Lecture 4: Simulación

Transcripción

1 Arnau Dòria-Cerezo Institut d Organització i Control de Sistemes Industrials Universitat Politècnica de Catalunya Posgrado en Automatización Modelado y Simulación de Sistemas de Control Junio Universidad de Cuenca, Ecuador

2 Outline Simulación. Conceptos básicos 1 Simulación. Conceptos básicos 2 3

3 Simulación. Conceptos básicos La simulación, en nuestro caso, será la resolución numérica del sistema de EDOs, ẋ = f(x) + g(x)u, o, en el caso de los port-controlled Hamiltonian Systems ẋ = (J (x) R(x)) H T + g(x)u.

4 Esta resolución se realiza mediante los métodos numéricos Los métodos numéricos no resolveran el sistema de forma expĺıcita. La solución serán valores aproximados a la solución expĺıcita. El proceso consiste en dividir el tiempo en intervalos t (no tienen porque ser iguales). En función del método varía, la complejidad de resolución y la aproximación a la solución anaĺıtica. Para la resolución siempre será necesario asignar las condiciones iniciales.

5 Método de Euler Método de paso fijo: t n = t n+1 Consiste en definir las siguientes ecuaciones, y repetir para n = 1...N, dónde N = t t n y t es el tiempo de simulación. dx n = f(x n ) x n+1 = x n + dx n t Ejemplo: Resolver con x(0) = 1 y t = 0.5. ẋ = x

6 El resultado obtenido és: Resultado: t x n dx n

7 Si escogemos un paso de integración menor, h = 0.125, y si obtenemos la solución anaĺıtica (x = e t ), Resultado: t x n, h = 0.5 x n, h = x = e t La solución obtenida tiene un error, y este error también és funcion del paso de integración.

8 Error Simulación. Conceptos básicos Tipos de error Error de discretización: resulta de sustituir la solución exacta del problema por la aproximación. Error de redondeo, en las operaciones aritméticas. Mejora del error El error de discretización se puede disminuir con un paso de integración menor. Si bien entonces augmentan los errores de redondeo, ya que augmenta el numero de operacines.

9 Método de Euler. Método de Taylor. Métodos de Runge-Kutta. Métodos de Adams-Bashforth (multipaso). Características t n = t n+1. Algoritmos de resolución sencilla.

10 Métodos de Vode-Adams. Métodos de Runge-Kutta-Fehlberg. Backward Differentiation Formula (BDF). Características t n t n+1. Algorimos de resolución compleja.

11 Estabilidad La solución del método de integración numérica és inestable, aunque la solución del sistema és estable. Solución: reducir el paso de integración, cambiar de método de integración. Stiffness Problema: el modelo contiene dinámicas rápidas y lentas. Solución: utilizar métodos apropiados, cómo BDF o Vode-Adams.

12 Sistemas DAE DAE: Equación diferencial algebráica, preséncia de ecuaciones impĺıcitas. Por ejemplocuando tenemos causalidad diferencial Solución: utilizar métodos de integración impĺıcita.

13 Discontinuidades El modelo no sólo és funcion del tiempo, si no también de eventos (ejemplo: bouncing ball). Solución: utilizar métodos de paso variable. 25 Ball trajectory and the events height time

14 Matlab 20sim Matlab Principales características Probablemente el programa más utilizado por los inegieros de control Dispone de muchas librerias, y del Simulink y el Control System Toolbox

15 Matlab 20sim 20sim Principales características Permite la representación de Bond Graph. Dispone de 10 algoritmos de resolucion numérica. Programa relativamente nuevo, y sencillo, de fácil uso.

16 P1 Rutinas de integración de Matlab P2 Edificio con control activo de terremotos P3 Propagación de la causalidad P4 Modelado, simulación y control de un sistema de levitación magnética