Tema 7.- Métodos numéricos aproximados

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1 ema 7.- Métodos numéricos aproimados. Introducción técnicas generales. La Aproimación de Galerkin. El Método de los Elementos Finitos 4. Ejercicios

2 Método general de Residuos Ponderados Variable (generaliada): Incógnita (generaliada): SED del problema: u=u() Z u 0 Ψ V ( Z u ) dv 0 Funciones (tantas como ED): () Si en u ponemos una solución, la integral = 0. Si la integral = 0,, entonces u es solución. Si la integral =0 para muchos, esperamos que u sea solución. Idea: u de prueba con parámetros libres, que calculamos anulando la integral para tantos como sea preciso

3 Ψ V ( Z u ) dv 0 Manipulaciones usuales: Integrar por partes (una o más veces): reduce el orden de derivación de u, aumenta el de. Aplicar el eorema de la Divergencia: Algunas integrales de Vol. pasan a integrales de contorno. Pueden obtenerse soluciones u menos derivables que lo que eigía Z! Formas débiles de solución... recordar este tipo de manipulaciones en el PDV el PFV

4 Cómo construir convenientemente la u de prueba Con el mismo número de parámetros en u, u, u Que sea lineal en los parámetros (aunque no en ) u u u (,,) (,,) (,,) N N N (,,)a (,,)a (,,)a N N N (,,)a (,,)a (,,)a N N N n n n (,,)a (,,)a (,,)a n n n Opcional: será más fácil operar si: omamos N i = N i = N i ( = N i ). omamos las N() que satisfagan las c.c. de desplaamiento nulo (esas c.c. quedarán siempre satisfechas, a)

5 Campo aproimado de desplaamientos: u () N () a N () a n n K n n n n u() u () N () a N () a u () N () a N () a N a... N a N a n n N Siendo: N n L n n N Nn N N N N...N a a a a a M M a a n a a n n n

6 Ejemplos de funciones de aproimación D N N N En la forma más general de la Aproimación de Galerkin, no se presupone ninguna limitación a la forma de las Ni. Simplemente son funciones definidas en el dominio que ocupa el sólido, que no tienen porqué anularse en ninguna ona del mismo ni de su contorno.

8 Galerkin, como todos los métodos de equilibrio, se basa en PDV: ij ij V i i V i i S dv X dv X ds etc. ; X X X X ; = ; u u u = u ; ; Por comodidad operativa, definimos las siguientes matrices:... análogas para el campo virtual.

9 Con estas notaciones, ijijdv ixidv i XidS V V S queda así: V dv XdV XdS V S Queremos poner en función del u (aproimado): Le de comportamiento: Ecs. compatibilidad: o D( ) L u matri que depende de las ctes elásticas deformación para tensión nula matri que contiene operadores: derivadas de primer orden

10 Detalles menores: D E La matri tiene distinta epresión en D,.P., ó D.P. Si =0,.P. D.P. coinciden: D Operador L (D):,,,,,,,,, L Operador L (D):,,,, L

11 Sustituendo: o D( ) Lu u Na Con lo que: o D L(Na) D (LN)a dv X dv X ds V V S o ( ) D LN a dv X dv X ds V V S V D (L N)dV a V o X dv X ds D dv V S V D (L N) a dv o X dv X ds D dv V S V o

12 La epresión anterior, con distintas elecciones de, conduce a distintos métodos (colocación por puntos, por subdominios, etc.). La Aproimación de Galerkin es uno de ellos, que se caracteria por la elección siguiente: N a L L (N a ) (L N) a V V a LN D LN dv a a N X dv a LN D LN dv a a N X dv V a N X ds a LN D dv S a N X ds a LN D dv S V V V o o

13 LN D LN dv a N X dv N X ds V V S V LN D dv o K a f Las fueras de contorno pueden ser en parte desconocidas Sus integrales también Puede haber incógnitas en f. K= matri de rigide. Cuadrada nn. Simétrica (M SM) K será singular en general (no hemos impuesto cc desplaam.). Pero: si las cc en desplaamientos son todas homogéneas (=0), elegimos N para que las cumpla de partida, entonces K será regular, además no habrá incógnitas en f. Si no elegimos N así, habrá que plantear ecuaciones adicionales, tantas como incógnitas haa en f.

14 K a f ij V Estructura de las submatrices n j K a ij j i K L N D L N dv (6) (66) () f i (6) j ; (i =...n) () (6) () i i i i o V S V f N X dv N X ds L N D dv () Procederemos por submatrices, siempre. En general, son todas las K ij 0 () () (6) (66) (6)

16 MEF formulación básica: Sólo es una aproimación de Galerkin, con mu poco más: a) Funciones N i de pequeño soporte b) Manera de tomar los soportes: entorno de Elementos que comparten un Nodo nodo i elemento e c) Cada Ni vale = en su nodo, cero en los demás N i = i

17 MEF - Significados físicos de los parámetros u,, I N, L, I N, L, I N a De a: i n En las coordenadas del nodo i u nodo i 0, L, I, L, 0 a a a a contiene los desplaamientos nodales!! a i i i De f: Fuera F concentrada en el nodo i: Aportación a f N X ds N X ds i S i i Ent(nodo i) F N (nodo i) X ds I X ds F F i Ent(nodo i) Ent(nodo i) F Ent(nodo i) XdS F f contiene unas cargas puntuales, que son equivalentes a las cargas originales del problema.

18 Estructura de las submatrices Como en Galerkin, pero además cada submatri se calcula como aportación de elementos. j q p i K L N D L N dv K K ij pq i j p q ij ij ( p) Para K se usan las epresiones analíticas de Ni ( de Nj) en el ij elemento (p). ( q) Para K se usan las epresiones analíticas de Ni ( de Nj) ij en el elemento (q), que son distintas que en el elemento En MEF muchas submatrices serán nulas!! (p) (q) (p).

19 Análogamente si se trata de una submatri diagonal: nodo i r s t q p m En todo caso K ij K e (e) ij K LN D L N dv ii V i i p q r s t m pqrstm (p) (q) (r) (s) (t) (m) K K K K K K ii ii ii ii ii ii

20 Análogamente para los términos de f: f i f e (e) i f (e) o i (N ) XdV (N ) XdS (LN ) D dv e e i S i e i Cada una de estas integrales solo debe evaluarse en los elementos en que eista respectivamente, alguna carga de volumen, carga de contorno, o deformación inicial. Evidentemente, la segunda integral sólo debe evaluarse en elementos con alguno de sus lados sobre el contorno del sólido (S e es la parte de S que corresponde al elemento e).

22 4..- Qué posiciones de K son distintas de cero 4 K L N D L N dv ij V i j 4 6 e Ve e K e ij 5 Aportaciones de los elementos: Elem = Elem = Elem = Elem 4 = K SIMERICA

23 4..- Estructura de un sistema de ecuaciones f 5 f 5 = f f 6 = 6 f f K a SIMERICA f Cómo se resuelve 0 f 0 f a 0 a 0 0 f 0 f a 4 0 a 4 0 a 5 0 a 5 a a 0 6 6

24 4..- Sobre las epresiones de las funciones de forma en cada elemento a) Particularidades del polinomio: - Es = en su nodo; =0 en los demás antos coeficientes como nodos - Completar orden, en lo posible b) Cómo calcularlas: - A ojo si se puede - Con un sistema de ecuaciones j i e k N N e i e k "a ojo": "a ojo": e N j =A+B+C en (0,0)=A+0+0=0 A=0 en (,)=0+B+C=0 en (0,)=0+0+C= C=/ ; B=-/ N e j =-

25 4. (cont.)- Sobre las funciones de forma en elementos similares Si un elemento es traslación de otro, las funciones de forma homólogas dentro de ellos, diferirán sólo en constantes. Por tanto, sus derivadas (por ej. en L.N) serán idénticas. Por tanto, sus aportaciones homólogas a la matri de rigide global, serán iguales. Véase por ej: K () () K 5 () () K K K () (4) K K K

26 4. (cont.)- Sobre las funciones de forma en el contorno Si se trata, por ej, de evaluar f i cuando ha una carga de contorno, sólo me interesa el valor de N i en el contorno: () () () S f f N XdS N ds X p N L L espesor L e p cos f p sen L 6

27 4.4 Un ejemplo de cálculo Datos físicos: Discretiación: cm p p= (N/cm) E (N/cm ) =0 b= (cm) F cm p F F F 4 F 5 F 6 cm cm

28 Funciones de Forma: Elemento : Elemento (traslación de, podría no necesitarlas): N () () () N N N () () 5 () 6 N N F F F 4 p F 4 F 5 F 6 Elemento, funciones tipo A+B+C+D (obtenidas con sistemas de ecuaciones): N N () () () 4 () 5 N N

29 LN LN () (), , 0 0,, 0 Matrices LN elem. (): LN, , 0 0,, ; (), , 0 0 0,, 0 Del elem. no necesito. Matrices LN elem. ():, 0 0 () 0 LN 0, 0 0,, ; LN () LN () ; LN ()

30 () () () V K (LN ) D(LN )dv K ij en el elemento () & () E dv () E 0 () K 0 () () () V K (LN ) D(LN )dv () E dv E () K 0 5 F F F 4 p F 4 F 5 F 6 () () () V K (LN ) D(LN )dv E dv V E 0 () K 0 0 6

31 K ij en el elemento () & (), continuación: F F F 4 p F 4 F 5 F 6 () K... () K... () K... E E 0 E 0 0 K K K () 55 () 56 () 66 K ij en el elemento (): LN () i cte, por lo que su cálculo analítico es molesto. Haremos cuadratura de Gauss de punto: g f (, ) da ; f (, ) A A g g A

32 K ij en el elemento (), continuación: (, ) en elem. () es = (, ) g g () () () V K (LN ) D(LN )dv E dv V F F F 4 p F 4 F 5 F E E

33 Análogamente, el resto de las K ij () : K () 8 8 E () K E 4 K () E 8 8 K () 8 8 E 8 8 K () E 8 8 K () E 8 8 K () E () K E 45 K () E 8 8

34 Cálculo de f No ha fueras de volumen, luego : Las aportaciones elementales a cada submatri f i, valen: Las fueras puntuales están incluidas aquí, pero como son fáciles, no las ensamblaremos hasta el final del proceso. ds>0 Aportaciones del elemento (): siempre () para f : d F la ensamblamos luego, hemos dicho S f N X ds (e) (e) (e) X f i N X ds N S(e) i S(e) i ds X F F F 4 p F 4 F 5 F 6

35 () para f : 0 Eso de la carga conocida p. F la ensamblamos luego () para f : d 0 F F F 4 p F 4 F 5 F 6 Aportaciones del elemento (): No ha aportaciones de la carga conocida p. Aportaciones del elemento (): () () () () 6 Podemos raonar que las aportaciones de p para f f serán iguales a las f f, a que las funciones a integrar son físicamente idénticas salvo una traslación. No obstante lo hacemos:

36 () para f : d 0 () 5 para f : () para f 6 : d F F F 4 p F 4 F 5 6 F 6 Efectivamente salen como las del elem. Ya podemos escribir es sistema global de ecuaciones. Incluímos en él las fueras concentradas (en este caso son todas incógnitas), las c.c. en desplaamientos:

37 F F a a a a F a5 F a F F 6 4 SIMERICA

38 Cómo se resuelve: Primero se prescinde de las ecuaciones con incógnita de fuera, se resuelve ese subsistema. Se puede prescindir en ellas de los coeficientes que se multiplican por cero (c.c. de desplaamientos nulos), que estarán alineados en las columnas correspondientes. En este caso:

39 F a F a a a E F F a F a6 0 F 6 4 SIMERICA

40 Lo que no hemos tachado, queda como un sistema resoluble: a 9 a a E 9 a a 5 9 a SIMERICA /E /E a a a a E a a 5 6 /E /E /E

41 Una ve sabidas las a i, el cálculo de las incógnitas de f es inmediato (no necesita resolver sistema de ecuaciones), utiliando las ecuaciones que habíamos tachado. El resultado es: F F F ; F ; ; F ; ; F

42 F I N

43 Soluciones Analíticas Soluciones Aproimadas Geometría c.c. sencillas Geometría c.c. cualesquiera Solución eacta fiable 00% Soluciones Diversas fuentes de ineactitud en forma de serie Potenciales escalares /o vectoriales de desplaamiento (D D), potenciales de tensión (D), funciones de variable compleja (D) Fotoelasticidad (D), métodos numéricos (D D) Método de trabajo: Bibliografía álgebra Método de trabajo: Laboratorio u ordenador