucios d pobbilidd d vibls lois coius. Es écic s uiliz p co l ució d disibució d u vibl loi pi d u vibl loi coocid. L sud p compd d ls sdísics d od. Ess sdísics ju u ppl impo l ici sdísic piculm poqu lus d sus popidds o dpd d l disibució d l cul u obid l mus loi. Ess sdísics s od scdm pi d ls muss obids iom so qui dci qu mudo csimos od ls vibls lois obsvds d cudo su miud p idiic modlos pobbilisicos ls como l máimo l míimo l o l mdi oos. qu sos modlos s plic méodos mmáicos spcíicos. 9

CAPITULO UNO. VARIABLE ALEATORIA Diició.: S S u spcio musl sob l cul s cu diid u ució d pobbilidd. S u ució d vlo l diid sob S d m qu som los suldos d S puos sob l c d los ls s dic ocs qu s u vibl loi. El cojuo d vlos qu u vibl loi pud om s domi l o d l vibl loi. S dic qu s u vibl loi si odos los suldos posibls d u spcio musl s pud som cidds uméics. Ejmplo.: S: úmo d cs qu s obi lzmios idpdis d u mod d diz u d cico cvos. E s cso S cos d los cuo puos suldos H H H T T H T T Eocs S {HH HT TH TT} CANAVOS Go. Pobbilidd sdísic pliccios méodos. Mc Gw Hill.Pá.

H c T cuz; l pim l s i l diz l sud l cico. Los vlos cospodis d so: spcivm. S HH HT TH TT Tbl Diició.: S dic qu u vibl loi s disc si su o s u cojuo iio o iiio umbl d vlos. Ejmplo.: E l jmplo. los vlos posibls d so. Luo s u vibl loi disc. Diició.: S dic qu u vibl loi s coiu si su o s u cojuo iiio o umbl d vlos. Es cojuo pud diis u ivlo o u cojuo iio d ivlos. Ejmplo.: S u vibl loi cuos vlos s los psos kilomos d ods ls pso mos d ños lóicm h iiios vlos socidos sos psos. Si sos psos s si l c CANAVOS Go. Pobbilidd sdísic pliccios méodos. Mc Gw Hill.Pá.

l pud diis u úmo iio d ivlos p dscibi odos los posibls vlos d pso.. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Diició.4: U disibució d pobbilidd s u lisdo d ls pobbilidds d odos los posibls suldos qu podí obs si l pimo s llv cbo. Ls disibucios d pobbilidd s clsiic como discs coius... Disibucios d pobbilidd d vibls discs U vibl loi sum cd uo d sus suldos co ci pobbilidd. Diició.: S u vibl loi disc. S llmá P ució d pobbilidd d l vibl loi si sisc ls siuis popidds.. P ;. P ; Ejmplo.4 S oj dos ddos lls hll: CANAVOS Go. Pobbilidd sdísic pliccios méodos. Mc Gw Hill.Pá. 4

. L ució d pobbilidd dod s l sum d los dos úmos qu s obi l oj dos ddos lls. b. L pobbilidd d qu l sum d los dos ddos s 6. Solució:. L ució d pobbilidds cospodi i los siuis vlos: Rsuldo N d Pobbilidd ocucis /6 /6 4 /6 4 4/6 6 /6 7 6 6/6 8 /6 9 4 4/6 /6 /6 /6 Tbl No qu los vlos posibls d coom los posibls coos sob l spcio musl coscuci ls pobbilidds sum. A coiució s mus ls ics d

ució d dsidd 8 6 4 8 6 4 Si Gáic b. L ució pobbilidd dod 6 sá: 6 P 6 6/6 Diició.6: L disibució cumuliv d l vibl loi s l pobbilidd d qu s mo o iul u puo spcíico d s dd po 4 : P P i i Co cis popidds:... i j si i j.. P >. 4. P.. P P P. i j j j j i Cb o qu P P si s u vibl disc. 4 CANAVOS Go. Pobbilidd sdísic pliccios méodos. Mc Gw Hill.. Pá. 4

P + P + P + + P + P P + P + P + + P Ejmplo.: Ecu l disibució cumuld d l vibl loi dl jmplo. Solució: 4 P P /6; P P + P /6 + /6 /6; P 4 P + P + P 4 /6 + /6 + /6 6/6; P P + P + P 4 + P /6 + /6 + /6+ 4/6 /6; 6 P 6 P + P + P 4 + P + P 6 /6 + /6 + /6+ 4/6+ /6 /6; 7 P 7 P + P + P 4 + P + P 6 + P 7 /6 + /6 + /6+ 4/6 + /6 + 6/6 /6; 8 P 8 P + P + P 4 + P + P 6 + P 7 + P 8

/6 + /6 + /6+ 4/6+ /6 + 6/6 + /6 6/6; 9 P 9 P + P + P 4 + P + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 /6 + /6 + /6+ 4/6+ /6 + 6/6 + /6 + 4/6 /6; P P + P + P 4 + P + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P /6 + /6 + /6+4/6+/6+6/6+/6 + 4/6+/6 /6; P P + P + P 4 + P + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P + P /6 + /6 + /6+ 4/6+ /6 + 6/6 + /6 + 4/6+/6+/6 /6; P P + P + P 4 + P + P 6 + P 7+ P 8+ P 9+ P + P + P /6+/6 + /6+ 4/6+ /6 + 6/6 + /6 + 4/6+ /6+ /6 +/6 Luo l disibució cumuld s: 6

/ 6 / 6 6 / 6 / 6 / 6 / 6 6 / 6 / 6 / 6 / 6 4 4 6 6 7 7 8 8 9 9.. Disibucios d pobbilidd d vibls coiús E l cso d ls disibucios coiús P. Ejmplo.6: L vibl loi coiu W s di como l lu d ods ls psos mos d ños u ivlo d 7 hs 8 címos. Supo qu s qui co p 7 pm pc qu s pudi clcul ácilm po si diémos qu l ivlo 7 8 h iiidds d úmos vidm h iiidd d sus po lo cul p 7 id s ulo p s cso s mjo uiliz ivlos. E uso cso si p 74.9 7.. L disibució d pobbilidd d u vibl coiu s ccizd po u ució l cul cib l omb d ució 7

d dsidd d pobbilidd popocio u mdio p clcul p b co b >. D m oml s di d l siui m: Diició.7: Si is u ució l qu : d P b b d b R Eocs s dic qu l vibl loi coiu. s l ució d dsidd d pobbilidd d D s diició s div lus os popidds. S u vibl loi coiú co ució d dsidd pob:. P. P b P b Solució:. P P d. P b P + P b + P b P b Ejmplo.7: S u vibl loi coiu co l siui disibució: CANAVOS Go. Pobbilidd sdísic pliccios méodos. Mc Gw Hill.Pá. 8 8

s i oo cso. Eco P Solució: Pimo s viic si l modlo s líimo: / d Ido po susiució mos qu / [ ] Po lo o l modlo s líimo. Aho s coá l P P / d Ido po susiució mos qu: / / + Eos s i qu: P / + 9

. Vlo spdo Los ds judos d pòk dic qu los judos o pimdos pud dio coo plzo po qu pdá dio lo plzo. Lo coio vl p posiols mu buos judos lo culs á lm lo plzo. Po qué so s sí? Eso s db u cocpo coocido como vlo spdo. Vlo spdo s l bicio qu s sp. Po jmplo supomos qu h lizdo u pus p i u mod. Si sl c pdé $ si sl cuz $. Dbo cp óicm s pus sumido qu l mod s vdd is u cicu cicu d posibilidd d qu sl c o cuz? S dbí cp l pus. Eis u pobbilidd d / d qu ci c $. Po lo o l ci spd s.*$. Si sli cuz pido $. Po lo qu l pdid spd.*$. l bicio spdo s l ci spd mos l pédid spd. Es dci qu mi bicio spdo s d $49. Eocs o é $49. Gé $ o pdé $. Si mbo dbímos v l pus como "" $49. Los suldos los juos d z sá ilucidos po l su coo plzo. Si mbo los suldos s vá ccos smjs l vlo spdo. Si lzmos l mod u milló d vcs mi bicio il sá mu cco 49 millos. 6 Eocs sumido: S u vibl disc dod solo podá om dos vlos $ci $ l pdid ós { } ho l pobbilidd 6 www.pokips.com.s/s/pcd vlu.php

d ci s. l ci d pdid s.. po o su vlo spdo s: µ.+.49. Luo s obsv qu l vlo spdo s ddo po: E i. P.+.49. i i Así s ll l diició d vlo spdo o spz mmáic d u vibl loi Diició.8: L mdi d u vibl loi s cosid como u cidd uméic lddo d l cul los vlos d l vibl loi id ups po lo o l mdi s u mdid d dci cl s di po: µ E p Si s u vibl disc µ E d Si s u vibl coiu E l di l vlo spdo d u ució d h po l iuldd E [ h ] h p Si s u vibl disc. E [ h ] h d Si s u vibl coiu.

Aálom p ms d dos vibls... d culqui ució h d ls vis s di po k l vlo spdo E [ h... ] k... h... k p... k k Si... k vibls discs. E [ h... ] k h... d... k... k d d d k Si... k vibls coius. El vlo spdo o mdi pos lus popidds:. E k k p k u cos. E c + k ce + k p k c coss. E [ + h ] E [ ] + E [ h ] dod h ucios d disibució NOTA: El vlo spdo pud o isi dpdido si l cospodi sum o il div u vlo iiio. Ejmplo: Hll l mdi d cd u d ls siuis disibucios:. 4 /4 /8 / /8 b. 7 /6 /9 / /

Solució:. 8 8 4 4 + + E µ b. 9 7 9 + + + E µ

CAPITULO DOS. DISTRIBUCIONES ESPECIALES.. DISTRIBUCIONES ESPECIALES DISCRETAS.. DISTRIBUCION UNIORME L disibució uiom s l qu cospod u vibl qu om odos sus vlos 7... co iul pobbilidd; l spcio musl db s iio. Dod s l pámo d l disibució. Si l vibl i posibls vlos su ució d pobbilidd sí: p. L mdi l viz d l disibució uiom s clcul po ls psios: Mdi: µ + Viz: σ L ució do d momos s dd po: 7 www.ucm.s/io/ic/esdisic/sdisic_bsic%.hm#disibució%uiom 4

µ i i... DISTRIBUCION BERNOULLI Cosis liz u pimo loio u sol vz obsv si cio sucso ocu o o sido p l pobbilidd d qu so s sí éio q p l pobbilidd d qu o lo s cso. E lidd o s más qu d u vibl dicoómic s dci qu úicm pud om dos modlidds Podímos po o dii s pimo mdi u vibl loi disc qu om los vlos si l sucso o ocu cso d qu l sucso ocu 8. L ució d pobbilidd d l vibl boulli s: p q p p. L mdi l viz d l disibució boulli s clcul: Mdi: µ p Viz: σ p q L ució do d momos s dd po: µ q + p 8 www.biosdisic.um.s/libo/od69.hm

... DISTRIBUCION BINOMIAL L disibució biomil pos ls siuis ccísics:. El modlo sá compuso d sos idpdis iuls sido u úmo ul ijo.. Cd so sul u sucso qu cumpl ls popidds d l vibl biómico o d Bouilli s dci sólo is dos posibls suldos muum clus qu s domi lm como éio cso.. L pobbilidd dl éio o dl cso s cos odos los sos. P éio p; P cso p q 4. Los sos so sdísicm idpdis. L ució d pobbilidd d l vibl biomil s ps como bp dod p so los pámos d l disibució idic l pobbilidd d qu ocu cm éios u mus d obsvcios d Boulli idpdis 9. l úmo d pubs p l pobbilidd d éio. p p q... p... L mdi l viz d l disibució biomil s clcul: 9 www.ucm.s/io/ic/esdisic/sdisic_bsic%.hm#disibució%biomil 6

Mdi: µ p Viz: σ pq L ució do d momos s dd po: µ q + p..4. DISTRIBUCION HIPERGEOMÉTRICA U vibl i disibució hipoméic si pos u modlo qu cumpl ls siuis codicios:. S om u mus d mño si mplzo d u cojuo iio d M objos.. K d los M objos s pud clsiic como éios M K como csos.. cu l úmo d éios obidos l mus. E s cso l pobbilidd d éio pubs sucsivs o s cos pus dpd dl suldo d ls pubs ios. Po o ls pubs o so idpdis sí. L ució d pobbilidd d l vibl hipoméic s: K M K M p... M... K... M... M www.ucm.s/io/ic/esdisic/sdisic_bsic%.hm#disibució%hipomé ic 7

L mdi l viz d l disibució hipoméic s clcul: Mdi: µ K M Viz: σ K M K M M M M... DISTRIBUCION POISSON U vibl d ipo poisso cu éios qu ocu u ió dl spcio o dl impo. El modlo qu l db cumpli ls siuis codicios:. El úmo d éios qu ocu cd ió dl impo o dl spcio s idpdi d lo qu ocu culqui oo impo o spcio disuo dl io.. L pobbilidd d u éio u impo o spcio pquño s popociol l mño d s o dpd d lo qu ocu u d él.. L pobbilidd d co uo o más éios u ió dl impo o dl spcio id co mdid qu s duc ls dimsios d l ió sudio. L ució d pobbilidd d u vibl Poisso s: www.ucm.s/io/ic/esdisic/sdisic_bsic%.hm#disibució%d%poisso 8

λ λ si.. λ >! L mdi l viz d l disibució poisso s clcul: Mdi: µ λ Viz: σ λ L ució do d momos s dd po: µ p [ λ ]..6. DISTRIBUCION GEOMETRICA L disibució oméic comp lus ccísics dl modlo Biomil po l dici los dos modlo s qu l disibució oméic l vibl s l úmo d sos qu so csios liz p qu ocu po pim vz u éio. L ució d pobbilidd d u vibl oméic s: pq.. p q p L mdi l viz d l disibució oméic s clcul: WACKERL Dis MENDENHALL Willim SCHEAER Richd.. Esdísic mmáic co pliccios. Thomso.Pá. 9

Mdi: µ q p Viz: q p σ L ució do d momos s dd po: p µ q..7. DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA L disibució biomil iv su d u coo smj l qu coduc l disibució oméic dod cd so idéico idpdi d oi uo d los dos suldos d éio o cso. Es modlo os pmi co l pobbilidd dl úmo d sos qu so csios liz l qu ocu l ésimo éio. L ució d pobbilidd d u vibl biomil iv s: + p q p p >.. L mdi l viz d l disibució biomil iv s clcul: q Mdi: µ p WACKERL Dis MENDENHALL Willim SCHEAER Richd.. Esdísic mmáic co pliccios. Thomso.Pá.6

Viz: q p σ L ució do d momos s dd po: µ p q.. DISTRIBUCIONES ESPECIALES CONTINUAS... DISTRIBUCION UNIORME L ució d disibució uiom s cos l ivlo b. Po so l disibució mbié s cooc como disibució cul L ució d dsidd d l disibució uiom s: b p b b L mdi l viz d l disibució uiom s clcul po ls psios: Mdi: µ + b Viz: σ b L ució do d momos s dd po: µ b b

... DISTRIBUCION NORMAL U vibl s oml cudo s jus l l d los ds úmos s dci cudo sus vlos so l suldo d mdi idm u miud sob l qu ilu iiis cuss d co iiisiml. Ls vibls omls i u ució d dsidd co om d cmp l qu s llm cmp d Guss 4. L ució d dsidd d u vibl oml s: p πσ µ σ p µ σ > L mdi l viz d l disibució oml s clcul: Mdi: µ E Viz: σ E µ L ució do d momos s dd po: µ p µ + σ... DISTRIBUCION BETA L disibució b pmi u vidd d pils s h uilizdo p ps vibls ísics cuos vlos s cu siidos u ivlo d loiud ii. 4 www.ucm.s/io/ic/esdisic/sdisic_bsic%.hm#disibució%oml% o%d%guss

L ució d dsidd d u vibl b s: B b b p > b > L mdi l viz d l disibució b s clcul: Mdi: µ + b Viz: b σ + b + + b..4. DISTRIBUCION WEIBULL E los úlimos ños s disibució s mpló como modlo p siucios dl impo ll co l objivo d lo u mpli vidd d compos mcáicos lécicos. L disibució d Wibull dpd d dos pámos θ 6. L ució d dsidd d u vibl Wibull s: θ p[ / θ ] o > θ > L mdi l viz d l disibució Wibull s clcul: Mdi: µ θ Γ + CANAVOS Go. Pobbilidd sdísic pliccios méodos. Mc Gw Hill.Pá. 47 6 CANAVOS Go. Pobbilidd sdísic pliccios méodos. Mc Gw Hill.9

Viz: σ θ Γ + Γ + L ució do d momos s dd po: µ b Γ + b... DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO S v u o posiivo. S dic qu u vibl loi i u disibució Chi cuddo co v dos d lib si sólo si s u vibl loi co u disibució mm pámos β. v L ució d dsidd d u vibl Chi cuddo s: v v Γ v L mdi l viz d l disibució Chi cuddo s clcul: Mdi: µ v Viz: σ v L ució do d momos s dd po: µ v 4

..6. DISTRIBUCION T STUDENT Supomos dos vibls lois idpdis u oml ipiicd Z o co disibució χ co ν dos d libd l vibl diid sú l cució 7 : T Z ν i disibució co ν dos d libd. L ució d dsidd d u vibl sud s: [ v + / ] v + / [ ] Γ + π v Γ v / / v p v > v > L mdi l viz d l disibució sud s di: Mdi: µ Viz: σ v v p v>..7. DISTRIBUCION L disibució pc cum como l sdísic d pub d l hipósis ul disibució ul d u pub sdísic 7 www.ucm.s/io/ic/esdisic/sdisic_bsic%.hmdisibuciót%d%sud

spcilm l álisis d viz p ms d dos poblcios 8. L ució d dsidd d u vibl disibució s: p o m... Γ [ m + / ] m / Γ / m m / m m + / Γ [ + m ] L mdi l viz d l disibució s clcul: Mdi: µ p > Viz: σ m + m 4 p >4..8. DISTRIBUCION GAMMA L disibució mm s u disibució d pobbilidd coiu co dos pámos β. El pámo cib l omb d pámo d om qu l om d l dsidd mm dii po los disios vlos d. El pámo β cib l omb d pámo d scl dbido l muliplicció d u vibl loi co disibució mm po u cos posiiv 9. 8 s.wikipdi.o/wiki/disibuci%c%b_ 9 WACKERL Dis MENDENHALL Willim SCHEAER Richd.. Esdísic mmáic co pliccios. Thomso.Pá.77 6

L ució d dsidd d u vibl mm s: β Γ β p o β > > L mdi l viz d l disibució mm s clcul: Mdi: µ β Viz: σ β L ució do d momos s dd po: µ β β Como csos spcils d l disibució mm comos:..9. DISTRIBUCION EPONENCIAL L ució mm l qu s llm ució d dsidd pocil. L ució d dsidd pocil s uiliz co cuci p dscibi l dució d los compos lcóicos. L ució d dsidd d u vibl pocil s: β β p β > L mdi l viz d l disibució pocil s clcul: WACKERL Dis MENDENHALL Willim SCHEAER Richd.. Esdísic mmáic co pliccios. Thomso.Pá.78 7

Mdi: µ β Viz: σ β L ució do d momos s dd po: µ β β 8

CAPITULO TRES. TECNICA DE TRANSORMACIONES Es écic s usd o disibucios d pobbilidd vibls lois discs como disibucios d pobbilidd d vibls lois coius. TECNICA DE TRANSORMACIONES PARA VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Tom.: Supós qu s u vibl loi disc co disibució d pobbilidd P. Si l ució di u somció uo uo los vlos d l om qu l cució su ivs ocs l disibució d s : Dmosció: P P P pobbilidd sdísic. Wpol. M. P84 9

Ejmplo.: S s u vibl loi disc dod su disibució s cu dd po P 4 oo cso Eco l disibució d Solució: Si vi 4 mplzdo mos qu 7 + Aho P + P + P + Luo l disibució d s cu dd po: P + 7 oo cso Supo ho l poblm l qu... so vibls lois discs co ució coju... s ds... co l pobbilidd coju... d ls uvs vibls lois... 4

............ ls culs di u somció uo uo los cojuos d puos.......si s sulv ls cucios simulám s co l solució ivs úic............ Tom.: S qu... so vibls lois discs co disibució d pobbilidd coju.... Si ls... ucios............ di u somció uo uo los vlos...... d l om qu ls cucios:............ ivs............ spcivm ocs l disibució coju d... s:...... [............... Dmosció:...... ] P... P............ P............ [............ ]... 4

Ejmplo.: S vibls discs co disibució d pobbilidd coju 8 oo cso Eco l disibució d pobbilidd d l vibl loi Solució: S P P P? S us u vibl uili Aho pocdmos co ls ivss: Los Ivlos d so: 4 6 4

Po lo o 4 6 Tmos: 8 4 8 9 6 9.. TECNICA DE TRANSORMACIONES PARA VARIABLES CONTINUAS E s cso s uci l siui om: Tom.: S s u vibl loi coiu co disibució d pobbilidd. Si l ució di u cospodci uo uo los vlos d l om qu l cució su ivs ocs l disibució d s: J d dod J cib l omb d jcobio d l d somció. 4

Dmosció: L dmosció pud bis dos csos l cso l qu s cci l cso l qu s dcci. Supós qu s cci. 4 b Gáic S sco dos puos biios d po jmplo b ocs: P b P b P P b P P b P P [ b ] b d 44

Aho s cmbi ls vibl d ició d po l lció s dí qu: ' d [ ] d luo b ' P b [ ] d como b co odos los vlos pmisibls d simp qu b s i qu ' [ ]. J ' S cooc J [ ] como l cipoco d l pdi d l lí l cuv d l ució cci s vid qu J J. Luo J Supo qu s dcci. b Gáic 4

46 S sco o vz puos biios d b ocs: b P P b P P b P P b P ] [ b P b d o vz cmbido l vibl d ició d s i qu: b P b d ' ] [ b d ' ] [ Como b co odos los vlos pmisibls d simp qu b s i qu b P J. s cso l pdi d l cuv s iv po o J J. J co lo cul s coclu l om. Ejmplo.: S u vibl loi coiu dod su disibució s cu dd po: cso oo P

Eco Solució: S cu l ivlo d Aho P P [ ] P [ + ] + P + + + d d +. + 9 Tom.4: S... so vibls lois coius co disibució d pobbilidd coju.... Si............... di u somció uo uo los vlos... 47

... d l om qu ls cucios:............ T ivs............ spcivm ocs l disibució coju d... s:.................. ] J [... dod l jcobio s l dmi d. M M......... M Ejmplo.4: S vibls lois idpdis pocils d pámos θ hll l disibució d l sum Solució: + 48

49. +. + S cu ls ivss d: d. mos + d. mos Los ivlos so: Aplicdo l om comos l disibució coju d s: J + + +

p co l disibució d s i l disibució coju co spco ocs: d Co lo qu s i u vibl Gmm

CAPITULO CUATRO 4. ESTADISTICAS DE ORDEN DEINICION S... u mus loi d mño d u disibució d ipo coiuo qu i ució d dsidd posiiv p b. Eocs... dod ls i so ls i lds od cci d miuds so diids como ls sdísics d od cospodis l mus loi.... Ess sdísics ju u ppl impo l ici sdísic piculm poqu lus d sus popidds o dpd d l disibució d l cul u obid l mus loi. S pud liz l ució d dsidd coju d l mus Disibució musl u mus A odd sí: S... u mus loi d u disibució d ipo coiuo qu i dsidd qu s posiiv simp qu b.

S l más pquñ d ss miuds i l siui i od d l ms d d ls i so s... ps... dod ss ulims s od scdm od d ls i d l mus loi d miud. TEOREMA 4.: S... u mus odd d ls vibls lois... ocs l ució d dsidd coju d... sá dd po!......... oo cso Dmosció: S pobá p l cso. Si ocs l ució d dsidd coju d s. Cosid l pobbilidd d u vo l como: b P b b d d d b Poqu d Como s oó s pud dii l ució d dsidd coju si l l disibució d como co odos los puos qu i l mos dos d sus coodds iuls. Eocs l spcio dod s l uió d los 6 cojuos disuos siuis:

A { ; b} A { ; b} A { ; b} A 4 { ; b} A { ; b} A 6 { ; b} H 6 d sos cojuos poqu podmos od pcism d 6 oms. Cosid ls ucios: mí { } l vlo d miud mdi d { } má { }. Ess ucios di u somció uo uo qu mp cd uo d los cojuos A A A A 4 A A 6 ios sob uo d los cojuos Β { ; b}. Ls ucios ivss so p los puos A i i 4 6 sí: A A A A 4 A A 6 Eocs l jcobio d cd A i s:

4 J J J J J 4 J J 6 El vlo bsoluo d cd u d los 6 jcobios s +. D s modo l ució d dsidd coju d ls sdísics d od: mí { } l vlo d miud mdi d { } má { }. J + J +... + 6 J b oo cso s dci. b cso oo...!

Ejmplo 4.: S u vibl loi d ipo coiuo co ució d dsidd qu s posiiv coiu p b co o p. L ució d disibució d s pud scibi: si w dw si b si b D s m h u úic mdi m d l disibució co m. Cosid l mus loi d s disibució s ls sdísics d od d l mus. Clcul l pobbilidd d qu m Solució: 6... b oo cso L ució d dsidd d s ocs: b h 6 d d b 6 [ ] 6 b d b 6 [ ] d h 6 [ ] b oo cso

Po cosiui m [ ] P m { } d 6 P m 6 m El suldo io pud uss p ob psios d ls dmás sdísics d od. S u vibl loi d ipo coiuo qu i ució d dsidd qu s posiiv coiu b co oo cso. Eocs l ució disibució s pud scibi si w dw si b si b Po cosiui Admás si b b b b w dw w dw b w dw S... u mus loi d mño d ss disibucios s... ls sdísics d od d l mus loi. Eocs l ució d dsidd coju d... s: 6

!... γ... b oo cso... 4.. DISTRIBUCIÓN DEL MAIMO L ució d dsidd dl máimo dsidd mil d pud pss émios d l ució d disibució d l ució d dsidd d l vibl loi. Si b l ució d dsidd mil d s dd po: 4...!... d d d... d 4...! d... d d... d 4...!... d d... d 4...! d... d... d... 4!... d... d... 4! [ ]... 4 d d... d 4...! 4 [ ] d 4... d d... d 4 7

8 [ ] 4 4 4.......!... d d [ ] 4 4 4.......!... 6 d d d [ ] 4...... 4..!... d d [ ]... 4..! b Eocs [ ]! b [ ] cso oo b D s m l ució d disibució d s: [ ] [ ] P P ;... ; ; Poqu l más d d los i s mo o iul si solm ods ls i so mos o iuls. Aho si los i s sum idpdim ocs: [ ] P ;... ; ; i i i P

Así l disibució d... m s pud ps émios d ls disibucios mils d.... Si ol s sum qu ods ls... i l mism disibució cumuliv. ocs: i [ ] Lo io poduc l siui om. TEOREMA 4.: Si m... ocs:... so vibls lois idpdis si Si i... so vibls lois idpdis idéicm disibuids co ució d disibució. ocs: [ ] COLORARIO: Si... so vibls lois idpdis idéicm disibuids coius co ució d dsidd pobbilísic. ució d disibució cumuliv. ocs: [ ] Dmosció: d [ ] d 4.. DISTRIBUCIÓN DEL MINIMO [ ] P [ ] P > P [ > ; > ;... ; > ] 9

Poqu s mo qu si cd i >. Po o p si... so idpdis ocs: P [ > ; > ;... ; > ] P i > i i i Si dmás s sum qu... so idéicm disibuids co ució d disibució cumuliv. comú ocs: i i [ ] Lo io poduc l siui om: TEOREMA 4.: Si { }...... mi ocs si... so vibls lois idpdis i i so idpdis idéicm disibuids co ució d disibució cumuliv. ocs: [ ] COLORARIO: Si... so vibls lois coius idpdim idéicm disibuids co ució d dsidd pobbilísic comú. ocs [ ] 6

Dmosció: { } d d [ ] d d [ ] [ ] si b 4. UNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE CUALQUIER ESTADISTICA DE ORDEN L ució d disibució d culqui sdísic coiució: d od s d TEOREMA 4.4: S... qu ps ls sdísics d od d u mus loi d mño cd u co ució d dsidd ució d disibució cumuliv.. L ució d disibució cumuliv d sá dd po: j j j j [ ] [ ] Dmosció: P u ijo s Z i Ι i ; i Z i i No qu Z i i i u disibució biomil co pámos. 6

6 Aho [ ] [ ] [ ] [ ] j j j i j Z P P El pso clv s pub s l quivlci d los dos vos { } { } i Z. Si l ésim sdísic d od s mo o iul ocs sum l umo d ls i mos o iuls s mo o iul ivsm. COLORARIO: [ ] [ ] [ ] j j j j [ ] [ ] j j j j [ ] [ ] j j j j [ ] [ ] [ ] Asum qu l mus loi... vi d u ució d dsidd pobbilísic.; so s qu ls vibls lois i so coius buscmos l dsidd d l cul dsd luo s pud ob divdo. No qu:

6 [ ] P d d + + lim lim [ ] los d u los d P i i i + > + ; ; ; lim [ ] [ ] [ ] + +!!! lim [ ] [ ]!!! Uilizdo l míimo ciio d l disibució muliomil s pud hll l ució d dsidd coju β p β [ ] P + + β β ; + > + + + los d u los d u los d P i i i i i ; ; ; ; ; ; β β [ ] [ ] [ ] +!!!!!! β β β β Po lo o:

64 β [ ] [ ] [ ] si!!!! β β β β E l s d l siui om: TEOREMA 4.: S... u mus loi d l poblció cu ució d dsidd pobbilísic s. co ució d disibució cumuliv.. S... ls cospodis sdísics d od ocs: [ ] [ ]!! β β [ ] [ ] [ ]!!!! β β β cso oo si......!...... 4.4 DISTRIBUCIÓN DE UNCIONES DE ESTADISTICAS DE ORDEN E l scció io s hllo disibucios mils disibucios cojus d ls sdísics d od. E s scció s hllá l disibució d pobbilidds d cis ucios d sdísics d od.

DEINICION 4.: S od d u mus loi... qu do ls sdísics d... d u poblció co ució dsidd.. L mdi musl s diid como l sdísic d od mid si s imp l pomdio d ls dos sdísics mid si s p. El o musl S di como l smi sum musl como i +. Si l mus s d mño imp ocs l disibució d l mdi s pud ps com l disibució d l sdísic d od. Po jmplo si k+ imp ocs l sdísic d od K + s l mdi musl cu disibució s dd po psd s. Si l mus s p s dci k ocs l mdi d od K + l disibució dsd l cul pud obs l disibució d l mdi s hcido k β k+ iicido l β somció co l dsidd coju +. k k K EJEMPLO 4.: Hll l ució d dsidd coju dl o dl smi sum pi d llí hll ls disibucios mils spcivs k dod R + T dod T. Solució: 6

E pim lu s hll s dci!!!! oo cso [ ] [ ] [ ] [ ] oo cso + S hc l somció R T. Eocs + +. + + + + 66

67 > + + + J J T R + + + + + + > Eocs ls disibucios mils R T sá dd po: d d T R T R T R

Ejmplo 4.: S 4 ls sdísics d od d u mus loi d mño S d u poblció co dsidd >.. Hll l ució d dsidd d l mdi. b. Hll l ució d dsidd dl o c. Hll l ució d dsidd dl smi o. Solució:. E s cso pud scibis k+ dod k. Eocs l mdi s k + ; ocs l dsidd d l mdi s u cso picul d. Po o p > ocs:!!! [ ] [ ] > [ ] [ ] > + 4 + > b. L ució dl o R. Pimo s hll l disibució coju d sí:!! [ ] [ ] [ ] 68

69 [ ] + cso oo L somció R T ocs: J J T R > + + d R [ ] > d d 4 4 4 +

7 4 4 > + c. Hll l ució d dsidd dl smi o. L ució d dsidd d s [ ] S hc l somció: R + T Eocs: + uv ió: b > J

7 ocs J T R > 4 > + d R

CONCLUSIONES Ls sdísics d od s clcul vés d l écic d somcios d vibls. Ls sdísics d od siv p idiic modlos d pobbilidds d obsvcios ubicds d ls muss culqui posició spciic. U vz coocido l modlo d pobbilidd d u sdísic d od s posibl hc u álisis complo dicho od vlo spdo ico... c.. El m b u cmio po lo mos oo l culd p sudi pliccios ás dl coocimio qu iclu s ipo d vibls d sdísics odds. 7

BIBLIOGRAIA WACKERL Dis MENDENHALL Willim SCHEAER Richd.. Esdísic mmáic co pliccios. Thomso. WALPOLE Rold MEERS Rmod.. Pobbilidd sdísic. Mc Gw Hill. CANAVOS Go. Pobbilidd sdísic pliccios méodos. Mc Gw Hill. HOGG Rob. Ioducio o mhmáicl. Colli Mcmill publishs. www.pokips.com.s/s/pcd vlu.php. www.psol.us.s/olmdo/el%cocpo%d%vlo%espd o.pd. www.ucm.s/io/ic/esdisic/sdisic_bsic%.hm. www.ucm.s/io/ic/esdisic/sdisic_bsic. www.biosdisic.um.s/libo/od69.hm. 7