Tarea No. Tomá Baldera Contrera Intitto Nacional de Atrofíica, Óptica Electrónica Cro: Etrctra de Dato 2 de jlio, 22. Qé e n grafo? Qé e n camino? Qé e n grafo fertemente coneo? Qé e n grafo acíclico? Un grafo no dirigido G = (V, E) conite de n conjnto V de értice n conjnto E de arco. Cada arco e E etá aociado a n único par no ordenado de értice (e = (, ) ó e = (, )). Si G e n grafo dirigido cada arco e E etá aociado a n par ordenado de értice (e = (, )). Un camino de longitd n de a n e na ceión de n arco ditinto entre í {(, ), (, 2 ),..., ( n, n )} lo qe pede abreiare implemente como la ecencia de értice (,, 2,..., n, n ). Un grafo dirigido e fertemente coneo i e poible encontrar n camino entre caleqiera do de értice, V. Un ciclo e n camino qe parte de n értice llega a. Un grafo qe no contiene ciclo e n grafo acíclico. 2. Epliqe como repreentar n grafo a traé de (a) na lita de adacencia (b) na matriz de adacencia. Epliqe la entaja de cada repreentación. (a) Una lita de adacencia para n grafo G = (V, E) e n arreglo de longitd V donde cada entrada repreenta n értice V, dicha entrada e ademá n apntador a na lita co nodo repreentan lo értice del grafo qe on adacente a.
/ / / / / (a) (b) V V2 V V4 V V V2 V V4 V (c) Figra : Un grafo no dirigido diferente repreentacione. Una entaja de eta forma de repreentación e bajo coto en término de epacio de almacenamiento cando el grafo G contiene poco arco. (b) En n grafo G qe tiene n = V értice, e poible contrir la matriz de adacencia A n n = (a ij ) de la igiente forma { i i e adacente a a ij = j i i no e adacente a j. En n grafo no dirigido e cmple qe A = A T (A e imétrica), por lo tanto, e poible almacenar únicamente lo alore almacenado en la diagonal de A lo elemento itado por encima de la diagonal, con la finalidad de ahorrar epacio. Ademá eta forma, en etremo imple, de repreentación e adecada para determinar rápidamente i do értice on adacente. La figra a metra n grafo no dirigido, la figra b iltra repreentación como na lita de adacencia la figra c la repreentación del grafo como na matriz de adacencia. 2
. Dibje el grafo correpondiente a la igiente matriz de incidencia. E E2 E E4 E E E7 E8 V V2 V A = V4 V V El grafo dirigido correpondiente a la matriz de incidencia A e el igiente. e e4 e2 e e e e8 e7 4. Ecriba el pedocódigo para calclar el grado de alida (ot-degree) de cada értice de n grafo repreentado por na matriz de incidencia. El algoritmo iltra n procedimiento imple para determinar el grado de alida de cada értice en n grafo repreentado por matriz de incidencia. El algoritmo recibe como entrada na matriz de incidencia A m n, donde m e el número de értice en el grafo n e el número de arco. El parámetro d e n arreglo de m contadore tal qe al final del algoritmo d[i] e el grado de alida del értice i. Obiamente ete algoritmo e O(m n) e ineficiente para alore de m n arbitrariamente grande.. Epliqe en qé coniten la búqeda primero en anchra (breadth-firt earch) la búqeda primero en profndidad (depth-firt earch). Lo algoritmo de búqeda primero en anchra de búqeda primero en profndidad tienen n mimo objetio, recorrer lo arco qe forman n grafo iitar o decbrir lo értice del mimo. Lo método, in embargo, difieren en el mecanimo empleado para recorrer lo arco.
Algoritmo OUT DEGREE(A, m, n, d) for i to m do d[i] ; for j to n do if A[i, j] = then d[i] d[i] + ; end if end for end for retrn d; El algoritmo de recorrido primero en anchra en n grafo G e aegra de decbrir todo lo értice adacente a n értice ante de decbrir algún otro értice qe ea, a ez, adacente a algno de lo értice adacente a ; epandiendo el epacio de búqeda de értice a todo lo ancho del grafo. Ete algoritmo prodce n árbol primero en anchra qe tiene la propiedad de qe la rta entre la raíz calqier értice del árbol contiene el mínimo número de arco dede a en G. El algoritmo de recorrido primero en profndidad generalmente e dieña de forma recria. El algoritmo e interna por n camino del grafo, partiendo de n értice, hata llegar a n értice in értice adacente o con értice adacente a iitado; en ete momento regrea, mediante backtracking, para continar por otra dirección en algún értice anterior qe aún tenga értice adacente in iitar. El procedimiento anterior e pede repetir para otro értice iniciale qe no haan ido iitado preiamente. Como reltado tenemo n boqe primero en profndidad qe conta de ario árbole primero en profndidad, almente m profndo.. Metre gráficamente, pao a pao, la búqeda en anchra obre el grafo correpondiente a la matriz de incidencia del ejercicio, iniciando la búqeda en el értice. Como en el grafo dirigido olicitado no ha arco qe algan de e preentan la olcione a otro do problema. Primero, e iltra el proceo de aplicar el algoritmo de recorrido primero en anchra en el grafo no dirigido correpondiente partiendo de. Segndo, e metra el recorrido en el grafo dirigido pero tomando como értice inicial a 2. La figra 2a 2g iltran el proceo de recorrido primero en anchra del grafo olcitado, conidrándolo como n grafo no dirigido partiendo de. Se metra la configración del grafo en cada momento de la ealación de la condición del lazo principal, eta configración incle el color de cada értice, ditancia al értice inicial, el contenido de la cola Q lo arco qe conforman el árbol primero en anchra (breadth-firt tree) reltante. 4
El proceo de recorrido dede el értice 2 en el grafo dirigido e metra en la figra a g. También etán indicado lo alore de la ditancia dede 2 para cada értice, lo arco qe forman parte del árbol primero en anchra lo qe no, lo colore de lo értice en cada etapa del proceo el contenido de la cola Q. 7. Metre gráficamente, pao a pao, la búqeda en profndidad obre el grafo correpondiente a la matriz de incidencia del ejercicio, iniciando la búqeda en el értice. En la figra 4a 4k etá iltrado el proceo de recorrido primero en profndidad del grafo dirigido olicitado partiendo del értice. El algoritmo prodce n boqe primero en profndidad (depth-firt foret) qe conite en do árbole primero en profndidad, no con raíz en el otro con raíz en 2. Dentro de cada értice etán la marca (timetamp) de lo tiempo en qe cada értice fe decbierto finalizado, lo diagrama metran también tanto lo arco qe componen lo árbole como lo qe no forman parte de árbol algno, finalmente, e metran lo colore qe el algoritmo aigna a lo értice drante el proceo. La figra a l iltran el recorrido en n grafo no dirigido tomándo a como értice fente. En ete cao el algoritmo prodce n boqe qe contiene n único árbol. Se metran lo colore de cada értice drante el proceo, lo arco del árbol reltante lo arco del grafo qe no forman parte del árbol. Ademá e indican, dentro de cada értice, lo tiempo de decbrimiento finalización. 8. Ejecte el algoritmo de Dijktra obre el grafo dirigido de la figra, tilizando el értice como origen. Baándoe en la decripción para ete algoritmo, metre gráficamente, pao a pao, el recorrido obre el grafo indicando lo alore para d π lo értice en el conjnto S depé de cada iteración del ciclo while. La figra 7a 7f iltran el progreo del algoritmo de Dijktra obre el grafo dirigido olicitado. En el interior de cada értice en la figra etá indicado el alor del etimador de la rta ma corta (atribto d); la relación de predeceor etablecida por el atribto π etá indicada en la figra por lo arco ombreado entre lo értice qe forman el árbol de rta ma corta, el contenido del conjnto S de la cola Q en cada pao del algoritmo e metran debajo de cada figra. Adicionalmente e colorearon lo értice para diferenciar entre lo qe pertenecen a S (en negro) lo qe etán aún en Q (en blanco).
2 Q = [ ] Q = [ 4, 2, ] Q = [ 2,, ] (a) (b) (c) 2 2 2 2 2 2 Q = [,, ] Q = [, ] Q = [ ] (d) (e) (f) 2 2 Q = [ ] (g) Figra 2: Proceo de recorrido primero en anchra para n grafo no dirigido.
Q = [ 2 ] Q = [,, 4 ] Q = [, 4 ] (a) (b) (c) 2 2 Q = [ 4 ] Q = [ ] Q = [ ] (d) (e) (f) 2 Q = [ ] (g) Figra : Proceo de recorrido primero en anchra para n grafo dirigido. 7
4/ / /2 / /2 / (a) (b) (c) 4/ 4/ 4/ /2 / /2 / /2 / / / 7/ (d) (e) (f) 4/ 4/ 4/ /2 / 8/ /2 / /2 / / 7/ / 7/ / 7/ (g) (h) (i) 4/ 4/ /2 / /2 /2 / 7/ / 7/ (j) (k) Figra 4: Proceo de recorrido primero en profndidad para n grafo dirigido. 8
/ / / / (a) (b) (c) / / 4/ / / 4/ / / 4/ / / (d) (e) (f) 8/ / / / / / / / / / (g) (h) (i) / / / / /2 / / / / (j) (k) (l) Figra : Proceo de recorrido primero en profndidad para n grafo no dirigido. 9
2 4 Figra : Grafo dirigido para el problema 8.
2 4 2 4 S = S = {} Q = [,,,, ] Q = [,,, ] (a) (b) 9 2 4 9 2 4 S = {, } S = {,, } Q = [,, ] Q = [, ] (c) (d) 2 4 9 2 4 9 S = {,,, } S = {,,,, } Q = [] Q = [ ] (e) (f) Figra 7: Proceo del algoritmo de Dijktra.