Especialidad SEG Irapuato

Transcripción

1 Especialidad SEG Irapuato 27 de marzo, 202 Problema. Si la suma de tres impares consecutivos es 27, cuáles son estos números? Solución.Si losnúmerossonx, x+2 y x+4 tenemosquex+(x+2)+(x+4) = 27 de donde x = 7 y los números son: 7, 9 y. Problema 2.Ya sabemosquecon losdígitos2,4,y8pueden formarse4! = 24 números de 4 dígitos, todos diferentes. Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor de los números que podemos formar? Solución 2. El mayores el 842yel menor es el 248. Su resta es = 74. Problema. Si Carlos, entre los cuatro primeros grados de primaria sacó de promedio 8.0 y en los dos últimos sacó un promedio de 9.5, cuánto sacó de promedio en la primaria? Solución. Sean a, b, c, d, e y f las calificaciones de los seis grados, en orden. Tenemos que a+b+c+d = de donde a+b+c+d = 2. demás, e+f = de donde e+f = 9, luego, el promedio es a+b+c+d+e+f = 2+9 = 5 = 8.5. Problema 4. Tenemos un círculo cuya área es cm 2. Se agranda dicho círculo hasta tener un área de 2cm 2. Cuántas veces más grande es el nuevo radio?

2 Solución 4. Sea r el radio inicial y R el radio final. Tenemos que πr 2 = cm 2 y πr 2 = 2cm 2, por lo que πr 2 πr 2 = 2cm2 cm 2 de donde R2 r 2 = 4 y R = 2r, por lo que el nuevo radio es dos veces más grande. Problema 5. Si tres trabajadores necesitan días para pintar un edificio. Cuántos trabajadores pueden hacerlo en 9 días? Solución 5. Si quieres que los trabajadores terminen en 9 días, tienen que avanzar 9 del edificiocadadía.cadatrabajadoraportaal díacon del edificio. Luego, se necesitan trabajadores. 9 = 4 Problema. Una manguera llena un estanque de agua en 2 horas. Otra manguera lo llena en 0 horas y un tubo de desagüe lo vacía en horas. En cuánto tiempo de llena el estanque si las dos mangueras y el desagüe están abiertos? Solución. La primera manguera llena 2 del estanque por hora, la segunda 0 del estanque por hora y el desagüe le quita por hora. Por lo tanto, cada hora se llena = 5+ 0 = 0 0 del tanque, por lo que se necesitan 0 horas para llenarlo. Problema 7. Para preparar un pastel de chocolate se necesitan: 2 huevos, taza de azúcar, 2 cucharadasde mantequilla, 2 taza de cocoa en polvo, 2 4 tazas de harina, taza de agua y taza de chispas de chocolate. María nota que dicha receta es para 0 personas. Qué cantidades debe usar María para que el pastel sea para personas? Solución 7. Usando varias veces la regla de obtenemos que se necesitan: 5 = 5 5 de huevo. tazas de azúcar. 5 = 5 0 cucharadas de mantequilla. de taza de cocoa en polvo. 2

3 27 20 = de tazas de harina. de taza de agua. de taza de chispas de chocolate. Problema 8. Si se dibuja una circunferencia y un rectángulo en la misma hoja, cuál es la mayor cantidad de puntos que pueden estar tanto en la circunferencia como en el rectángulo? Haz un dibujo. Solución 8. Notamos que cada uno de los lados del rectángulo puede tocar en 0, ó 2 puntos a la circunferencia. Luego, no podemos obtener más de 8 puntos comunes. Un ejemplo donde se alcanzan 8 es el siguiente. Problema 9. Hace algunos años Carlos medía 0 centímetros más que Juan. Carlos creció una tercera parte de lo que medía y Juan creció 70 centímetros. Si ahora los dos miden lo mismo, cuánto miden? Solución 9. Si Juan medía x centímetros, Carlos medía x+0. Como Carlos creció una tercera parte, Carlos ahora mide (x + 0)+ x+0 = 4x+20 y Juan ahora mide x+70. Luego, tenemos que 4x+20 = x+70, de donde x = 90 y ahora miden 0 centímetros. Problema 0. El entrenador más experimentado del circo necesita 40 minutos para lavar un elefante. Si hijo lleva a cabo la misma tarea en 2 horas. Cuántos minutos tardarán el entrenador y su hijo en lavar elefantes si trabajan juntos?

4 Solución 0. Cada minuto el entrenador lava 40 del elefante y su hijo 20. Por lo tanto, juntos, cada minuto lavan = 4 20 = 0 de elefante. Por lo que les tomará 0 minutos lavar un elefante y 90 minutos lavar los tres. Problema. Sabemos que en un triángulo cualquiera se tiene que las alturas concurren en el ortocentro, que las medianas concurren en el gravicentro y que las mediatrices concurren en el circuncentro. Haz tres dibujos con mucha presición que muestren estos resultados, procurando que los triángulos sean diferentes en cada caso. Solución. Para las alturas. Tenemos que en el triángulo C los segmentos D, E y CF son las alturas y concurren en el ortocentro H. C D E H F En el caso de las medianas, tenemos que en el triángulo C las medianas son M, N y CP. Estas concurren en el gravicentro o baricentro G. C N M G P Por último, en el siguiente triángulo C las mediatrices son l, m y n. Estas concurren en el circuncentro O. demás, está trazado el circuncírculo. 4

5 C n m O l Problema 2. Qué dígitos hay que eliminar del número para obtener el número de tres cifras más pequeño posible? Solución 2. Como el número que al final se obtiene no puede comenzar en 0, tenemos que hacer que comience en. demás nos conviene dejar el 0 y el 8. Luego, hay que eliminar los dígitos 4, 9, 2, y 5 para obtener el menor número de tres dígitos y este es el 08. Problema. Se puede formar un triángulo de lados 0, y 2? Se puede formar un triángulo de lados 5, 7 y? Solución. Notamos que los números 0, y 2 cumplen las tres desigualdades del triángulo, pues 0 < +2, < 0+2 y 2 < 0+. Entonces, estos tres números sí pueden ser los lados de un triángulo. Como 7 > 5+ los números, 5 y 7 no pueden ser los lados del triángulo. Problema 4. Pablo tiene que darle 0 pesos a Mario y para ello tiene suficientes monedas de, 2 y 5 pesos. De cuántas maneras distintas puede hacerlo? Solución 4. Notamos que sólo tenemos que elegir las cantidades de monedas de 5 y 2 pesos (y que con estas no nos pasemos de 0), pues lo que falte se completará con monedas de peso. Veamos varios casos. Si no usamos monedas de 5. Podemos usar 0,, 2,, 4 ó 5 monedas de 2 pesos, por lo que tenemos maneras en este caso. 5

6 Si usamos una moneda de 5. En este caso podemos usar 0, ó 2 monedas de 2 pesos, por lo que tenemos maneras en este caso. Si usamos dos monedas de 5 pesos. En este caso ya completamos los 0 pesos, por lo que sólo es manera. Por lo tanto tenemos ++ = 0 maneras diferentes. Problema 5. Se tiene un contenedor con forma de cubo de 0cm de lado. Si se le vertieran 4.4 litros de agua, a qué altura llegaría el agua? Solución 5. Sea x la altura buscada. La base del cubo mide 900cm 2, por lo que el volumen ocupado es 90x. Por otro lado, como cada litro son 000cm los 4.4 litros equivalen a 4400cm por lo que 900x = 4400, de donde x = cm. Problema. En el cuadrado CD de perímetro 40 se ha elegido un punto E sobre la diagonal D de modo que DE = 4E. Cuál es el área del triángulo E? D C E Solución. Trazamos la altura de ese triángulo. Notamos que cada lado del cuadrado mide 0. D C E F Como E = 5 D tenemos que EF = 5 (0) = 2. Luego, el área buscada es igual a = 0. Problema 7. Cuántos rectángulos hay en esta cancha de tenis?

7 Solución 7. Para cada uno de los vértices marcados anotamos en cuántos rectángulos aparece como esquina superior izquierda Luego, tenemos = rectángulos. Problema 8. Mariana va a la cantina a diario, Erika va cada dos días, Héctor va cada tres días, Carlos y Elena cada cuatro días, Gustavo cada cinco días, lejandro cada seis días y Marco cada siete días. Si hoy todos se encontraban en la cantina, dentro de cuántos días volveran a verse todos ahí? Solución 8. Simplemente hay que calcular el mínimo común múltiplo de, 2,, 4, 5, y 7. Este es 420, por lo que se volverán a entcontrar en la cantina dentro de 420 días. Problema 9. Cuántos días lunes tiene a lo más un año? Solución 9. Notamos que = Luego, en los primeros 4 días 7

8 del año hay exactamente 52 lunes. Sobran a lo más dos días, pero sólo uno de ellos puede ser lunes, por lo que hay a lo más 5 lunes en un año. Problema 20.Dos equipos de futbol juegan 7 juegosentre ellos. En cada juego, el ganador se lleva puntos y el perdedor 0. Si el partido resulta empatado, se da punto a cada uno. Si la suma de sus puntos es 9, Cuántos partidos empataron? Solución 20. Notamos que por cada partido empatado se reparten 2 puntos y por los demás se reparten. Luego, si E es el número de juegos empatados y 7 E es el número de juegos no empatados tenemos que 2E +(7 E) = 9, de donde E = 2. Problema 2. Si en cierto año enero tenía exactamente 4 martes y 4 sábados, en qué día de la semana cayó el primero de enero? Solución 2. Enero siempre tiene días y = Luego, en los primeros 28 días hay exactamente 4 sábados y 4 martes, por lo que en los últimos tres no puede haber más sábados ni martes. Como estos tres últimos días son consecutivos tienen que ser exactamente miércoles, jueves y viernes. Por lo que el día 29 fue miércoles y el día también. Problema 22. En una clase de baile, 2 partes de los alumnos son hombres. Un hombre dijo: si llegaran 4 hombres y 9 mujeres, la mitad de mis compañeros serían hombres y la mitad mujeres. Cuántas mujeres hay en la clase? Solución 22. Sean H y M los números de hombres y mujeres en la clase, respectivamente. La primera condición nos dice que H = 2M. Si llegaran 4 hombres y 9 mujeres habría 2M +4 hombres (pero uno de ellos es el que habló) y M +9 mujeres. Luego, tenemos que 2M + = M +9, de donde M =. Problema 2. Según un antiguo cuento ruso, Iván el perezoso se encontraba un día paseando a la orilla de un río. - Todo el mundo me dice que me busque un trabajo o que me vaya al infierno suspiró. No creo que ninguna de las dos cosas ayude a hacerme rico. Tan pronto como acabó de decirlo se le apareció el diablo en persona. - Quieres ganar dinero, Iván? -le preguntó. Iván asintió. - Muy bien continuó el diablo ves este puente? Todo lo que has de hacer es cruzarlo. Cada vez que vayas de una parte a otra, se duplicará el valor de lo que lleves en el bolsillo. Iván le gustó la propuesta, y ya se dirigía hacia el puente, cuando el diablo lo detuvo. -Un momento -le dijo-. Ya que me he mostrado tan generoso contigo, creo que me merezco una pequeña recompensa por mis esfuerzos. Deberás darme 8 rublos (moneda rusa) cada vez que hayas cruzado el puente. 8

9 Iván se apresuró a aceptar. Cruzó el puente y metió su mano al bolsillo. Su dinero se había duplicado por arte de magia. Le lanzó 8 rublos al diablo, que esperaba al otro lado del río y volvió a cruzar el puente. Otra vez se volvió a duplicar su dinero. Le pagó otros 8 rublos al diablo, y cruzó por tercera vez el puente. Y el dinero volvió a duplicarse. Pero, al contarlo, descurió que sólo le quedaban8rublos,quehubodeentregaraldiablo,conloquesequedósindinero para multiplicar cada vez que cruzara el puente. El diablo recogió el dinero, y desapareció en medio de una sonora carcajada. Cuánto dinero tenía Iván en el bolsillo cuando hizo su particular pacto con el diablo? Solución 2. Iván cruzó el puente veces. l final se quedó sin dinero, y como pagó 8 rublos tenía 4 antes de cruzar por tercera vez. Como tenía 4 rublos y le había pagado 8 al diablo, tenía 2 justo después de cruzar por segunda vez y antes de cruzar. Finalmente, como le pagó 8 rublos después de cruzar por primera vez, tenía 4 justo después de cruzar por primera vez y antes de hacerlo tenía 7 rublos. En este problema también podemos notar que si hubiera tenido 8 rublos no hubiera pasado nada, pero si tiene 9 o más hubiera ganado más y más cada vez que cruzaba y pagaba. 9