Prueba de Acceso a la Universidad. JUNIO 0. Maemáicas II. El alumno debe responder a una de las dos opciones propuesas, A o B. En cada preguna se señala la punuación máima. OPCIÓN A a y z A. Sean a un número real y el sisema lineal ay z a y az a a) (,5 punos) Calcule el deerminane de la mariz de los coeficienes y deermine para qué valores de a el sisema anerior es incompaible, compaible deerminado y compaible indeerminado. ( puno) Resuelva el sisema anerior en el caso a 0 a) Sea A la mariz de los coeficienes y B la mariz ampliada. a A a a a a a a a a 0 - - - 0 8 a a 0 a Para a y a : rg A rg B el sisema es compaible deerminado Para a : las marices de los coeficienes y ampliada compaible indeerminado. y z z 0 y 0 Para a : la mariz de los coeficienes iene rango pues el menor rango pues el menor a a 0 a a 0 a, a ienen ambas rango. El sisema es 0. El sisema es incompaible. El sisema es compaible deerminado. Lo resolvemos por la regla de Cramer. 0 y la mariz ampliada iene 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ; y ; z A. (,5 punos) Calcule la siguiene inegral indefinida Descomponemos la función racional en suma de fracciones simples: d - - - - 8 - - 0 0 A B C A A A B C B C
A B B A B A B A B C A C A B C A A A A A C 0 C A C Se iene enonces: Calculemos cada una de las inegrales: d ln d d d () 7 7 d d d d ln 7 d () d d d d arcg Por ano: Es decir: 7 7 () ln arcg () ln ln arcg C 7 d ln arcg C A. a) (0,75 punos) Descomponer el número en dos sumandos posiivos de forma que el produco del primero por el cuadrado del segundo sea máimo. e e k ( puno) Hallar el valor de k para que lím 0 sen c) (0,75 punos) Sea f: una función real de variable real, coninua y derivable en la reca real. Supongamos que f (0) 0 y f ( y) f ()f (y) para odo número real, y. Demosrar que f (0) ; f () 0 ; f () 0 y f '() f '(0)f () para odo número real. a) Sean y f () debe ser máima. los dos sumandos posiivos. La función f ' () 0 8 0 0, 8 (valores críicos) f ''() : f ''(0) 0 0 mínimo ; f ''(8) 0 8 máimo Por ano, los dos sumandos deben ser y 8. L'H e e k 0 e e k k lím lím () 0 sen 0 0 cos 0 Para que el límie sea, k debe ser igual a para que () sea una indeerminación 0 0 es ). Comprobemos el valor del límie: L'H L'H L'H e e 0 e e 0 e e 0 e e lím lím lím lím 0 sen 0 0 cos 0 0 sen 0 0 cos c) f (0) f (0 0) f (0) f (0) f (0) f (0) f (0) 0 f (0) pues f (0) 0 f () f f f f 0 f ( h) f () f () f (h) f () f () f (h) f '() lím lím lím () h0 h h0 h h0 h (en caso conrario el límie
Prueba de Acceso a la Universidad. JUNIO 0. Maemáicas II. f (0) f (h) f 0 h f (0) f (0) f (h) f (0) f (h) f '(0) lím lím lím lím y susiuyendo en (): h0 h h0 h h0 h h0 h f (h) () f () lím f () f '(0) f '() f () f '(0) h0 h A. a) ( puno) Hallar el plano que coniene a la reca v de ecuación paramérica v :,,,, 0 y es perpendicular al plano de ecuación z (,5 punos) Probar que los vecores,,,,,0,,0,0 forman una base de y dar las coordenadas del vecor,,0 en la base anerior. a) Un plano queda deerminado por un puno y dos vecores con disina dirección. El plano que buscamos coniene a la v,, 0. También coniene al vecor normal al reca v, luego coniene al puno P,, y al vecor direccional plano z, n,0, y z, que es perpendicular a él. Por ano, el plano buscado es: 0 0 z y 0 y z 0 0 Basa comprobar que los res vecores son linealmene independienes: 0 0 son linealmene independienes y forman una base de 0 0 y z 0,,0,, y,,0 z,00 y z, y, y y 0 z. OPCIÓN B B. a) (,5 punos) Comprueba que la mariz M es inversible y calcule su inversa, donde ( puno) Encuenre las marices A y B que cumplen las siguienes ecuaciones 0 M a) M es inversible si M 0: 0 0 8A 5B, A B 0 0 0 M 5 0 Calculemos la mariz adjuna (AdjM) y después la raspuesa de la adjuna M iene inversa. (AdjM) : 0 a 0 ; a 5 ; a 5 ; a ; a 0 0 0 a ; a ; a ; a 0 5 5 0 (AdjM) AdjM 5 5 Luego
0 5 5 AdjM Por úlimo: M 5 5 M 5 5 Sean P y Q las marices conocidas. Se iene: 8A 5B P 8A 5B P Sumando : B Q P A 5Q P A B Q 8A B Q es decir: 5 0 0 0 0 0 0 8 0 A 0 5 5 ; B 8 0 5 9 0 5 5 0 0 0 0 0 B. a) (,5 punos) Calcule la siguiene inegral indefinida cos ln d (Ayuda: realice un cambio de variable adecuado para esa inegral) 5 ( puno) Calcule el límie siguiene lím ln a) Realizamos el cambio de variable ln d d d d e d u cos du sen d cos ln d cos e d e cos e sen d dv e d v e u sen du cos d dv e d v e e cos e sen e cos d I e cos sen ln I e cos sen K cos ln d e cos(ln ) sen (ln ) K cos(ln ) sen (ln ) K 5 5 5 lím ln 0 lím ln ln lím () Calculemos Por ano: 5 lím lím lím lím e () ln e B. Sea f la función de variable real definida mediane la epresión f () a) (0,5 punos) Deermine el dominio de coninuidad, simerías, core con los ejes y asínoas de la función. ( puno) Calcule, si eisen, los eremos relaivos y absoluos, e inervalos de crecimieno y decrecimieno de f. c) (0,5 punos) Calcule, si eisen, los punos de infleión de f. d) (0,5 punos) Dibuje la gráfica de f. a) D (f ). La función es coninua. f ( ) f () la función es impar (simérica respeco al origen de coordenadas) Core con OX: 0 0 0, 0. El origen de coordenadas ambién es el puno de core con OY. La función no iene asínoas vericales pues no hay valores de para los que la función ienda a infinio.
Prueba de Acceso a la Universidad. JUNIO 0. Maemáicas II. y 0 es una asínoa horizonal de la función pues: lím 0, lím 0. f ' 0 f ' 0 f ' 0 f '() 0, Por ano: la función es decreciene en,, y creciene en,. Como la función es coninua, en,,, iene un mínimo relaivo y en,,, un máimo relaivo. c) 0,, (posibles punos de infleión) f ''() f '''() y como f '''(0) 0, f '''( ) 0, f '''( ) 0: 0,, son punos de infleión: d) 0,0,,,7, 0,87,,,7, 0,87 B. Sea el haz de planos de ecuación y z 0 con parámero real. a) (0,5 punos) Hallar los planos del haz que pasan por el puno P,,. ( puno) Hallar los planos del haz cuya disancia al puno Q,, es. c) ( puno) Hallar los planos del haz que cumplen que el ángulo que forman con el eje OY iene por seno el valor. a) Susiuimos las coordenadas del puno: 0 0 0 Todos los planos del haz pasan por P (P perenece a la reca común del haz). 5 5 5 5 9 0 5 99 9 5 0 y z 0 0 0 0 y z 0 5y z 0 5 5 5 5
c) Un vecor direccional de OY es e 0,, 0 y un vecor normal al plano n,, Si es el ángulo que forman la reca y el plano, se iene: cos 90º. e n sen e n y z 0 ; y z 0 8 0