Tangencias y enlaces. Los objetivos que nos proponemos alcanzar con esta Unidad son:

UNIDD 4 Tangencia y enlace E n la tipogafía, en el dieño, en la aquitectua... e utilizan línea compueta po egmento y aco de cicunfeencia enlazado, que peentan continuidad en u tazado. La tangencia poibilita el enlace. El conocimiento de la contuccione de tangencia pemite también eolve oto poblema geomético y taza cuva técnica como el óvalo, el ovoide, la voluta,... En eta Unidad e etudia la contucción de ecta que cumplen do condicione del tipo: paa po un punto, e tangente a una cicunfeencia. O de cicunfeencia que cumplen te condicione del tipo: tene adio dado, paa po un punto, e tangente a una ecta, e tangente a una cicunfeencia. Se inicia la Unidad peentando la popiedade de la tangencia ente ecta y cicunfeencia, o ente do cicunfeencia y lo lugae geomético, que e utilizan paa detemina lo cento de la cicunfeencia que cumplen do condicione. l deaolla la contuccione, lo cento de la cicunfeencia que cumplen te condicione, e obtienen como inteección de do lugae geomético, que eultan de toma la condicione do a do. La olución puede e múltiple, pue cada uno de dicho lugae geomético puede eta fomado po do o má línea. Lo objetivo que no poponemo alcanza con eta Unidad on: 1. Se capaz de ealiza y itematiza la contuccione de tangencia. 2. Se capaz de identifica la contuccione de tangencia neceaia paa epeenta un objeto, o paa detemina u dimenione. 88

Relacione ente ecta y cicunfeencia Secante Tangente aa po un punto Radio conocido Se tangente a una cicunfeencia Se tangente a una ecta 1ª opiedad 2ª popiedad Tazado de ecta que cumplen do condicione 3ª popiedad Tazado de cicunfeencia que cumplen te condicione ÍNDICE DE CONTENIDOS 1. CONCETOS BÁSICOS SOBRE TNGENCIS Y ENLCES.................................. 90 1.1. Relacione ente ecta y cicunfeencia. opiedade.................................... 90 1.2. Lugae geomético definido po condicione de tangencia................................ 91 1.3. Enlace.......................................................................... 93 2. TRZDO DE RECTS TNGENTES CIRCUNFERENCIS.................................. 94 2.1. Recta tangente a una cicunfeencia que paan po un punto.............................. 94 2.2. Recta tangente a do cicunfeencia................................................. 95 3. TRZDO DE CIRCUNFERENCIS DE RDIO DDO TNGENTES RECTS, OTRS CIRCUNFERENCIS, O QUE SN OR UNTOS......................................... 97 3.1. Cicunfeencia de adio dado que paa po do punto..................................... 97 3.2. Cicunfeencia de adio dado tangente a una ecta, y que paan po un punto................. 97 3.3. Cicunfeencia de adio dado tangente a una cicunfeencia, y que paan po un punto......... 98 3.4. Cicunfeencia de adio dado tangente a una cicunfeencia y a una ecta.................... 99 3.5. Cicunfeencia de adio dado tangente a do ecta..................................... 100 3.6 Cicunfeencia de adio dado tangente a do cicunfeencia.............................. 100 4. TRZDO DE CIRCUNFERENCIS TNGENTES RECTS, OTRS CIRCUNFERENCIS, O QUE SN OR UNTOS................................................................ 102 4.1. Cicunfeencia que paa po te punto............................................... 102 4.2. Cicunfeencia tangente a una ecta que paa po do punto, ituado uno de ello en la ecta.... 103 4.3. Cicunfeencia tangente a ota cicunfeencia que paa po do punto, ituado uno de ello en la cicunfeencia. 103 4.4. Cicunfeencia tangente a do ecta que paan po un punto ituado en una de ella......... 104 4.5. Cicunfeencia tangente a una ecta y a ota cicunfeencia, que paan po un punto ituado en la cicunfeencia 104 4.6. Cicunfeencia tangente a una ecta y a ota cicunfeencia, que paan po un punto ituado en la ecta 105 4.7. Cicunfeencia tangente a ota do cicunfeencia, que paan po un punto ituado en una de ella.. 106 4.8. Cicunfeencia tangente a te ecta................................................ 106 89

UNIDD 4 TNGENCIS Y ENLCES 1. Concepto báico obe tangencia y enlace 1.1. Relacione ente ecta y cicunfeencia. opiedade Una ecta y una cicunfeencia, o do cicunfeencia, e elacionan ente í atendiendo al númeo de punto que compaten (Ilut. 1): Secante i tienen do punto comune (punto de cote). Tangente i tienen un único punto en común (punto de tangencia). Exteioe i no tienen punto comune y en el cao de do cicunfeencia, inteioe cuando una enciee a la ota o concéntica i compaten el mimo cento. Exteioe Secante Tangente Exteioe Secante Tangente exteioe Inteioe Concéntica Tangente inteioe Ilutación 1 nimación En la Fig. a de la Ilut. 2 e puede ve que cuando una ecta e ecante a una cicunfeencia, el tiángulo OQ e iócele y la mediatiz de u bae Q paa po O. Se puede conidea la tangente (Fig. b) como una ecante en la cual y Q coinciden y al e O^ = 0º eán ^ = Q^ = 90º. En conecuencia: imea popiedad: La mediatiz de una cueda paa po el cento de la cicunfeencia. 90

Segunda popiedad: La tangente a una cicunfeencia e pependicula al adio que paa po el punto de tangencia. En la Fig. c e ha tazado la ecante que paa po lo punto comune y Q de do cicunfeencia ecante. Cuando la ditancia ente lo cento O= + (Fig. d), o O= - (Fig. e) lo punto y Q coinciden y e tangente a la do cicunfeencia y po tanto pependicula a u adio O y. En conecuencia: Tecea popiedad: Do cicunfeencia tangente tienen u cento alineado con el punto de tangencia. = Q O α Q O 90º a) c b) O Q = Q 90º O O 90º = Q c) d) e) Ilutación 2 1.2. Lugae geomético definido po condicione de tangencia En la Ilut. 3 apaecen ejemplo de lo lugae geomético que e enuncian a continuación y que e utilizan paa ealiza la contuccione de tangencia. En lo uceivo e identificaán en la contuccione po u númeo ente paéntei. (1) El luga geomético de lo cento de la cicunfeencia de adio que paan po un punto e la cicunfeencia de cento y adio. (2) El luga geomético de lo cento de la cicunfeencia que paan po do punto y Q e la mediatiz de Q. 91

UNIDD 4 TNGENCIS Y ENLCES (3) El luga geomético de lo cento de la cicunfeencia tangente a una ecta en un punto T e la pependicula a en T. El luga geomético de lo cento de la cicunfeencia tangente a ota cicunfeencia de cento O en un punto T e la ecta OT. (4) El luga geomético de lo cento de la cicunfeencia de adio tangente a la ecta on la paalela a a la ditancia. Q T O (1) (2) (3) (4) (7) O - + (6) (5) (6) y (7) Ilutación 3 (5) El luga geomético de lo cento de la cicunfeencia tangente a do ecta dada e la biectiz del ángulo que foman. (6) y (7) El luga geomético de lo cento de la cicunfeencia de adio tangente exteioe (6) e inteioe (7) a la cicunfeencia de cento O y adio on la cicunfeencia de cento O y adio + y -. 92

1.3. Enlace En la Ilut. 4 aiba, e ha dibujado una cuva indicando en ella lo tipo de punto má fecuente: Odinaio : donde e dibuja la tangente t y la nomal n. nguloo B: cuando en el punto B e pueden taza do tangente difeente t y t a cada una de la pate en que la cuva queda dividida. De inflexión C: cuando la tangente en C e única peo cambia la poición del cento de cuvatua ante y depué de C. Ilutación 4 Cuando e tata de enlaza un aco de cicunfeencia con oto, o con una emiecta (Ilut. 4 abajo), puede hacee mediante un punto anguloo (punto de unión), peo e má caacteítico utiliza un punto odinaio o de inflexión (punto de enlace). Enlace e la unión de do o má línea cuva o ecta, de modo que apaentemente contituyan una ola. 93

UNIDD 4 TNGENCIS Y ENLCES 2. Tazado de ecta tangente a cicunfeencia 2.1. Recta tangente a una cicunfeencia que paan po un punto O O t Ilutación 5 Sea la cicunfeencia de cento O y un punto de ella (Ilut. 5). Se taza la ecta O y e levanta u pependicula po, que eá la tangente t. T O T Ilutación 6 Sea la cicunfeencia de cento y el punto exteio a ella (Ilut. 6). Se taza el egmento O 1 y u mediatiz, que lo cota en O. La cicunfeencia de cento O y adio O cota a la dada en lo punto de tangencia T y T po lo que tazaemo la tangente T y T. El ángulo T, incito en la cicunfeencia de cento O, mide 90º ya que u cental coepondiente O mide 180º. 94

2.2. Recta tangente a do cicunfeencia O 2 2 T 1-1 2 O O 2 2 1 T - 1 2 B Ilutación 7 Sean la cicunfeencia de cento, O 2 y adio 1, 2. Si e deea taza la tangente exteioe comune a amba, educiemo eta contucción (Ilut. 7) a la anteio, etando el adio 2 de la cicunfeencia meno al adio 1 de la mayo, que quedaá convetida en la de cento y adio 1-2 (línea de tazo gueo). Deteminaemo entonce lo punto de tangencia y B de la tangente tazada dede O 2 a la cicunfeencia de tazo gueo. olongando, B paa obtene T, T e tazan la olucione TT, T T paalela a la ecta O 2 y BO 2. O 2 2 1 T O 2 1 + 2 O T 2 1 1 + 2 B Ilutación 8 95

UNIDD 4 TNGENCIS Y ENLCES Si e deea taza la tangente inteioe comune a amba (Ilut. 8) e pocedeá de manea análoga, tazando la cicunfeencia concéntica con la mayo (línea de tazo gueo) de adio 1 + 2, iendo la tangente olución paalela a O 2 y O 2 B. plicación En lo dibujo técnico de pieza indutiale apaecen egmento y aco cuya longitude, poición, cento y adio etán definida po la cota y ota línea compueta de egmento y aco enlazado, cuyo punto de enlace y cento deben e deteminado. Lo cento de lo aco apaecen definido po el cote de eje pependiculae (línea de aya y punto), que pueden e, ademá, de imetía de la pieza. Lo punto de enlace y lo cento de aco enlazado e obtienen identificando y eolviendo un poblema de tangencia. 12 33,3 10 26,6 COTS EN MM O 2 T ESCL 1:1 T Se deea epoduci el alzado de la leva cuya dimenione apaecen acotada en el coqui. Se dibujan en pime luga lo te eje y la cicunfeencia de adio 10 / 26,6 / y 12 mm. La contucción de la ecta tangente a la cicunfeencia de adio 12 mm y 26,6 mm, pemite obtene lo punto de enlace T, T, T, T y taza TT, T T. 96

3. Tazado de cicunfeencia de adio dado tangente a ecta, a ota cicunfeencia, o que paan po punto 3.1. Cicunfeencia de adio dado que paa po do punto Q Q Ilutación 9 Sea el adio de la cicunfeencia y, Q lo punto (Ilut. 9). Lo cento de la cicunfeencia olución etán en la inteeccione de la mediatiz de Q con la cicunfeencia de cento y adio. 3.2. Cicunfeencia de adio dado tangente a una ecta, y que paan po un punto Sea el adio de la cicunfeencia, la ecta y un punto de ella (Ilut.10 izquieda). Lo cento de la cicunfeencia olución etán en la inteeccione de la pependicula a la ecta en con la cicunfeencia de cento y adio. Si el punto e exteio (Ilut. 10 deecha), lo cento de la cicunfeencia olución etaán en la inteeccione de la paalela a la ecta a la ditancia con la cicunfeencia de cento y adio. 97

UNIDD 4 TNGENCIS Y ENLCES Ilutación 10 3.3. Cicunfeencia de adio dado tangente a una cicunfeencia, y que paan po un punto 1 + 1 1-1 1 1 Ilutación 11 98

Sea la cicunfeencia de cento y adio 1, un punto de ella, y el adio de la cicunfeencia tangente (Ilut. 11 izquieda). Lo cento de la cicunfeencia olución etán en la inteeccione de la ecta con la cicunfeencia de cento y adio. Si el punto e exteio (Ilut. 11 deecha), lo cento de la cicunfeencia olución etaán en la inteeccione de la cicunfeencia de cento y adio con la cicunfeencia de cento y adio + 1 y - 1. 3.4. Cicunfeencia de adio dado tangente a una cicunfeencia y a una ecta 1 + 1-1 1 Ilutación 12 Sea la cicunfeencia de cento y adio 1, una ecta, y el adio de la cicunfeencia tangente (Ilut. 12). Lo cento de la cicunfeencia olución etán en la inteeccione de la paalela a la ecta a la ditancia con la cicunfeencia de cento y adio + 1 y - 1. 99

UNIDD 4 TNGENCIS Y ENLCES 3.5. Cicunfeencia de adio dado tangente a do ecta a b a b Ilutación 13 Sea el adio de la cicunfeencia y a, b la ecta (Ilut. 13). Lo cento de la cicunfeencia olución etán en la inteeccione de la paalela a la ecta b a la ditancia con la biectice de lo ángulo que foman la ecta a, b. 3.6 Cicunfeencia de adio dado tangente a do cicunfeencia Sean la cicunfeencia de cento, O 2 y adio 1, 2 y ea el adio de la cicunfeencia tangente inteioe y exteioe a amba (Ilut. 14). Lo cento de la cicunfeencia olución etán en la inteeccione de la cicunfeencia de cento y adio + 1 y - 1 con la cicunfeencia de cento O 2 y adio + 2 y - 2. 100

+ 1-1 + 2-2 1 2 O 2 1 2 O 2 Q Q Q Q Ilutación 14 Exiten ocho olucione, de la cuale ólo e han dibujado la que tienen po cento lo punto,,,, indicándoe lo cento Q, Q, Q, Q de la ota cuato. plicación COTS EN M 13 5 33 En una pacela e ha contuido un edificio y e deea taza una caetea de acceo fomada po aco de cicunfeencia de cento y adio 33 m, tamo ecto de entada y alida paalelo a la linde, otonda paa apacamiento de adio 5 m, y do devío de enlace de adio 13 m, que deben paa po. Situado y obe el plano, e taza la cicunfeencia de cento y adio 33 m y la cicunfeencia de adio 13 m, tangente inteiomente a ella que paan po. Su cento, etán en la inteeccione de la cicunfeencia de cento y adio 13 m (luga geomético 1) con la cicunfeencia de cento y adio 33-13 m (luga geomético 7). 101

UNIDD 4 TNGENCIS Y ENLCES (1) T T T T (6) (6) T (6) T Lo punto de enlace T, T e obtienen alineado con lo cento de la cicunfeencia tangente (ecta y ). La otonda eá la cicunfeencia de adio 5 m, tangente inteio a la de adio 13 m y cento, (luga geomético 6). La pependiculae a la linde dede no dan lo punto de enlace T, T con lo acceo de entada y alida, que eán la tangente a la cicunfeencia de cento en dicho punto. 4. Tazado de cicunfeencia tangente a ecta, a ota cicunfeencia, o que paan po punto 4.1. Cicunfeencia que paa po te punto C C B B Ilutación 15 Sean, B, C lo te punto (Ilut. 15). El cento de la cicunfeencia olución etá en la inteección de la mediatice de B y BC. 102

4.2. Cicunfeencia tangente a una ecta que paa po do punto, ituado uno de ello en la ecta B B Ilutación 16 Sea la ecta, un punto de ella y B un punto exteio (Ilut. 16). El cento de la cicunfeencia olución etá en la inteección de la pependicula a la ecta en con la mediatiz de B. 4.3. Cicunfeencia tangente a ota cicunfeencia que paa po do punto, ituado uno de ello en la cicunfeencia B B Ilutación 17 Sea la cicunfeencia de cento, un punto de ella y B un punto exteio (Ilut. 17). Lo cento de la cicunfeencia olución etán en la inteeccione de la ecta con la mediatiz de B. 103

UNIDD 4 TNGENCIS Y ENLCES 4.4. Cicunfeencia tangente a do ecta que paan po un punto ituado en una de ella b b a a Ilutación 18 Sean a, b la ecta y un punto de la ecta b (Ilut. 18). Lo cento de la cicunfeencia olución etán en la inteeccione de la pependicula a la ecta b en con la biectice de lo ángulo que foman la ecta a y b. 4.5. Cicunfeencia tangente a una ecta y a ota cicunfeencia, que paan po un punto ituado en la cicunfeencia t O 1 1 O 1 1 a a Ilutación 19 104

Sea la cicunfeencia de cento, un punto de ella y a la ecta (Ilut. 19). Se contuye la tangente t a la cicunfeencia en el punto. Lo cento de la cicunfeencia olución etán en la inteeccione de la ecta con la biectice de lo ángulo que foman la ecta a y t. 4.6. Cicunfeencia tangente a una ecta y a ota cicunfeencia, que paan po un punto ituado en la ecta c 1 c v v a 1 1 a a Ilutación 20 Sea la cicunfeencia de cento y adio 1, a una ecta, y un punto de ella (Ilut. 20). Lo cento de la cicunfeencia olución etán en la inteeccione de la pependicula a la ecta a en con la mediatice de O ' y '' O 1 1. En la figua de análii puede vee que la olucione v, v on concéntica con la cicunfeencia c, c. l taza lo egmento ' = '' = 1 educimo la contucción a la de obtene, obe la pependicula a la ecta a po, lo cento, de la cicunfeencia que paan po lo punto, y, epectivamente. 105

UNIDD 4 TNGENCIS Y ENLCES 4.7. Cicunfeencia tangente a ota do cicunfeencia, que paan po un punto ituado en una de ella O 2 2 1 O 2 2 1 Ilutación 21 Sean la cicunfeencia de cento, O 2 y adio 1, 2 y un punto de la egunda. En la (Ilut. 21), obe lo dato, e han dibujado lo punto, ituado en la ecta O 2, a la ditancia ' = '' = 1. Lo cento de la cicunfeencia olución etán en la inteeccione de la ecta O 2 con la mediatice de O ' y '' O 1 1. La contucción e educe a la de obtene, obe la ecta O 2, lo cento, de la cicunfeencia concéntica con la olución, que paan po lo punto, y, epectivamente. 4.8. Cicunfeencia tangente a te ecta Sean a, b, c la te ecta (Ilut. 22). Lo cento de la cicunfeencia olución etán en la inteeccione de la biectice de lo ángulo que foman la ecta. 106

a b c Ilutación 22 Recueda T T T T La mediatiz de una cueda paa po el cento de la cicunfeencia. La tangente a una cicunfeencia e pependicula al adio que paa po el punto de tangencia. Do cicunfeencia tangente tienen u cento alineado con el punto de tangencia. aa dibuja una pieza, pimeo e tazan lo eje y la línea cuya dimenione etén definida, depué e identifican y euelven la contuccione de tangencia que pemiten obtene lo cento y punto de enlace de egmento o aco. 107

UNIDD 4 TNGENCIS Y ENLCES ctividade 1. Dibuja el contono del hueco de la leta D, egún e indica en el coqui, a ecala natual. 13 39 26 COTS EN MM 2. Taza la cicunfeencia tangente a la de cento O1 y adio 1 en el punto y a la ecta. 3. O1 La gola e una moldua fomada po una doble cuva, con la pate upeio cóncava y la infeio convexa. Enlaza lo punto y B mediante una gola egún el coqui. B 14,5 mm B COTS EN MM 5,45 6,3 4. Repeenta la aandela a ecala 10:1. l e imética e uficiente dibuja la mitad. 4,32 30º 1,05 0,7 8,24 108