Compresión Fractal de Imágenes

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1 Compresión Fractal de Imágenes S Pérez-Becker Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México En este artículo se estudia de manera teórica y práctica la compresión fractal de imágenes Se explican las bases teóricas de su funcionamiento y se esboza un algoritmo para comprimir y descomprimir imágenes con dicha técnica La idea es presentar el método de forma clara y sencilla para su mejor apreciación INTRODUCCIÓN Este artículo trata sobre el método de compresión fractal de imágenes La motivación principal de estudiar este método fue entender el cómo las técnicas matemáticas de los años recientes se pueden aplicar a problemas de la vida cotidiana, como lo es la compresión de imágenes La vida digital actual no la podríamos concebir sin internet, e internet no sería lo mismo sin técnicas de compresón y descompresión de datos Esto es así, ya que la velocidad de transmisión y la capacidad de almacenamiento de datos son dos de los parámetros fundamentales en el funcionamiento de la red Estas técnicas hacen mucho más eficientes los conceptos antes mencionados, reduciendo enormemente los gastos que conllevan La relevancia de la compresión de imágenes no se limita al internet Otros campos como la exploración espacial y las aplicaciones tanto en satélites geoestacionarios como en imágenes médicas son ejemplos en donde contar con estas técnicas es fundamental [1] Una de las técnicas de compresión de imágenes es la compresión fractal (ver [2] para un resumen de otros tipos de compresión), que fue inventada y refinada por Michael F Barnsley a finales de los años ochenta [9] Esta técnica se basa en comprimir imágenes utilizando el hecho de que muchas imágenes naturales presentan autosemejanza Una de las diferencias fundamentales de este tipo de técnicas es que el código de compresión no guarda pixeles, por lo que es libre de escalas De esta forma se puede descomprimir a cualquier escala sin tener problemas de resolución La meta de este texto es explicar la teoría que sustenta el método y mostrar un algoritmo ilustrativo que ejemplifica su implementación Mapeos y sus atractores Las bases matememáticas para este método son los mapeos de subconjuntos de R 2 en sí mismos que utilizan transformaciones afines Una transformación afín en un punto del subconjunto S tiene la forma ( ) ( ) ( x ai b w i = i x y d i y c i ) (1) Si le aplicamos el mapeo a todos los puntos de S, decimos que le aplicamos el mapeo a S Estos mapeos pueden rotar, trasladar y reescalar dichos subconjuntos Al volver a aplicar el mapeo al subconjunto S previamente mapeado, hicimos una iteración del mapeo Usualmente trabajamos con varios mapeos que actúan sobre nuestro subconjunto, si además lo hacen de forma iterativa decimos que tenemos un sistema de funciones iteradas (IFS, por sus siglas en inglés) [4] El primer resultado importante de estos sistemas es el llamado teorema de los puntos fijos en mapeos contractivos Este teorema asegura que al aplicar una serie de mapeos contractivos a un subconjunto S R 2 de forma iterativa, dicho subconjunto se irá a al atractor (o punto fijo) S W de los mapeos Esto pasa siempre y cuando los mapeos sean contractivos Cabe resaltar que el atractor es independiente de las condiciones iniciales Un ejemplo muy famoso es el helecho de Barnsley, en donde un IFS compuesto por sólo cuatro mapeos tiene como atractor la imagen de un helecho (ver Fig 1) (a) (b) (c) (d) Fisher MARCO TEÓRICO A continuación presentamos las herramientas matemáticas y teoremas necesarios para entender el funcionamiento del método Figura 1: Esquema del IFS para el helecho de Barnsley (a) El subconjunto S esta marcado con una L para ver rotaciones del mismo (b) el IFS para el helecho, consiste en cuatro mapeos que contraen a S (c) el atractor para el IFS: el helecho de Barnsley (d) un acercamiento al helecho muestra su naturaleza fractal, ya que es autosemejante Figura tomada de [5]

2 2 Esto también es la idea básica de la compresión fractal de imágenes: es más compacto guardar las transformaciones cuyo atractor es la imagen que queremos, que los pixeles de dicha imagen Siguiendo el ejemplo del helecho, si guardamos la imagen como una colección de pixeles requeriríamos bits, mientras que si la guardamos como una colección de transformaciones sólo requeriríamos 768 bits (por los seis números que definen los cuatro mapeos) Usualmente, las imágenes reales son un poco más complicadas que un helecho en blanco y negro, por lo que un IFS no será suficiente El siguiente paso es considerar un sistema de funciones iteradas en donde cada mapeo w i actúa sobre un subconjunto D i R 2 (ver Fig 2) A es- pixeles Aquí n y m son el número de pixeles horizontales y verticales de las imágenes Ahora bien, siguiendo la idea del helecho, queremos encontrar un PIFS cuyo atractor se parezca mucho a una imagen (es decir, que la d RMS entre el atractor y la imagen sea pequeña) Dada una imagen, comenzamos partiendola en una serie de celdas rango {R i } Estas celdas rango deben cubrir por completo a la imagen y no se deben traslapar A cada R i le asociamos una transformación w i que mapea los puntos de cierto dominio D i a R i (ver Fig 3) Formalmente, las w i s se definen como Welstead Welstead Figura 2: Un sistema particionado de funciones iteradas Sobre un subconjunto D i R 2 actúa un único mapeo w i que lo lleva al rango R i Figura tomada de [8] te sistema se le llama sistema particionado de funciones iteradas (PIFS por sus siglas en inglés) [3] Imágenes y PIFSs Una vez definido un PIFS, pasamos a ver la definición matemática de una imagen Para este artículo solamente consideraremos imágenes en escalas de grises Podemos ver a una imagen de este tipo como una función f en R 2 que nos regresa un valor entero dentro de una escala predeterminada (escala de grises): f(x, y) (1, 2,, N) R, (x, y) I 2 (2) Por sencillez, suponemos que la imagen esta confinada al cuadrado unitario (I 2 ) También queremos definir la distancia entre 2 imágenes, ya que esto nos dirá que tanto se parecen éstas entre si Nosotros tomamos la distancia RMS como la adecuada, aunque nada nos impide utilizar otras distancias n m ( d RMS (f, g) = f(xi, y j ) g(x i, y j ) ) 2 i=1 j=1 1 2 (3) Aquí ya estamos suponiendo que el dominio de nuestras imágenes es discreto, puesto que estamos hablando de Figura 3: El PIFS relacionado a una imagen Los mapeos w i actúan en su dominio D i (estos se pueden traslapar) y lo lleva a su rango R i (que cubren por completo el cuadrado unitario sin que haya traslape) Figura tomada de [8] w i (f(x, y)) = s i f( w 1 i (x, y)) + o i (4) Aquí, w 1 i (x, y) es la transformación que me lleva de R i a D i Por lo que nuestra w i (que se define aplicándola a f evaluada en los puntos de R i ) es la función f evaluada en los puntos del dominio D i, multiplicado por un factor s i y recorrido por un factor o i Cabe notar que la parte espacial de w i mapea el dominio en el rango, por lo que la transformación total toma a f evaluada en puntos del dominio D i, la multiplica por s i, le suma o i y la lleva al rango R i Como estamos hablando de imágenes, s i contrae o expande los valores de f, por lo que podemos decir que se trata del contraste Por otro lado, o i recorre los valores de f, por lo que le asociamos el brillo de dicha imagen En la páctica, los dominios siempre serán mayores que los rangos, por lo que las w i s siempre serán mapeos contractivos Para nosotros, el PIFS interesante (W que actúa sobre f) va a ser la unión de todas las w i s Como los rangos cubren toda la imagen, también lo hará nuestro PIFS Además, como se trata de una transformación contractiva, tiene un punto fijo Así que lo que nosotros buscamos es el PIFS W cuyo punto fijo (f W ), se parezca mucho a la imagen original f Puede sonar complicado y poco práctico buscar los atractores de diferentes PIFS y ver si se parecen a la imagen original (sobre todo por que los atractores aparecen después de muchas iteraciones del PIFS) Pero un teorema nos facilita considerablemente el trabajo

3 3 Un teorema útil Un teorema que nos da una idea de cómo encontar a W es el teorema del collage Éste dice que si la distancia entre una imagen f y la imagen transformada por W (W (f)) se parecen mucho, entonces el atractor de W también se parecerá mucho a f Matemáticamente nos dice que si d RMS (f, W (f)) ɛ, entonces d RMS (f, f W ) ɛ 1 s Aqui s es el factor de contractividad de W (ver [8]) El teorema nos asegura lo siguiente: solamente requerimos que una iteración de W se pareza a f para que su atractor f W también lo haga Por lo que nuestra busqueda de un W se facilita bastante Una vez que encontramos a la W indicada, la decodificación consiste simplemente en aplicarle W muchas veces a una imagen inicial g Esto basta puesto que f W es independiente de la imagen inicial y por el teorema del collage sabemos que se parecerá mucho a f El problema se reduce entonces a encontrar W EL ALGORITMO El algoritmo que utilizamos para encontrar a W se le conoce como el de quadtree partitioning [5] Consiste en lo siguiente: Dada una imagen f que queremos codificar, la suma de las d RMS de todas celdas R i y sus respectivas D i es menor que la suma del otro Es decir, el error de compresión es menor El código fractal como tal, consiste en una lista con un renglón para cada R i Ahí escribimos el índice de quadtree para la R i, el indice de rotación (de 0 a 7, sólo hay ocho posibles rotaciones de 90 en el plano, considerando la reflexión como una), el índice de la celda D i que la cubrió, el valor del contraste y el del brillo El índice de quadtree es una forma sencilla de ubicar la posición de cada R i utilizando vectores de dimensión igual a la de la profundidad del quadtree Los detalles son bastante ténicos y poco importantes para este texto, por lo que los omitiremos aunque el lector interesado puede buscarlos en la bibliografía [8], en donde se explica muy bien La ventaja del índice de quadtree es que es libre de escalas y se puede utilizar para descomprimir imágenes de mayor tamaño Un ejemplo ilustrativo Supongamos que queremos comprimir la imagen Lena (ver Fig 4) Siguiendo los pasos del algoritmo, dividimos Partimos a f en una serie de celdas rango {R i } Estas celdas deben cubrir por completo a f y no se deben traslapar Cubrimos a f con un conjunto de celdas dominio {D i } Usualmente son muchas celdas dominio y se traslapan Entre mayor sea el numero de las D i s mejor será el resultado final, pero la compresión será más tardada Para cada R i, buscamos en el conjunto de las {D i } la celda dominio y la transformación w i que mejor la cubran Las w i consisten en una rotación, una reducción y un ajuste de brillo y contraste Decimos que una celda D i cubre a una R i si la d RMS entre ambas es menor a una tolerancia dada Si el ajuste no fue lo suficientemente bueno según la tolerancia, dividimos a la celda R i en cuatro subceldas y repetimos el punto anterior para cada subcelda Continuamos repitiendo estos pasos hasta que todas las celdas R i estén cubiertas o que hayamos alcanzado el tamaño mínimo de las celdas rango que intentamos cubrir (a esto le llamamos profundidad del quadtree) En caso que lleguemos al tamaño mínimo de la celda rango, tomamos la celda dominio que mejor la cubre y la marcamos como cubierta Cuando decimos que el resultado una compresión es mejor que otro, cuantitativamente nos referimos a que Figura 4: La imagen a comprimir: Lena inicialmente la imagen en cuatro celdas rango y al mismo tiempo creamos una base grande de dominios que son parte de la misma imagen (ver Fig 5) La base de las D i s contiene de preferencia subconjuntos de la imagen que se sobrelapan y que sean de muchos tamaños (es decir, tamaños más pequeños) De esta forma será más fácil encontrar una celda dominio que cubra bien la celda rango en cuestión La primera iteración de nuestro algorimo no encontrará ninguna D i que cubra satisfactoriamente alguna de

4 4 D1 D2 D3 D4 D5 D9 Ri wi Ri s Di s Figura 5: Los primeros pasos del algoritmo Partimos la imagen en cuatro celdas rango R i s y al mismo tiempo hacemos una base de celdas dominio D i La base de las D i s debe ser muy grande, por lo que hacemos que las celdas se sobrelapen Dicha base debe contener celdas de todos los tamaños, para poder estar seguros de que siempre encontremos una D i que cubra a una celda rango dada Di nuestras cuatro R i s, puesto que una condición que le imponemos al algoritmo es que el tamaño de las celdas dominio sea mayor al de las celdas rango, para asi tener efectivamente un mapeo contractivo Al no cubrir satisfactoriamente las R i s, el algoritmo subdivide la primera celda rango (la celda color rojo en la Fig 5) y para cada una de las subceldas generadas repite el proceso Continuará subdividiendo las R i s hasta que haya cubierto satisfactoriamente todas ellas La figura 6 muestra una celda dominio que, bajo un mapeo bien escogido, podría cubrir la celda rango marcada Por un lado cumple la condición de que la D i tiene mayor tamaño que la R i, además concuerdan bien los tonos claros y los obscuros en ambas celdas Faltaría ver si una rotación y un ajuste de contraste y brillo mejora la cobertura (esto sería la elección del mapeo que mejor cubre a la R i ) Una forma gráfica de cómo el algoritmo elige el mejor mapeo se muestra en la a figura 7 Teniendo la R i y D i candidatas, rotamos a la D i las ocho posibles rotaciones en el plano Aquí consideramos únicamente rotaciones de 90 y la reflexión sobre un eje como otra rotación Por lo que tenemos cuatro posibles rotaciones de la celda original más otras cuatro de la celda reflejada (ocho en total) De esas rotaciones escogemos la que mejor se ajusta a la R i y la comprimimos para que ámbas queden del mismo tamaño Finalmente ajustamos los valores del contraste y brillo mediante un procedimiento de mínimos cuadrados para obtener los valores óptimos y minimizar así la d RMS entre ambas celdas (ver [6]) Si la distancia es menor a una tolerancia dada, consideramos la R i como cubierta Si no lo fue, subdividimos la R i en cuatro nuevas subceldas y para cada una volvemos a buscar La naturaleza del método lo hace adaptativo al detalle de cada parte la imagen Los ojos de Lena por ejemplo Figura 6: Un candidato para cubrir celda rango Tarde o temprano en el algoritmo de partición quadtree se llega a una celda rango como esta R i Al algoritmo busca en la base de celdas dominio y encuentra que esta D i la cubre bien Di Ri (a) (b) (c) (d) Figura 7: Procedimiento para encontrar el mapeo (a) tenemos la celda rango y la dominio que queremos comparar (b) rotamos a D i en una de las ocho posibles formas (cada 90 es una, también reflejamos y rotamos otras cuatro veces) y escojemos la mejor Aquí solamente mostramos cuatro posibles rotaciones (c) comprimimos a D i para que coincida con el tamaño de R i (d) ajustamos el contraste y el brillo por medio de mínimos cuadrados para obtener sus valores óptimos requerirán celdas rango mucho más pequeñas que segmentos de la pared de fondo Con este método siempre tendremos el tamaño adecuado de celda según el detalle Como habíamos mencionado, en la práctica ponemos un cota inferior al tamaño de las R i s más pequeñas De lo contrario el tiempo de compresión sería muy grande y el factor de compresión bajo Esta cota es justo la profundidad de quadtree

5 5 DE LA TEORÍA A LA PRÁCTICA Una vez que entendimos cómo funciona el algoritmo, procedemos a explicar cómo se debe hacer un programa que codifique y decodifique una imagen Codificando La forma más clara de proceder con el programa es primero crear las funciones que hacen lo que uno requiere y luego escribir el programa mismo Una de las funciones más importantes es aquella que crea la base de las celdas dominio Esta función toma una serie de parámetros (número de celdas columna, número de celdas renglón, traslape horizontal, traslape vertical y niveles de tamaño: cada nivel implica celdas de la mitad de tamaño que también cubren la imagen traslapándose) Con esto hacemos que la función sea suficientemente flexible y a la vez práctica, puesto que sólo requerimos un índice para tener acceso a cualquier celda de la base El resultado es un lista de celdas en la que cada entrada es una celda dominio (por ejemplo la primera entrada de la lista corresponde a la celda D 1, etcétera) Otra función importante es aquella que registra las celdas rango En este caso también trabajamos con una lista de celdas rango La función registro controla que cada celda rango de la lista tenga su índice quadtree correcto y una bandera que indique si esta cubierta o no Estos elementos los guardamos en otra lista Ambas listas siempre deben ir sincronizadas Las funciones operativas consisten en dividir una celda (rango), rotar una celda un cierto ángulo, reflejarla y reducir el tamaño de la celda Las útlimas tres funciones son importantes para el proceso de comparación de celdas, puesto que eso se hace para cada celda dominio a la hora de compararla con la celda rango La forma en que se reduce el tamaño de una celda es promediando un pixel con sus vecinos mas cercanos y tomar dicho valor promedio para ese pixel Otras funciones importantes son la que calcula los valores óptimos del contraste y brillo (ver [6] para los detalles) y la que calcula la d RMS entre una celda rango y una de dominio Todas estas funciones las utilizamos en la función maestra que compara las celdas Esta función toma una celda dominio y una rango, a la celda dominio la rota en cada una de las ocho posibilidades, la reduce al tamaño de la celda rango y calcula los mejores valores de contraste y brillo Para cada rotación mide la distancia entre las celdas y al final regresa la mejor distancia, junto con el valor de contraste, brillo e indice de rotación correspondiente El programa como tal empieza creando los dominios y la lista inicial de rangos Aquí particionamos hasta que la longitud de las celdas rango sea menor a la longitud de las celdas dominio más grandes, para asegurarnos que siempre haya un mapeo contractivo Todas las modificaciones que le vamos haciendo a las celdas rango las anotamos en nuestra función registro Mientras que no haya cubierto todas las celdas rango, el programa va analizando las R i s no cubiertas y para cada una busca en todos los dominios aquel que diste menos de esa celda rango Si la distancia es menor a la tolerancia, escribe en el archivo del código fractal el índice de quadtree, el índice de rotación, el índice de la celda dominio, el valor del contraste y el del brillo Marca como cubierta esta R i y pasa a la siguiente Si la distancia no fue menor a la tolerancia, parte la celda en cuatro e inserta en el lugar de la celda las cuatro subceldas nuevas Hace lo mismo con la función registro para que siempre esté sicronizada En caso de que no haya una celda dominio que cubra a una R i que ya esta en la profundidad máxima del quadtree, el programa toma la celda dominio que mejor la cubrió, escribe esos valores al archivo y la marca como cubierta El programa acaba cuando hayamos cubierto todas las celdas rango La tolerancia la definimos como el 25 % del error total entre las dos celdas Para agilizar la compresión podemos hacer que una vez que se haya encontrado una celda dominio que cubra una celda rango, escriba los datos y se pase a la siguiente celda rango, ignorando las demás celdas dominio De esta forma ahorramos tiempo de compresión, aunque el resultado final tendrá mayor error El código fractal El código fractal consiste en un archivo que contiene los datos relevantes Dicho archivo contiene un renglón por cada celda rango que se cubrió Este número es variable, según el detalle de la imagen o la tolerancia que se haya impuesto En cada renglón escribimos el índice de quadtree, el índice de rotación, el índice de la celda dominio, el valor del contraste y el del brillo Un ejemplo de un archivo con la imagen comprimida se muestra en la figura 8 En este ejemplo utilizamos una profundidad de quadtree de seis, por lo que los primeros seis valores de cada reglón corresponden al índice quadtree El séptimo elemento es el índice de rotación, el octavo el índice de la celda dominio (con los parámetros que escogimos en este ejemplo, tenemos 1186 celdas dominio), el noveno es el valor del contraste y el décimo elemento el valor del brillo Para maximizar el factor de compresón se debería utilizar un código fractal en dónde el índice quadtree se guarde en números binarios en lugar de números ASCII, que fue lo que hicimos en este ejemplo De esta forma se reduciría el tamaño del archivo de compresión, ya que cada número del tipo ASCII ocupa ocho bits y uno binario solamente uno Si se hace correctamente se requeriría 24 bits por cada elemento del índice quadtree en lugar de los 48 que

6 6 índice quadtree rot dom contraste brillo , R1 R2 R3 R4 R5 el resultado Un ejemplo del proceso de decodificado se muestra en la figura 9 Aquí tenemos la imagen base para decodificar a) Figura 8: Ejemplo del código fractal En el archivo se escribe un renglón por cada celda rango cubierta En cada renglón se escribe el índice quadtree (primeras seis columnas), el índice de rotación, el índice de la celda dominio, el valor del contraste y el valor del brillo nosotros requerimos La diferencia es que el programa de descompresión sería algo más complicado para recuperar el índice quadtree comprimido En este artículo nos enfocamos en exponer la técnica de compresión y no en hacerla eficiente, por lo que nuestro archivo de compresión contiene el índice quadtree tipo ASCII Si el lector esta interesado en hacer un código eficiente, se expone muy claro en la referencia [8] Decodificando El programa de decodificación está escructurado de manera análoga al de codificación También tiene las funciones de crear dominio, rotar una celda, y reducir una celda Las funciones nuevas que requerimos son una que dé la posición en la imagen de una celda rango dado su índice quadtree Nosotros usamos como parametro la longitud de la imagen base para la decodificacion (la imagen inicial que al aplicarle el PIFS se verá como el atractor), que puede ser mayor o menor que la codificada Aquí podemos apreciar el hecho que este método es libre de escalas Este parámetro también lo utilizamos en la función crear rangos, que crea una lista de celdas rango en la posición adecuada en la imagen base según su índice quadtree Las funciones maestras son una que itera y otra que muestra el resultado En la primera le aplicamos una iteración del mapeo guardado en nuestro código fractal a las celdas dominio adecuadas y le asignamos el resultado a las celdas rango correspondientes En la función mostrar colocamos a las celdas rango en su lugar apropiado en la imagen (según su índice quadtree) y los mostramos en la pantalla El programa como tal solamente carga los datos del código fractal, se los asigna a listas correspondientes y crea la lista de dominios y la de los rangos De esta forma se le deja al usuario iterar las veces que quiera e ir viendo b) Imagen inicial 1ra iteración 2da iteración 6ta iteración Figura 9: Ejemplo del proceso de decodificación a) La imagen base (imagen inicial) es un cuadrado negro, después de algunas iteraciónes se va pareciendo más y más al atractor, que por el teorema del collage sabemos que se parecerá mucho a la imagen inicial b) Mismo procedimiento con otra imagen base Vemos que el proceso es independiente de la imagen base, lo cual confirma que el atractor de un PIFS es independiente de la condición inicial (a) en su estado original, después de la primera, segunda y sexta iteración Vemos que las primeras dos iteraciones son todavía muy burdas, pero ya la sexta iteración se parece mucho a Lena Sabemos que el atractor de nuestro PIFS se parecerá mucho a la imagen original, ya que el teorema del collage nos lo asegura Para enfatizar nuevamente, lo único que estamos haciendo con la imagen inicial es a ciertos segmentos de ella, les cambiamos el contraste y el brillo, los rotamos y reducimos para luego asignárselos a otros segmentos de la imagen Es por eso que la primera iteración consta solamente de cuadrados de diferentes escalas de gris La segunda imagen (b) es el mismo procedimiento, pero con otra imagen inicial Podemos apreciar que el resutado final es el mismo Este hecho resalta el atractor de nuestro PIFS es independiente de la condición (imagen) inicial Es muy importante que los dominios creados en la parte de codificación sean los mismos que en la parte de decodificación, porque si no, no coinciden los índices en el código y no se verá el resultado deseado Es por eso que en principio de deberían escribir los parámetros de la función que crea las celdas dominio en la cabecera del archivo con el código fractal CONCLUSIONES Con estos programas logramos codificar y decodificar la imagen de Lena El tiempo de compresión en una máquina con procesador de 283GHz fue de aproximadamente media hora para el programa que se queda con la primera celda dominio que cubre la celda rango y de

7 7 aproximadamente dos horas para el que busca la mejor distancia en todas las celdas dominio En el programa de decodificación se puede cambiar el tamaño de la imagen inicial fácilmente y ver como se crea la imagen libre de escalas Como hubo una tolerancia a la hora de comparar dominios con rangos, la imagen final tiene ciertos errores en comparación con la original, dichos errores se magnifican si descomprimimos a mayores escalas Este método, aunque lento, tiene la ventaja de ser libre de escalas y se puede usar para obtener imágenes relativamente grandes Esto a su vez lleva a que, dependiendo del tamaño de la imagen descomprimida, se lleguen a tener razones de compresión muy buenas Como nota, el algoritmo que utilizamos para comprimir es uno muy rudimentario Existen algoritmos mucho más eficientes que reducen el tiempo de compresión a segundos (ver [8]) Podemos extender la compresión de imágenes a imágenes con color haciendo algunas ligeras modificaciones de las técnicas aquí presentadas Básicamente tendríamos que tratar a nuestra imagen como una función de R 2 a R 3, en donde cada entrada del rango de la función corresponde a un valor de rojo, verde y azul respectivamente Eso y un ligero cambio en la definición de las distancia entre imágenes sería suficiente para codificarlas La compresión de imágenes a color no solo tiene ventajas estéticas El poder manejar este tipo de imágenes permite guardar información adicional mediante un código de color, que en áreas como la medicina es de suma importancia Espero que este artículo haya mostrado que no es tan complicado entender y hacer un programa que codifique imágenes con este método tan fascinante, que de hecho sirve para más que sólo comprimir [7] Se podría decir que éste es un ejemplo concreto de cómo el avance de la ciencia nos ha permitido disfrutar de una vida digital más completa [1] T Acharya and A K Ray Image Processing: Principles and Applications John Wiley and Sons, 2005 [2] Mauro Barni Document and Image Compression CRC, 2006 [3] Michael Barnsley Fractals Everywhere Academic Press, 1989 [4] Michael Barnsley Fractal image compression Notices of the AMS, 43(6), 1996 [5] Yuval Fisher Fractal image compression In SIGGRAPH 92 Course Notes, 1992 [6] David Jeff Jackson and Greg Scott Tinney Performance analysis of distributed implementations of a fractal image compression algorithm Concurrency - Practice and Experience, 8: , 1996 [7] Joan Puate and Fred Jordan Using fractal compression scheme to embed a digital signature into an image In Tescher, AG and Chiueh, TC, editor, Video techniques and software for full-service network, volume 2915 of Proceedings of the society of photo-optical instrumentation engineers (SPIE), pages , 1997 [8] Stephen Welstead Fractal and Wavelet Image Compression Techniques SPIE, 1999 [9] Barnsley patentó varios de estos métodos y fundó la compañía Iterated Systems Incorporated (La primera patente de Barnsley y Sloan con respecto a compresión de imágenes usando sistemas de funciones iteradas, fue US Patent 4,941,193, registrada en Octubre de 1987) Este hecho ejemplifica que a partir de una idea relativamente sencilla y una aplicación de los fractales, una compañía ha sido capaz de generar recursos económicos considerables