TEMA 7. Límit d funcions i continuïtat Funció S anomna funció ral d variabl ral a tota aplicació qu fa corrspondr a cada lmnt d un conjunt inicial o domini un i només un lmnt d un conjunt final o rcorrgut. y f La variabl s anomna variabl indpndnt i la variabl y variabl dpndnt Límit d una funció n un punt El límit d la funció f n l punt a, s a dir f, és l valor qu t la y quan s aproima a a no quan a ja qu aiò sria la imatg d a o fa. E: a f si ns apropm a pr la drta quan,... o pr l squrra -,..., l valor d la y tndi a sr Els límits f o límit pr la drta i f a límits latrals d la funció f a o límit pr l squrra, s anomnn E: Pr f f valor d la y n apropar-nos pr la drta valor d la y n apropar-nos pr l squrra
Pr tal qu istii l límit d una funció n un punt és ncssari qu istiin ls límits latrals i qu siguin iguals, s a dir Si f f a a L f L a En l cas antrior, com l límit pr la drta i l squrra d són iguals tots dos valn podm dir qu f. A més obsrvm qu l límit no té prquè coincidir amb la imatg d pr la funció ja qu f Pr contra, si f f f a a a Límit d una funció n l infinit El límit d f quan tndi a és L, s a dir, f L, si pr valors d molt i molt grans l valor d y s aproima a L. El límit d f quan tndi a - és L, s a dir, f L, si pr valors d molt i molt ptits l valor d y s aproima a L. E: f f f f Els límits quan tndi a i quan tndi a - no tnn prquè coincidir
Càlcul d límits En l càlcul d límits és ncssari oprar amb prssions n ls qu apari infinit. En alguns casos conim l rsultat ± k ± k si k si si k si k > k < k > k < k k k si si k > k < si k > k si k < si k > k si k < k si k > si k < n d altrs l rsultat pot variar o no istir, és l qu s anomna indtrminacions i. Càlcul d límits n un punt a Substitució. Es substitui la pr a E:
b Indtrminació. Quan substituïm la pr a d vgads apari la indtrminació. En aqusts casos: dscomponm factorialmnt numrador i dnominador, simplifiqum i substituïm E: 4 9 4 4 9 4 4 9 4 8 8 4 c Indtrminació Es fa la rsta i dsprès s substitui E: 4 4
ii. Càlcul d límits n l infinit a Indtrminació P a on Q a si grau Q > grau P a si grau Q < grau P a a si grau Q grau P b on a i b són ls coficints qu acompanyn a la amb l màim ponnt E: grau grau E: 4 4 grau grau b Indtrminació Hm d difrnciar dos casos: - Fraccions algbraiqus - Arrls - Fraccions algbraiqus. Hm d fr la rsta i calcular l límit E:
- Arrls. Multipliqum i dividim pl conjugat E: 4 8 4 8 4 8 4 8 4 4 8 4 8 4 c [ P ] Q a si a > [ P ] Q Q si a < [ P ] si a Q [ P ] Indtrminació E: ja qu tndi a Indtrminació. Hi ha prssions qu tnn com a límit l nombr K P k P
Quan tnim una indtrminació d aqust tipus podm transformar l prssió donada n una d smblant a ls antriors d límit congut P Q Q P on P Q tndi a, i la fracció invrsa a E: 9 ] [ També s pot fr srvir la fórmula g f g a a f ± ± E: Indtrminació
Rlació d la continuïtat i l límit d una funció n un punt Una funció f és continua n un punt c sí c f f c Es a dir: f és continua n c si s complin ls trs condicions sgünts: a f c b fc c f f c c Una funció és continua si ho és n tots ls punts dl su domini. En cas contrari la funció és discontinua. Tipus d discontinuïtat: a Evitabl: f c Eisti o no fc prò f f c c E: Discontinuïtat vitabl forat n -,
E: Estudiu la continuïtat d la funció sgünt n y 8 4-8 -7 - - -4 - - - 4 7 8 - -4 - -8 f f f f 4 f 4 f 4 f f 4 En discontinuïtat vitabl b Salt: si f c f c E: Discontinuïtat d salt n
E: Estudiu la continuïtat d la funció sgünt n f si si > y 8 4-8 -7 - - -4 - - - 4 7 8 - -4 - -8 f f f f f f f f En discontinuïtat d salt c Asimptòtica : Alguns o ls dos límits latrals tndi a ± E: Discontinuïtat asimptòtica n 4 asímptota vrtical
E: Estudiu la continuïtat d la funció f n y 8 4-8 -7 - - -4 - - - 4 7 8 - -4 - -8 f f? f f f Discontinuïtat asimptòtica n Pr studiar la continuïtat d una funció hm d: a dtrminar ls possibls punts d discontinuïtat: - punts on hi ha un canvi d fórmula funcions dfinids a trossos - punts qu no prtanyn al domini. En l cas d funcions dfinids a trossos hm d vur qu la fórmula no prsnti cap valor problmàtic i si pr aqust s aplica la fórmula o no. b studiar pr cada punt la imatg i l límit d la funció n aqust punt. En l cas d ls funcions dfinids a trossos haurm d studiar ls límits latrals n aqulls punts on hi ha un canvi d fórmula c dtrminar l tipus d discontinuïtat E: f si si si < 4 > 4 i ii iii
a Possibls punts d discontinuïtat: A nivll d canvis d fórmula hm d studiar i 4. A nivll d punts qu no prtanyn al domini tnim: i la fórmula és una fracció algbraica no tnn imatg no prtanyn al domini aqulls valors qu fan l dnominador - és un punt problmàtic ii la fórmula és un polinomi no hi ha problma iii la fórmula és una fracció algbraica és un punt aparntmnt problmàtic prò, com aqusta prssió s fa srvir pr valors majors a 4 i no pr, aqust no és un possibl punt d discontinuïtat Els punts a studiar són:, 4 i -. b f Com f f f la funció és contínua n 4 f4 4 4 4 4 4 Com ls límits latrals són finits i difrnts hi ha una discontinuïtat d salt n 4 - f- Com l límit és infinit hi ha una asímptota vrtical a -