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2 MÉTODO DE RESIDUOS PONDERADOS: PROBLEMAS DE EQUILIBRIO 1D F. Navarrina, I. Colominas, M. Casteleiro, H. Gómez, J. París GMNI GRUPO DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Universidad de A Coruña, España fnavarrina@udc.es página web:

3 ÍNDICE Problema Conceptual Planteamientos Alternativos Residuos Ponderados: Forma Débil Residuos Ponderados: Aproximación Numérica Residuos Ponderados: Error de Aproximación Elección de las Funciones de Test Método de Bubnov-Galerkin Elección de las Funciones de Prueba Notación en Formas Bilineales

4 Problema Conceptual (I) Sea el problema de equilibrio 1D:

5 Problema Conceptual (IIa) Donde: [, L] = dominio unidimensional de definición del problema, x [, L] = coordenada material de un punto, A(x) = sección transversal en cada punto, u(x) = VARIABLE PRINCIPAL (DESPLAZAMIENTO GENERALIZADO) σ(x) = VARIABLE SECUNDARIA (TENSIÓN GENERALIZADA), b(x) = CARGA GENERALIZADA POR UNIDAD DE VOLUMEN, u = valor forzado de la variable principal en x =, R = A()σ() (REACCIÓN GENERALIZADA), F = A(L)σ(L) (CARGA GENERALIZADA PUNTUAL), σ(l) = valor forzado de la variable secundaria en x = L.

6 Problema Conceptual (IIb) La relación entre la variable principal u(x) y la variable secundaria u(x) se establece a través de una variable intermedia ε(x) (DEFORMACIÓN GENERALIZADA), de forma que tendremos dos tipos de ecuaciones: ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD (o relaciones deformación desplazamiento): u(x) ε(x). ECUACIONES CONSTITUTIVAS (o relaciones tensión deformación): ε(x) σ(x).

7 Problema Conceptual (III) Modelo Matemático Lineal: Dados A(x), b(x), E(x), u, F, Hallar u(x), σ(x), x [, L], que verifican (Aσ) + Ab = x (, L), (ECUACIÓN DE EQUILIBRIO) σ = Eε, ε = u, A(L)σ(L) + F =, u() = u. (ECUACIÓN CONSTITUTIVA) (ECUACIÓN DE COMPATIBILIDAD) (C.C. NATURAL) (C.C. ESENCIAL) El problema anterior puede representar diferentes fenómenos físicos, como...

8 Problema Conceptual (IVa) Barra elástica a tracción compresión [, L] = barra de longitud L. x [, L] = coordenada material de un punto. A(x) = sección transversal. u(x) = DESPLAZAMIENTO. ε(x) = DEFORMACIÓN. σ(x) = TENSIÓN. b(x) = FUERZA EXTERIOR POR UNIDAD DE VOLUMEN. u = DESPLAZAMIENTO PREFIJADO EN x =. R = A()σ() (REACCIÓN), F = A(L)σ(L) (FUERZA PUNTUAL EXTERIOR), E = MÓDULO DE ELASTICIDAD. En este caso, la ecuación constitutiva se denomina LEY DE HOOKE.

9 Problema Conceptual (IVb) Difusión de contaminante en un canal [, L] = canal de longitud L. x [, L] = coordenada material de un punto. A(x) = sección transversal. u(x) = CONCENTRACIÓN DE CONTAMINANTE. ε(x) = GRADIENTE DE CONCENTRACIÓN DE CONTAMINANTE. σ(x) = DENSIDAD DE FLUJO DE CONTAMINANTE. b(x) = SUMIDERO DE CONTAMINANTE POR UNIDAD DE VOLUMEN. u = CONCENTRACIÓN PREFIJADA EN x =. R = A()σ() (REACCIÓN), F = A(L)σ(L) (FLUJO DE CONTAMINANTE FORZADO), E = γ, γ = DIFUSIVIDAD. En este caso, la ecuación constitutiva se denomina LEY DE FICKS.

10 Problema Conceptual (IVc) Difusión de calor en una barra [, L] = barra de longitud L. x [, L] = coordenada material de un punto. A(x) = sección transversal. u(x) = TEMPERATURA. ε(x) = GRADIENTE DE TEMPERATURA. σ(x) = DENSIDAD DE FLUJO DE CALOR. b(x) = SUMIDERO DE CALOR POR UNIDAD DE VOLUMEN. u = TEMPERATURA PREFIJADA EN x =. R = A()σ() (REACCIÓN), F = A(L)σ(L) (FLUJO DE CALOR FORZADO), E = γ, γ = CONDUCTIVIDAD TÉRMICA. En este caso, la ecuación constitutiva se denomina LEY DE FOURIER.

11 Problema Conceptual (IVd) Corriente eléctrica en un conductor [, L] = conductor de longitud L. x [, L] = coordenada material de un punto. A(x) = sección transversal. u(x) = POTENCIAL ELÉCTRICO. ε(x) = GRADIENTE DE POTENCIAL. σ(x) = DENSIDAD DE CORRIENTE. b(x) = SUMIDERO DE CORRIENTE POR UNIDAD DE VOLUMEN. u = POTENCIAL PREFIJADO EN x =. R = A()σ() (REACCIÓN), F = A(L)σ(L) (INTENSIDAD DE CORRIENTE FORZADA), E = γ, γ = CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA. En este caso, la ecuación constitutiva se denomina LEY DE OHM.

12 Planteamientos Alternativos (I) a) FORMA ORIGINAL Hallar u(x), x [, L], que VERIFICA r(x) = x (, L), r Γ =, (*) siendo r(x) = (Aσ) + Ab, σ = Eε, ε = u, r Γ = A(L)σ(L) + F, u() = u. (ECUACIÓN DE EQUILIBRIO) (ECUACIÓN CONSTITUTIVA) (ECUACIÓN DE COMPATIBILIDAD) (C.C. NATURAL) (C.C. ESENCIAL) (*) FORMA FUERTE o STRONG FORM.

13 Planteamientos Alternativos (IIa) b) RESIDUOS PONDERADOS Hallar u(x), x [, L], que VERIFICA siendo L ω(x)r(x) dx + ω Γ r Γ = ω(x), ω Γ (*) r(x) = (Aσ) + Ab, σ = Eε, ε = u, r Γ = A(L)σ(L) + F, u() = u. (ECUACIÓN DE EQUILIBRIO) (ECUACIÓN CONSTITUTIVA) (ECUACIÓN DE COMPATIBILIDAD) (C.C. NATURAL) (C.C. ESENCIAL) (*) FORMA DÉBIL o WEAK FORM.

14 Planteamientos Alternativos (IIb) Pues r(x) = x (, L), r Γ = = ω(x)r(x) dx + ω Γ r Γ = ω(x), ω Γ 8 >< ω(x) = r(x), ω Γ = r(x)r(x) dx =, ω(x)r(x) dx + ω Γ r Γ = ω(x), ω Γ = >: ω(x) =, ω Γ = 1 r Γ =. Si las funciones son suficientemente regulares, el enunciado de residuos ponderados es equivalente al problema original, ya que r(x)r(x) dx = = r(x) = x (, L). Si se utiliza la Integral de Lebesgue, el residuo r(x) puede ser no nulo en un conjunto de puntos de medida nula. (*) (*) Por este motivo se habla de una FORMULACIÓN DÉBIL (WEAK FORMULATION) del problema original.

15 Planteamientos Alternativos (IIc) Sin pérdida de generalidad podemos elegir ω Γ = ω(l), pues r(x) = x (, L), r Γ = = ω(x)r(x) dx + ω(l)r Γ = ω(x) 8 < ω(x) = r(x) (L x) r(x) = x (, L), ( ) ω(x)r(x) dx + ω(l)r Γ = ω(x) = : r(x) = x (, L), ω(l) r Γ =. (*) Pues si las funciones son suficientemente regulares, r(x)r(x) z } { (L x) dx = = r(x) = x (, L).

16 Planteamientos Alternativos (IId) Por tanto, podemos adoptar el enunciado de residuos ponderados... Hallar u(x), x [, L], que VERIFICA siendo L ω(x)r(x) dx + ω(l)r Γ = r(x) = (Aσ) + Ab, σ = Eε, ε = u, r Γ = A(L)σ(L) + F, u() = u. ω(x) (ECUACIÓN DE EQUILIBRIO) (ECUACIÓN CONSTITUTIVA) (ECUACIÓN DE COMPATIBILIDAD) (C.C. NATURAL) (C.C. ESENCIAL)

17 Planteamientos Alternativos (IIIa) c) MÍNIMOS CUADRADOS Hallar u(x), x [, L], que MINIMIZA Q[u] = siendo L σ = Eε, ε = u, r Γ = A(L)σ(L) + F, u() = u. r(x)p(x)r(x) dx + r Γ p Γ r Γ, (*) r(x) = (Aσ) + Ab, (ECUACIÓN DE EQUILIBRIO) (ECUACIÓN CONSTITUTIVA) (ECUACIÓN DE COMPATIBILIDAD) (C.C. NATURAL) (C.C. ESENCIAL) (*) La función de peso p(x) y el peso p Γ deben verificar p(x) > x [, L], p Γ >.

18 Planteamientos Alternativos (IIIb) La condición de mínimo equivale al PLANTEAMIENTO VARIACIONAL que VERIFICA Hallar u(x) x [, L], dj(λ) dλ = δu(x) tal que δu() =, λ= con y por tanto J(λ) = Q[u + λδu], dj(λ) L dλ = 2 λ= 2 ( AE δu ) p(x)r(x) dx ( AE δu ) p Γ r Γ, (*) x=l

19 Planteamientos Alternativos (IIIc)... que equivale a decir Hallar u(x) x [, L], que VERIFICA siendo L (AE δu )p(x)r(x) dx (AE δu σ = Eε, ε = u, ) x=l p Γ r Γ = δu(x) r(x) = (Aσ) + Ab, r Γ = A(L)σ(L) + F, u() = u, δu() =, (ECUACIÓN DE EQUILIBRIO) (ECUACIÓN CONSTITUTIVA) (ECUACIÓN DE COMPATIBILIDAD) (C.C. NATURAL) (C.C. ESENCIAL)

20 Planteamientos Alternativos (IIId)... o lo que es lo mismo Hallar u(x) x [, L], que VERIFICA siendo L ω(x)r(x) dx + ω Γ r Γ = ω(x) = (AE δu )p(x), r(x) = (Aσ) + Ab, σ = Eε, ε = u, r Γ = A(L)σ(L) + F, u() = u. δu(x) δu() =, ω Γ = (AE δu ) x=l p Γ, (ECUACIÓN DE EQUILIBRIO) (ECUACIÓN CONSTITUTIVA) (*) (ECUACIÓN DE COMPATIBILIDAD) (C.C. NATURAL) (C.C. ESENCIAL) (*) Que es un planteamiento en residuos ponderados equivalente al problema original.

21 Planteamientos Alternativos (IVa) e) MÍNIMA ENERGÍA Hallar u(x), x [, L], que MINIMIZA siendo E[u] = L L σ = Eε, ε = u, u() = u. ε(x)a(x)σ(x) dx u(x)a(x)b(x) dx u(l)f, (ECUACIÓN CONSTITUTIVA) (*) (ECUACIÓN DE COMPATIBILIDAD) (C.C. ESENCIAL) (*) Si E < se cambia el signo para que el funcional tenga un mínimo y no un máximo.

22 Planteamientos Alternativos (IVb) Se comprueba fácilmente que la solución del problema original u(x) minimiza la energía, pues si v(x) = u(x) + δu(x) es cualquier otra función que también verifique la condición de contorno esencial v() = u, entonces δu() =, y siendo tenemos E[u + δu] = = E[u] = E[u] = E[u] δε = δu, (ε + δε)a(σ + δσ) dx δσ = Eδε, (δεaσ + εaδσ + δεaδσ) dx (u + δu)ab dx (δεaeε + εaeδε + δεaeδε) dx δεaeδε dx + " δεaσ dx u(l) + δu(l) F δuab dx δu(l)f δuab dx δu(l), δuab dx δu(l)f #.

23 Planteamientos Alternativos (IVc) Integrando por partes δεaσ dx = +(δuaσ) L δu (Aσ) dx. Luego Por tanto, δεaσ dx δuab dx δu(l)f = E[u + δu] = E[u] E[u] δu δu «(Aσ) + Ab {z } = δu(l) ( A(L)σ(L) + F ) {z } = δε z } { δεaeδε dx δu() =. dx =.

24 Planteamientos Alternativos (IVd) La condición de mínimo equivale al PLANTEAMIENTO VARIACIONAL que VERIFICA Hallar u(x), x [, L], dj(λ) dλ = δu(x) tal que δu() =, λ= con y por tanto J(λ) = E[u + λδu], dj(λ) dλ = + λ= L L δu A(x)E(x) u dx δu(x)a(x)b(x) dx δu(l)f,

25 Planteamientos Alternativos (IVe)... que conduce al PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES (PTV) Hallar u(x), x [, L], + L δu A(x)σ(x) dx que VERIFICA siendo L δu(x)a(x)b(x) dx δu(l)f = σ = Eε, ε = u, u() = u. δu(x) δu() =, (ECUACIÓN CONSTITUTIVA) (ECUACIÓN DE COMPATIBILIDAD) (C.C. ESENCIAL)

26 Planteamientos Alternativos (IVf) Integrando por partes se obtiene, que VERIFICA Hallar u(x), x [, L], siendo + ( ) L δu(x)a(x)σ(x) L δu(x) δu(l)f = σ = Eε, ε = u, u() = u, ( (Aσ) + A(x)b(x) δu(x) ) δu() =, dx (ECUACIÓN CONSTITUTIVA) (ECUACIÓN DE COMPATIBILIDAD) (C.C. ESENCIAL)

27 Planteamientos Alternativos (IVg)... o lo que es lo mismo, que VERIFICA Hallar u(x), x [, L], siendo L ω(x)r(x) dx + ω Γ r Γ = ω(x) = δu(x), r(x) = (Aσ) + Ab, σ = Eε, ε = u, r Γ = A(L)σ(L) + F, u() = u. ω Γ = δu(l), δu(x) δu() =, (ECUACIÓN DE EQUILIBRIO) (ECUACIÓN CONSTITUTIVA) (*) (ECUACIÓN DE COMPATIBILIDAD) (C.C. NATURAL) (C.C. ESENCIAL) (*) Que es un planteamiento en residuos ponderados equivalente al problema original.

28 Residuos Ponderados: Forma Débil (I) PLAN DE TRABAJO

29 Residuos Ponderados: Forma Débil (II) RESIDUOS PONDERADOS (Weighted Residuals) Hallar u(x), x [, L], que VERIFICA siendo L ω(x)r(x) dx + ω(l)r Γ = r(x) = (Aσ) + Ab, σ = Eε, ε = u, r Γ = A(L)σ(L) + F, u() = u. ω(x) (ECUACIÓN DE EQUILIBRIO) (ECUACIÓN CONSTITUTIVA) (ECUACIÓN DE COMPATIBILIDAD) (C.C. NATURAL) (C.C. ESENCIAL)

30 Residuos Ponderados: Forma Débil (III) Observamos que En el enunciado anterior las funciones de prueba u(x) se derivan dos veces, mientras que las funciones de test ω(x) no se derivan. Si tenemos una aproximación a la solución u h (x) u(x) que no sea dos veces derivable, el enunciado anterior no permite comprobar la bondad de la aproximación. Si pudiésemos reducir el orden de derivación de u(x) podríamos intentar obtener aproximaciones con menores requisitos de continuidad (por ejemplo, poligonales a trozos) Aplicaremos INTEGRACIÓN POR PARTES con el fin de reducir el orden de derivación de u(x) aunque sea a costa de aumentar el orden de derivación de ω(x).

31 Residuos Ponderados: Forma Débil (IVa) INTEGRACIÓN POR PARTES L ω(x)r(x) dx = L ω(x) = (ωaσ) L ( ) (Aσ) + Ab L ω Aσ dx + dx L ωab dx.

32 Residuos Ponderados: Forma Débil (IVb) Luego L ω(x)r(x) dx + ω(l)r Γ = ω(l)a(l)σ(l) ω()a()σ() L L ω Aσ dx + ωab dx + ω(l) ( A(L)σ(L) + F ) L L ω = Aσ dx + ωab dx + ω(l)f + ω() ( A()σ() ), }{{} R lo que nos conduce a la forma débil...

33 Residuos Ponderados: Forma Débil (V) FORMA DÉBIL (Weak Form) Hallar u(x) H u, [ y la reacción R = A()σ() ] que VERIFICA siendo L ω Aσ dx = σ = Eε, ε = u, u() = u, L ωab dx + ω(l)f + ω()r (ECUACIÓN CONSTITUTIVA) (ECUACIÓN DE COMPATIBILIDAD) (C.C. ESENCIAL) ω(x) H ω donde R = A()σ() es la REACCIÓN que se produce en x = al forzar el valor de la condición de contorno esencial.

34 Residuos Ponderados: Forma Débil (VI) Observamos que La forma anterior es DÉBIL por doble motivo, ya que además de lo anteriormente expuesto permite comprobar la bondad de aproximaciones u h (x) u(x) que sean una vez derivables (en vez de dos veces derivables, como exige la forma fuerte del problema). La condición de contorno natural se introduce en la formulación mediante el término ω(l)f. Cuando F = se impone una condición de contorno que establece que σ(l) =, pero el término ω(l)f desaparece, por lo que la condición de contorno parece satisfacerse de forma natural. De ahí el nombre.

35 Residuos Ponderados: Forma Débil (VIIa) CARGAS PUNTUALES (utilización de las deltas de Dirac) Sea V i una fuerza puntual aplicada en el punto x i < x i < L. Podemos introducir la fuerza puntual en la formulación mediante una fuerza equivalente por unidad de volumen b i (x) del tipo de forma que V i b i (x) = V i A(x i ) δ(x x i), Ab i dx = = V i A(x i ) V i A(x) A(x i ) δ(x x i) dx = V i A(x i ) A(x i) = V i. A(x)δ(x x i ) dx

36 Residuos Ponderados: Forma Débil (VIIb) Al introducir b i (x) en la forma débil obtenemos L ωab i dx = L = V i A(x i ) V i ω(x)a(x) A(x i ) δ(x x i) dx L = V i A(x i ) ω(x i)a(x i ) = ω(x i )V i, ω(x)a(x)δ(x x i ) dx que es un término del mismo tipo que los que corresponden a F y a R.

37 Residuos Ponderados: Forma Débil (VIIIa) EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES Si interpretamos la función de test ω(x) como un desplazamiento virtual compatible con las condiciones de contorno esenciales (es decir como una modificación de la solución u(x) que no incumpla las condiciones de contorno esenciales), e interpretamos su derivada como una deformación virtual, podemos escribir ω(x) = δu(x) con δu() =, δε(x) = ω y obtenemos el PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES L δu Aσ dx = L δuab dx + δu(l)f δu(x) δu() =. Por tanto, el PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES es una forma débil de las ecuaciones de equilibrio (no de las ecuaciones constitutivas ni de las de compatibilidad) y de las condiciones de contorno naturales (no de las condiciones de contorno esenciales).

38 Residuos Ponderados: Forma Débil (VIIIb) El MÉTODO DE RESIDUOS PONDERADOS permite obtener una forma débil del problema aunque no se conozca el enunciado específico del PTV para el problema que se está resolviendo (por ejemplo, qué significa y cómo se escribe el principio de los trabajos virtuales en problemas de difusión de contaminantes?) En el caso que nos ocupa (ecuación de equilibrio de pequeños desplazamientos, ecuación de compatibilidad de pequeños gradientes de desplazamientos, ecuación constitutiva de la elasticidad lineal), esta forma débil equivale al planteamiento variacional de mínima energía, por lo que las soluciones numéricas que proporcionará el método de Galerkin serán óptimas. Esto no tiene por qué ser cierto en otros casos (problemas de convección-difusión, dinámica de fluidos, etc.).

39 Residuos Ponderados: Forma Débil (VIIIc) La forma clásica del bf PTV también es válida para ecuaciones constitutivas no lineales (hiperelasticidad) y para ecuaciones de compatibilidad más complicadas (grandes gradientes de desplazamientos) siempre y cuando la ecuación de equilibrio sea la expuesta (pequeños desplazamientos). En todo caso, hay que interpretar correctamente el enunciado y tener en cuenta que la expresión de la deformación virtual es siempre la correspondiente al caso de pequeños gradientes de desplazamientos.

40 Residuos Ponderados: Aproximación Numérica (Ia) FUNCIONES DE PRUEBA (Trial Functions) Sea la base de funciones de prueba {φ i (x)} i=1,...,ν. Dada la aproximación inicial ψ(x), buscamos una mejor aproximación ν u(x) u h (x) = ψ(x) + α i φ i (x), u h (x) Hu h H u, i=1 { } { φ1 u(x) u h (x) = ψ(x) + Φ T (x) ᾱ, con Φ(x) (x) α1 =., ᾱ =. φ ν (x) α ν Las correspondientes aproximaciones de ε(x) y de σ(x) serán ε(x) ε h (x) = ψ + νx i=1 α i φ i, σ(x) σh (x) = Eε h (x), ε(x) ε h (x) = ψ + Φ T ᾱ, σ(x) σh (x) = Eε h (x). Y [si interesa] podemos buscar una aproximación de la reacción R R h. }.

41 Residuos Ponderados: Aproximación Numérica (Ib) En general no será posible que u h (x) = u(x) x [, L] (*), por lo que u h (x) u(x) no es posible que ω Aσh dx = ωab dx + ω(l)f + ω()r h ω(x) H ω. (*) Salvo que u(x) ψ(x) esté contenido en el subespacio generado por las funciones de prueba.

42 Residuos Ponderados: Aproximación Numérica (IIa) FUNCIONES DE TEST (Test Functions) Sea la base de funciones de test {ω j (x)} j=1,...,ν. Sea ω h (x) = ν β j ω j (x), ω h (x) Hω h H ω, { j=1 ω1 ω h (x) = Ω T (x) β = β (x) T Ω(x), con Ω(x) =. ω ν (x) Nos proponemos obtener la aproximación u h (x) Hu h [y la aproximación R h ] que verifique } { β1, β =. β ν u h () = u }. L ω h Aσh dx = L ω h Ab dx + ω h (L)F + ω h ()R h ω h (x) H h ω.

43 Residuos Ponderados: Aproximación Numérica (IIb) Pero νx j=1 ω h β j Aσh dx β T ω j Aσh dx Ω Aσh dx ω j Aσh dx = ω h Ab dx ω h (L)F ω h ()R h = Ω Aσh dx = ω h (x) H h ω ω j Ab dx ω j (L)F ω j ()R h! = {β j } ΩAb dx Ω(L)F Ω()R h! = β ω j Ab dx + ω j (L)F + ω j ()R h, ΩAb dx + Ω(L)F + Ω()R h. j=1,...,ν

44 Residuos Ponderados: Aproximación Numérica (IIIa) Por tanto, ω j AE ψ + Ω AE νx i=1! φ i α i ψ + Φ T dx = ᾱ! dx = ω j Ab dx + ω j (L)F + ω j ()R h, ΩAb dx + Ω(L)F + Ω()R h j=1,...,ν i=1 k ji f j z } { νx ω j AE φ! z Z } { L i dx ω j ψ α i = AE dx + ω j Ab dx + ω j (L)F +ω j ()R h, K z } e { Ω! T Φ AE dx ᾱ = f z Z } { L Ω ψ AE dx + ΩAb dx + Ω(L)F + Ω()R h j=1,...,ν νx k ji α i = f j + ω j ()R h j=1,...,ν Kᾱ = f + Ω()R h. e i=1

45 Residuos Ponderados: Aproximación Numérica (IIIb) Luego el problema de equilibrio original ha sido sustituido por el sistema (de orden ν, con la incógnita adicional R h ) K ᾱ = f + Ω()R h, con la condición adicional u h () = u, esto es Φ T () ᾱ = u ψ().

46 Residuos Ponderados: Aproximación Numérica (IVa) El sistema anterior puede escribirse en la forma [ Ω() K Φ T () ] { ᾱ R h } = { f u ψ() }, siendo K e = [k ji ] i=1,...,ν j=1,...,ν f = {f j } j=1,...,ν,, k ji = K e = f j = f = ω j AE φ i dx Ω Φ T AE ω j ψ AE dx dx + ω j Ab dx + ω j (L)F Ω ψ AE dx + ΩAb dx + Ω(L)F.

47 Residuos Ponderados: Aproximación Numérica (IVb) Si elegimos la aproximación inicial ψ(x) de forma que satisfaga la condición de contorno esencial y elegimos las funciones de prueba φ i (x) de forma que se anulen en el punto correspondiente, la aproximación u h (x) verificará automáticamente la condición de contorno esencial. Es decir ψ() = u Φ() = } = u h () = u. Si además elegimos las funciones de test de forma que se anulen en el mismo punto, la reacción no interviene en la formulación y el sistema se reduce a Ω() = = K ᾱ = f.

48 Residuos Ponderados: Aproximación Numérica (V) Una vez resuelto el sistema obtendremos la aproximación a la solución ν u h (x) = ψ(x) + α i φ i (x) u h (x) = ψ(x) + Φ T (x) ᾱ. i= ε h (x) = ψ + ν i=1 α i φ i ε h (x) = ψ + Φ T ᾱ σ h (x) = Eε h (x) σ h (x) = Eε h (x).

49 Residuos Ponderados: Error de Aproximación (I) MÉTODOS DE PROYECCIÓN Los MÉTODOS DE RESIDUOS PONDERADOS también se denominan así, ya que siendo u(x) la solución exacta, con ε(x) = u, σ(x) = Eε(x) u h (x) la solución aproximada, con ε h (x) = uh, σh (x) = Eε h (x) se verifica ω h Aσ dx = ω h Aσh dx = = ω h Ab dx + ω h (L)F + ω h ()R ω h Ab dx + ω h (L)F + ω h ()R h ω h ω h (x) H h ω ω h (x) H h ω A(σ σh ) dx = ω h ()(R R h ) ω h (x) H h ω. 9 >= >; =

50 Residuos Ponderados: Error de Aproximación (II) La ecuación anterior demuestra que (normalmente) la reacción se calcula exactamente, ya que si la función constante pertenece al espacio de las funciones de test (lo que normalmente se exige y se conoce como PARTICIÓN DE LA UNIDAD) entonces ω h (x) = 1 = R = R h. Por tanto (normalmente) se cumple ω h AE (u uh ) dx = ω h (x) H h ω. Luego, la solución aproximada u h (x) verifica ω h, u u h L = ω h (x) Hω, h v e con v, e = AE dx.

51 Residuos Ponderados: Error de Aproximación (III) Por tanto, la solución aproximada u h (x) es la PROYECCIÓN de la solución exacta u(x) sobre el subespacio Hu h de las funciones de prueba u h (x) según la normal al subespacio Hω h de las funciones de test ω h (x).

52 Elección de las Funciones de Test Algunas posibilidades... 1) MÉTODO DE COLOCACIÓN PUNTUAL ω j (x) = δ(x x j ), j=1,...,ν con x j [,L], x i x j i j. (*) = No se puede utilizar en este caso, porque la delta no es derivable. Si se aplica a la forma original de RP conduce a DIFERENCIAS FINITAS. 2) MÉTODO DE COLOCACIÓN POR SUBDOMINIOS ω j (x) = { 1, si xj x x j+1,, en caso contrario, j=1,...,ν con a=x 1... x ν x ν+1 =b. = Conduce a VOLÚMENES FINITOS. 3) MÉTODO DE BUBNOV-GALERKIN ω j (x) = φ j (x), j=1,...,ν H h ω = H h u. (*) Si x j = a o x j = b es preciso redefinir adecuadamente la δ.

53 Método de Bubnov-Galerkin (Ia) PONDERACIÓN DE BUBNOV GALERKIN Si se eligen como funciones de test las funciones de prueba, esto es Hω h = Hu h ω j (x) = φ j (x), j=,...,ν Ω(x) = Φ(x), se obtiene K e = [k ji ] i=1,...,ν j=1,...,ν f = {f j } j=1,...,ν,, k ji = K e = f j = f = φ j AE φ i dx Φ Φ T AE φ j ψ AE dx dx + φ j Ab dx + φ j (L)F Φ ψ AE dx + ΦAb dx + Φ(L)F.

54 Método de Bubnov-Galerkin (Ib) Esto es Z L φ 1 AE φ 1 dx φ 2 AE φ 1 dx. φν AE φ 1 dx Z L φ 1 AE φ 2 φ 2 AE φ 2. φν AE φ 2 dx... dx... dx... φ 1 AE φ ν dx φ 1() φ 2 AE φ ν dx φ 2(). φν AE φ ν dx φ 1 () φ 2 ()... φ ν () 3 8 ><. >: φ 7 ν() 5 α 1 α 2. α ν R h 9 >= >; = = 8 >< >: Z L φ 1 ψ AE φ 2 ψ AE φν ψ AE dx + φ 1 Ab dx + φ 1 (L)F dx + φ 2 Ab dx + φ 2 (L)F Z. L dx + φ ν Ab dx + φ ν (L)F u ψ() 9 >=. >;

55 Método de Bubnov-Galerkin (Ic) Si elegimos ψ() = u Φ() = entonces la condición de contorno esencial se verificará automáticamente y la reacción no interviene en la formulación con lo que el sistema se reduce a K ᾱ = f, siendo...

56 Método de Bubnov-Galerkin (Id) K e = Z L φ 1 AE φ 1 dx φ 2 AE φ 1 dx. φν AE φ 1 dx Z L φ 1 AE φ 2 φ 2 AE φ 2. φν AE φ 2 dx... dx... dx... φ 1 AE φ ν dx φ 2 AE φ ν dx. φν AE φ ν dx f = 8 >< >: Z L φ 1 ψ AE φ 2 ψ AE φν ψ AE dx + φ 1 Ab dx + φ 1 (L)F dx + φ 2 Ab dx + φ 2 (L)F Z. L dx + φ ν Ab dx + φ ν (L)F 9 >=. >;

57 Método de Bubnov-Galerkin (II) La solución aproximada u h (x) verifica L φ j Aσh dx L φ j Ab dx φ j (L)F = E α j =, siendo E(α 1, α 2,..., α ν ) = E[u h ], por lo que se realiza un AJUSTE DE MÍNIMA ENERGÍA.

58 Método de Bubnov-Galerkin (IIIa) La matriz K del método de Galerkin es... SIMÉTRICA K = K T SEMIDEFINIDA POSITIVA γ T K γ γ DEFINIDA POSITIVA γ T K γ > γ (*) (*) Si la base de funciones de prueba ha sido correctamente elegida.

59 Método de Bubnov-Galerkin (IIIb) K es SIMÉTRICA, ya que k ji = φ j AE φ i dx = φ i AE φ j dx = k ij K e = Φ T Φ AE dx = Φ! T T Φ AE dx = Φ! T T Φ AE dx = K e T.

60 Método de Bubnov-Galerkin (IIIc) K es SEMIDEFINIDA POSITIVA, ya que νx νx γ j k ji γ i = j=1 i=1 = νx νx j=1 i=1 γ j νx i=1 γ i φ i φ j AE φ! i dx γ i = 1 νx j γ j A AE j=1 {z }! 2 g(x) AE dx γ = {γ i } i=1,...,ν.! νx φ i γ i i=1 {z } g(x) dx γ T K e γ = γ T = Φ! T Z Φ L AE dx γ = Φ T! γ AE Φ T! γ {z } {z } g(x) g(x) Φ T! 2 γ AE dx γ. dx

61 Método de Bubnov-Galerkin (IIId) K es DEFINIDA POSITIVA, ya que (véase el punto anterior) νx νx γ j k ji γ i = = j=1 i=1 νx i=1 γ i φ i = x [, L] = γ i =, i = 1,..., ν γ T K e γ = = Φ T γ = x [, L] = γ =. si la base de funciones de prueba ha sido correctamente elegida (de forma que sus derivadas sean linealmente independientes).

62 Método de Bubnov-Galerkin (IVa) ESTIMACIÓN DEL ERROR Sabemos que la solución aproximada u h (x) verifica ω h, u u h L = ω h (x) Hω h = Hu, h v e con v, e = AE dx. El producto escalar verifica la desigualdad de Cauchy v, e v e, con la norma e = e, e 1 2 = L ( e ) 2AE dx.

63 Método de Bubnov-Galerkin (IVb) APROXIMACIÓN ÓPTIMA La solución aproximada u h (x) verifica u u h u v h v h H h u.

64 Método de Bubnov-Galerkin (IVc) Pues, u h, v h H h u = uh v h H h u = Du h v h, u u he =, luego u u h 2 = Du u h, u u he + = D = u u h + u h v h, u u he = u v h u h u, D u u h, u u he + Du v h, u u he Du h v h, u u he y en consecuencia u u h u v h.

65 Método de Bubnov-Galerkin (IVd) ESTIMACIÓN DEL ERROR Utilizando funciones de prueba v h H h u adecuadamente elegidas se pueden obtener cotas del error u u h a partir de la expresión u u h u v h.

66 Elección de las Funciones de Prueba (Ia) Algunas posibilidades... 1) SOPORTE GLOBAL MÉTODO DE RITZ Ejemplos: a) φ i (x) = x i, i=1,...,ν Hu h = {P ν(x)}. b) Series de Fourier c)... K es LLENA tiempo de computación T (ν 3 ). e K puede ser MAL-CONDICIONADA. (*) e (*) EL número de condición depende de la base de funciones de prueba que se hayan elegido.

67 Elección de las Funciones de Prueba (Ib) 2) SOPORTE LOCAL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Ejemplos: a) Funciones en escalón. b) Poligonales a trozos. c) Splines en general. Se pretende que K sea SPARSE. e Se pretende que K sea BIEN-CONDICIONADA. e

68 Notación en Formas Bilineales (I) FORMA DÉBIL (Weak Form) Hallar u(x) H u u() = u [y R] que VERIFICA a(ω, u) = (ω, b) + ω(l)f + ω()r ω(x) H ω, siendo a(ω, u) = (ω, b) = L L ω AE u dx, ωab dx.

69 Notación en Formas Bilineales (IIa) FUNCIONES DE PRUEBA (Trial Functions) Sea la base de funciones de prueba {φ i (x)} i=1,...,ν. Dada la aproximación inicial ψ(x), buscamos una mejor aproximación ν u(x) u h (x) = ψ(x) + α i φ i (x), u h (x) Hu h H u, i=1 { } φ1 u(x) u h (x) = ψ(x) + Φ T (x) ᾱ, con Φ(x) (x) =., ᾱ = φ ν (x) { α1. α ν }. Y [si interesa calcularla] podemos buscar una aproximación de la reacción R R h.

70 Notación en Formas Bilineales (IIb) En general no será posible que u h (x) = u(x) x [, L] (*), por lo que u h (x) u(x) no es posible que a(ω, u h ) = (ω, b) + ω(l)f + ω()r ω(x) H ω. (*) Salvo que u(x) ψ(x) esté contenido en el subespacio generado por las funciones de prueba.

71 Notación en Formas Bilineales (IIIa) FUNCIONES DE TEST (Test Functions) Sea la base de funciones de test {ω j (x)} j=1,...,ν. Sea ω h (x) = ν β j ω j (x), ω h (x) Hω h H ω, { j=1 ω1 ω h (x) = Ω T (x) β = β (x) T Ω(x), con Ω(x) =. ω ν (x) Nos proponemos obtener la aproximación u h (x) Hu h [y la aproximación R h ] que verifique } { β1, β =. β ν u h () = u }. a(ω h, u h ) = (ω h, b) + ω h (L)F + ω h ()R h ω h (x) H h ω.

72 Notación en Formas Bilineales (IIIb) Pero a(ω h, u h ) (ω h, b) ω h (L)F ω h ()R h = νx j=1 ω h (x) H h ω β j a(ω j, u h ) (ω j, b) ω j (L)F ω j ()R h «= {β j } β T a( Ω, u h ) ( Ω, b) Ω(L)F Ω()R h «= β a(ω j, u h ) = (ω j, b) + ω j (L)F + ω j ()R h, a( Ω, u h ) = ( Ω, b) + Ω(L)F + Ω()R h. j=1,...,ν

73 Notación en Formas Bilineales (IVa) Por tanto, νx a(ω j, ψ + α i φ i ) = (ω j, b) + ω j (L)F + ω j ()R h i=1 a( Ω, ψ + Φ T ᾱ) = ( Ω, b) + Ω(L)F + Ω()R h j νx i=1 k ji z } { a(ω j, φ i ) α i = K z } e { a( Ω, Φ T ) ᾱ = f j z } { a(ω j, ψ) + (ω j, b) + ω j (L)F +ω j ()R h f z } { a( Ω, ψ) + ( Ω, b) + Ω(L)F + Ω()R h j νx k ji α i = f j + ω j ()R h, j=1,...,ν Kᾱ = f + Ω()R h. e i=1

74 Notación en Formas Bilineales (IVb) Luego el problema de equilibrio original ha sido sustituido por el sistema (de orden ν, con la incógnita adicional R h ) K ᾱ = f + Ω()R h, con la condición adicional u h () = u, esto es Φ T () ᾱ = u ψ().

75 Notación en Formas Bilineales (Va) El sistema anterior puede escribirse en la forma [ Ω() K Φ T () ] { ᾱ R h } = { f u ψ() }, siendo ᾱ = {α i } i=1,...,ν, K = [k ji ] i=1,...,ν, k ji = a(ω j, φ i ), e j=1,...,ν K = a( Ω, Φ T ), e f = {f j } j=1,...,ν, f j = a(ω j, ψ) + (ω j, b) + ω j (L)F, f = a( Ω, ψ) + ( Ω, b) + Ω(L)F.

76 Notación en Formas Bilineales (Vb) Si elegimos la aproximación inicial ψ(x) de forma que satisfaga la condición de contorno esencial y elegimos las funciones de prueba φ i (x) de forma que se anulen en el punto correspondiente, la aproximación u h (x) verificará automáticamente la condición de contorno esencial. Es decir ψ() = u Φ() = } = u h () = u. Si además elegimos las funciones de test de forma que se anulen en el mismo punto, la reacción no interviene en la formulación y el sistema se reduce a Ω() = = K ᾱ = f.

77 Notación en Formas Bilineales (VI) Una vez resuelto el sistema obtendremos la aproximación a la solución ν u h (x) = ψ(x) + α i φ i (x) u h (x) = ψ(x) + Φ T (x) ᾱ. i= ε h (x) = ψ + ν i=1 α i φ i ε h (x) = ψ + Φ T ᾱ σ h (x) = Eε h (x) σ h (x) = Eε h (x).