METODOS MATEMATICOS DE LA FISICA II. EXAMEN DEL PRIMER PARCIAL 3 de enero de 24 GRUPO I (Pedro López Rodríguez).. (2.5 puntos) Calcular el flujo del campo F (x, y, z) = (x, y, 2z) a través de la superficie dada por x 2 +y 2 = 9, z 4 orientada al exterior, directamente y utilizando el teorema de Gauss. 2. (2.5 puntos) Un depósito de agua tiene volumen V y su temperatura inicial es t. A través de un tubo se inyecta en él agua a una temperatura de grados a una velocidad de v litros por minuto, y a través de otro tubo sale agua del depósito a la misma velocidad, manteniéndose el agua removida en todo momento. El depósito se encuentra en un medio a temperatura T constante, y el coeficiente de intercambio de calor entre el depósito y el medio es k. Calcular la temperatura del agua en el depósito en función del tiempo. Calcular el valor límite de la temperatura del agua en el depósito. 3. (2.5 puntos) Calcular todas las soluciones de la ecuación diferencial xy + y + y =. 4. (2.5 puntos) Calcular los puntos críticos de la ecuación diferencial dt 2 x =, estudiar de qué tipo son y si son estables o inestables. Hacer un esquema del plano fase, incluyendo las trayectorias e indicando el sentido de recorrido de las mismas.
Curso 23-24, grupo I, Pedro López y Renato Alvarez Segundo examen parcial, 4 de junio de 24. (2 puntos). Calcular todas las ramas continuas de la función compleja f(z) = z 2 9 en el dominio C \ [ 3, 3]. Calcular el polinomio de Taylor de orden en z = 3i de la rama que en 5 vale 4. 2. (3 puntos). Demostrar que x /4 x 2 + dx = π 2. Nota: En la simplificación final puede usarse la fórmula trigonométrica ( x ) cos x sen = ±. 2 2 3. (4 puntos). Dada una función f de periodo 2π, define su serie de Fourier. 2. Sea la función 2π periódica f(x) = sin x/2. Calcula su serie de Fourier S f (x). 3. Es S f (x) = f(x) para todo x [ π, π]. Justifica tu respuesta? 4. Utilizando si es necesario los apartados anteriores resuelve la EDP: 2 u(x, t) = a2 u(x, t), t x2 u(, t) = u(π, t) =, u(x, ) = sin x/2. 4. ( punto). Define la transformada de Fourier f(ω) de una funcin f(x) absolutamente integrable en R. 2. Demuestra que si f es n veces derivable y sus n derivadas son absolutamente integrables en R entonces f (n) (ω) = (iω) n f(ω).
Curso 23-24, grupo I, Pedro López y Renato Alvarez Examen final, 2 de julio de 24 Para aprobar el primer parcial: problemas, 2 y 3 Para aprobar el segundo parcial: problemas 4, 5 y 6 Para aprobar toda la asignatura: problemas 2, 3, 5 y 6. Todos los problemas valen igual (/3 para el examen de un parcial y 2.5 para toda la asignatura). Tiempo: 3 horas y media.. Utilizando un cambio a coordenadas polares, calcular la integral: (b 2 + x 2 + y 2 ) 3 2 dxdy, donde D está definido por x a, y a/ 3. D 2. Calcular la solución general de la ecuación diferencial x 2 y 3 2 xy + ( + x)y =. 3. Se considera la ecuación de movimiento del péndulo con rozamiento dt + c dx 2 M dt + g sen x =, a donde g es la gravedad del medio, a la amplitud del péndulo, c la constante de rozamiento y M la masa del péndulo.. Calcular los puntos críticos de la ecuación y clasificarlos. 2. Calcular las trayectorias del plano fase y representarlas gráficamente. sigue detrás
4. Determinar los parámetros de la función f(z = x + iy) = para que sea derivable en z C \ { }. x + k iy x 2 + y 2 + 2x + 5. Demostrar que cos(ax) π(a + ) dx =. (x 2 + ) 2 4e a 6.. Calcula la serie de Fourier de la función h(x) = x 2, x [ π, ), y h(x) = x + 2, x [, π). 2. Es S h (x) = h(x) para todo x [ π/2, π/2]. Y para x [ π/2, π/2]? Justifica tu respuesta. 3. Utilizando si es necesario los apartados anteriores resuelve la EDP: 2 u(x, t) = a2 u(x, t), t x2 u(, t) = u(π, t) =, u(x, ) = h(x). 2
Curso 23-24, grupo I, Pedro López y Renato Alvarez Examen de setiembre, 7 de setiembre de 24. La resistencia del aire en el descenso de los cuerpos en paracaídas es proporcional al cuadrado de la velocidad con que caen. Hallar la velocidad límite de la caída. 2. Dibujar el diagrama de fases de la ecuación dt = 2 2x3 y estudiar las propiedades de estabilidad de sus puntos críticos. 3. Demostrar que 2π 4. cos θ 7 + 2 sen θ + 3 cos θ dθ = π 3.. Sean f y g dos funciones 2π-periódicas y sean S f (x) y S g (x) sus correspondientes series de Fourier. Prueba que la serie de Fourier de cualquier combinación lineal de f y g, h(x) = αf(x)+βg(x), α, β R tiene como serie de Fourier la serie S h (x) = αs f (x) + βs g (x). 2. Calcula las series de Fourier de las funciones 2π periódicas f(x) = x, x [ π, π) y g(x) =, x [ π, ), y g(x) =, x [, π). 3. Utilizando si es necesario el apartado anterior calcula la serie de Fourier de la función h(x) = x 2, x [ π, ), y h(x) = x + 2, x [, π). 4. Es S f (x) = f(x) para todo x [ π/2, π/2]. Y S g (x) = g(x) en x [ π/2, π/2]? Justifica tu respuesta. 5. Utilizando si es necesario los apartados anteriores resuelve la EDP: 2 u(x, t) = a2 u(x, t), t x2 u(, t) = u(π, t) =, u(x, ) = h(x).
Curso 23-24, grupo I, Pedro López y Renato Alvarez Examen de diciembre, 6 de diciembre de 24. Un muelle con constante de estiramiento k se cuelga verticalmente teniendo fijo su extremo superior. Al extremo inferior se fija una pequeña bola de masa m. Una vez en equilibrio se tira de la bola hacia abajo desplazándola una distancia c y luego se suelta.. Calcular la ecuación del movimiento de la bola despreciando la resistencia del aire. 2. Calcular la ecuación del movimiento de la bola suponiendo que el aire ofrece una fuerza de resistencia proporcional a la velocidad. 2. Estudiar los puntos críticos de la ecuación de Van Der Pol dt + 2 µ(x2 ) dx dt + x = y estudiar de qué tipo son. La constante real µ es arbitraria. 3. Demostrar que 2π sen θ 5 + 4 sen θ dθ = π 3. 4.. Dada una función f de periodo 2π, define su serie de Fourier. 2. Sea la función 2π periódica f(x) = cos x/2. Calcula su serie de Fourier S f (x). 3. Es S f (x) = f(x) para todo x [ π, π]. Justifica tu respuesta? 4. Utilizando si es necesario los apartados anteriores resuelve la EDP: 2 u(x, t) = u(x, t), t x2 u(, t) = u(π, t) =, u(x, ) = cos x/2.