Razones trigonométricas

Razones trigonométricas Contenidos Sistemas de medición de ángulos. Revisión de resolución de triángulos rectángulos. 4 Valores y signos de las razones trigonométricas en los 4 cuadrantes. 7 Cálculos aplicando razones trigonométricas. Ecuaciones trigonométricas. Reducción al primer cuadrante. Para profundizar. 7 Conceptos importantes y procedimientos resolutivos. 0 Autor Prof. Liliana Dorín Supervisor Lic. Mara Carneiro

- Expresar en la unidad indicada los siguientes ángulos: a) 0 = G d) 5 G 4 min = g) 7 G = rad b) 8 G =... e) 8 4 =... G h) 0 G M =... rad c) 60 0 = G f) 0 G min = i) 47 G = rad - Expresar en radianes los siguientes ángulos: a) 90 d) 70 g) 60 b) 80 e) 70 h) 0 c) 45 f) 5 i) 60 - Expresar en grados sexagesimales los siguientes ángulos: a) rad 4 b) rad 6 d) 7 rad 6 e) 4 rad c) rad 4- Responder: a) Qué ángulo describe el minutero de un reloj en 0 minutos? Y en horas 5 minutos? b) Cuál es la amplitud del ángulo que forman las manecillas del reloj a las 9 horas y 45 minutos? Y a las 0 horas y 0 minutos? c) Cuánto vale, expresado en radianes, cada uno de los ángulos interiores de un hexágono regular?

5- Completar usando los signos de mayor y menor (> y <) según el ejemplo: er cuadrante do cuadrante er cuadrante 4 to cuadrante α (en grados) 0 α < 90 α (en radianes) 6- Indicar con una X el cuadrante al que corresponde αˆ De aquí en adelante prescindiré de la palabra radianes en la expresión de un ángulo. αˆ er cuadrante do cuadrante er cuadrante 4 to cuadrante 65 0-4 -5 7 4 9 4

7- Hallar usando la calculadora: a) sen 6 0 e) sen rad i) tg rad 4 b) cos 04 f) cosec 6 8 j) cos rad c) sec 76 g) ctg 4 0 k) sec rad 6 5 d) tg 6 0 h) cosec rad l) ctg rad 6 8- Vincular con flechas Algunas respuestas son valores aproximados. Respuestas a) sen α = 0,6085 α = 45 b) cos α = -0,069756 α = 48 c) tg α = - α = 94 d) sec α =,805 α = 6 4 e) cosec α =,84089 α = 7 f) ctg α = 0,900404 α = 05

9- Señalar en distintos sistemas de ejes cartesianos los puntos siguientes y calcular en cada caso, el ángulo que forma su vector asociado con el eje de abscisas. 5 P = ( ; 5) R = (7 ; -) T = ( ; ) Q = (- ; 4) S = (-0,75 ; -5) U = ( 7 ; -6) 0- Utilizando las razones trigonométricas convenientes averiguar las incógnitas indicadas en cada triángulo. α =? G=8cm A=48cm B=6cm N I =? α=4 C D=6cm? F E=56cm J=? K=7cm L α=7 L T=? M = 6 cm α=4 05 4

- Hallar el perímetro y la superficie de las siguientes figuras: α=7 5 a) C b) c) α=8 0 B A=5cm B = 5cm 6cm β=4 8 a d) e) f) D=cm α b d a h=6cm b A p c A p =8cm d c α=8 f e Abcdef es un hexágono - Problemas: a) Calcular los ángulos agudos de un triángulo isósceles, sabiendo que cada uno de los lados iguales mide el triple que la mitad de la base. Respuesta α = β = 70 4 b) En un cono del cual se sabe que la altura vale 0cm y el radio de la base 6cm; se quiere saber: b) el valor de la generatriz. Respuesta,66 centímetros b) el ángulo formado por la generatriz y el radio de la base. Respuesta α = 59 0 5

b) el ángulo formado por la generatriz y el segmento correspondiente a la altura del cono. Respuesta β = 0 57 49 c) Un octógono regular está inscripto en un círculo cuyo radio es de 0cm. Calcular el perímetro del octógono. Respuesta 6, centímetros d) Desde un balcón del segundo piso de un edificio se ve un objeto en el suelo, ubicado a 5 m de la pared, bajo un ángulo de depresión de 48. Desde otro balcón del cuarto piso se ve el mismo objeto, bajo un ángulo de depresión de 6 d) Cuál es la distancia existente entre los balcones de pisos consecutivos? Respuesta,77 metros d) A cuántos metros ve el objeto un observador situado en el cuarto piso? Respuesta, metros e) Una caja de forma prismática de base rectangular tiene 4cm de largo, 6cm de ancho y 8cm de altura. Se quiere saber cuál es el ángulo formado por la diagonal de la caja y la diagonal de la base (ambas partes del mismo vértice). Respuesta α = 0 7 4 6

- a) Representar con distinto color el sen a y el cos a en cada caso: (en la circunferencia trigonométrica). b) Señalar con color la tg a en cada caso dentro de la circunferencia trigonométrica 4- Teniendo en cuenta que r siempre es un número positivo, completar con el signo correspondiente en cada situación. r r sen α... cos α... tg α... sen β... cos β... tg β... sen β... cos β... tg β... sen γ cos γ tg γ 7

5- A partir de lo averiguado en el ejercicio 4, extraer conclusiones y completar el siguiente cuadro con color. SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS 4 CUADRANTES er C do C sen α... sen α... cos α... cos α... tg α... tg α... er C 4 to C sen α... sen α... cos α... cos α... tg α... tg α... 6- Aplicando el cuadro anterior, dibujar esquemas posibles de los ángulos pedidos. (Tener en cuenta que corresponden solamente a ángulos menores que un giro). a) α/sen α > 0 tg α > 0 b) β tiene el cos negativo y el sen positivo. c) γ tiene la tg negativa y el cos positivo. d) ε/sen ε > 0 cos ε < 0 e) ϖ tiene el cos negativo y la tg negativa. f) α/tg α < 0 cos α > 0 8

7- Hallar mentalmente e indicar el signo de los siguientes ángulos: a) sen 08 e) sec (-57 ) i) ctg (-9 ) b) sen (-40 ) f) tg 9 j) sec 46 c) cos 00 g) cosec 80 5 k) cos (-8 ) d) sec 7 h) tg 46 8 l) cos 94 8- Completar con los valores correspondientes: sen 90... cos 90... sen 80... do C er C sen 0... cos 80... do C er C cos 0... er C 4 to C er C 4 to C sen 70... cos 70... 9- Aplicar la Relación Pitagórica y la relación entre el sen, el cos y la tg de a para encontrar los valores de las restantes razones trígonométricas en cada uno de los siguientes casos: a) sen α = 0,98 α do C e) sen α = - 0,7 α 4 to C b) cos α = -0,8 tg α > 0 f) cosec α = -,7 cos α < 0 c) cos α = - 5 α do C g) sec α = -4, α do C d) sec α = - 4 sen α < 0 h) cos α = 4 sen α < 0 9

0- Verificar las identidades siguientes: a) cos α - ctg α. sen α = 0 e) tg α + ctg α = senα.cosα sen x + tg x b) sen α. sec α. ctg α = f) = tg x + cos x c) ctg α (-tg α) = - g) + ctg α = cosec α d) 4 (sec α). tg α = -4 sen α h) sen x + cos x = - cos x sen x - Calcular usando las relaciones entre las razones trigonométricas de un mismo ángulo y completar: 0 = 0 = 45 = 60 = 90 6 4 sen 0 cos tg 0

- Utilizando exclusivamente las tablas anteriores, calcular: a) sen 0 + cos 0. ( - tg 45 ) 0 b) cos 60 9-4tg 60 + (cos 90 - sen 0 ). - tg 0 c) sen 45 - (tg 0 + sen 45 ) + cos 45. tg 60. 4 d) (-sen 90 + cos 80 ) + (cos 45 - sen 70 ) e) cos 0 + cos 60 - ctg sen 45. cos 45 f) (tg 60 + cos 60 ) 45 sen45 - ( cos80 Respuestas + 9 - sen 70 ) - Hallar el valor de la cotangente, secante y cosecante de a, sabiendo que 0 a p (sin usar calculadora). Justificar. 0 a) sen α = - α er C b) tg α = 0 α do C c) sen α = α do C d) cos α = 0 α do C - Encontrar el valor de a, en cada caso del ítem anterior sin usar la calculadora. Justificar.

4- Hallar x, si es posible, sabiendo que : Recordar las identidades más usuales. x + a) sen α = y cosecα = 5 x x = 4 b) cos α = x y sen α = 6x + Sol = { } c) tg α = 6 ; sen α = 4 x ; cos α = d) cos α = 49 6 Respuestas x = x + y cosecα = Sol = { } 5 e) tg α = 4x y secα = + 4x x =. 64 5- Hallar x siendo 0 x < 80 Respuestas a) tg (x + 5 ) = - x { 55 45 ; } b) sen ( x 5 ) = tg45 Sol = { } c) sen (x 6 ) = cos 90 x { 8 ; 98 } d) 4 cos x = x { 45 } e) tg (x + 50 ) = f) ctg ( - x) = -tg ( + x) x = 60 Sol = { }

6- Obtener con la calculadora las 6 razones trigonométricas de: a) α = 60 y β = 0 b) γ = 78 y α = c) ε = 6 y β = 54 d) α = 48 y β = 4 7- Comparar los valores obtenidos en cada ítem del ejercicio anterior. Extraer conclusiones. Completar con color: Las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera del primer cuadrante son iguales a... Simbólicamente (en grados sexagesimales) (En radianes) sen α =... sen α =... cos α =... cos α =... tg α =... tg α =... ctg α =... ctg α =... sec α =... sec α =... cosec α =... cosec α =.. 8- Completar aplicando las relaciones existentes entre dos ángulos complementarios. a) sen 70 =... d) ctg 9 05 =... g) sen 6 =... b) cos 8 =... e) sec 66 0 =... h) tg 75 =... c) tg 6 0 =... f) cos 46 =... i) ctg 8 =...

9- Calcular el ángulo x sabiendo que es agudo. Recordar las relaciones existentes entre ángulos complementarios. a) cos x = sen 8 7 0 b) cos 5 = sen ( x - 5 ) 84 c) sec (40 + 4x) = cosec (x 0 ) 0 d) tg (45 + x ) = ctg 8 8 e) sen (x + ) = tg 46 0 7 07 55 f) tg (x + 8 ) = cos 5 9 g) cosec (x 4 ) = sec x 44 h) sen Respuestas ( x ) = tg 40 8 0 0 5 4 0- Probar las identidades siguientes: (Aclarar si es necesario el conjunto de existencia). a) cosec ( α ) ( -cosec α) = - (ctg α + tg α) b) cosec α - sen α = cos α (sen α) - c) ( tg α) ( + tg α) = sec α d) cos ( α) - sen α. cos α = sen 4 α 4

e) cosec α - = cosec α cosec ( α) + tgα f) = ctg( α) ctgα + g) = cos α + ctg ( α ) h) + tg α tgα = secα.sec( α) - Expresar las razones trigonométricas siguientes en función del ángulo a, perteneciente al primer cuadrante. a) sen (80 + α) g) tg ( ) α b) cos (90 + α) h) ctg ( - α) c) tg ( - α) i) sec (90 + α) d) ctg (80 - α) j) ctg ( - α) e) sen (80 - α) k) ctg (90 - α) f) sen (60 - α) l) sec ( + α) - Calcular y dejar expresado en función de a exclusivamente. Respuestas a) cos (80 - α) + sen (90 - α) 0 b) sen (90 + α) tg (80 + α) tg(-α) cos α 5

c) sen ( ) α + cos ( + α) - cos α d) [ cos( α) cos( α) ]. -6 cos α 5 e) sen (60 + α) + cos( + α) + sen ( α) senα f) g) tg( + α) cos( α) + tg( α ) sen( + α) sen( α ) + cos( + α) sen( + α) cos( α) - Escribir V o F. Justificar. a) sen x + cos (-x) = e) x, sen x = -sen (-x) b) cos ( - x) + cos x =0 f) sen (-x) + cos (-x) = - c) tg ( - x). ctg ( - x) = - g) x /sen x = 5 4 d) x /cos x = h) x /cos x = 0,8 4- Hallar el valor del ángulo x, siendo 0 x 60. a) sen x = 0 x = 90 b) sen x = -cos x x { 5 ; 5 } c) cos x = 4 Respuestas - -ctg α -tg α x { 0 ; 50 ; 0 ; 0 } d) tg (x + 0 ) = x { 7 0 ; 97 0 } e) sec 4x = x { 0 ; 90 } 6

f) sen x sen x. cos x = 0 x { 0 ; 60 } g) sen x. cos x cos x = 0 x { 90 ; 70 } h) (sen x cos x) = - x { 0 ; 50 ; 0 ; 0 } i) 4 sen x. cos x + sen x = 0 x { 0 ; 0 ; 80 ; 40 } 5- Verificar las siguientes identidades: a) sen (80 + α). cos (80 - α). tg α = sen (80 - α) b) sec (90 - α) + sec (90 + α) = 0 c) cos ( + x) + sen( + x) = cos( + x) + sen( x) d) (sen x + cos x) + (cos x sen x) = e) ctg (90 + α) + cos (90 + α). cosec ( α) = - tg α f) cos x + cos ( - x) = cos (x +) + cos (-x) g) sen ( + α). ctg ( + α). cos ( - α) = cos α h) sen 4 x sen x = cos 4 x cos x sen(80 + α) + cos(80 + α) + cosα i) = sen(80 α) (α k) Para profundizar 6- Hallar x: Aclarar previamente cuáles valores no pueden ser respuesta, en caso necesario. 7

a) sen (-x) = [( cos ).( x) ] b) sen ( - x) + = 5 x ; ; } 6 6 x = senx c) tg 7 x + tg ( + x) = 0 x ; ; ;x } 4 4 d) (ctg x) - 4 = - +. tgx x ; } 6 e) = tg x. cos (-x) x = } sec (90 + x) f) cosec x sec ( + x) 7- Verificar las siguientes identidades Respuestas = tg ( + x) Sol = { } De aquí en más, hasta el final del libro, queda a criterio del docente exigir o no la aclaración del conjunto de existencia, en caso que fuera necesario). a) tg ( x). tg (80 + x) + sen ( -x) = sen x b) cos ( - x). tg ( + x) cosec x = tg (90 + x). cos ( + x) c) sen x sen (60 - x) = cos ( - x). sec ( x) d) sec( + x) + cos x sen( x) + cos(90 + x) = ( ctg x) 8

ctg x + ctg y e) = ctg y ctg( x) + ctg( y) 8- Verificar las siguientes identidades: (Tener en cuenta que tg α + = sec α) a) tg x + tg x tg y ctg x ctg x - ctg y b) ( cos x) (tg x) - ctg = sen 7 4 9 c) (tg x + ctg x). sen x. cos x = tg 4 d) sen x. cos x + sen 4 7 x = -ctg 4 e) sen sen x + cos x 5 + ( tg ) = sen( x) 4 = ( sen x + cos x) - ( sen x) ( + x) + cos ( x) tg x f) sec 4 x sec x = tg x + tg 4 x sec( x).cos( x) ctg(80 x) g) + = sen x + cos x sec(90 + x) cosec( + x) 9

onceptos importantes y procedimientos resolutivos Sistemas de medición de ángulos Sistema sexagesimal Unidad de medida: EL GRADO SEXAGESIMAL R = 90ˆ = 60 minuto sexagesimal ' = 60 segundo sexagesimal Como cada unidad secundaria es igual a sesenta unidades del orden inmediato inferior, este sistema de medición no forma parte del Sistema Métrico Decimal. Consecuencias: ángulo llano 80 ángulo de un giro 60 0

Ejemplo α = 7 0 β = 08 0 8 Expresar: α = 7 en minutos sexagesimales α = 60 + 7 α = 77 Cuál es la amplitud de β = 58, expresada en grados sexagesimales? Dividiendo por 60, se obtiene β = 5 8 Sistema Horario En hora, el minutero del reloj barre un ángulo de un giro completo, por lo tanto se puede establecer un nuevo sistema de medidas en el cual: h 60 giro completo h min = 60 min seg = 60 h = 60 min min = 60 seg Ejemplo En un lapso de media hora, Cuántos grados sexagesimales barre el minutero de un reloj? giro 80

Desde las 8 h 45 min hasta las 9 h 5 min, cuántos minutos horarios transcurrieron? cuál ángulo barrió el minutero expresado en el sistema sexagesimal, y el centesimal? 60 min 60 40 min X = 40 G 0 9 40 X = 66, 6 ) G Sistema Circular Ángulos orientados en un sistema cartesiano do cuad cuad 0 er cuad 4 to cuad α + _ El vértice es el origen de coordenadas Lado inicial: semieje positivo de las X Orientación: + si su sentido es contrario al del movimiento de las agujas del reloj. - si su sentido es coincidente con el movimiento de las agujas del reloj. El ángulo puede realizar uno o más giros completos en cualquiera de los sentidos. Se considera al plano cartesiano dividido en 4 cuadrantes, como lo indica la figura.

ε = 40 β = 5 + 60 = 675 γ = - 0 ε do cuad β 4 to cuad γ do cuad Sistema Circular Unidad de medida EL RADIÁN Un ángulo central de UN RADIÁN es aquel en el cual el arco que abarca tiene una longitud igual a la del radio. r r α = radián Ejemplo α = rad β = rad γ = 5 rad

Importante Como las longitudes de los arcos que corresponden a un ángulo central dado son proporcionales a sus radios, resulta que el ángulo de un radián es ÚNICO y es independiente de la longitud de radio que se tome. α r r r r Equivalencias con el sistema sexagesimal Longitud de la circunferencia: r 60 radianes α = 60 = 6,8... rad = radianes Consecuencia: 80 = rad 90 = rad 70 = 4 rad etc. = rad 80 80 radián = = 57 9 4

de ahora en adelante para nombrar un ángulo en el sistema circular no se usará más la palabra radianes. Ej: 45 = 4. Cada ángulo orientado se corresponde, entonces, con un número real 80,4... 60 6,8... 45 0,785... etc. PASAJES DE UN SISTEMA A OTRO Expresar 0 en radianes 60 _ 0. 0 _ x = = 60 Se suele expresar como fracción de. Expresar 70 en radianes 5 Expresar 6 80 _ 70 _ x = 70. = 80 en el sistema sexagesimal _ 80 5.80 5 _ x = 6 = 50 6 5

o bien, como 80 5 6 5 =.80 = 50 6 Razones Trigonométricas (Revisión) En todo triángulo rectángulo, se verifican siempre las siguientes relaciones para cada ángulo agudo: sen α = cat. op. hip. cosec α = hip. cat. op. cos α = cat. ady. hip. cosec α = hip. cat. ady. tg α = cat. op. cat. ady. ctg α = cat. ady. cat. op. Cat. Ady. α Hipot. o bien Cat. opuesto Hipot. α Cateto Ady. Cat. Op. Consecuencias: cosec a = sec a = ctg a = senα cosα tgα y además tg a = \ ctg a = senα cosα cosα senα 6

Tener en cuenta siempre, que el denominador debe ser diferente de 0. Relación Pitagórica sen α + cos α = REVISIÓN DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS USANDO LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS A b c C B a A = 7 cm cˆ = 48 B =? aˆ =? C =? Se usan las letras mayúsculas A, B y C para expresar los lados opuestos a a ˆ, bˆ y cˆ, para facilitar la notación. Calculo de B: Calculo de aˆ : A cos c ˆ = B aˆ + bˆ + cˆ = 80 7cm. cos 48 = B aˆ = 80 - (90 + 48 ) 7cm. B = 0,67 aˆ = 4 B = 5,7 cm. 7

Calculo de C: tg C c ˆ = A tg 48 =,. 7 cm. = C C 7cm. 8,7 cm. = C Representación del sen a, cos a y tg a en un sistema de ejes Se puede visualizar gráficamente el sen, el cos y la tg de un ángulo en un sistema de ejes cartesianos si se traza con centro en el origen del sistema circunferencia de radio, llamada CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA. y r 0 r x CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA 0 y α L B x Si se señala un α cualquiera, queda determinado un punto B sobre la circunferencia: BL En 0BL: como sen α = y OB = OB sen α = BL 8

y B α 0 L x En OBL: OL Como cos α = y OB = OB cos α = OL y B C En OCT: y 0 α L T x CT Como tg α = y OT = OT tg α = CT Consecuencias: el seno CRECE desde 0 hasta. Si α crece de 0 hasta 90 el coseno DECRECE desde hasta 0. la tangente CRECE desde 0 y se hace arbitrariamente grande. Consecuencia: Signos de las razones trigonométricas en los 4 cuadrantes II c sen + sen - III c I c sen + sen - IV c II c cos - cos - III c I c cos + cos + IV c II c tg - tg + III c I c tg + tg - IV c 9

Valores de las Razones Trigonométricas de 0 ; 90 ; 80 ; 70 ; 60 0 0 90 80 70 60 Sen 0 0-0 Cos 0-0 Tg 0-0 - 0 Valores de las Razones Trigonométricas de 0 ; 0 ; 45 ; 60 ; 90 Sen Cos Tg 0 6 4 0 0 45 60 90 0 0-0 Relación entre las Razones Trigonométricas de ángulos complementarios Sen α y 90 - α Las razones trigonométricas de α son iguales a las co-razones trigonométricas de su complementario: sen α = cos (90 - α) cos α = sen (90 - α) tg α = ctg (90 - α) Ídem para ctg α, sec α, cosec α. 0

APLICACIÓN: I) Calcular utilizando exclusivamente las tablas anteriores: a. sen 0 - ( tg -tg 60 ). + sen 6 tg 4 (. ( ). ). + + = ( ) + = 5 II) Aplicar la Relación Pitagórica y los vínculos existentes entre las Razones Trigonométricas para calcular los valores del sen, cos y/o tg del ángulo dado. a. sen α = 0,4 α cuadrante sen α + cos α = cos α = + - sen α como α cuadrante cos α = - (0,4) cos α = - 0, 849 cos α = - 0, 85 cos α = -0,9 senα 0,4 ) tg α = tgα = tgα = -0,47 cosα 0,9

Identidades Una identidad es una igualdad entre dos expresiones que contienen una o más variables y tal que se verifica siempre, independientemente del valor de la/s variable/s. Ejemplo sen α + cos α = (a + b) = a + ab + b Son a ) + b ) + cˆ = 80 (en todo triángulo) Identidades x y = (x + y). (x y) Para verificar una identidad, se usan todas las reglas, propiedades, valores y sg. de las razones trigonométricas. El procedimiento más habitual y sencillo es el de reemplazar todas las razones por otra expresión donde figure sen α o cos α. Ejemplo Verificar: I) sen α - tg α. cos α = 0 senα sen α -.cosα = 0 cosα reemplazando 0 = 0

II) sen α. cos α = tg α + ctgα Pasaje de término senα sen α. cos α. ( cosα cosα + ) = senα Sumando y simplificando factores sen α + cos α sen α. cos α. ( cosα. senα ) = Usando la Relación Pitagórica = III) -5 + tg 5 α = - sen α + 6tg α sen α 5 6sen α -5 + = + cos α cos α cos α 5 cos α + sen α 5 + 6sen α = cos α cos α 5( sen α) + sen α 5 + 6sen α = cos α cos α Reemplazando... (usando la Relación Pitagórica) Sumando... Reemplazando (usando la Relación Pitagórica) 5 + 6sen α 5 + 6sen α = cos α cos α

Identidades Útiles Sen α + cos α = Sec α - = tg α Conjunto de existencia: es aquel formado por todos los valores de la variable que hacen posible la identidad, teniendo en cuenta alguna limitación propia de la misma. Ejemplo cosec α. sen α - cos α = Restricción: cos α 0 cosα. ctg α. sen α - cos α Conjunto de existencia E = x R / x (K + ), K Z En los ejercicios I) ; II) ; III) : I) es válida para todo número real II) tg α + ctg α 0 tg α - cgt α tg α tg α - tgα Tg α siempre - por lo tanto esta identidad se verifica para todo número real. 4

III) es válida para todo número real excepto para α = (K + ) ( ya que sen α ). Reducción al primer cuadrante Algunas relaciones útiles Valores absolutos de las razones trigonométricas Ángulos opuestos. α y -α Ángulos suplementarios. α y - α Ángulos que difieren en. α y + α Ángulos que suman giro. α y -α Ángulos que difieren en giro. α y +α Iguales Iguales Iguales Iguales Iguales Signos 4 to cuadrante do cuadrante er cuadrante 4 to cuadrante er cuadrante α y -α son opuestos α y - α son suplementarios Ej.: 0 y 50 α y + α difieren en Ej.: 0 y 0 - α α -α α +α α 5

α y - α completan giro Ej.: 40 y 0 α y + α difieren en giro Ej.: 40 y 400 -α α α +α Ejemplo sen α = -sen (-α) tg ( - α) = -tg α cos ( + α) = cos α cos α = cos (-α) cosec ( - α) = cosec α sen ( - α) = -sen α Ángulos complementarios α y - α Ángulos que difieren en α y + α Valores absolutos de las Iguales a los de las Iguales a los de las razones trigonométricas. co-razones. co-razones. Signos er cuadrante do cuadrante α α +α α α y - α son complementarios Ej.: 50 y 40 α y + α difieren en Ej.: 0 y 0 6

Ejemplo sen ( - α) = cos α tg ( + α) = -tg α Aplicación: I) Expresar las razones trigonométricas siguientes en función exclusiva del ángulo a perteneciente al primer cuadrante. a. cos (80 + α) = -cos α Justificar: 80 + α cuadrante su cos es negativo. b. tg ( + α) = -ctg α + α cuadrante la tg es negativa. c. sec ( - α) = sec α - α 4 cuadrante cos es positivo sec es positiva. II) Escribir expresiones equivalentes a las dadas, haciendo figurar exclusivamente ángulos agudos positivos. a. cos 9 = cos (90 + ) = -sen b. tg 40 = tg (80 + 60 ) = tg 60 c. sen 90 = sen (60-70 ) = -sen 70 o bien sen 90 = sen (-70 ) = -sen 70 d. cos 48 = cos (80 - ) = -cos o bien cos 48 = cos (90 + 58 ) = -sen 58 = -cos 7

III) Ecuaciones: Calcular x, siendo 0 x 60. a. 4 cos x + 4 = 0 4 cos x = -4 x = 80 cos x = - b. cos x. sen x + cos x = 0 cos x (sen x + ) = 0 cos x = 0 sen x + = 0 Sol: x ; cos x = 0 sen x = - c. sen x - = senx (sen x - ). sen x = - sen x sen x + = 0 ± 9 8 ± sen x = = 4 4 sen x = sen = 5 Sol: x ; ; 6 6 En todas las ecuaciones se debe siempre VERIFICAR todas las soluciones halladas; puede que alguna no sea válida! 8