Superficies NURBs. Integrantes: Emily Benítez Rafael Paytuvi

Transcripción

1 Superficies NURBs Integrantes: Emily Benítez Rafael Paytuvi

2 Superficies NURBs Modelo matemático muy utilizado en la computación gráfica para generar y representar curvas y superficies. Su desarrollo empezó en 1950 Fueron creados por la necesidad de representar matemática y precisamente superficies de forma libre como carrocerías de automóviles, cascos de barcos, etc.

3 Superficies NURBs: Un poco de historia Tiene como pioneros a Pierre Bézier quien trabajaba en Renault, y Paul de Casteljau quien trabajaba en Citroën. Los NURBS se le asocian a los Bézier Splines debido a que Bézier publicó primero su trabajo. Casteljau es conocido por los algoritmos desarrollados para la evaluación de superficies paramétricas.

4 Superficies NURBs: Un poco de historia En la década de 1960 finalmente se desarrollaron los NURBS (B- Splines Racionales y No Racionales). Se convirtieron en la generalización de las Bézier Splines. Los primeros NURBS fueron usados únicamente en paquetes propietarios CAD de las compañías automotrices. Auto y curvas generadas con NURBs Ahora forman parte de los paquetes estándar de la mayoría de los programas gráficos por computadora.

5 Superficies NURBs: Maxsurf Macsurf (luego llamado Maxsurf), desarrollado en 1985, fue el primer modelador interactivo de NURBS para PC. Creado por Formation Design Systems, de Australia. Sistema de diseño para cascos, destinado a la creación de barcos, botes y yates, debido a que los diseñadores tenían la necesidad de alta precisión en el esculpido de las superficies deseadas.

6 Superficies NURBs Las superficies tridimensionales NURBS pueden tener formas orgánicas complejas. Los puntos de control influyen en la dirección que tome la superficie. El cuadrado más exterior delinea los grados en X/Y de la superficie.

7 Superficies NURBs: Por qué usarlas? Los NURBS son herramientas usadas normalmente en la industria gráfica para la representación y diseño de geometría. Algunas razones para el uso de los mismos son: Ofrecen una forma matemática común para las formas analíticas estándar (p.e. Cónicas) y de forma libre. Proveen flexibilidad para diseñar una gran variedad de formas. Pueden ser evaluadas razonablemente rápido por algoritmos estables y precisos. Son invariantes luego de aplicar transformaciones afines y de perspectivas. Son una generalización de las B-Splines no racionales y de las curvas y superficies de Bézierracionales y no racionales.

8 Superficies NURBs: Ventajas Curvas suaves con menos recursos. Creación de formas más complejas de manera más fácil. Herramientas de modelado más sofisticadas. Mayor control en las superficies.

9 Superficies NURBs: Desventajas La necesidad de tener almacenamiento extra para definir las formas tradicionales, como por ejemplo, los círculos. Esto resulta de la adición de parámetros además de los puntos de control. A pesar de esto, finalmente ofrecen la flexibilidad deseada para la definición de formas parámetricas. No son apropiadas para superficies con angulos rectos. Tardan más en calcularse.

10 Superficies NURBs: Curvas y Superficies Las formas NURBS se definen por puntos de control y por pesos asociados a cada uno de los puntos de control. Una curva NURB, C(u), que no es más sino una función racional polinomial evaluada por vector, está definida como: n ( Wi * Pi * Ni,k(u) ) i = 0 C(u) = n ( Wi * Ni,k(u) ) i = 0 Donde: Wi pesos Pi puntos de control Ni,k funciones B-Spline normalizadas de grado k

11 Superficies NURBs: Curvas y Superficies La definición previa de una Curva NURB puede ser reescrita usando funciones bases racionales: Wi * Ni,k(u) C(u) = n ( Wj * Nj,k(u) ) j = 0 Quedando de la siguiente forma: n C(u) = ( Pi * Ri,k(u) ) i = 0

12 Superficies NURBs: Curvas y Superficies Una superficie NURBS se define de forma similar: n m S(u,v) = Pi,j * Ri,k,j,l(u,v) i = 0 j = 0 Donde: Wi,j * Ni,k(u) * Nj,l(v) Ri,k,j,l(u,v) = n m Wr,s * Nr,k(u) * Ns,l(u) r = 0 s = 0

13 Superficies NURBs: Curvas y Superficies Las funciones base racionales tienen las mismas propiedades que las funciones de blending. Un punto a destacar, es la invarianza de las mismas al aplicarle transformaciones afines y (hasta) transformaciones de perspectiva. Así, sólo los puntos de control tienen que ser transformados para obtener la transformación apropiada de la forma NURBS.

14 Superficies NURBs: Curvas NURBs Son una herramienta importante para trabajar en 3D. Pueden ser una forma simple de modelar una superficie o un avanzado control para la animación, se definen por puntos de control, que controlan la forma de la curva. También consta de otros tipos de puntos como los editables, que indican el principio o final de un segmento, y rectas que unen los puntos de control en una curva. La geometría de la curva se define por grados, puntos de control, nodos y regla de calculo.

15 Superficies NURBs: Superficies NURBs Tienen los principios de las curvas NURBS, y se aplican igual. Sin embargo, una diferencia entre curvas y superficies es que las curvas se someten a una sola dirección y la superficie es bidireccional. Esta bidirección tiene un origen llamado normal, que determina la parte frontal o trasera de la misma.

16 Superficies NURBs: Superficies NURBs Las superficies más ampliamente usadas en los procesos de diseño en la industria son las superficies NURBS. Ello se explica por sus grandes ventajas, entre las que figuran sus capacidades para el diseño interactivo y su habilidad para representar de manera precisa formas cerradas, como cónicas y cuádricas. Además, las superficies NURBS incluyen a las superficies B-spline como casos particulares. De hecho, muchas aplicaciones de CAD/CAM, realidad virtual, animación y visualización usan modelos basados en superficies NURBS. Estas superficies están incluidas en muchos de los formatos más populares en la industria, como IGES. También muchos estándares gráficos más recientes, tales como PHIGS+ y OpenGL incluyen las superficies NURBS entre sus primitivas gráficas.

17 Superficies NURBs: Algoritmo Computacional Los NURBs pueden ser evaluados efectivamente usando coordenadas homogéneas. Los siguientes pasos hacen la evaluación: 1. Añadir una dimensión a los puntos de control y multiplicarlos por sus respectivos pesos. 2. Calcular los NURBS en coordenadas homogéneas. n C (u) = ( Pi (u) * Ni,k(u) ) i = 0 3. Mapear los NURBS homogéneos de nuevo al sistema original con: map( X1, X2,...,Xn, W) = ( X1/W, X2/W,..., Xn/W ), if W not = 0 ( X1, X2,..., Xn ), if W = 0 n ( Wi * Pi * Ni,k(u) ) i = 0 C(u) = map(c (u)) = n ( Wi * Ni,k(u) ) i = 0

18 Superficies NURBs: Pesos Cambiar el peso Wi de un punto de control Pi sólo afecta el rango [ti, ti+k+1] (en caso de una curva). El significado geométrico de los pesos es mostrado a continuación: Definimos los puntos: B = C(u; Wi = 0) N = C(u; Wi = 1) Bi = C(u; Wi not in [0,1])

19 Superficies NURBs: Pesos N y Bi también pueden ser expresados como: N = (1-a) * B + a * Pi Bi = (1-b) * B + b * Pi Donde: a = Ri,k(u; Wi = 1) b = Ri,k(u)

20 Superficies NURBs: Pesos La siguiente identidad puede ser obtenida de la expresión de a y b: (1-a) (1-b) Pi * N Pi * Bi : = : = Wi a b B * N B * Bi La cual es llamada radio cruzado (o doble) de los cuatro puntos Pi, B, N, Bi. De estas expresiones se puede derivar el efecto de la modificación de forma: Bi barre en una línea recta. Si Wi = 0 entonces Pi no tiene efecto en la forma. Si Wi aumenta, también lo hace b y la curva se va hacia Pi y se aleja de Pj, para todo j distinto de i. Si Wi decrece, también lo hace b y la curva se aleja de Pi y se acerca a Pj, para todo j distinto de i. Si Wi tiende a infinito, entonces b tiende a 1 y Bi tiende a Pi, si u está en [ti, ti+k+1]

21 Referencias Altmann Markus. About Nonuniform Rational B-Splines NURBS. González, Aide. Implementación de Curvas y Superficies con NURBs. Manual de 3D Studio Max. Herramientas de Software Especializado.