TEMA 8: Funciones ÍNDICE 1.- INTRODUCCIÓN....- CONCEPTO DE FUNCIÓN....1. FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN... 3 3.- PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES... 3 3.1- DOMINIO E IMAGEN... 3 3.. CONTINUIDAD... 4 3.3. SIMETRÍAS: FUNCIONES PARES E IMPARES... 5 3.4. PERIODICIDAD... 5 3.5. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES... 5 3.6. MONOTONÍA (crecimiento y decrecimiento). MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN.... 6 3. 7. TENDENCIAS DE UNA FUNCIÓN... 7 4. FUNCIONES CUYA GRÁFICA ES UNA RECTA... 8 4.1. FUNCIONES LINEALES... 8 4.. FUNCIONES AFINES... 9 5. FUNCIÓN CUADRÁTICA: LA PARÁBOLA... 10 1
TEMA 8: Funciones 1.- INTRODUCCIÓN El concepto de función es uno de los más utilizados, en todas las ramas, para describir y estudiar las relaciones entre magnitudes y por tanto dar información de la realidad. Ejemplos los tenemos por todas partes: - El precio de un telegrama depende del número de palabras. - El área de un círculo es función del radio. - La presión atmosférica es función de la altura. - El espacio que recorre un móvil depende del tiempo. -... Muchos fenómenos físicos, económicos y sociales pueden representarse mediante funciones, de tal forma que saber calcular e interpretar sus propiedades nos ayuda a tomar decisiones. Así, el estudio de las funciones es uno de los campos de las matemáticas con más aplicaciones en nuestra vida. Por ejemplo, el conocimiento de los patrones de consumo de electricidad o de la utilización de la red telefónica permite a las compañías regular estos servicios para evitar el desabastecimiento eléctrico o el colapso de las comunicaciones..- CONCEPTO DE FUNCIÓN Una función relaciona dos variables numéricas a las que, habitualmente, se las llama x e y, x es la variable independiente e y la variable dependiente. La función, que se suele denotar por y = f(x), asocia a cada valor de x un único valor de y: x y = f(x) Toda gráfica no representa una función. Por ejemplo, si se encuentra una recta perpendicular al eje X que corte a la gráfica en más de un punto, dicha gráfica no corresponde a una función. Por ejemplo, de las siguientes gráficas, cuáles representan una función? Para visualizar el comportamiento de una función recurrimos a su representación gráfica: sobres unos ejes cartesianos con sendas escalas representamos las dos variables: La x sobre el eje horizontal (eje de abscisas). La y sobre el eje vertical (eje de ordenadas). Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, su abscisa, x, y su ordenada, y.
.1. FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN Las funciones nos pueden venir dadas de muy diversas formas: a) Mediante una tabla de valores: El Ministerio de Sanidad. Ha hecho un estudio sobrela peligrosidad del consumo de tabaco. Los resultados se dan en la tabla: Nº de cigarrillos diarios 3 5 10 15 0 Índice de mortalidad 0, 0,3 0,6 0.8 1, Cuál es la variable independiente? Y la variable dependiente? b) Mediante una gráfica: La siguiente gráfica representa una excursión en autobús de un grupo de estudiantes, reflejando el tiempo (en horas) y la distancia al instituto (en kilómetros): Cuál es la variable independiente? Y la variable dependiente? c) Mediante un enunciado: Suponer que la función que relaciona el espacio recorrido de Alberto, desde su casa al colegio, en función del tiempo, viene dada por el siguiente enunciado: De casa salió a las 8:30 y fue sin parar hasta casa de su amigo Álvaro. Lo esperó un rato sentados en el banco y luego se fueron juntos, muy despacio hacia el colegio. Cuando estaban llegando, se dio cuenta de que se había dejado la cartera en el banco; volvió corriendo, la recogió y llegó al colegio a las 9 en punto. Cuál es la variable independiente? Y la variable dependiente? d) Mediante su expresión analítica o fórmula: Por ejemplo, el área de un círculo en función de su radio: A = π r, dónde la variable independiente es y la dependiente 3.- PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES 3.1- DOMINIO E IMAGEN El dominio de definición de una función es el conjunto de valores de la variable independiente, x, para los que existe función. Se representa Dom (f) o Dom f. 3
La imagen o recorrido de una función f es el conjunto de valores que toma la función cuando x pertenece al dominio, es decir, el conjunto de valores de y para los cuales existe x tal que f(x) = y. Se representa Im(f) ó Im f. Calcula el dominio y recorrido de las siguientes funciones: a) b) 3.. CONTINUIDAD La idea básica de continuidad es la siguiente: una función f es continua cuando puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. Si no es así, cada vez que es necesario levantar el lápiz para seguir dibujando se produce una discontinuidad. Los puntos donde la gráfica de una función presenta saltos o interrupciones se llaman puntos de discontinuidad. Las siguientes funciones son discontinuas en x=a. 4
I.E.S. MIGUEL DE CERVANTES Departamento de Matemáticas 3.3. SIMETRÍAS: FUNCIONES PARES E IMPARES Una función puede ser: Simétrica par, si para cualquier valor de x se cumple que f ( x) f ( x). Su gráfica es simétrica respecto al eje Y. Simétrica impar, si para cualquier valor de x se cumple que f ( x) f ( x). Su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas. 1) Indica la simetría de las siguientes funciones: 3.4. PERIODICIDAD Hay funciones que cada cierto intervalo vuelven a tomar los mismos valores, a estas funciones se denominan periódicas y a la amplitud de dicho intervalo periodo. 1) 3.5. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES Ejemplo: Cuáles son los puntos de corte con los ejes de la siguiente función? 5
Observa que: Los puntos de corte con el eje X son de la forma (x, 0); puede no tener o tener uno, dos, tres o hasta infinitos. Los puntos de corte con el eje Y son de la forma (0, y). Puede tener uno o ninguno, pero nuca más de uno. 3.6. MONOTONÍA (crecimiento y decrecimiento). MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN. Monotonía Cuando hablamos de monotonía de una función nos estamos refiriendo al crecimiento y decrecimiento de esa función. Intuitivamente una función es creciente cuando al aumentar la variable independiente aumenta la función. Análogamente, una función es decreciente cuando al aumentar la variable independiente disminuye la función. Si al aumentar la variable independiente la dependiente no varía, decimos que la función es constante. Los valores dónde la función crece o decrece se escriben siempre en intervalos abiertos uniéndolos mediante el símbolo unión (U). Máximos y mínimos Se llaman extremos relativos de una función a los valores del dominio en los que la función pasa de ser creciente a ser decreciente o viceversa. Así: - Los puntos en los que la función pasa de creciente a decreciente se denominan máximos relativos. - Los puntos en los que la función pasa de ser decreciente a ser creciente se denominan mínimos relativos. Al mayor valor de la función se le llama máximo absoluto, y al menor mínimo absoluto. 6
No obstante, en realidad, un máximo es un punto que cumple que es el más alto de su entorno, y un mínimo el más bajo de su entorno: a) b) 3. 7. TENDENCIAS DE UNA FUNCIÓN Hay funciones en las que, aunque conozcamos un trozo de ellas, podemos predecir cómo se comportan lejos del intervalo en que han sido estudiadas, porque tienen ramas con una tendencia muy clara. Fíjate en el siguiente ejemplo: Se ha realizado una experiencia en un laboratorio de biología molecular con dos tipos de bacterias. La gráfica siguiente nos muestra el crecimiento de cada una de ellas, criándose por separado y en idénticas condiciones: Observa que, a partir de cierto día, cuántos más días pasen menos ejemplares de bacterias hay de ambos tipos, y que si aumentamos el número de días, el número de bacterias tiende a estabilizarse: Las bacterias tipo A en torno a Las bacterias tipo B en torno a 7
4. FUNCIONES CUYA GRÁFICA ES UNA RECTA Son funciones polinómicas de grado cero o uno. En ocasiones, por abuso del lenguaje, se llama funciones lineales a todas aquellas cuya gráfica es una recta. Nosotros distinguiremos entre funciones lineales y funciones afines. Antes de definirlas, veremos uno de los conceptos más importantes de este curso que es el de pendiente de una recta: 4.1. FUNCIONES LINEALES Responden a la expresión algebraica y = mx Pasan por el origen de coordenadas (0, 0). m, que es un número real, es la pendiente de la recta, y se define: m = y incremento de y = = y y 1 x incremento de x x x 1, siendo (x 1, y 1 ) y (x, y ) dos puntos cualquiera de la recta. De la anterior definición se deduce que para calcular la pendiente de una recta, sólo hace falta conocer dos puntos por los que pase: 1. Calcular la pendiente recta que pasa por los puntos (, -4) y (5, 3). Calcular la pendiente de la función lineal que pasa por el punto (-3, 4) 3. Obtener la pendiente de las siguientes funciones lineales y su ecuación. Cómo representar una función lineal: Colocamos (0,0). Nos movemos a partir de él utilizando el concepto de pendiente, encontrando otro punto. Unimos ambos puntos. y = x m = = 1 = y sube x avanza 1 y = x 3 m = 1 3 = y baja (porque es negativo) 1 unidad x avanza 3 8
4.. FUNCIONES AFINES Su expresión algebraica es m es la pendiente de la recta y mx n, donde n es la ordenada en el origen, lo que significa que la recta pasa por el punto (0, n) Cómo representar una función afín: Colocamos (0,n). Nos movemos a partir de él utilizando el concepto de pendiente, encontrando otro punto. Unimos ambos puntos. y = x 3 y = x + 4 Un caso particular de las funciones afines son las funciones constantes, es decir aquellas en las que m= 0, con lo que la ecuación de la recta queda y = n. La gráfica de estas funciones es una recta horizontal Observación: Dentro de esta clasificación que hemos hecho de las rectas faltan las rectas verticales, que no entran dentro de ninguno de los casos anteriores porque no son funciones propiamente dichas. En las rectas verticales x siempre tiene el mismo valor, por lo que su ecuación es de la forma x = c. La función afín en los problemas: Las funciones de la forma y = [parte proporcional]+[parte fija] son funciones afines y = mx + n, donde mx es la parte proporcional y n la fija. Son muy habituales en economía, medicina, física, química, geología y astronomía. 9
5. FUNCIÓN CUADRÁTICA: LA PARÁBOLA Representemos la función f(x) = x, haciendo para ello una tabla de valores: x -4-3 - -1 0 1 3 4 y 16 9 4 1 0 1 4 9 16 Sus principales características son: Dom(f) = R, Im(f) = [0, ) Creciente en (0, ) Continua Decreciente en (, 0) No periórdica Mínimo absoluto (0, 0) Simétrica par No tiene asíntotas Análogamente se tiene la función f(x) = x (describir). Las funciones cuadráticas responden a la expresión algebraica general de un polinomio de segundo grado. y ax bx c, con a 0, es decir, la ecuación Sus principales características son: La gráfica de la función cuadrática se corresponde con una parábola. Si el coeficiente principal a>0 la función es cóncava, es decir, se abre hacia arriba, y si a<0 la función es convexa, es decir, se abre hacia abajo El vértice es el punto donde cambia el crecimiento de la parábola. Si llamamos a sus coordenadas V x v, y v, tenemos x v = b e y a v = f(x v ) b El eje de la parábola es la recta vertical cuya ecuación es x. a Para dibujar la parábola necesitamos al menos 5 puntos, entre los que debemos incluir el vértice y los puntos de corte con los ejes. Para calcular los puntos que falten podemos recurrir al concepto de simetría o dar valores a x y calcular sus imágenes correspondientes. En cualquier caso, siempre debemos obtener dos puntos anteriores al vértice y otros dos posteriores. Representar y describir las propiedades de las siguientes parábolas: a) y x 5x 6 - Como a>0, es cóncava - Las coordenadas del vértice son: b 5 xv a y v f ( x v 5 ) 5 5 6 5 4 5 1 6 4 10
- Puntos de corte con los ejes Eje X (y = 0) Resolvemos la ecuación x 5x 6 0 5 x 5 4 5 1 3 5 1 5 1, 0, 3, 0 Eje Y: (x = 0): y f ( 0) 6 0, 6 - El eje de simetría es la recta 5 x - Hacemos la tabla de valores para representarla: Punto simétrico al punto (0, 6) respecto del eje de simetría x 0 y 6 0 5 1 4 3 5 0 6 Propiedades Dom ( f ), Im(f) = Es continua. Simétrica respecto al eje. No es periódica. Creciente en y decreciente en Tiene un absoluto en el punto No tiene asíntotas. b) y = x 6x 11 (clase) c) y x 4x 1(casa) 11