REGLAS DE PROBABILIDAD

Capítulo 4 Probabilidad REGLAS DE PROBABILIDAD 4.1-1

Evento Compuesto Un evento compuesto es cualquier evento que combina 2 o más eventos simples. Ejemplo: Al lanzar un dado justo de 6 caras, cuál es la probabilidad de obtener un 2 o un 5? Notación P(A ó B) = probabilidad de que, en una sóla repetición de un experimento, ocurre el evento A o el evento B o ambos eventos. (o inclusivo, también A B) 4.1-2

Eventos mutuamente excluyentes Dos eventos son disjuntos o mutuamente excluyentes si no tienen resultados en común. Eventos mutuamente excluyentes son eventos que no pueden ocurrir a la misma vez. Ejemplo: Se realiza un experimento en el cual el espacio muestral es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Sea E = {2, 4, 5, 7}, F = { 6, 7, 9, 12} y G = {2, 3, 4} Son los eventos E y F mutuamente excluyentes? Solucion: 5-3 4.1-3

Ejemplo: Indicar si los siguientes eventos son mutuamente excluyentes o no. 1. Se tiran dos dados. A = La suma de las caras sea par. B = La suma de las caras sea un número divisible entre 3 2. Se tiene una paquete de barajas americanas ( 52 cartas). A = sacar una Reina B = sacar una A 3. Se tiene una paquete de dulces de chocolate M&M que contiene dulces de color rojo, azul, amarillo, verde, anaranjado y marrón. A = sacar un dulce rojo B = sacar un dulce azul 5-4 4.1-4

Los Diagramas de Venn Los Diagramas de Venn son utilizados para representar eventos como circulos encerrados en un rectángulo. El rectángulo representa el espacio muestral y cada círculo representa un evento. 5-5 4.1-5

Ejemplo: Se selecciona aleatoriamente chapas que están enumeradas del 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. E = elegir una chapa que tiene un número menor o igual a 2 F = elegir una chapa que tiene un un número mayor o igual a 8. a) Construir un diagrama de Venn para la situación. b) Determinar la probabilidad de cada evento. 5-6 4.1-6

Eventos mutuamente excluyentes Eventos A y B son disyuntos (o mutuamente excluyentes) si la intersección de su diagrama de Venn está vacía. Diagrama de Venn Diagram para eventos que NO son disyuntos Diagrama de Venn Diagram para eventos que SON disyuntos o mutuamente excluyentes 4.1-7

Regla de suma para eventos mutuamente excluyentes Si E y F son eventos mutuamente excluyentes, entonces P E o F = P E + P(F). Esto también se puede escribir: P E F = P E + P(F) La regla de suma para eventos disyuntos se puede extender para más de dos eventos. En general, si E,F,G son eventos mutuamente excluyentes, entonces P E ó F ó G ó = P E + P(F) +P G + P E F G = P E + P(F) +P G + 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 5-8 4.1-8

EJEMPLO Regla de suma para eventos disyuntos Número de habitaciones en una unidad de vivienda Probabilidad Una 0.010 Dos 0.032 Tres 0.093 Cuartro 0.176 Cinco 0.219 Seis 0.189 Siete 0.122 Ocho 0.079 9 or más 0.080 El modelo de probabilidad de la derecha muestra la distribución del número de habitaciones en unidades de vivienda en los Estados Unidos. (a) Cuál es la probabilidad de que una unidad de vivienda seleccionada al azar tenga dos o tres habitaciones? 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 5-9 4.1-9

EJEMPLO Regla de suma para eventos disyuntos (cont.) Número de habitaciones en una unidad de vivienda Probabilidad Una 0.010 Dos 0.032 Tres 0.093 Cuartro 0.176 Cinco 0.219 Seis 0.189 Siete 0.122 Ocho 0.079 9 or más 0.080 (b) Cuál es la probabilidad de que una unidad de vivienda seleccionada al azar tenga no más de tres habitaciones? 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 5-10 4.1-10

EJEMPLO Regla de suma para eventos disyuntos (cont.) Número de habitaciones en una unidad de vivienda Probabilidad Una 0.010 Dos 0.032 Tres 0.093 Cuartro 0.176 Cinco 0.219 Seis 0.189 Siete 0.122 Ocho 0.079 9 or más 0.080 (c) Cuál es la probabilidad de que una unidad de vivienda seleccionada al azar tenga a lo más ocho habitaciones? 5-11 4.1-11

EJEMPLO (continuación) La siguiente tabla resume los grupos sanguíneos y tipos de Rh para 100 personas típicas. Estos valores pueden variar en diferentes regiones de acuerdo al origen étnico de la población. (a) Si una persona es seleccionada al azar, encontrar la probabilidad de elegir a alguien que es del grupo A o B. A = Persona es del grupo A B = Persona es de tipo B. 5-12 4.1-12

EJEMPLO (continuación) La siguiente tabla resume los grupos sanguíneos y tipos de Rh para 100 personas típicas. Estos valores pueden variar en diferentes regiones de acuerdo al origen étnico de la población. (b) Si una persona es seleccionada al azar, encontrar la probabilidad de elegir a alguien que es de tipo Rh -. E = Persona es de tipo Rh -. 5-13 4.1-13

Complemento de un evento Complemento de un evento Sea S el espacio muestral de un experimento probabilístico. Sea E un evento. El complemento de E, que se denota E c o E, es el evento que contiene todos los elementos que no están en E. El evento E ocurre si E no ocurre. La unión de dos eventos complementarios da el espacio muestral. El evento E y el evento E son mutuamente excluyentes. 5-14 4.1-14

Regla de los Complementos Si E representa un evento y E C representa el complemento de E, entonces P(E C ) = 1 P(E) y P(E) = 1 P(E C ) y P(E) + P(E C ) = 1 5-15 4.1-15

EJEMPLO Construya el complemento de E (a) E: Obtener un múltiplo de 5 al tirar un dado justo de 6 caras " (b) E: Escoger, al azar, una canica azul de una bolsa que contiene canicas azules, verdes y rojos." (c) E: Al girar la ruleta, se detiene en un número par. 5-16 4.1-16

EJEMPLO Cuál es la probabilidad de que la ruleta elija un color diferente al verde? E = Elegir un color diferente al verde. E c = Elegir el color verde. P(E ) = 1 - P(E c ) 5-17 4.1-17

EJEMPLO Ilustrar la Regla del Complemento Según la Asociación Americana de Medicina Veterinaria, el 31.6% de los hogares estadounidenses poseen un perro. Cuál es la probabilidad de que un hogar seleccionado al azar no es propietaria de un perro? Solución: 5-18 4.1-18

EJEMPLO La siguiente tabla resume los grupos sanguíneos y tipos de Rh para 100 personas típicas. Estos valores pueden variar en diferentes regiones de acuerdo al origen étnico de la población. Si una persona es seleccionada al azar, encontrar la probabilidad de elegir a alguien que NO es del tipo O con Rh +. E = Persona es de tipo O con Rh +. 5-19 4.1-19

Eventos dependientes e independientes Dos eventos E y F son independientes si la ocurrencia del evento E en un experimento de probabilidad no afecta a la probabilidad de que ocurra el evento F. Dos sucesos son dependientes si la ocurrencia del evento E en un experimento de probabilidad afecta a la probabilidad de que ocurra el evento F. 5-20 4.1-20

EJEMPLO Independiente o No? (a) Se elige una carta de una baraja de 52 cartas y luego se tira un dado. E: Elegir un corazón" F: Tirar un número par" (b) Se eligen al azar dos individuos de 40 años de edad que viven en Puerto Rico. E: El individuo 1 sobrevive al año" F: "El individuo 2 sobrevive al año" (c) Una caja contiene 4 canicas rojas y 3 canicas verdes. Se remueve una primera canica de la caja y no se reemplaza. Se remueve una segunda canica. E: Elegir una canica roja la primer vez." F: Elegir una canica verde la segunda vez." 5-21 4.1-21

Regla de multiplicación para eventos independientes Si E y F son eventos independientes, entonces P E y F = P E P(F). Esto también se puede escribir: P E F = P E P(F) La regla de la multiplicación para eventos independientes se puede extender para n eventos. En general, si E,F,G son eventos independientes, entonces P E y F y G y = P E P(F) P G P E F G = P E P(F) P G 5-22 4.1-22

EJEMPLO Computar Probabilidad para Eventos Independientes Un fabricante de equipo de ejercicio sabe que el 10% de sus productos son defectuosos. También sabe que, en realidad, sólo el 30% de sus clientes utilizan el equipo en el primer año después de su adquisición. Si hay una garantía de un año sobre el equipo, qué proporción de los clientes harán un reclamación válida? Solución: E: Equipo sale defectuoso. F: El equipo se usa durante del año de comprado. Asumiremos que E y F son independientes. 5-23 4.1-23

EJEMPLO Computar Probabilidad para Eventos Independientes La probabilidad de que una mujer de 60 años de edad, que se selecciona al azar, sobreviva el año es de 99.186%, según el Informe Nacional de Estadísticas Vitales, vol. 47, N º 28. Cuál es la probabilidad de que dos mujeres de 60 años de edad seleccionadas al azar sobrevivan el año? Solución: La sobrevivencia de la primera mujer es independiente de la segunda por lo tanto. 5-24 4.1-24

EJEMPLO Regla de Multiplicación para eventos independientes La probabilidad de que una mujer de 60 años de edad seleccionada al azar va a sobrevivir el año es de 99.186%, según el Informe Nacional de Estadísticas Vitales, vol. 47, N º 28. Cuál es la probabilidad de que de cuatro mujeres de 60 años de edad, seleccionadas al azar, ninguna sobrevivan al año? Solución 5-25 4.1-25

EJEMPLO Computar probabilidades que contienen la frase al menos La probabilidad de que una mujer de 60 años de edad, seleccionada al azar, va a sobrevivir el año es de 99.186%, según el Informe Nacional de Estadísticas Vitales, vol. 47, N º 28. Cuál es la probabilidad de que al menos una de las 500 mujeres de 60 años, seleccionadas al azar, muera en el transcurso del año? Solución: 5-26 4.1-26

Regla general de suma La probabilidad de que ocurra un evento E ó un evento F P E o F = P E + P(F) P( E y F) Esto también se puede escribir: P E F = P E P(F) P( E y F) Note que cuando E y F son mutuamente excluyentes, P( E y F)=0 y tenemos la primera fórmula que estudiamos. 5-27 4.1-27

EJEMPLO Ilustrar la regla general de la suma Suponer que se lanzan un par de dados. Sea E = la cara superior del primer dado es 2 y F = la suma de las caras de los dados es menor o igual a 5 Determinar P(E o F) 1. Utilizando la el método clásico de calcular probabilidad 5-28 4.1-28

EJEMPLO Ilustrar la regla general de la suma (cont.) Suponer que se lanzan un par de dados. Sea E = la cara superior del primer dado muestra 2 puntos y F = la suma de las caras de los dados es menor o igual a 5 Determinar P(E ó F) (2) Utilizando la regla general de la suma de probabilidades 5-29 4.1-29

EJEMPLO Una carta es elegida al azar de un juego de baraja de 52 cartas. Se devuelve la carta y luego se elige una segunda tarjeta. Cuál es la probabilidad de elegir una J y luego un diamante? Solución: 5-30 4.1-30

EJEMPLO La siguiente tabla resume los resultados de 985 muertes de peatones que fueron causadas por accidentes (basado en datos de la National Highway Traffic Safety Administration) Si se selecciona al azar una muerte de peatón, aproximar la probabilidad de que el conductor estaba ebrio o el peatón no estaba ebrio, a dos lugares decimales. E = El conductor estaba ebrio. F = El peatón NO estaba ebrio P(E o F) = P(E)+ P(F)-P(EyF) 5-31 4.1-31

Probabilidad condicional La probabilidad condicional : se denota P(F E) y se lee la probabilidad de un evento F dado el evento E. Es la probabilidad de que un event F ocurra dado que el evento E haya ocurrido. 5-32 4.1-32

EJEMPLO Probabilidad Condicional Supongamos que se tira un dado de seis caras pero se nos dice que el resultado será un número par. Cuál es la probabilidad de que salga un 4? Queremos calcular: P(obtener un 4 saldrá un número par) Noten que el espacio muestral se reduce al tener la información de que el número que va a salir es par. S = {2, 4, 6} P(obtener un 4 saldrá un número par) = 1 3 5-33 4.1-33

Regla para calcular probabilidad condicional Si E y F son dos eventos P EyF = P E P F E P F E = N(EyF) N(E) = P(EyF) P(E) 5-34 4.1-34

EJEMPLO Probabilidad Condicional Ejemplo: En una muestra de 1000 personas, 120 son zurdos. Dos personas aleatorias se seleccionan al azar y sin reemplazo. (a) Encuentre la probabilidad de que ambas personas son zurdas. Solución: Sea E= La primer persona seleccionada es zurda. Sea F = La segunda persona seleccionada es zurda. Los eventos NO son independientes. P(E y F) = P(E) P(F E) = 120 1000 = 0.0143 119 999 5-35 4.1-35

EJEMPLO Computar probabilidades que contienen la frase al menos Una carta es elegida al azar de un juego de baraja de 52 cartas. Se devuelve la carta y luego se elige una segunda tarjeta. Cuál es la probabilidad de elegir una J ó un diamante? Solución: P( J ó )? Los eventos son mutuamente excluyentes. P E o F = P E + P(F) P( E y F) P J = P( ) = P( J y ) 4 52 13 52 = 1 52 = P E + P(F) P( E y F) = 4 52 + 13 52 1 52 = 16 52 = 4 13 5-36 4.1-36

EJEMPLO Probabilidad Condicional Ejemplo: En una muestra de 1000 personas, 120 son zurdos. Dos personas aleatorias se seleccionan al azar y sin reemplazo. Encuentre la probabilidad de que al menos una de las dos personas sea zurda. Solución: Sea E= Al menos una persona seleccionada es zurda. 5-37 4.1-37

EJEMPLO Probabilidad Condicional Una encuesta fue realizada por la Organización Gallup en el 2008 en la que se preguntó a 1,017 adultos estadounidenses, cuál de tres afirmaciones se acercaba más a su creencia acerca de Dios. Los resultados de la encuesta, según la región del país, se dan en la siguiente tabla. (a) Cuál es la probabilidad de que un adulto estadounidense que vive en el Este y que es seleccionado aleatoriamente, cree en Dios? Sea E= Adulto que vive en el este. Sea F = Adulto que cree en Dios Cree en Dios Cree en un espíritu universal No cree en Dios ni en un espíritu universal Este 204 36 15 Norte Central 212 29 13 Sur 219 26 9 Oeste 152 76 26 5-38 4.1-38

EJEMPLO Probabilidad Condicional (continuación) Una encuesta fue realizada por la Organización Gallup en el 2008 en la que se preguntó a 1,017 adultos estadounidenses, cuál de tres afirmaciones se acercaba más a su creencia acerca de Dios. Los resultados de la encuesta, según la región del país, se dan en la siguiente tabla. b) Cuál es la probabilidad de que un adulto estadounidense que cree en Dios y que es seleccionado aleatoriamente viva en el Este? Sea E= Adulto que cree en Dios. Sea F = Adulto que vive en el este. Cree en Dios Cree en un espíritu universal No cree en Dios ni en un espíritu universal Este 204 36 15 Norte Central 212 29 13 Sur 219 26 9 Oeste 152 76 26 5-39 4.1-39

EJEMPLO Probabilidad Condicional Supongamos que cinco fusibles buenos y dos defectuosos se mezclan. Para encontrar los fusibles defectuosos, se prueban uno por uno, al azar y sin reemplazarlos. Cuál es el probabilidad de que encontremos los defectuosos en las dos primeras pruebas? Sea D 1 = Se selecciona un fusible defectuoso en el primer intento. Sea D 2 = Se selecciona un fusible defectuoso en el segundo intento. P(D 1 y D 2 ) = P D 1 P D 2 D 1 ) 5-40 4.1-40