Fundamentos Matemáticos y Físicos para Informática Gráfica

Transcripción

1 Fundamentos Matemáticos y Físicos para Informática Gráfica

2 FMFIG: Objetivos Objetivos: Introducción de algunos conceptos básicos empleados en varias asignaturas del master. Herramientas básicas de análisis numérico para modelado y simulación de procesos físicos. Contenido de la asignatura: Mallas de triángulos (José Miguel Espadero) Matemáticas (Mofdi El Anjoumi) Física (Mª Isabel Herreros)

3 Mallas de triángulos: Objetivos Conceptos fundamentales y conexiones entre diversas áreas de informática gráfica. Porqué usar mallas de triángulos en problemas de procesamiento de geometría? Principales algoritmos con mallas de triángulos Implementación eficiente de algoritmos con mallas de triángulos.

4 M.T: Contenidos Representación de superficies. Estructuras de datos y formatos de fichero. Problemas comunes en mallas de triángulos Operaciones con mallas de triángulos: Análisis y Reparación Medidas de calidad Simplificación Corte y Remallado Análisis Numérico

5 Representación de superficies

6 Representación de superficies En matemáticas se emplean dos tipos de representaciones Paramétricas: Se define mediante funciones que han de ser evaluadas en ciertos puntos. f(t) = [ cos (2*π*t), sin (2*π*t) ] Circle = f([0, 1]) Implícitas: Se define mediante funciones que han de ser resueltas. F(x,y) = x2 + y2 Circle = { (x,y) : F(x,y) = 0 }

7 Funciones a trozos Para representar superficies complejas, se emplean representaciones a trozos (piecewise) Paramétricas a trozos: f1(t) = [ cos (2*π*t), sin (2*π*t) ] f2(t) = [ t, -1-t ] f3(t) = [ t, -1+t ] S = f1([0, 0.5]) U f2([-1, 0]) U f3([0, 1]) Implícitas a trozos:...

8 Funciones lineales a trozos En computación, se suelen emplear funciones lineales a trozos (rectas 2D, planos 3D) Paramétricas a trozos: f1(t) = [ cos (2*π*t), sin (2*π*t) ] f2(t) = [ t, -1-t ] f3(t) = [ t, -1+t ] S = f1([0, 0.5]) U f2([-1, 0]) U f3([0, 1]) A mayor número de trozos, menor error de aproximación.

9 Mallas poligonales y de triángulos Una malla superficial es una representación de una superficie 3D, empleando un número de parches. Una malla de triángulos impone que cada parche sea triangular, y los parches polinomios de grado 1. La ventaja es que cada trozo es muy fácil de procesar por hardware de computador.

10 Mallas Poligonales: Propiedades Mallas poligonales son un buen compromiso Topología arbitraria. Permiten acceso eficiente a vértices, facetas, etc... Permiten decidir el error de aproximación mediante refinamiento.

11 Porqué usar parches triangulares? Al emplear mallas de triángulos se reduce al máximo la complejidad de cada parche Se evita almacenar el número de vértices, facilitando paralelismo. Se obliga a que cada parche sea convexo, permitiendo múltiples optimizaciones. Se evitan indefiniciones en plano teórico (ej. la normal por cada parche es única). Montones de algoritmos definidos para parches triangulares.

12 Porqué usar parches triangulares? Todo punto en el interior de un triángulo ABC se puede definir mediante coordenadas baricéntricas P = α*a + β*b + γ*c α >=0, β >= 0, γ >=0, α + β + γ = 1 La ecuación anterior puede emplearse para interpolar cualquier tipo de información extra asociada a los vértices: color, normales, escalares, etc...

13 Propiedades: Quasi-regularidad

14 Propiedades: Semi-regularidad

15 Otros tipos de mallas Mallas de poliedros (parches no triangulares)

16 Otros tipos de mallas Mallas volumétricas (tetraedros)

17 Información extra en mallas Parámetros para render Colores por vértice o por faceta Coordenadas de textura Mapas de normales (Bump mapping) Parámetros físicos Modelos masa-muelle Elementos finitos Imágenes médicas

18 Render: Mapas de textura

19 Render: Mapas de normales

20 Modelos Masa-Muelle Modelo físico de simulación donde cada vértice tiene una masa, y cada arista un muelle.

21 M.T: Contenidos Representación de superficies. Estructuras de datos y formatos de fichero. Problemas comunes en mallas de triángulos Operaciones con mallas de triángulos: Análisis y Reparación Medidas de calidad Simplificación Corte y Remallado Análisis Numérico

22 Estructuras de datos para Mallas Almacenamiento separado Geometría (posiciones de vértices) Topología (conectividad entre vértices) Almacenamiento depende de las operaciones que deseemos realizar sobre las mallas. Lista de vértices por faceta Lista de facetas vecinas por faceta Lista de aristas/facetas incidentes sobre un vértice Existen varios formatos de fichero sencillos y multitud de formatos propietarios.

23 Formato STL: Listado de facetas Faceta 3 posiciones 3D 9 floats/faceta = 36 b/faceta 72 b/vértice Sin conectividad Sólo útil para render

24 STL: Código de ejemplo Class Point3D { Float X; Float Y; Float Z }; Class Triangle { Point3D Vertex1; Point3D Vertex2; Point3D Vertex3 }; Class TriangleList : vector<triangle>;

25 Formato STL: Ejemplo de fichero solid facet outer loop vertex vertex vertex endloop endfacet facet outer loop vertex vertex vertex endloop endfacet endsolid

26 OFF, OBJ: Vértices indexados Vértice Posición 3D Faceta 3 índices a vértice 3 floats/vertice + 3 int/faceta 36 b/vértice Almacenamiento compacto. Sin información de vecindad. Útil para render y transformaciones geométricas simples.

27 Vértices Indexados: Código ejemplo Class Point3D { Float X; Float Y; Float Z }; Class Triangle { int Vertex1; int Vertex2; int Vertex3 }; Class MeshCoordinates : vector<point3d>; Class MeshConectivity : vector<triangle>;

28 Formato de fichero OBJ v v v v v=vértice f=faceta, l=polilinea f f f Índices comienzan en 1

29 Formato de fichero OFF OFF Número de Vértices, Facetas, Aristas Número de vértices en esta faceta Índices comienzan en 0

30 Conectividad por facetas Vertex: Posición 3D Faceta: 3 índices a vértice 3 índices a facetas vecinas Aproximadamente 64 B/vértice Útil para algoritmos que recorren la superficie (ej. refinamiento local)

31 Código ejemplo Class Point3D { float X;float Y;float Z}; Class Triangle { int Vertex1; int Vertex2; int Vertex3; int Vecino1; int Vecino2; int Vecino3; }; Class MeshCoordinates : vector<point3d>; Class MeshConectivity : vector<triangle>;

32 Conectividad por aristas Vertex: Position 3D 1 índice a arista? Arista: 2 índices a vértices 2 índices a faceta vecinas 4 índices a aristas vecinas Faceta 1 índice a arista? Aproximadamente 120 B/vértice No almacena orientación de aristas Útil para algoritmos basados en aristas (ej. Masa-Muelle)

33 DCEL: Conectividad por semiaristas Vertex: Position 3D 1 índice a semiarista salida? Semiarista (halfedge) 1 índice a vértice (final) 1 índice a faceta 1 índice semiarista opuesta 1 índice a semiarista posterior 1 índice a semiarista anterior? Faceta 1 índice a semiarista? Entre 96 y 144 B/vértice Útil para algoritmos que requieren conectividad completa y cambios frecuentes en la topología de la malla. Trata de evitar información duplicada, de forma que se actualiza eficientemente.

34 DCEL: Recorrido vértices vecinos Vértice inicial

35 DCEL: Recorrido vértices vecinos Vértice inicial Semiarista salida

36 DCEL: Recorrido vértices vecinos Vértice inicial Semiarista salida Semiarista opuesta

37 DCEL: Recorrido vértices vecinos Vértice inicial Semiarista salida Semiarista opuesta Semiarista siguiente

38 DCEL: Recorrido vértices vecinos Vértice inicial Semiarista salida Semiarista opuesta Semiarista siguiente Semiarista opuesta

39 DCEL: Recorrido vértices vecinos Vértice inicial Semiarista salida Semiarista opuesta Semiarista siguiente Semiarista opuesta Semiarista siguiente...

40 Librerías que implementan 3D OpenGL (C, C++) Bajo nivel, orientada principalmente a render No contiene una clase Mesh, pero facilita operaciones de transformación sobre conjuntos de vértices. OpenSceneGraph (C++) OpenInventor / Coin3D (C++) Alto nivel, orientado a render con grafos de escena. Formato de ficheros propios (OSG, VRML)

41 Librerías que implementan DCEL CGAL Geometría computacional Free for non-commercial use OpenMesh Mesh processing Free, LGPL licence

42 Bibliografía Botsch et al, Polygon Mesh Processing, 2010 Kettner, Using generic programming for designing a data structure for polyhedral surfaces, SCG98 Campagna et al, Directed Edges - A Scalable Representation for Triangle Meshes, Journal of Graphics Tools 4(3), 1998 Botsch et al, OpenMesh - A generic and efficient polygon mesh data structure, OpenSG 2002