Definición 1.3. La disyunción de dos oraciones p y q es la oración p o q. La

Capítulo 1 Lógica 1.1. Oraciones Definición 1.1. Una oración es un enunciado que podemos clasificar como cierta o falsa, pero no de ambas. Toda oración tiene un bien definido valor de veracidad: es cierta (abrevida C) o es falsa (Abreviada F ). Ejemplo 1.1. a. La oración Dos más dos es cuatro es cierta. Su valor de veracidad es C. b. La oración Dos por tres es cinco es falsa. Su valor de veracidad es F. c. El valor de veracidad de Pinocho es un muñeco de madera es cierto (o C) d. El valor de veracidad de La luna es de queso es F (o falso) Conectivos Las oraciones simples (como cada una de las anteriores) se pueden combinar por medio de conectivos para formar oraciones compuestas. Algunos conectivos son y, o, implica Definición 1.2. La conjunción de dos oraciones p y q es la oración p y q. La simbolizamos p q Ejemplo 1.2. Si la oración p es La luna es de queso y la oración q es Dos más dos es cuatro, la conjunción p q es La luna es de queso y dos más dos es cuatro Definición 1.3. La disyunción de dos oraciones p y q es la oración p o q. La simbolizamos p q 1

CAPÍTULO 1. LÓGICA 2 Ejemplo 1.3. Si la oración p es Pinocho es un muñeco de madera y la oración q es Dos por tres es cinco, la disyunción p q es Pinocho es un muñeco de madera o dos por tres es cinco. Definición 1.4. La tabla de veracidad de una oración compuesta (formada por dos o más oraciones) es una arreglo en el cual aparecen todos los posibles valores de veracidad de las oraciones simples que la forman y que determinan el valor de veracidad de la oración compuesta. Definición 1.5. Las tablas siguientes muestran los valores de veracidad de p q y de p q dados los valores de p y de q. p q p q p q C C C C F F F C F F F F p q p q p q C C C C F C F C C F F F Notar que p q es cierta cuando p y q son ambas ciertas. En cambio p q es falsa cuando ambas p y q son falsas. Ejemplo 1.4. a. En la oración La luna es de queso y dos más dos es cuatro podemos considerar que p es La luna es de queso y que q es dos más dos es cuatro. Como p es F y q es C, la oración p q es F. La conjuncion p q: La luna es de queso o dos más dos es cuatro es cierta pues una de las oraciones simples es cierta (q es cierta). b. La oración Pinocho es un muñeco de madera y dos más dos es cuatro es cierta pues las oraciones que la forman son ambas ciertas. Definición 1.6. Dadas las oraciones p y q, la oración condicional si p entonces q la simbolizamos p q. La oración p q también la leemos p implica q. En esta oración, p se llama hipótesis y la oración q se llama conclusión. Ejemplo 1.5. La oración condicional de p : la tierra es plana y q : 2+3=5 es p q: si la Tierra es plana, entonces 2 + 3 = 5. Es esta condicional cierta o falsa? Como en el caso de la conjunción o de la disyunción, el saber el valor de veracidad de las oraciones que componen la condicional nos permite determinar el valor de veracidad de ella.

CAPÍTULO 1. LÓGICA 3 Definición 1.7. Los valores de veracidad de p q son los indicados en la tabla. p q p q p q C C C C F F F C C F F C Notar que p q es solamente falsa cuando la hipótesis es cierta y la conclusión es falsa. Ejemplo 1.6. La oración la tierra es plana es falsa y la oración 2 + 3 = 5 es cierta, luego la condicional si la tierra es plana, entonces 2+3=5 es cierta. La oración si 2+3=5, entonces la tierra es plana es falsa. Definición 1.8. Sean p y q oraciones. La oración bicondicional p si y sólo si q es la conjunción de p q y q p. La simbolizamos p q. La tabla de p q se construye a partir de las oraciones que la componen. (p q) (q p) p q p q q p p q C C C C C C F F C F F C C F F F F C C C La oración p q es cierta solamente cuando ambas son ciertas o cuando ambas son falsas. Ejemplo 1.7. a. La oración La tiera es plana si y sólo si 2 + 3 = 6 es cierta. b. La oración 2 + 2 = 4 si y sólo si Pinocho es un muñeco de madera es cierta. c. La oración 2 + 3 = 5 si y sólo si 2 + 2 = 4 es falsa. Definición 1.9. Dada una oración p podemos formar otra oración, llamada negación de p y denotada p, cuyo valor de veracidad es contrario al valor de veracidad de p. p p C F F C

CAPÍTULO 1. LÓGICA 4 En general, la negación de p se obtiene anteponiendo No a la oración original, o escribiendo No es cierto... antes de la oración original. Ejemplo 1.8. a. La negación de Pinocho es un muñeco de madera es Pinocho no es un muñeco de madera o No es cierto que Pinocho sea un muñeco de madera. b. La negación de p: 2 + 3 = 5 es p: 2 + 3 5 Definición 1.10. a. La oración recíproca de la condicional p q es la oración q p. b. La oración contra positiva de la oración p q es la oración q p. Ejemplo 1.9. a. La oración recíproca de si la tiera es plana entonces 2+3 = 6 es Si 2+3 = 6, entonces la tiera es plana b. la oración contra positiva de Si 2 + 3 = 5 entonces Pinocho es un muñeco de madera es Si Pinocho no es un muñeco de madera, entonces 2 + 3 5 Ejemplo 1.10. Sean p, q, r oraciones. Suponga que p es C (cierta), que q es F y que r es C. Determine el valor de veracidad de a. p (q r) b. (r q) r c. (p q) (r q) d. (r q) (p r) e. p q (r p) f. (p r) (( p) r) 1.2. Tautología y Equivalencia Definición 1.11. Una tautología es una oración compuesta que es cierta para cualesquiera que sean los valores de veracidad de las oraciones que la forman. Ejemplo 1.11. Sean p y q dos oraciones. Las oración p (p q) es una tautología (Tabla izquierda). La oración p (p q) no es una tautología. (Tabla derecha) Algunas otras tautologías son: (p q) q, p p, p p. Para determinar si una oración es una tautología, construimos su tabla de veracidad y de ahí concluimos si lo es o no. Tabla izquierda p q p q p (p q) C C C C C F C C F C C C F F F C Tabla derecha p q p q p (p q) C C C C C F F F F C F C F F F C

CAPÍTULO 1. LÓGICA 5 Definición 1.12. Dos oraciones p y q son equivalentes si la oración p q es una tautología. Anotamos p q para indicar que las oraciones son equivalentes. La equivalencia entre oraciones es como la igualdad entre números. Si dos oraciones son equivalentes, en cualquier oración donde aparezca una de ellas, la podemos sutituir por la otra equivalente. La nueva oración no es posible distinguirla logicamente de la original. Ejemplo 1.12. Los siguientes ejemplos de equivalencias son importantes. a. Doble negación. ( p) p b. Leyes de De Morgan Negación de o p p ( p) p ( p) C F C C F C F C (p q) p q (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) p q p q (p q) p q p q C C C F F F F C F C F F C F F C C F C F F F F F C C C C Como la columna (4) es igual a la columna (7), la oración (p q) p q es una tautología. Negación de y (p q) p q (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) p q p q (p q) p q p q C C C F F F F C F F C F C C F C F C C F C F F F C C C C Como la columna (4) es igual a la columna (7), la oración (p q) p q es una tautología. c. Negación de la implicación. (p q) p q. d. Implicación y contra positiva (p q) ( q) ( p) e. Leyes de distributividad p (q r) (p q) (p r), p (q r) (p q) (p r)

CAPÍTULO 1. LÓGICA 6 f. Leyes de conmutatividad p q q p, p q q p Ejemplo 1.13. La oracióm p q es equivalente con p q Una forma de probarlo es usar las tablas de veracidad. Otra forma es comenzar con (p q) p q. Negando ambos lados ( (p q)) (p q). Usamos ahora la doble negación y la negación de y para obtener p q p q Usando la tabla: p q p q p p q (p q) ( p q) C C C F C C C F F F F C F C C C C C F F C C C C En la oración Ayer fui al gimnasio o al cine llamemos p : Ayer fui al gimnasio y sea q : Ayer fui al cine, así que la oración es p q, que es equivalente con ( p) q, que es equivalente con p q. Luego la oración original es equivalente con p q Si ayer no fui al gimnasio entonces fui al cine Con la notación de p y q precedentes, la oración Ayer fui al gimnasio o al cine es también equivlente con q p, qu es equivalente con ( q) p, que es equivalente con q p, luego la oración original es también equivalente con Si ayer no fui al cine, entonces fui al gimnasio Ejemplo 1.14. Sabemos que dados números reales a y b, una y sólo una de estas es cierta: a < b, a = b, b < a. También sabemos que a b significa a < b a = b. Si a b es falso, entonces a < b es falso y a = b es falso, luego b < a es cierto. Y si a b es cierto, entonces una de a < b o a = b es cierto, luego b < a es falso. Concluimos así que la negación de a b es b < a. Análogamente (a < b) b a. Recordar que a > b significa b < a y a b significa b a 1.3. Cuantificadores Oraciones abiertas Un enunciado como Juana nació en San Juan no es una oración según nuestra definición. Este enunciado depende de la persona de nombre Juana a quien

CAPÍTULO 1. LÓGICA 7 hacemos referencia; para alguna será cierto, para otra será falso. Otro enunciado de este tipo es: x < 9. Suponiendo que x representa un número real, para algún valor de x es cierto, para otro es falso. Definición 1.13. Sea D un conjunto. Una oración abierta con dominio D en la variable x es un enunciado que envuelve a x y que, al sustituir x por uno cualquiera de los elemento de D es una oración. Una tal oración la simbolizamos p(x). Si p(x) es una oración abierta con dominio D y a D, denotamos por p(a) a la oración que se obtiene al sustituir x por a en p(x). Ejemplo 1.15. Sea D = {1, 2, 3, 4}. Una oración abierta con dominio D es p(x) : x es un número par. Al sustituir x por 1 tenemos p(1): 1 es un número par, que es un oración; al sustituir x por 2, p(2): 2 es un número par, que es una oración. Igualmente obtenemos oraciones al sustituir x por 3 y por 4. Definición 1.14. Sea p(x) una oración abierta con dominio un conjunto D. Una oración de la forma Para todo x D la oración p(x) es cierta la simbolizamos por x D, p(x) Esta oración es cierta si p(x) es cierta para cada elemento en D. Ejemplo 1.16. La oración x R, x 2 0 es cierta; en cambio x R, x 2 > 0 es falsa, pues es falsa para x = 0. Definición 1.15. Sea p(x) una oración abierta con dominio un conjunto D. Una oración de la forma Existe un elemento x D tal que p(x) es cierta la simbolizamos por x D : p(x) Esta oración es cierta si hay un elemento a en D, uno o más, tal que p(a) es cierta. Ejemplo 1.17. La oración x R : x 2 = 1 es cierta. (Es cierta para x = 1, por ejemplo). La oración x R : x 2 = 1 es falsa. 1.4. Negación de y Definición 1.16. La negación de x D, p(x) es x D : p(x). La negación de x D : p(x) es x D, p(x).

CAPÍTULO 1. LÓGICA 8 Ejemplo 1.18. La negación de a. x R, x 3 1 < x es x R : x 3 1 x b. x R : x 2 > x es x R, x 2 x. c. x R, si x < 1, entonces x 2 < 1 es x 0 R : x 0 < 1 x 2 0 1. (Recordar (p q) p q) d. x R, si 0 < x < 1, entonces 1/x < 1 es x R : 0 < x < 1 y 1/x 1. e. n N : 10n > 2 n es n N, 10n 2 n. (N es el conjunto de los números naturales) 1.5. Métodos de Demostración. Hilbert define una demostración de la siguiente forma: Una demostración consiste en una sucesión de fórmulas que, o bien son axiomas, o bien son teoremas, o se han obtenido de éstas mediante inferencias admisibles. Aquí mencionaremos algunos métodos de demostración. Para demostrar un teorema como el siguiente, o cualquier otro, generalmente usamos uno de los siguientes métodos. Teorema. Si m y n son enteros pares, entonces n + m es un entero par. (Un entero m es par si, y sólo si, existe un entero k tal que m = 2k.) Demostración. (Demostración Directa.) Sean m y n enteros pares. Entonces existen enteros j y k tales que m = 2j y n = 2k. Luego m+n = 2j+2k = 2(j+k). Por lo tanto m + n es par ya que la suma j + k de enteros es un entero. Demostración. (Demostración contrarecíproca o contrapositiva.) En este caso, como p q q p, en lugar de probar directamente que p q es cierta, probamos que q p es cierta. La oración contra positiva de la oración en el enunciado del teorema es Si m + n no es un entero par, entonces m o n no es un entero par. Probaremos que esta última es cierta. Sean m y n enteros tales que m+n es impar. Entonces m+n = 2k+1, para algún entero k. Si m es impar, entonces la demostración se acabó. Si m es par, entonces m = 2j, para algún entero j. Luego n = 2k + 1 m = 2k + 1 2j = 2(k j) 1, y por lo tanto n es impar, ya que la diferencia k j de enteros es un entero. Demostración. (Demostración por contradicción o indirecta.) En este caso suponemos que el enunciado es falso y buscamos llegar a contradecir algo ya aceptado por cierto (o falso). Si el enunciado del teorema es falso, entonces su

CAPÍTULO 1. LÓGICA 9 negación es cierta. La negación del enunciado es Existen enteros pares m y n tales que m + n es un entero impar. En este caso, m = 2k y n = 2j, luego m + n = 2(k + j) es par, lo que contradice el que m + n sea impar. EJERCICIO1