ALGEBRA II. Primer cuatrimestre de 216 EXAMEN PARCIAL - 21 de mayo de 216 TEMA 1 El examen se aprueba resolviendo correctamente 3 ejercicios 1. Halle todos los valores de r R para los cuales {[2 1 r] T, [1 r 2] T, [1 1 2] T } es base de R 3 y, en tal caso, siendo g : R 3 R 3 lineal tal que g[2 1 r] T = [1 1 1] T, g[1 r 2] T = [3 3 ] T, g[1 1 2] T = [2 2 4] T halle una base de g 1 (S) para S = gen{[1 1 2] T }. 2. Para la transformación del ejercicio anterior, considere r = 3 y defina un isomorfismo f : R 3 R 3 tal que g f sea la proyección ortogonal sobre Im(g). 2 1 3. Si A = 1, para qué valores de β R resulta inversible la matriz A 3 βa 2 I? 6 1 { [ ] [ ] } 2 1 2 1 4. Sea S = A R 2 2 : A = A. 2 2 Halle un subespacio W R 2 2 tal que S W = R 2 2. 5. La tabla muestra los datos que ha reunido un profesor de Álgebra respecto de porcentaje de porcentaje de aprobados 2 25 2 4
ALGEBRA II. Primer cuatrimestre de 216 EXAMEN PARCIAL - 21 de mayo de 216 TEMA 2 El examen se aprueba resolviendo correctamente 3 ejercicios 1. Halle todos los valores de α R para los cuales {[1 α 2] T, [1 1 2] T, [2 1 α] T } es base de R 3 y en tal caso, siendo h : R 3 R 3 lineal tal que h[1 α 2] T = [1 1 1] T, h[1 1 2] T = [4 4 5] T, h[2 1 α] T = [2 2 4] T halle una base de h 1 (S) para S = gen{[1 1 2] T }. 2. Para la transformación del ejercicio anterior, considere α = 3 y defina un isomorfismo f : R 3 R 3 tal que h f sea la proyección ortogonal sobre Im(h). 2 3. Si A = 1 6, para qué valores de r R resulta inversible la matriz A 3 ra 2 I? 1 1 { [ ] [ ] } 2 1 2 1 4. Sea W = A R 2 2 : A = A. 2 2 Halle un subespacio S R 2 2 tal que S W = R 2 2. 5. La tabla muestra los datos que ha reunido un profesor de Álgebra respecto de porcentaje de porcentaje de aprobados 2 25 3 4
ALGEBRA II. Primer cuatrimestre de 216 EXAMEN PARCIAL - 21 de mayo de 216 TEMA 3 El examen se aprueba resolviendo correctamente 3 ejercicios 1. Halle todos los valores de β R para los cuales {[1 1 2] T, [1 β 2] T, [2 1 β] T } es base de R 3 y, en tal caso, siendo h : R 3 R 3 lineal tal que h[1 1 2] T = [1 1 1] T, h[1 β 2] T = [2 2 4] T, h[2 1 β] T = [3 3 ] T halle una base de h 1 (S) para S = gen{[1 1 2)] T }. 2. Para la transformación del ejercicio anterior, considere β = 3 y defina un isomorfismo f : R 3 R 3 tal que h f sea la proyección ortogonal sobre Im(h). 2 1 3. Si C = 1, para qué valores de a R resulta inversible la matriz C 3 + ac 2 I? 6 1 { [ ] [ ] } 2 1 2 1 4. Sea U = A R 2 2 : A = A. 2 2 Halle un subespacio S R 2 2 tal que S U = R 2 2. 5. La tabla muestra los datos que ha reunido un profesor de Álgebra respecto de porcentaje de porcentaje de aprobados 2 25 35 2
ALGEBRA II. Primer cuatrimestre de 216 EXAMEN PARCIAL - 21 de mayo de 216 TEMA 4 El examen se aprueba resolviendo correctamente 3 ejercicios 1. Halle todos los valores de c R para los cuales {[2 1 c] T, [1 1 2] T, [1 c 2] T } es base de R 3 y, en tal caso, siendo g : R 3 R 3 lineal tal que g[2 1 c] T = [1 1 1] T, g[1 1 2] T = [2 2 4] T, g[1 c 2] T = [4 4 5] T halle una base de g 1 (S) para S = gen{[1 1 2] T }. 2. Para la transformación del ejercicio anterior, considere c = 3 y defina un isomorfismo f : R 3 R 3 tal que g f sea la proyección ortogonal sobre Im(g). 2 3. Si M = 1 6, para qué valores de a R resulta inversible la matriz M 3 + 2aM 2 I? 1 1 { [ ] [ ] } 2 1 2 1 4. Sea U = A R 2 2 : A = A. 2 2 Halle un subespacio W R 2 2 tal que W U = R 2 2. 5. La tabla muestra los datos que ha reunido un profesor de Álgebra respecto de porcentaje de porcentaje de aprobados 25 2 3 35
ALGEBRA II. Primer cuatrimestre de 216 SEGUNDA PARTE DE EXAMEN PARCIAL - 21 de mayo de 216 TEMA 4 1. Sea A = El examen se aprueba resolviendo correctamente 2 ejercicios 4 2 2 a b 3, a, b R. Determine a, b, los autovalores y bases de cada subespacio 1 propio de A sabiendo que dim(nu(a I)) 1 y que es autovector de A. 2. Considere el producto interno canónico en R 3. Sean S = {x R 3 /x 1 + x 2 x 3 = }, W = gen{[ 1 1 ] T } y U = {x R 3 /P S (x) W }. Halle una base de U. 3. La tabla muestra los datos que ha reunido un profesor de Álgebra respecto de porcentaje de porcentaje de aprobados 2 25 35 2
ALGEBRA II. Primer cuatrimestre de 216 SEGUNDA PARTE DE EXAMEN PARCIAL - 21 de mayo de 216 TEMA 3 1. Sea C = El examen se aprueba resolviendo correctamente 2 ejercicios 4 2 2 α β 3, α, β R. Determine α, β, los autovalores y bases de cada subespacio 3 propio de C sabiendo que dim(nu(c I)) 1 y que es autovector de C. 2. Considere el producto interno canónico en R 3. Sean W = {x R 3 /x 1 + x 2 x 3 = }, S = gen{[1 1 ] T } y U = {x R 3 /P W (x) S}. Halle una base de U. 3. La tabla muestra los datos que ha reunido un profesor de Álgebra respecto de porcentaje de porcentaje de aprobados 25 2 3 25
ALGEBRA II. Primer cuatrimestre de 216 SEGUNDA PARTE DE EXAMEN PARCIAL - 21 de mayo de 216 TEMA 2 1. Sea M = El examen se aprueba resolviendo correctamente 2 ejercicios 4 2 2 a b 3, a, b R. Determine a, b, los autovalores y bases de cada subespacio 1 propio de M sabiendo que dim(nu(m + I)) 1 y que es autovector de M. 2. Considere el producto interno canónico en R 3. Sean U = {x R 3 / x 1 x 2 + x 3 = }, W = gen{[ 1 1 ] T } y S = {x R 3 /P U (x) W }. Halle una base de S. 3. La tabla muestra los datos que ha reunido un profesor de Álgebra respecto de porcentaje de porcentaje de aprobados 3 25 35 2
ALGEBRA II. Primer cuatrimestre de 216 SEGUNDA PARTE DE EXAMEN PARCIAL - 21 de mayo de 216 TEMA 1 1. Sea A = El examen se aprueba resolviendo correctamente 2 ejercicios 4 2 2 α β 3, α, β R. Determine α, β, los autovalores y bases de cada subespacio 2 propio de A sabiendo que dim(nu(a + I)) 1 y que es autovector de A. 2. Considere el producto interno canónico en R 3. Sean U = {x R 3 / x 1 x 2 + x 3 = }, S = gen{[1 1 ] T } y W = {x R 3 /P U (x) S}. Halle una base de W. 3. La tabla muestra los datos que ha reunido un profesor de Álgebra respecto de porcentaje de porcentaje de aprobados 25 2 3 25
ALGEBRA II. Primer cuatrimestre de 216 EXAMEN PARCIAL - 24 de mayo de 216 TEMA 4 El examen se aprueba resolviendo correctamente 3 ejercicios 1. Sea A = QR descomposición QR de una A R 3 2 tal que Q = 1 2 1 3 3 1 1 2 3 1. Halle una base ortonormal de Nu(A T ) y la matriz que representa a la proyección sobre dicho subespacio respecto de base canónica 2. Una pelota de tenis se deja caer desde diversas alturas y se mide la altura del primer rebote. Utilice los datos de la tabla para hallar la recta de ajuste por cuadrados mínimos de la altura del rebote b como función lineal de la altura inicial h. h (cm) 2 4 48 6 b (cm) 14 31 36 45 3. Sean S = gen{[ 1 1 1 ] T, [3 ] T } y W = {x R 4 : 2x 2 + 2x 3 + x 4 = }. Determine una base de un subespacio U R 4 tal que S U = W. 8 4 4. Sea A = 4, a, b R. Determine a, b, los autovalores y bases de cada subespacio a b 6 1 propio de A sabiendo que dim(nu(a 2I)) 1 y que es autovector de A. 5. Sea f : P 3 R 2 tal que f(p) = (p() p(1), p() + p( 1)). Determine bases de f(s) y f 1 (U) siendo { } S = p P 3 / 1 p(t)dt =, U = {x R 2 / x 2 = }
ALGEBRA II. Primer cuatrimestre de 216 SEGUNDA PARTE DE EXAMEN PARCIAL - 24 de mayo de 216 TEMA 4 1. Sean A = El examen se aprueba resolviendo correctamente 2 ejercicios 1 1 2 2 2 1 1 1 1, S y W subespacios de R4 tales que S = gen{(1 1 ) T, (1 1) T } S W = col(a), W S Calcule la reflexión de (1 1 1 1) T respecto de W. 2. Sea A R 4 4 tal que dim(nu(a + 2I)) 2. Calcule los autovalores de A sabiendo que -1 y 3 son autovalores de A 2 + 2A y que, si p(t) indica al polinomio característico de A, vale que p() = 12. 1 1 1 3. Sean A = 1 1 1, b = 3 8. Halle x solución del sistema Ax = b por cuadrados mínimos y 1 2 determine todos los w R 4 para los cuales x es solución por cuadrados mínimos de Ax = w.