Curvas cos(t) y sen(t) son las coordenadas del punto en el circulo unitario tal que t es la longitud del arco de circulo desde el eje x hasta el punto. Para cualquier valor de t, cos 2 (t)+sen 2 (t) = 1 1 (cost,sent) t Ejemplos. a(t)= (cost,sent) x=cost y=sent satisfacen la ecuación: x 2 +y 2 = 1 a(t) recorre un circulo de radio 1 en dirección contraria a las manecillas del reloj, con rapidez constante 1 y empezando en (1,0). (cost,sent) b(t)=(cos(-t),sen(-t)) satisfacen la ecuación: x 2 +y 2 = 1 b(t) se obtiene de a(t) cambiando el signo de t (que equivale a hacer el mismo recorrido que a(t) pero en sentido opuesto). (cos(-t),sen(-t)) c(t)=(sent,cost) satisfacen la ecuación: x 2 +y 2 = 1 c(t) se obtiene de a(t)=(cost,sent) intercambiando los papeles de x y y, (lo que equivale a reflejar en la linea x=y). Así que b(t) recorre el circulo unitario en el sentido de las manecillas del reloj, con rapidez constante 1 y empezando desde (0,1). (sent,cost) (cos2t,sen2t) e(t)=(cos2t, sen2t) x=cos2t y=sen2t x 2 +y 2 = cost 2 (2t)+sent 2 (2t)= 1 e(t) se obtiene de a(t) duplicando t, así que e(t) recorre el circulo unitario con rapidez 2. f(t)=(2cost,2sent) x=2cost y=2sent x 2 +y 2 = 4cost 2 t+4sent 2 t = 4 f(t) se obtiene duplicando el tamaño de a(t), así que f(t) recorre el circulo de radio 2 con rapidez constante 2. (2cost,2sent)
(2cos3t,2sen3t) g(t)=(2cos(3t)),2sen(3t)) x=2cos(3t) y=2sen(3t) x 2 +y 2 = 4cost 2(3 t)+4sent 2 (3t) = 4 g(t) se obtiene de a(t) triplicando t y luego duplicando el tamaño, así que f(t) recorre el circulo de radio 2 con rapidez 6. (3cost,2sent) h(t)=(3cost,2sent) satisface la ecuación (x/3) 2 +(y/2) 2 = 1, se obtiene estirando a(t)=(cost,sent) horizontalmente al triple y verticalmente al doble, así que h(t) describe un circulo estirado. h(t)=(sent,2sent) satisface la ecuación 2x=y así que se encuentra en una linea recta, pero como sent solo toma valores entre -1 y 1, la trayectoria solo cubre un intervalo de la recta (sent,2sent) (sen 2 t,cos 2 t) z(t)=(sen 2 t,cos 2 t) satisface la ecuación x+y=1 así que la trayectoria esta en otra recta d(t)=(sen(1+t),1+cos(1+t)) satisfacen la ecuación: x 2 +y 2 = 1 se obtiene de a(t) incrementando t por 1 (lo que equivale a adelantar el recorrido) (sen(t+1),cos(t+1)) (1+sent,1+cost) e(t)=(1+sent,1+cost) satisface la ecuación (x-1) 2 +(y-1) 2 = 1 se obtiene de c(t) sumándole el vector(1,1), así que e(t) recorre el circulo de radio 1 centrado en (1,1) con rapidez constante 1
La curva s(t) = (t,sent) describe un movimiento ondulatorio: la altura de un punto que gira alrededor del circulo unitario con rapidez constante 1: -3π -2π -π 0 π 2π 3π 4π La curva c(t) = (t,cost) se ve igual, pero desplazada, ya que cos(t)=sen(t+π/2): Ejercicio. Gráfica las siguientes trayectorias de modo que se vean claramente sus diferencias: p(t) = (t, 2sen t) q(t) = (t, sen 2t) r(t) = (2t, sen t) s(t) = (2t, sen 2t) -3π -2π -π 0 π 2π 3π 4π Combinando vectorialmente movimientos simples pueden obtenerse movimientos complicados: Ejemplos. Un punto p gira alrededor del circulo de radio 3 con centro en el origen en la dirección de las manecillas del reloj con rapidez constante 3 mientras que el punto q gira alrededor de p en un circulo de radio 1 en dirección contraria a las manecillas del reloj con rapidez constante 2. Cual es la posición del punto q respecto al origen en el instante t? q La posición de p respecto al origen esta dada por p(t)=(3sent, 3cost) y la posición de q respecto a p esta dada por r(t)=(cos2t,sen2t), así que la posición de q respecto al origen esta dada por q(t)=p(t) +r(t)=(3sent+cos2t, 3cost+sen2t). 0 p
El movimiento de la Luna alrededor del Sol es la suma del movimiento de la Luna alrededor de la Tierra con el movimiento de la Tierra alrededor del Sol. La trayectoria de Marte vista desde la tierra es la resta de la trayectoria de Marte desde el Sol y la trayectoria de la Tierra desde el Sol. Problemas 1. Como se ven las siguientes trayectorias en el plano? Que ecuaciones satisfacen? a. p(t) = (1-3t, 2t+4) d. r(t) = (2+sen t, 3-sen t) b. q(t) = (t+1, t 2 ) e. r(t) = (3cos t, 2sen t) c. q(t) = (2+sen t, 3-cos t) f. s(t) = (3cos t, 2cos t) 2. Muestra que todas estas trayectorias cumplen la misma ecuación cartesiana: p(t) = (1-t, -2t) q(t) = (t 2, 2t 2-2) r(t) = (1+sent, 2sent) Que dice esto sobre las trayectorias? 3. Parametriza la trayectoria de un punto que gira en un círculo de radio 3 y centro en (1,2), partiendo del punto mas bajo y moviéndose en la dirección de las manecillas del reloj con rapidez constante 1. 4. Da parametrizaciones de las siguientes curvas a. 2x+3y=4 b. x+y 2 =0 c. 4x 2 +9y 2 =36 5. Encuentra parametrizaciones aproximadas de las órbitas de la Tierra y de Marte alrededor del Sol y la Luna alrededor de la Tierra, y úsalas para graficar a escala (con computadora): a. La trayectoria de la Luna vista desde el Sol. b. La trayectoria de Marte vista desde la Tierra. c. La trayectoria de la Tierra vista desde Marte. 6. Gráfica las siguientes trayectorias en la computadora para 0 t 2π a. p(t) = (cos t, sen 2t) c. r(t) = (sen 3t, cos 4t) b. q(t) = (sen t, cos 2t) d. s(t) = (cos 3t, cos 5t)
Curvas en el espacio Las trayectorias en el espacio pueden descomponerse como la suma vectorial de la trayectoria de la sombra en el plano xy y una trayectoria en el eje z: p(t) = (x(t),y(t),z(t)) = (x(t),y(t),0) + (0,0,z(t)) p(t)=(t,t,sent) Ejemplos: La trayectoria q(t)=(t,2t,sent) tiene como sombra en el plano xy a la linea recta (t,2t) y la altura en cada momento es sent, así que la trayectoria se ve así: y=2x z=senx La trayectoria p(t)=(cost,sent,t) tiene por sombra en el plano xy al circulo (cost,sent) y su altura en cada momento es t. Por lo tanto la trayectoria esta en un cilindro vertical y es una espiral ascendente. x 2 +y 2 =1 x=senz La trayectoria q(t)=(t,sent,-sent) esta en el plano z=-y, y tiene como sombras en los planos xy y xz a la curva (t,sent), así que se ve así: z = -y y = senx Como puede parametrizarse el circulo de radio 1 que esta centrado en (6,7,8) y es perpendicular al vector (1,2,3)? Dos vectores unitarios perpendiculares a (1,2,3) y perpendiculares entre si son U= 1 / 3(1,1,-1) y 1 / 42(-5,4,-1). Así que el circulo es p(t) = (6,7,8) + cost (1,1,-1) + sent (-5,4,-1) = = ( 6+cost-5sent, 7+cost+4sent, 8-cost-sent )
Superficies Las curvas son objetos geométricos unidimensionales -pueden describirse con un parametro-. Las superficies son sus análogos bidimensionales y necesitan dos parámetros para describirse Ejemplos: p(s,t)=(t,sent,s) (una lamina acanalada acostada) q(s,t)=(s,t,cost) (una lamina acanalada parada) Cilindros El cilindro con eje vertical y radio r puede describirse por medio de la parametrización p(s,t)=(rcost,rsent,s) Y satisface la ecuación x 2 +y 2 = r 2 t (rcost,rsent,s) s r(cost,sent) Esfera de radio 1 s (coss cost,coss sent,sens) sens (cost,sent) t Esferas: La esfera de radio r puede parametrizarse como E(s,t) = (r coss cost, rcoss sent, r sens) También puede parametrizarse como F(u,v) = (r u cosv, r u senv, r 1-u 2 ) Y satisfacen la ecuación x 2 +y 2 +z 2 = r 2 Toros El toro (la superficie de una dona) de radio b alrededor del circulo de radio a puede parametrizarse así: u a b v T(u,v) = ((a+bcosv)cosu, (a+bcosv)senu, bsenv)
Problemas 7. Como se ven las siguientes curvas en el espacio? a. p(t) = (t, cost, sent) b. q(t) = (sent, sent,t) c. r(t) = (t, t 2, sent) d. s(t) = (cost, sent, sent) 8. Encuentra parametrizaciones para: a. una espiral en el plano b. Un resorte en la dirección del vector (1,1,1) Respuesta. Si V es cualquier vector y V' y V'' son dos vectores perpendiculares a V del mismo tamaño, entonces c(t)=costv'+sentv'' describe un circulo en el plano perpendicular a V, por lo tanto r(t)=tv+costv'+sentv'' describe un resorte en la direccion de V. Si V=(1,1,1) podemos tomar a V'=(1,-1,0) y V''=(1/ 2,1/ 2,-1) y la parametrizacion queda p(t) = t(1,1,1)+cost(1,-1,0)+sent(1/ 2,1/ 2,-1) 9. Esboza las siguientes superficies en el espacio y di que ecuaciones satisfacen. a. p(s,t) = (t, s, s+t) b. q(t,s) = (sent, s, cost) c. r(s,t) = (t, s, sens) 10. Que ecuación cartesiana satisface el toro T(u,v) = ((3+cosv)cosu, (3+cosv)senu, senv)? 11.Encuentra una parametrización para un cono vertical y di que ecuación cartesiana satisface.