Prof. Sandra Baldassarri. Objetivos del modelado. ordenador. Modelado Geométrico

Transcripción

1 Clasificación de los modelos geométricos Representación de objetos en 3D Modelos de Puntos Modelos de Curvas y Superficies Modelos de Sólidos Prof. Sandra Baldassarri Objetivos del modelado Modelos geométricos Representación de un objeto real o sintético descrito mediante el ordenador

2 Objetivos del modelado Modelos geométricos Objetivos del modelado Modelos geométricos

3 Objetivos del modelado Modelos geométricos Los modelos representan determinadas características del objeto en estudio, haciéndolas más fácilmente observables que el objeto real (porque no existe, porque no es directamente observable, etc). El objetivo de un modelo es obtener información sobre el objeto representado a partir de ese modelo. Modelos físicos de objetos tridimensionales: representan las dimensiones relativas y la apariencia del objeto modelado (edificios, i coches, personas, etc) Modelos moleculares: representan la ordenación espacial de los átomos de una molécula con respecto a sus vecinos (no suelen representar más propiedades) Modelos matemáticos: representan algunos de los aspectos del objeto modelado en términos de ecuaciones y datos numéricos Cómo se crea un objeto? Modelos geométricos Con un programa de CAD: 3DStudio, AutoCAD, Blender, ProEngineer, A partir de objetos reales Explorador laser, digitalizador 3D, Matemáticamente

4 Representación de un objeto Modelos geométricos No hay un método único Depende del objeto y del medio: Interfaz de usuario Representación del ordenador Almacenamiento La representación más popular: p representación poligonal Modelos geométricos Creación y representación de un objeto modelado por ordenador Modelado por puntos Modelado de curvas y superficies Modelado d de sólidos

5 Modelos geométricos Clasificación de los modelos geométricos Dimensiones del diseño de elementos 1D 2D 3D Modelos 2D Dibujo lineal Dibujo poligonal Modelos 3D Jaula de alambre Superficies Sólidos Modelos geométricos Primitivas geométricas en 3D Puntos Segmentos (líneas) Polígonos Poliedros Superficies curvas Objetos Sólidos (x, y, z) N=(a, b, c) P 1 P 3 P 2 etc. Origen d (c x, c y, c z ) r

6 Modelos geométricos Representación de objetos en 3D Modelos de Puntos Nubes de puntos Mapas de profundidad Modelos de Curvas y Superficies Geometría analítica, Teoría de la aproximación, Teoría de la interpolación Mallas Subdivisión i ió Modelos de Sólidos Modelos de descomposición Modelos constructivos Modelos de fronteras Modelos de puntos Nubes de puntos Muestras de puntos en 3D no estructuradas Adquiridas mediante técnicas de visión por ordenador,

7 Modelos de puntos Mapas de profundidad Conjunto de puntos en 3D que generan un mapa de profundidad Adquirido mediante escáner Imagen de puntos en profundidad Teselación Superficie en profundidad Modelos de Curvas y Superficies Las curvas y superficies permite representar los contornos de forma exacta. Este tipo de modelos representan la información geométrica en términos de: Curvas: puntos, líneas rectas y curvas Superficies: polígonos planos y superficies alabeadas Las técnicas matemáticas empleadas son: - Geometría analítica - Teoría de la interpolación - Teoría de la aproximación

8 Modelos de Curvas y Superficies Geometría Analítica Cualquier curva se puede describir por un vector de puntos pero esto conllevaría mucho almacenamiento y la forma exacta sigue siendo desconocida Las ecuaciones analíticas ofrecen mayor control sobre la curva y sobre su comportamiento. x at 2 y 2at 0 t Representación analítica Representación como colección de puntos Modelos de Curvas y Superficies Modelado de curvas planas Representación de curvas en el plano x at 2 y 2at 0 t Representación analítica Representación como colección de puntos

9 Modelado de curvas planas Modelos de Curvas y Superficies Curvas no paramétricas y f (x) y 3x 2 cos x Representación explícita f ( x, y) 0 3x 2 2xy 5e ycos x 1 Representación implícita Modelado de curvas planas Curvas paramétricas Modelos de Curvas y Superficies x x(t) ( ) y y( t) x cos y sen 0 2 Círculo de radio r con centro en el origen de coordenadas Elipse de ejes a y b centrada en el origen de coordenadas Parábola centrada en el origen y simétrica respecto al eje x Hipérbola centrada en el origen y simétrica respecto al eje x al eje x y 2aa x r cos y r sen 0 2 x a cos y bsen x a 0 x asec 0 2 y a tg Representación paramétrica de las cónicas

10 Modelos de Curvas y Superficies Modelos de Curvas y Superficies Modelos de Curvas y Superficies Modelos de Curvas y Superficies Superficies paramétricas ) ( ), ( w u x x ), ( ), ( w u z z w u y y 1 0 ) ( ) ( ), ( 2 2 u w u w u y w u w u x 1 0 ), ( ), ( w uw w u z w u w u y

11 Superficies cuádricas: Modelos de Curvas y Superficies Representación paramétrica de las cuádricas x a cos sen 0 2 y bsen sen 0 2 z c cos Elipsoide x a cos cosh 0 2 y bsen senh z csenh Hiperboloide de una hoja x a cosh 0 2 y bsen senh z c cos senh Hiperboloide de dos hojas x a cosh x a cos 0 2 x a cos 0 2 y b senh min y b sen max min max y bsen min 2 z z c z Paraboloide hiperbólico Cono elíptico Cilindro elíptico max x a cos 0 2 y b sen 0 2 z Paraboloide elíptico 2 x a y 2a 0 min z Cilindro parabólico max max max Superficies bilineales: Modelos de Curvas y Superficies Se construye por la paramerización de un cuadrado unidad. Cualquier punto del interior de la superficie se obtiene interpolando entre los lados opuestos de ésta: Q( u, v) P(0,0)(1 u)(1 w) P(0,1)(1 u) w P(1,0) u(1 w ) P(1,1) uw Expresión paramétrica Q ( u, v ) P(0,0) P(0,1) 1 w 1 u u P(1,0) P(1,1) w Expresión matricial iil

12 Superficies a trozos Modelos de Curvas y Superficies Fragmentos formados por cuatro aristas curvas, donde es preciso conocer: coordenadas d de los cuatro vértices dos vectores tangentes en cada vértice torsión en cada vértice (, ) cos sen sen sen cos Q (, ) sen sen cos sen 0 Q (, ) cos sen cos sen sen Q (, ) sen cos cos cos 0 Q, 1 2, 1 2 Q, 2 2 Q Q cos sen sen sen sen cos Superficies implícitas Modelado de Curvas y Superficies Los puntos satisfacen F(x,y,z) = 0 Modelo poligonal Modelo implícito

13 Teoría de la interpolación En las técnicas de interpolación la curva o superficie pasa por una serie de puntos dados. Existen diferentes técnicas: Interpolación lineal Polinomio de Lagrange Curvas y superficies cúbicas paramétricas: Hermite Spline Cúbico Interpolación lineal f ( x) f ( x Polinomio de Lagrange Teoría de la interpolación i ) ( x xi ) 1 i ( xi 1 xi ) f ( x ) f ( x ) n ( x) yi f ) n i n i0 j0 ji x xi x x j j

14 Polinomio de Lagrange Teoría de la interpolación Problemas al aumentar el número de puntos Interpolación lineal vs Polinomio de Lagrange Cúbicas paramétricas Teoría Teoría de de la la interpolación P ( t ) 3 i 00 a t i i

15 Teoría Teoría de de la la interpolación Las curvas de Hermite se representan por polinomios cúbicos a trozos, con continuidad en la posición y en la derivada. Se conocen los puntos y los valores de las derivadas en los extremos. Catmull-Rom Hermite Hay que tener en cuenta: Teoría Teoría de de la la interpolación Continuidad geométrica Continuidad id d paramétrica

16 Teoría de la interpolación Los splines cúbicos se representan por polinomios cúbicos a trozos, con continuidad en la derivada segunda. Diseño de curvas con splines cúbicos. a) los 4 puntos entrados por el usuario b) el spline cúbico global que los interpola c) los mismos cuatro puntos interpolados por un spline cúbico local d) se muestran las dos curvas superpuestas y se observa la mayor continuidad (suavidad) de la curva b) Matrices de interpolación Hermite Teoría Teoría de de la la interpolación Spline

17 Teoría de la interpolación Las técnicas de interpolación de superficies que se suelen utilizar son las cúbicas paramétricas (a trozos): Hermite Spline Cúbico Teoría de la aproximación Las curvas se aproximan por medio de una serie de puntos de control Bézier B-spline

18 Curvas de Bèzier Teoría de la aproximación Curva generada por los seis puntos b 0...b 5. Conjunto formado por cuatro curvas de Bézier, cada una definida mediante cuatro puntos. Los puntos de conexión son b3, b6, b9. Splines Cúbicos Teoría de la aproximación Los splines cúbicos se diferencian de las curvas de Bézier en que tienen continuidad C 2 y en que los puntos de los extremos no pertenecen a la curva P1 P3 P5 P2 P4 C1 C2 C3 C4 4 P 1 ( t ) B t i i t, 1 t t2 i1 Dos fragmentos de un spline cúbico Ecuación de un spline cúbico

19 Teoría de la aproximación Teoría de la aproximación Control local en curvas B-spline

20 Teoría de la aproximación Curvas NURBs: Non Uniform Rational Bsplines Estas curvas son muy populares en los programas de CAD Su representación incluye todas las curvas Bézier y B-splines Teoría de la aproximación Modelado de Superficies

21 Superficies de Bézier Teoría de la aproximación Q( u, w) n m i0 j0 B i, j J n, i ( u) Km, j ( w) Teoría de la aproximación Propiedades de las superficies de Bezier Interpolan los 4 puntos de las esquinas Clausura convexa Control local

22 Teoría de la aproximación Propiedades de las superficies de Bezier Continuidad entre parches Teoría de la aproximación Superficies B-spline a trozos (parches)

23 Modelado de superficies Mallas poligonales Conjunto de polígonos conectados (usualmente triángulos) Modelado de Superficies Mallas poligonales Conjunto de polígonos que representan una superficie 2D definiendo un objeto 3D

24 Modelado de Superficies Mallas poligonales Representación del modelo Modelado de Superficies Mallas poligonales Representación del modelo IMAGE SYNTHESIS GROUP

25 Modelado de Superficies Mallas poligonales Los vértices son compartidos por varios polígonos Hay técnicas de optimización al utilizar las mallas tiras (triangle - strips) abánicos (triangle - fans) Modelado de Superficies Mallas poligonales Permite trabajar con diferente resolución 48 polígonos 120 polígonos 300 polígonos 1000 polígonos IMAGE SYNTHESIS GROUP

26 Modelado de Superficies Superficies de Subdivisión Superficie formada por una malla + regla de subdivisión Modelado de Superficies Superficies de Subdivisión Malla + Regla de subdivisión Define una superficie suave como una secuencia limitada de refinamientos

27 Modelado de Superficies Superficies de Subdivisión La subdivisión debe tener en cuenta propiedades como la suavidad de la malla Modelado de Superficies Superficies de Subdivisión Hay diferentes métodos de subdivisión Diferentes reglas para refinar la topología Diferentes reglas para posicionar los vértices

28 Modelado de Superficies Superficies de Subdivisión Hay diferentes métodos de subdivisión Modelado de Superficies Superficies de Subdivisión Hay diferentes métodos de subdivisión

29 Técnicas constructivas de superficies Aplicando de forma combinada los diferentes métodos que se acaban de ver, pueden obtenerse superficies aplicando variadas técnicas constructivas. A continuación, se va a estudiar algunas de estas técnicas constructivas de superficies, de las que se verán ejemplos. Técnicas constructivas de superficies Superficies regladas y desarrollables Q ( u, w) P( u,0)(1 w) P( u,1) w Q( u, w) P( u,0) P(u,1( 1) ) 1 w w Expresión paramétrica Expresión matricial

30 Técnicas constructivas de superficies Superficies regladas y desarrollables Técnicas constructivas de superficies Superficie de revolución Superficie de barrido Superficie esculpida

31 Técnicas constructivas de superficies Superficies de revolución: Rotación de una curva alrededor de un eje Técnicas constructivas de superficies Barrido a lo largo de una trayectoria Construcción de un toro por Construcción de un toro por rotación de un círculo

32 Técnicas constructivas de superficies Superficies de barrido: Desplazamiento de una curva a lo largo de una trayectoria Técnicas constructivas de superficies Superficie fileteada entre cilindro y esfera

33 Modelado de superficies: técnicas híbridas Metaballs o Superficies implícitas: Describen los objetos por medio de superficies que son contornos (isosuperficies), a través de un campo escalar en 3D. La función de campo determina el valor en cada punto del espacio en base a alguna primitiva geométrica, generalmente puntos, segmentos o polígonos. Modelado de superficies: técnicas híbridas La superficie implícita es la suma de funciones base

34 Modelado de superficies: técnicas híbridas Superficies implícitas: Blobby models: Modelado de un dragón con diferente número de blobs Modelado de superficies: técnicas híbridas Superficies implícitas: Blobby models: Modelado de una cara (Muraki, 1991)

35 Modelado de superficies: técnicas híbridas Ejemplo metaballs: Dada una función de campo D(r) = 1/r 2 y varios puntos de control en el espacio 3D, siendo r la distancia de un punto en el espacio al punto de control, se dibuja una superficie a partir del punto de control, teniendo en cuenta si hay interacción entre varios puntos. Ejemplo: Modelado de superficies: técnicas híbridas

36 Modelado de superficies: técnicas híbridas Ejemplo: La estructura muscular fue creada usando el plug-in Metareyes. Para construir la malla sólida se crearon cientos de esferas definidas por superficies implícitas. Comparación entre representaciones

37 Modelado de sólidos Por qué se necesitan modelos sólidos? Algunos métodos de adquisición generan sólidos: TAC Modelado de sólidos Por qué se necesitan modelos sólidos? Algunas aplicaciones requieren trabajar con sólidos: aplicaciones CAD/CAM

38 Modelado de sólidos Por qué se necesitan modelos sólidos? Algunos algoritmos requieren sólidos: trazado de rayos con refracción Modelado de sólidos Este tipo de modelos representan la información geométrica externa y la estructura interna. A diferencia de los modelos de superficies, permiten distinguir entre interior, exterior y superficie de un objeto. Permiten calcular diferentes propiedades de los objetos: Volumen Masa Transparencia (medios participativos)

39 Modelado de sólidos Las técnicas de representación empleadas son: - Modelos de descomposición: Descripción de un sólido como un conjunto de células elementales cuya yuxtaposición llena todo el espacio ocupado por el objeto. - Modelos constructivos: Representación de un objeto como combinación de otros objetos elementales, siendo cada uno de ellos una particularización de un determinado objeto primitivo. - Modelos de fronteras: Representación de un objeto por medio de sus caras, donde cada una de ellas se describe mediante la superficie en que está contenida y la curva o curvas que la limitan. Modelado de sólidos Características de un modelo: Dominio: define los objetos que se pueden representar Validez: sólo debe permitir representar objetos válidos No ambigüedad: no deben quedar dudas sobre qué está representado Unicidad: tiene que haber sólo una manera de representar el objeto Lenguajes de descripción: uso de un lenguaje adecuado para describir los objetos Compacto: ahorro de espacio para almacenamiento Clausura: conjunto cerrado de operaciones Facilidad de uso Eficacia en la aplicación

40 Sólido: Modelado de sólidos Objeto físico que divide el espacio en dos regiones: una exterior y otra exterior, separadas por el contorno del objeto. El contorno puede ser una superficie cerrada o un grupo de superficies abiertas interconetadas. Sólido: Modelado de sólidos El contorno puede ser una superficie cerrada o un grupo de superficies abiertas interconetadas, pero podrían generarse objetos no válidos

41 Modelado de sólidos Operaciones booleanas entre sólidos: Qué objetos se generan? Modelado de sólidos Operaciones booleanas regularizadas: Garantizan la validez de los objetos generados

42 Modelado de sólidos Las técnicas de representación empleadas son: - Modelos de descomposición: Descripción de un sólido como un conjunto de células elementales cuya yuxtaposición llena todo el espacio ocupado por el objeto. - Modelos constructivos: Representación de un objeto como combinación de otros objetos elementales, siendo cada uno de ellos una particularización de un determinado objeto primitivo. - Modelos de fronteras: Representación de un objeto por medio de sus caras, donde cada una de ellas se describe mediante la superficie en que está contenida y la curva o curvas que la limitan. Modelos de descomposición Un objeto se modela como la suma de celdas o particiones del espacio Descomposiciones celulares Descomposición jerárquica del espacio General Voxels Bintrees BSP Octrees

43 Modelos de descomposición Modelo de descomposición mediante enumeración exhaustiva: Las células son pequeños cubos contenidos (total o parcialmente) en el sólido. Estos cubos son del mismo tamaño y orientación (subdivisión regular del espacio). Objeto representado por una lista de cubos regulares Modelos de descomposición Modelo de descomposición mediante enumeración exhaustiva: Las operaciones de comparación de objetos son triviales

44 Modelos de descomposición Modelo de descomposición mediante enumeración exhaustiva (voxels) Representación en isosuperficies Modelos de descomposición Modelo de descomposición mediante enumeración exhaustiva (voxels)

45 Modelos de descomposición Modelo de descomposición celular Las células que constituyen el sólido son elementos básicos de forma y tamaño variable Celda básica cuadrática Modelos de descomposición Modelos de descomposición jerárquica del espacio o de subdivisión recursiva Modelo quadtree/octree: estructura jerárquica con subdivisión recursiva del espacio en cuadrados/cubos de tamaño menor, dependiendo de la ocupación o no de ese elemento.

46 Modelos de descomposición Operaciones con modelos de subdivisión recursiva Modelos de descomposición Modelos de descomposición jerárquica del espacio o de subdivisión recursiva Descomposición del espacio binario: en cada paso se subdivide la escena en dos secciones con un plano que puede estar en cualquier posición y orientación. Bintree BSP (Binary Space Partition)

47 Modelos de descomposición BSP: La posición y orientación de los planos puede hacerse adaptándose a la distribución espacial de los objetos, de modo que se puede reducir la profundidad en la representación del árbol. Los árboles BSP son útiles para identificar las superficies visibles. Modelos constructivos CSG: Geometría Sólido Constructiva Uno de los esquemas más populares debido a su facilidad de uso y para verificar la validez Primitivas sólidas (instanciación) Cubo, pirámide, esfera, Transformaciones geométricas

48 Modelos constructivos CSG: Geometría Sólido Constructiva Las operaciones pueden ser transformaciones u operaciones booleanas (unión, intersección, diferencia). AB AB A B B A Ejemplos de árboles CSG Modelos constructivos

49 Modelos constructivos

50 Modelos de fronteras Modelo B-rep o representación de contornos: Objeto encerrado por un conjunto de caras, las cuales pertenecen a superficies cerradas y orientables (normal) Superficie externa - geometría - topología

51 Modelos de fronteras Representación por medio de caras, aristas, vértices, puntos vértices coordenadas caras vértices v 1 x 1 y 1 z 1 f 1 v 1 v 2 v 3 v 4 v 2 x 2 y 2 z 2 f 2 v 6 v 2 v 1 v 5 v 3 x 3 y 3 z 3 f 3 v 7 v 3 v 2 v 6 v 4 x 4 y 4 z 4 f 4 v 8 v 4 v 3 v 7 v 5 x 5 y 5 z 5 f 5 v 5 v 1 v 4 v 8 v 6 x 6 y 6 z 6 f 6 v 8 v 7 v 6 v 5 v 7 v 8 x 7 y 7 z 7 x 8 y 8 z 8 Modelos de fronteras Operaciones para modelos de fronteras A B AoutB BoutA A B AinB BinA A B AoutB Clasificación por pertenencia

52 Modelos de fronteras Operaciones para modelos de fronteras: Operadores de Euler: aseguran la validez topológica del modelo de contorno se usan operadores especiales para crear y manipular las entidades topológicas F E V L 2 ( B G ) F: cara E: arista V: vértice L: agujeros en las caras B: número de componentes separados del objeto G: agujeros a través del objeto Representación facetada: Modelos de fronteras Aproximación por facetas planas de la representación de objetos curvos en un modelo B-rep Ventajas: Facilidad para agregar nuevos tipos de superficies Facilidad para calcular intersecciones entre caras (planas) Desventajas: Es necesario gran cantidad de datos para mantener la exactitud deseada del modelo

53 Comparación entre representaciones Taxonomía de las representaciones 3D Comparación entre representaciones