Un ejercicio de dieléctricos.

Un ejercicio de dieléctricos. (Otro más, y van...) Γ 6 de octubre de 20. Enunciado del problema. Para la configuración esférica que se presenta en la figura, calcular:. Los vectores E, D y P para todo el espacio con la llave abierta. 2. ρ L, σ L, ρ P y σ P en todo el espacio con la llave abierta. 3. i V ( A) = 0 se pide obtener la función potencial en todo el espacio con la llave abierta. 4. Repetir los incisos anteriores si se cierra la llave. 00000 00000000 0000000000 00000000000 A 0000000000000 00000000000000 000000000000000 Q 0000000000000000 00000000000000000 2 00000000000000000 000000000000000000 er Q R R 4 R 000000000000000000 3 00000000000000000 00000000000000000 R 0000000000000000 000000000000000 e 2 r2 000000000000000 0000000000000 000000000000 00000000000 000000000 00000 V 0 Figura : Configuración del problema. imetría esférica.

2. Planteo introductorio. Como se puede ver, lo que se pide resolver es un viejo típico ejercicio de campos electrostáticos en medios materiales. El objetivo del siguiente apunte es mostrar que con sólo tres ecuaciones y un poco de paciencia y sentido común, es posible resolver todo el problema sin tener que recordar extrañas fórmulas de casos particulares. Las tres ecuaciones que permiten resolver todo el problema son, ( ) div D = ρ L D, d = Q L () () donde D es el campo de desplazamiento eléctrico, ρ L es la densidad de carga libre (puede ser volumétrica, superficial o lineal, se utiliza ρ como símbolo general) y Q L () es la carga libre encerrada por la misma superficie donde se computa el flujo. Esta es la Ley de Gauss. También tenemos, ( ) rot E = 0 C E, d l = 0 (2) donde E es el campo eléctrico y C es una curva cerrada que delimita una superficie Σ(C). Esta es la Ley de Faraday en condiciones estáticas. Finalmente utilizamos D = ɛ 0 E + P (3) donde ɛ 0 es la permitividad dieléctrica del vacío y P es el vector de polarización. Esta es la relación constitutiva. 2

3. imetría. Para empezar, es fundamental establecer la simetría del problema y comprender sus alcances. El problema tiene simetría esférica, lo que implica que los puntos son sólo distinguibles por su distancia al origen. Es decir, un punto será distinto de otro únicamente si su distancia al origen es distinta. Es por esto que sólo necesito un valor para describir la posición de cualquier punto, por lo que el vector posición r será r = r ř, r 0 Por ejemplo, tomemos un punto P cualquiera del espacio, descripto por el vector posición r P tal como se muestra en la figura 2. Ahora, supongamos que se mide una magnitud física cualquiera f en el punto P (por ejemplo, el potencial ), obteniendo el valor f( P). z r P y x Figura 2: imetría esférica. Rotemos la esfera de la figura 2 en algún sentido y posicionemos un nuevo sistema de referencia (x, y, z ) para medir la misma magnitud física en un nuevo punto P que se encuentre a la misma distancia al origen que el punto P anterior. En este caso se obtendrá el valor de la magnitud física f( P ) en dicho punto (respecto de los nuevos ejes). e puede ver en la figura 3 la rotación utilizada respecto de los viejos ejes (ahora en línea punteada). Ahora bien, podemos observar que, a no ser porque somos conscientes de que rotamos el sistema de referencia, no tendríamos forma de distinguir el punto P del punto P (basta con borrar las de la figura 3 para obtener un gráfico idéntico al de la figura 2), con lo cual, resulta evidente que la nueva magnitud medida f( P ) deberá tener el mismo valor que f( P) puesto que la física no puede depender del sistema de referencia que elegimos. Consecuentemente, f( P) = f( P ), P, P tal que r P = r P = r 0 ř, r 0 0 que concuerda con la noción de que los puntos en el espacio son sólo distinguibles por su distancia al origen. Referenciado a algún punto cualquiera, en particular V ( ) = 0. 3

z z P 0 r P y y x Figura 3: En línea punteada se encuentra el sistema de referencia utilizado en la figura 2 y el viejo punto P medido. En línea sólida se ilustra el nuevo sistema de referencia (x, y, z ) y el nuevo punto P. Es de suma importancia destacar que este resultado se obtiene dado que la esfera no presenta inhomogeneidades en las rotaciones azimutales, θ, y/o perimetrales, φ. 4

4. Llave abierta. 4.. Cálculo de D, E y P en todo el espacio. Comenzaremos calculando el campo D dado que el dato que tenemos del problema son las cargas libres Q y Q 2. Lo ideal para facilitar enormemente las cuentas involucradas en el cálculo del campo, es poder utilizar la Ley de Gauss, D, d = Q L () Para que la Ley de Gauss resulte útil a la hora de calcular el campo D es necesario encontrar una superficie sobre la cual se cumplan las siguientes condiciones: El diferencial de superficie, d, tenga una dirección conocida respecto del campo D en todo punto de la superficie de tal forma que conozcamos el resultado del producto escalar D, d. Típicamente se buscará una superficie donde ambos vectores sean paralelos de tal forma que D, d = D ds donde D es la norma de D. El campo D debe ser constante a lo largo de la superficie para poder sacarlo fuera de la integral. Es decir, si el campo D no varía en la superficie de integración, entonces es constante a efectos de la integral y la misma se reduce a calcular la integral de la superficie en sí: D, d = }{{} D,d =D ds D d = }{{} D cte D d = D 4... Consideraciones previas sobre el campo D. Deducción de la dirección y la dependencia funcional. En el caso particular de este problema, donde tenemos simetría esférica, debemos argumentar que D( r) = D(r) ř Es decir, debemos mostrar que un campo vectorial que depende de la posición (vector r), sólo tiene una componente (en dirección ř, D( r) = D( r) ř) y sólo depende de una coordenada (la coordenada r, D( r) ř = D(r) ř). Dependencia funcional. Mostrar que D( r) = D(r) es directo utilizando las consideraciones de simetría explicadas en la sección anterior. Brevemente, dado que el problema posee simetría esférica y los puntos son sólo distinguibles por su distancia al origen, entonces el campo D sólo puede cambiar su valor de acuerdo a la distancia que se encuentra del origen, con lo cual, en lugar de tener una dependencia con r, sólo tendrá una dependencia con la coordenada radial r. Es decir, hasta ahora, sólo justificamos que el campo depende de la posición únicamente por la coordenada r pero todavía no podemos decir nada acerca de su dirección y/o sentido. 5

Dirección. Para argumentar que la dirección del campo vectorial D es únicamente en dirección ř se pueden utilizar dos caminos distintos. El primero, y el más habitual, es notar que si tomamos un punto cualquiera de observación, r o, y aplicamos el principio de superposición para los distintos diferenciales de carga que conforman la esfera, entonces la resultante en ese punto tiene sólo componente en versor ř. Es inmediato que sucede lo mismo para todos los puntos del espacio. El procedimiento se puede ver en la figura 4 para el caso de 3 diferenciales. z Q dq 2 dq 0 dq y x Figura 4: Observar que las contribuciones al campo de los diferenciales de carga dq y dq 2 se anulan en las direcciones no radiales y se suman en ř. El segundo camino es un poco más prolijo desde el punto de vista físico-matemático 2. Tomamos una circunferencia con centro en la esfera (y de radio mayor al de la esfera) y realizamos la circulación del campo eléctrico a lo largo de ella. Como el campo electrostático es conservativo E, d l = 0. obre la trayectoria elegida sólo la componente tangencial (no C radial) del campo produce un producto escalar no nulo, y por otra parte, como el campo debe ser constante sobre la esfera que contiene a la trayectoria por las consideraciones previas (de simetría), se tiene E, d l = E t dl = 2πa E t = 0 C C donde a es el radio de la curva C y E t son las componentes no radiales (tangenciales) del campo. Como a es cualquiera mayor al radio de la esfera, debe ser E t = 0 y entonces el campo eléctrico sólo puede tener componente radial: E( r) = E( r) ř. De aquí es inmediato que, en dieléctricos lineales, D y E tienen la misma dirección. Finalmente, logramos argumentar que el valor del campo depende únicamente de su distancia al origen, y sólo tendrá dirección radial ř. 2 Electromagnetismo 2004, Juan C. Fernández, Departamento de Física, Facultad de Ingeniería, Universidad de Buenos Aires 6

4..2. Cálculo del campo desplazamiento D. Ahora sí, sabiendo que D( r) = D(r) ř, podemos proceder a utilizar la Ley de Gauss para calcular el campo. 3 En principio, al haber 5 materiales distintos (en orden de radio creciente: conductor, dieléctrico, dieléctrico 2, conductor, vacío), debemos suponer que existen cinco conjuntos distintos de vectores { E i, D i, P i } para i =, 2,..., 5; uno para describir la situación en cada material. abemos que, eventualmente, existirán condiciones de frontera que establezcan relaciones entre los campos a cada lado del material. in embargo, en principio, es conveniente proceder a calcular cada conjunto de campos por separado y luego establecer las condiciones de contorno. Al haber deducido que D( r) = D(r) ř y teniendo en cuenta las consideraciones que debe cumplir una superficie para que la Ley de Gauss resulte útil en el cálculo del campo, resulta natural pensar que la superficie que elegiremos será una esfera centrada en el origen, y de radio r, r R. Observar que, al elegir una esfera, podemos asegurar que D, d = D d dado que la dirección del campo es radial, al igual que la normal de la superficie; y a su vez, que el campo es constante para la superficie de r fija, dado que el campo sólo depende de la coordenada r del vector posición. La superficie elegida se presenta en la figura 5. 00000 00000000 0000000000 00000000000 0000000000000 00000000000000 000000000000000 0000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 000000000000000000 r 000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 0000000000000000 000000000000000 000000000000000 0000000000000 000000000000 00000000000 000000000 00000 Figura 5: uperficie elegida para poder aplicar la Ley de Gauss en el cálculo del campo D. Conductor interior: r < R, D ( r). Al estar la superficie de Gauss,, dentro del conductor, sabemos que el campo D será nulo por ser un conductor y, además, no hay carga encerrada puesto que toda la carga estará en la superficie. Por lo tanto, D ( r) = D (r) ř = 0 3 Le aconsejamos profundamente al lector que esté completamente seguro de que la deducción de la dependencia funcional y la dirección del campo D no depende del material y es aplicable a todos los demás campos, si existen. 7

Dieléctrico : R < r < R 2, D 2 ( r). Para aplicar la Ley de Gauss, debemos observar la carga encerrada por la superficie en la región del dieléctrico. abemos que, como el dieléctrico no está cargado de forma voluntaria, no presenta cargas libres y, por lo tanto, las únicas cargas libres encerradas serán las del conductor, que estarán en su superficie. Entonces, D 2 ( r), d = Q L () D 2 4πr 2 = Q D 2 (r) = Q 4π Observemos que también podemos escribir Q = σ L, 4πR 2 donde σ L, será la carga libre en la superficie del conductor (de radio R ). Por lo tanto, D 2 ( r) = D 2 (r) ř = Q 4π r ř = σ 2 L, Dieléctrico 2: R 2 < r < R 3, D 3 ( r). Resulta inmediato que la carga libre encerrada por una superficie de radio r que esté contenida en el dieléctrico 2, es la misma carga libre encerrada que en el caso anterior: la carga del conductor, Q. Esto sucede debido a que no hay cargas libres almacenadas ni en los dieléctricos ni en la interfaz entre ellos. Por lo tanto, Conductor: R 3 < r < R 4, D 4 ( r). D 3 ( r) = D 3 (r) ř = Q 4π r ř = σ 2 L, ( R r ( R r ) 2 ř ) 2 ř abemos que, por estar dentro de un conductor, el campo D 4 será nulo: D 4 ( r) = D 4 (r) ř = 0 r 2 Vacío: r > R 4, D 5 ( r). Finalmente, para la última región del espacio, tenemos que la carga libre encerrada es la correspondiente a ambos conductores, por lo tanto, D 5 ( r), d = Q L () D 5 4πr 2 = Q + Q 2 D 5 (r) = Q + Q 2 4π D 5 ( r) = D 5 (r) ř = Q + Q 2 4π r 2 ř r 2 8

Condiciones de contorno. abemos que las condiciones de contorno se manifiestan entre las distintas interfaces de los materiales puesto que lo que tenemos que obtener es cómo se ven afectadas las descripciones de los campos al pasar de un material al otro. Es decir, cómo se conectan las descripciones { E i, D i, P i } para conjuntos contiguos. Primero desarrollaremos una forma general que luego aplicaremos pacientemente a todas las interfaces que se presenten en el problema. D a a n a medio a h interfaz D b b n b medio b Figura 6: Detalle de la interfaz entre dos medios a y b cualesquiera. En la figura 6 se ilustra un detalle de la interfaz entre dos medios a y b cualesquiera. i aplicamos la Ley de Gauss sobre la superficie que se indica en línea punteada y hacemos tender la altura h a cero de tal forma que la superficie se cierre sobre la interfaz obtendremos la condición de contorno para cada par de interfaces. Los vectores D a y D b que se ilustran en la figura son genéricos, aunque, sin pérdida de generalidad, ilustran el sentido del campo. En este problema, debido a su simetría esférica y su homogeneidad (tal como se explicó anteriormente), los campos tendrán únicamente componente radial, es decir D a = D a ř y D b = D b ř. Observemos que, en este problema, las interfaces son superficies esféricas, centradas en el origen, y cuya normal es en dirección ř. Entonces, cuando apliquemos la ley de Gauss sobre la superficie, tendremos D, d = D a, d + D b, d = D a a + D b b = Q L,interfaz a b donde D a, d = D a ř, d a ( ř) = D a d a por los sentidos de las normales que se ilustran en la figura 6. Esto se debe únicamente a que sabemos que el campo D es radial en todo punto del espacio y la normal a la superficie que se cierra sobre la interfaz también lo es. 9

Ahora sí, aplicándolo a cada interfaz, observamos que el campo D se conserva a través de la interfaz entre los dos dieléctricos debido a que no hay cargas libres encerradas en la interfaz, que es el mismo argumento que se dio cuando se mostró anteriormente que D 2 = D 3 por consideraciones de carga libre encerrada. Por otro lado, por lo que respecta a las interfaces entre los conductores y los dieléctricos y entre el conductor y el vacío, sabemos que en las superficie de los conductores se acumulan cargas libres, por lo tanto se producen variaciones en el campo D. in embargo, estas son las variaciones propias que se producen por la existencia de fuentes del campo (las cargas libres) y son las que ya consideramos al ir resolviendo la Ley de Gauss para cada conjunto de valores correspondientes a cada medio. Resultado final del campo D( r). Finalmente, el campo desplazamiento D( r) resulta ser una función partida, continua a trozos, que, para cada punto del espacio r = r ř, vale 0, r < R D( r) = Q 4π r ř, R 2 < r < R 3 0, R 3 < r < R 4 Q + Q 2 4π r 2 ř, r > R 4 4..3. Cálculo del campo eléctrico E. Para calcular el campo eléctrico E utilizamos la relación constitutiva D = ɛ 0 E + P y, además, la hipótesis de que el medio es lineal (hipótesis que viene dada por la existencia de un ɛ r constante), es decir 4 D = ɛ0 ɛ r E Por lo tanto, para cada medio, la relación entre el conjunto de vectores { D i, E i } que describen los fenómenos electrostáticos viene dada por E i = D i ɛ 0 ɛ r 4 Le aconsejamos seriamente al lector que esté convencido de la validez de esta ecuación y sea capaz de deducirla entendiendo qué implica conceptualmente que el medio sea lineal. 0

con lo cual, 0, r < R E( r) = Q 4πɛ 0 ɛ r r 2 ř, R < r < R 2 Q 4πɛ 0 ɛ r2 r ř, R 2 2 < r < R 3 0, R 3 < r < R 4 Q + Q 2 4πɛ 0 r 2 ř, r > R 4 4..4. Cálculo del campo de polarización P. Conociendo E y D para todo el espacio, resulta inmediato obtener el valor del campo de polarización P utilizando la relación constitutiva. Es decir, P i = D i ɛ 0 Ei Por lo tanto, P( r) = 0, r < R ( Q ) 4π ɛ r r ř, R 2 < r < R 2 ( Q ) 4π ɛ r2 r ř, R 2 2 < r < R 3 0, r > R 3 4.2. Cálculo de las densidades de carga. 4.2.. Densidades de carga libre, σ L y ρ L. Como mencionamos anteriormente, sólo habrá carga libre en los conductores y, por estar en condiciones electrostáticas, sabemos que la carga será superficial, por lo tanto ρ L = 0. Por otro lado, tendremos densidades de carga libre en las superficies esféricas de radios R, R 3 y R 4 puesto que son las superficies de los conductores. Ya explicamos que, en el caso del primer conductor, podemos pensar que Q = σ L, 4πR 2 y, consecuentemente, σ L, = Q 4πR 2

Ahora bien, cuando trazamos la superficie de Gauss de radio r tal que R 3 < r < R 4 mostramos que el campo D era cero por ser el interior de un conductor. in embargo, podemos observar que la carga encerrada no es cero. Por un lado, parte de la carga que se encierra es la carga Q del conductor pequeño y, por otro lado, alguna parte de la carga Q 2 del conductor externo estará distribuida en su superficie interior (R 3 ) con lo cuál existirá una densidad superficial de carga libre σ L,3 que también estará encerrada por la superficie. Por lo tanto, D 2 ( r), d = Q L () 0 = Q + σ L,3 4πR3 2 σ L,3 = Q 4πR3 2 σ L,3 = Q 4πR 2 3 ( ) 2 R = σ L, R 3 Observemos que, además, σ L,3 debe cumplir con la restricción Con lo cual, Q 2 = σ L,3 4πR 2 3 + σ L,4 4πR 2 4 σ L,4 = ( Q2 σ 4πR4 2 L,3 4πR3) 2 ( = Q2 + σ 4πR4 2 L, 4πR) 2 De esta forma, obtuvimos la densidad de carga libre en todo el espacio 5. 4.2.2. Densidades de carga de polarización, σ P y ρ P. Para obtener las densidades de carga de polarización, comenzaremos observando la relación constitutiva D = ɛ 0 E + P D P = ɛ0 E Ahora bien, supongamos que, al igual que hacíamos con la Ley de Gauss, restringimos nuestro interés en el problema a una cierta porción del espacio, por ejemplo, una superficie esférica centrada en el origen, y nuestro volumen de interés Υ (donde nos interesa conocer el campo) es el volumen que esta superficie encierra. upongamos que aplicamos el operador divergencia (recordar que es lineal por tratarse de derivadas) e integramos sobre todo el volumen Υ de interés, que es encerrado por la superficie, ( ) D ( ) ( ) div P dυ = ɛ 0 div E dυ Υ div dυ Υ Υ donde dυ es el diferencial de volumen. Utilizando el Teorema de la Divergencia, la ecuación la podemos escribir como D, d P, d = ɛ 0 E, d 5 Existen formas de escribir de manera compacta la densidad de carga libre como una única función del espacio, σ L ( r), sin embargo su descripción escapa levemente a los conocimientos matemáticos generales que se esperan del curso. 2

recordando que es la superficie esférica cerrada que delimita el volumen Υ de interés. Finalmente, aplicando la Ley de Gauss, obtenemos que Q L () P, d = Q T () donde Q L () es la carga libre encerrada y Q T () es la carga total encerrada. Ahora bien, sabemos que la carga total dentro de una porción del espacio que contenga algún tipo de material dieléctrico, será igual a la carga libre encerrada sumado a la carga de polarización del mismo dieléctrico 6, Q T () = Q L () + Q P () y, comparándola con la ecuación anterior, observamos que, indefectiblemente, Q P () = P, d (4) con lo cual, acabamos de obtener la relación entre el campo de polarización P y la carga de polarización Q P (). 7 Finalmente, para obtener las densidades de carga de polarización, sólo falta aplicar esta última ecuación, la ecuación 4, a la interfaz, utilizando la figura 6. Empecemos por la primer interfaz entre el conductor y el dieléctrico. Aplicando la ecuación ecuación 4 a la interfaz, tenemos P, d = Q P () P a, d + P b, d = Q P () a b donde, en este caso, Pa = P = 0 y P b = P 2 pero, como estamos situados en la interfaz, debemos obtener el valor del campo P 2 en la interfaz, es decir, P 2 ( r) = P 2 (R ) = Q ( ) ř r=r ř 4π ɛ 0 ɛ r entonces, observando además que a = b =, P, d + P 2 (R ), d = Q P () Q 4π Finalmente, escribiendo Q P () = σ P,, tenemos σ P, = Q 4π ( ɛ 0 ɛ r ) R 2 ( ) = Q ɛ 0 ɛ r R 2 P () 6 i la superficie encerrara la totalidad del dieléctrico la carga de polarización encerrada sería cero. Pero en este caso estamos suponiendo que sólo se encierra una porción del dieléctrico por lo que desconocemos si la carga de polarización es cero o no y por lo tanto debemos considerarla. 7 Observar que acabamos de deducir, de forma totalmente razonada, partiendo únicamente de la relación constitutiva, una de las ecuaciones más conflictivas de la materia, que siempre trae problemas acerca de qué hacer con el signo menos. 3 R 2

Procedemos con la interfaz entre ambos dieléctricos, aplicando la misma ecuación, P, d = Q P () P a, d + a P b, d = Q P () b donde ahora P a = P 2 (R 2 ), P b = P 3 (R 2 ) y observemos que, como mencionamos en el caso de la condición de contorno para el campo D, ahora P a, d = P a ř, d a ( ř) = P a d a dado que el sentido del vector P a es opuesto al sentido de la normal a la superficie a. Entonces, teniendo en cuenta que a = b =, Q ( ) + Q ( ) = Q 4π ɛ 0 ɛ r R2 }{{ 2 4π ɛ } 0 ɛ r2 R2 }{{ 2 P () } P a P b Escribiendo Q P () = σ P,2, tenemos Q ( ) 4π ɛ 0 ɛ r R2 2 σ P,2 = Q ( 4π ɛ 0 ɛ r + Q 4π ) R 2 2 σ P,2 = Q 4πɛ 0 R 2 2 ( Q 4π ( ɛ r2 ɛ r ) ɛ 0 ɛ r2 R2 2 ( ɛ 0 ɛ r2 ) = σ P,2 Finalmente, para la última interfaz entre el dieléctrico 2 y el conductor, repetimos una vez más el procedimiento, con las mismas condiciones, a = b =, P, d = Q P () P a, d + a P b, d = Q P () b Q ( ) + 4π ɛ 0 ɛ r R3 }{{ 2 }{{} 0 = σ P,3 } P b =P 4 (R 3 ) P a=p 3 (R 3 ) Resumiendo 8, σ P,3 = Q 4π ( ) ɛ 0 ɛ r R3 2 σ P, = Q ( ) 4π ɛ 0 ɛ r R 2 8 Resultaría sumamente conveniente y conceptualmente fundamental analizar las relaciones para distintos valores de ɛ r en cada material, sobre todo en el caso de σ P,2, para observar si las densidades superficiales de polarización deben ser fuentes o sumideros de campo P para que la relación constitutiva se cumpla. in embargo este análisis excede los propósitos del presente apunte. ) R 2 2 4

σ P,2 = Q ( ) 4πɛ 0 ɛ r2 ɛ r R2 2 σ P,3 = Q ( ) 4π ɛ 0 ɛ r Finalmente, debemos analizar la carga de polarización volumétrica. Deduciendo de la ecuación 4 que ( ) div P = ρ P obtenemos (realizar la operación de divergencia en las correspondientes coordenadas esféricas) que ρ P = 0 Y, además, se cumple que R 2 3 4πR 2 σ P, + 4πR 2 2 σ P,2 + 4πR 2 3 σ P,3 = 0 confirmando la teoría de que el dieléctrico es intrínsecamente neutro en su totalidad, y que nuestras cuentas resultaron correctas. 4.3. Función potencial con referencia V ( A) = 0, para todo el espacio. Para obtener la función potencial en todo el espacio, referenciando a V ( A) = 0, utilizaremos la Ley de Faraday en condiciones estáticas E, d l = 0 C La posición del punto A es A = r A = R 3 ř. Entonces, tomemos cualquier punto r ř tal que R 2 eléctrico está descripto por la expresión < r < R 3, en cuyo caso el campo E 3 ( r) = Q 4πɛ 0 ɛ r2 r 2 ř y realicemos la circulación por un camino cualquiera (no importa el camino por ser el campo E un campo conservativo) desde el punto A hasta un punto r = r ř cualquiera en la región, r r V ( r) V ( A) }{{ = E } 3 ( r), d Q l = r A R 3 4πɛ 0 ɛ r2 r dr 2 =0 V (r) = Q ( 4πɛ 0 ɛ r2 r ), R 2 < r < R 3 R 3 5

Ahora tomemos algún punto r = r ř tal que R < r < R 2 y calculemos cuánto valdrá la función potencial en esta porción del espacio, r ( V ( r) V ( A) }{{ = E( r), } d R2 r ) l = E 3 dr + E 2 dr r A R 3 R 2 =0 ( ) V (r) = Q 4πɛ 0 ɛ r2 R 2 R }{{ 3 } V (R 2 ) ( V (r) = Q 4πɛ 0 ɛ r + Q ( 4πɛ 0 ɛ r r ) R 2, R < r < R 2 r ) + V (R 2 ), R < r < R 2 R 2 Para los puntos dentro del conductor interior, r = r ř, r < R, r V ( r) V ( A) }{{ = E( r), } d R2 R r l = E 3 dr + E 2 dr + E dr r A R 3 R 2 R }{{} =0 =0 V (r) = Q ( ) + Q ( ) 4πɛ 0 ɛ r2 R 2 R 3 4πɛ 0 ɛ r R R }{{ 2 } V (R ), r < R V (r) = V (R ), r < R Para los puntos dentro del conductor exterior, r = r ř, R 3 < r < R 4, V ( r) V ( A) }{{ = } =0 r r A E( r), d l = r V (r) = 0, R 3 < r < R 4 Y, finalmente, para el vacío, r = r ř, r > R 4, r V ( r) V ( A) }{{ = E( r), } d l = r A =0 r Q + Q 2 V (r) = R 4 4πɛ 0 V (r) = Q + Q 2 4πɛ 0 R4 E 4 R 3 }{{} =0 E 4 R 3 }{{} =0 dr + r dr 2, r > R 4 ( r ) R 4, r > R 4 dr = 0 r E 5 dr R 4 6

es Por último, teniendo como referencia que V ( A) = 0, la función potencial en todo el espacio ( Q ) + Q ( ), r < R 4πɛ 0 ɛ r R R 2 4πɛ 0 ɛ r2 R 2 R 3 Q ( ) 4πɛ 0 ɛ r r R 2 ( V ( r) = Q 4πɛ 0 ɛ r2 r ) R 3 + Q ( ) 4πɛ 0 ɛ r2 R 2 R 3, R < r < R 2, R 2 < r < R 3 0, R 3 < r < R 4 Q + Q 2 4πɛ 0 ( r R 4 Observar que la función es continua. ), r > R 4 7

5. Llave cerrada. En este caso, el procedimiento es básicamente el mismo que el realizado hasta acá. Las dependencias funcionales de los campos y del potencial se mantienen, lo único que, en este caso, las cargas Q y Q 2 serán desconocidas, en tanto que la batería conectada, moverá las cargas de un conductor a otro hasta que se cumpla la ecuación R4 V (R 4 ) V (R ) = V 0 = E, d l R de donde podremos obtener los nuevos valores de Q y Q 2 que aparecerán en la dependencia funcional del campo eléctrico E de la misma forma que aparecieron en el caso de la llave abierta. Es decir, 0, r < R E( r) = Q 4πɛ 0 ɛ r r 2 ř, R < r < R 2 Q 4πɛ 0 ɛ r2 r 2 ř, R 2 < r < R 3 0, R 3 < r < R 4 Q + Q 2 4πɛ 0 r 2 ř, r > R 4 Además, dado que la carga debe conservarse y la batería sólo movió cargas de un conductor a otro, es necesario que los nuevos valores de las cargas cumplan con la restricción Q + Q 2 = Q + Q 2 Con todos estos datos y habiendo encontrado las nuevas cargas Q y Q 2 (que quedarán en función del valor V 0 ), repetir los cálculos para el caso de la llave cerrada resulta trivial. 8