1 Tema 1: Estadística descriptiva

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1 PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS Estadística Curso Primero Licenciatura en Químicas FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Departamento de Matemáticas Universidad de Castilla-La Mancha 1 Tema 1: Estadística descriptiva 1. Demostrar las siguientes afirmaciones: (a) La varianza de una m.a.s. de tamaño muestral N, se puede expresar como el segundo término de la siguiente identidad, 1 N k n i (x i x) 2 = 1 N k n i x 2 i (x) 2, donde N = (b) La fórmula de la mediana de una m.a.s. se puede expresar, ( ) 0.50 Fi 1 m e = l i 1 + α i, donde F i 1 es la frecuencia relativa acumulada del intervalo anterior al intervalo central y f i es la frecuencia relativa del intervalo central. 2. Los resultados obtenidos al lanzar un dado 200 veces vienen reflejadas en la tabla Número Repeticiones x y 35 (a) Determina las frecuencias x e y que faltan sabiendo que la puntuación media es 3.6. (b) Calcula la media, la moda y la desviación típica. (c) Obtener la tabla de datos. 3. El peso medio de 5 chicas es de 52.6 Kg y el peso medio de 7 chicos es 62.8 Kg. Halla el peso medio del grupo total. 4. Un médico dentista examina 150 niños que habitualmente consumieron caramelos y anota el número de piezas careadas. Los resultados fueron Número de piezas Número de niños Realiza una estadística descriptiva completa con estos datos. 5. Dada la siguiente muestra de datos de tamaño muestral N = 26, f i k (1, 2, 2, 9, 4, 3, 8, 7, 3, 4, 4, 2, 3, 4, 6, 4, 7, 6, 5, 5, 7, 7, 5, 9, 3, 1) (a) Obtener la media, la moda y la mediana. (b) Obtener los cuartiles Q 1, Q 2 y Q 3. Has necesitado calcular los tres cuartiles?, razona la respuesta. 6. Tenemos una variable X de la que sabemos que su coeficiente de variación es 0.5 y que su desviación típica es 3. Cuál es el valor de la media de X?. n i 1

2 7. Sea una variable con media 8 y desviación típica 0. Qué se puede decir sobre el comportamiento de esta variable?. 8. Los datos observados en un estudio sobre el tamaño de los huevos de cuco (Biometrika(1902)), son los siguientes: Anchura Número de huevos Obtener el histograma correspondiente y analizar descriptivamente. 9. La distribución de edades del Censo Electoral de Residentes a 1 de enero de 1999 para las comunidades autónomas de Aragón y Canarias, en tantos por cien es la siguiente: Edades Aragón Canarias [16, 18) [18, 30) [30, 50) [50, 70) [70, 90) (a) Representa sobre los mismos ejes de coordenadas los histogramas de la distribución de edad para las CC.AA. (sugiero emplear distinto trazo o distintos colores). Qué conclusiones obtienes a la vista de los histogramas?. (b) Obtener la edad mediana para las dos comunidades y compáralas. Qué indican estos resultados?. (c) Qué comunidad tiene mayor variabilidad en la distribución de la edad?. 10. Una empresa de fabricación de productos cerámicos dispone de tres centros de producción. En el centro A, el más grande y moderno, se hace un estudio de los m 2 de azulejos producidos al mes durante el año pasado, obteniéndose una media de producción mensual de X A = m 2, con una desviación típica σ A = m 2. Se sabe que el centro B, por tener maquinaria más anticuada que A, produce cada mes un tercio de la producción de A, y que el centro C, por tener un horno menos que B, produce cada mes m 2 menos que B. Cuál es la media y la varianza de la producción mensual de C? 11. Sean X e Y dos variables tales que X = 5; σx 2 = 2; Y = 7; σ2 Y = 8. Sabiendo que ambas variables guardan la relación y i = ax i + b y que a > 0, determinar los valores de las constantes a y b. 2

3 PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS Estadística Curso Primero Licenciatura en Químicas FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Departamento de Matemáticas Universidad de Castilla-La Mancha 2 Tema 2: Probabilidad 2.1 Definición y leyes básicas de la probabilidad 1. Dada una {B n } n 1 sucesión de sucesos disjuntos dos a dos, demostrar que ( ) P B n /A = P (B n /A) donde A es un suceso tal que P (A) > 0. n=1 2. Sean A y B dos sucesos tales que P (A) y P (B) > 0. Comprobar la igualdad P (A/B) + P (A c /B) = Sean A y B dos sucesos tales que P (A) = 1/2, P (A B) = 3/4 y P (B c ) = 5/8. Calcular las siguientes probabilidades: n=1 P (A B), P (A c B c ), P (A c B c ) y P (A c B). 4. Consideremos el espacio muestral Ω = {1, 2, 3, 4} y la probabilidad dada por P (w j ) = 1/4 para w j Ω. Comprobar que los sucesos A = {1, 2}, B = {1, 3} y C = {1, 4} son independientes dos a dos, pero que A, B y C no son sucesos independientes entre sí. 5. (a) Cuántos números de tres dígitos se pueden formar usando las cifras {1, 2,..., 9}? Cuántos con sus tres dígitos diferentes? Y cuántos de estos son números pares?. (b) Calcular la probabilidad de obtener un número par de tres dígitos diferentes usando las cifras {1, 2,..., 9}. 6. (a) Cuál es la probabilidad de que en una reunión de 50 personas al menos dos de ellas tengan la misma fecha de nacimiento?. (b) Obtener una cota inferior de dicha probabilidad. Usar la desigualdad 1 x e x, para x Disponemos de dos urnas U 1 y U 2. La primera urna contiene b 1 bolas blancas y n 1 bolas negras; U 2 contiene b 2 bolas blancas y n 2 bolas negras. Escogemos al azar una urna y posteriormente extraemos una bola de ella. (a) Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea negra?. (b) Si hemos sacado una bola blanca, cuál es la probabilidad de que hayamos seleccionado la urna U 1?. 8. Hay 6 cajas que contienen cada una 12 tornillos buenos y malos; una tiene 8 buenos y 4 defectuosos; dos cajas tienen 6 buenos y 6 defectuosos y tres 4 buenos y 8 defectuosos. Se elige una caja al azar y se extraen 3 tornillos, sin reemplazamiento de dicha caja; de éstos 2 son buenos y 1 defectuoso. Cuál es la probabilidad de que la caja elegida contenga 6 buenos y 6 malos?. 9. Cuál es la probabilidad de que al lanzar n veces una moneda obtengamos n caras? Cuál la probabilidad de obtener n caras o menos? Y la probabilidad de al menos una cara? 10. Una urna contiene x bolas blancas e y negras. Una persona saca k bolas, cuál es la probabilidad de que z sean blancas y k-z sean negras?. 11. Una lotería que vende n 2 números da n premios. Si compras n boletos, obtener la probabilidad de que ganes un premio al menos. 3

4 12. Se sabe que 5 de cada 100 hombres y 25 de cada mujeres son daltónicos. Si se elige un daltónico al azar, cuál es la probabilidad de que sea varón?. 13. El 70 % de los diputados son del partido A y el resto son del partido B. El 60 % de los primeros y el 10 % de los segundos tienen más de 50 años. Si se elige un diputado al azar y tiene más de 50 años, cuál es la probabilidad de que pertenezca al partido B?. 14. En el interior de un círculo se selecciona un punto al azar. Cuál es la probabilidad de que dicho punto se encuentre más cerca del centro que de la circunferencia?. Ahora consideremos el problema de inscribir un círculo en un cuadrado cuál es la probabilidad de que el punto esté fuera del círculo?. 15. Cuando la concentración de sangre de una determinada sustancia en un individuo sobrepasa un cierto valor se dice que el individuo pertenece a un determinado grupo de riesgo. Supongamos que el 5 % de los habitantes de una población pertenece al grupo de riesgo. Determinar la probabilidad de que de tres individuos elegidos al azar, uno esté en el grupo de riesgo. 16. En una universidad el 4 % de los chicos y el 1 % de las chicas tienen una altura superior a 180 cm. El 60 % de los alumnos son chicas. Se toma un alumno al azar y se comprueba que mide más de 180 cm. Hallar la probabilidad de que tal alumno sea chico. 17. Dos máquinas A y B han producido respectivamente 100 y 200 piezas. Se sabe que A produce un 5 % de piezas defectuosas y B un 6 %. Se toma una pieza y se pide: (a) Probabilidad de que sea defectuosa (b) Sabiendo que es defectuosa, probabilidad de que proceda de la primera máquina. 18. Se consideran tres urnas. La urna I contiene tres bolas blancas y dos negras. La urna II contiene cuatro blancas y tres negras. La urna III contiene cinco blancas y cuatro negras. Se elige una urna al azar y se extraen dos bolas sin reeplazamiento. (a) Calcular la probabilidad de que las dos bolas sean blancas. (b) Si se extraen tres bolas sin reemplazamiento, cuál es la probabilidad de que las tres bolas sean negras?. 19. En un sistema de alarma, la probabilidad de que se produzca un peligro es 0.1. Si éste se produce, la probabilidad de que la alarma funcione es Y la probabilidad de que funcione la alarma sin haber habido peligro es Hallar: (a) La probabilidad de que habiendo funcionado la alarma, no haya peligro. (b) La probabilidad de que haya un peligro y la alarma no funcione. (c) La probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma, haya un peligro. 20. Dado el espacio muestral Ω = [0, 1], consideraremos como sucesos del espacio muestral anterior a todos los posibles subintervalos de Ω. Por lo tanto estamos interesados en obtener las probabilidades P (B), para todo B Ω, y definimos una aplicación P tal que P (B) = f(x)dx para una función f : [0, 1] R no negativa tal que 1 0 B f(x)dx = 1 (a) Demostrar que P es una probabilidad. (b) Demostrar que P ({r}) = 0, para todo r [0, 1]. (c) Calcular P (Q [0, 1]), donde Q [0, 1] representa el conjunto de los números racionales en [0, 1]. (d) Demostrar que P ((a, b]) = P ([a, b]). 4

5 PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS Estadística Curso Primero Licenciatura en Químicas FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Departamento de Matemáticas Universidad de Castilla-La Mancha 2.2 Variables aleatorias y distribuciones 1. En el experimento que consiste en lanzar tres monedas y anotar el número de caras obtenidas, calcula: (a) La función de masa o de cuantía y su representación. (b) La función de distribución correspondiente. (c) La media y la varianza de la distribución. (d) Si X es la variable que expresa el número de caras obtenidas, halla P (1 < X < 3). 2. Sea X una variable aleatoria cuya función de probabilidad viene dada por: P (X = r) = 1, tal que, r = 2, 3,..., 9. 8 Se pide obtener: (a) La representación gráfica de la función de masa o de cuantía. (b) La función de distribución y su gráfica. (c) P (X < 3) y P (4 < X < 7). 3. Una compañía de bebidas anuncia premios en los tapones asegurando que en cada 1000 tapones hay 500 con inténtelo otra vez, 300 con premio de 5 euros, 150 con premio de 10 euros, 40 con premio de 50 euros y 10 con premios de 100 euros. Un individuo al que no le gusta esa bebida decide comprar una botella cuyo coste es de 10 euros. Caracterizar su ganancia mediante una variable aleatoria y calcular su esperanza. Calcular su probabilidad de perder dinero. 4. En una calle hay un semáforo que está en verde para los coches durante un minuto y en rojo durante 15 segundos. Suponiendo que un automovilista llega al semáforo con igualdad probabilidad en cualquier instante, calcula el tiempo medio de espera. 5. La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X viene dada por: x i p i (a) Representa la función de cuantía correspondiente y calcula la función de distribución. (b) Calcular P (X > 5) y P (X < 3). (c) Calcular la esperanza y la varianza de la variable aleatoria X. 6. Calcular la esperanza y la varianza del número de puntos obtenidos en la tirada de un dado ordinario. 7. Dada la función de distribución de una variable aleatoria continua X, definida de la forma: 0 si x < 0 F (x) = sin x si 0 x π 2 1 si x > π 2 Calcular la función de densidad, su desviación típica y la probabilidad de que X esté comprendido entre π y π. Si X representa el contenido de aluminio en una muestra de un determinado producto industrial, halla la probabilidad de que tomando una unidad de producto su contenido en aluminio sea mayor que 0.4 u. (1) 5

6 8. La variable ξ tiene como función de densidad: f(x) = { x si [a, b] 0 si / [a, b] (2) Determina el valor de a y b si sabemos que P (a < ξ < 2a) = Si ξ representa el nivel de calcio en los dientes en una población, qué nivel de calcio es el más esperado?. Halla la desviación típica. 9. Una variable aleatoria X tiene como función de densidad: f(x) = { x k si 0 < x < 50 0 en el resto (3) Determinar: (a) el valor de k para que f sea función de densidad; (b) la función de distribución; (c) P (0.5 < X < 1.5); (d) la deviación típica; (e) la esperanza matemática; (f) si representa el número de personas que asiste diariamente a una sala de reuniones, cuántas sillas han de estar disponibles en la sala para poder atender a estas personas con una probabilidad no menor a 0.90?. 10. El tiempo de vida (en minutos) de un determinado virus es una variable aleatoria con función de densidad: { 1 f(x) = 1000 e x/1000 si x > 0 (4) 0 en el resto (a) Hallar la probabilidad de que el tiempo de vida sea superior a 100 minutos e inferior a 1000 minutos. (b) Observemos el virus a los 500 minutos y comprobamos que ha muerto. Cuál es la probabilidad de que estuviese vivo a los 100 minutos?. 11. La función de densidad de una variable aleatoria es: f(x) = { 4 3 (1 x3 ) si 0 x 1 0 en los demás casos (5) (a) Comprobar que es función de densidad. (b) Calcular P (X 1/2); P (1/4 x 3/4). 12. La duración en minutos de una llamada telefónica de larga distancia se asimila a una variable X cuya función de distribución es: F (x) = { e 2x/3 1 3 e x/3 para x > 0 0 para x 0 (6) Se pide: (a) Comprobar que F es una función de distribución. (b) Calcular la función de densidad correspondiente. (c) La esperanza matemtica. (d) La probabilidad de que la duración de una llamada esté comprendidad entre 3 y 6 minutos. (e) Una llamada lleva 3 minutos. Probabilidad de que no pase de 6 minutos. 13. Hállese la probabilidad de obtener exactamente tres caras en cinco tiradas de una moneda. 14. Suponiendo que cada niño tiene la probabilidad 0.51 de ser varón, hállese la probabilidad de que una familia de seis hijos tenga: (a) por lo menos un niño. (b) por lo menos una niña. 6

7 15. De una estación parte un tren cada 20 minutos. Un viajero llega de improviso. Hallar: (a) Función de distribución de la variable aleatoria tiempo de espera. (b) Probabilidad de que espere al tren menos de 7 minutos. (c) Esperanza y varianza de la variable aleatoria tiempo de espera. (d) Probabilidad de que espere exactamente 12 minutos. 16. La probabilidad de que un individuo tenga una reacción alérgica al inyectarle un suero es Halla la probabilidad de que, entre 2000 individuos, tengan reacción alérgica exactamente tres, (b) más de dos. 17. El coeficiente de inteligencia es una variable aleatoria que se distribuye según una normal N(100; 16). Calcula: (a) La probabilidad de que un individuo elegido al azar tenga un coeficiente superior a 120. (b) Suponiendo que un individuo con carrera universitaria debe tener un coeficiente superior a 110, halla la probabilidad de que un licenciado tenga un coeficiente superior a La presión de sangre arterial en reposo en escolares de edades comprendidas entre 10 y 13 años, es una variable normal de media 120 mm de Hg y desviación típica 15 mm. Determina el porcentaje de escolares (a) con presión inferior a 104 mm. (b) con presión superior a 110 mm. (c) con presión entre 100 y 120 mm. Determina la presión por debajo de la cual se encuentra el 80 % de la clase. 19. Un botánico ha observado que la anchura, X, de las hojas del álamo sigue una distribución normal con µ=6 cm., y que el 90 % de las hojas tienen una anchura inferior a 7.5 cm. (a) Halla σ. (b) Halla la probabilidad de que una hoja mida más de 8 cm. 20. En un examen se plantean 10 cuestiones a las que responderse verdadero o falso. Un alumno aprobará el examen si, al menos, 7 respuestas son acertadas. Qué probabilidad de aprobar el examen tiene un estudiante que responde todo al azar? Y uno que sabe el 30 % de la asignatura?. 7

8 PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS Estadística Curso Primero Licenciatura en Químicas FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Departamento de Matemáticas Universidad de Castilla-La Mancha 3 Tema 3: Inferencia estadística. Intervalos de confianza. Contraste de hipótesis 1. Obtener el intervalo de confianza 1 α para el parámetro σ 2 conociendo µ en una población normal. Nota: Considérese el estadístico H 2 = 1 n n j=1 (X j µ) 2 2. Se supone que el número de erratas por página en un libro sigue una distribución de Poisson. Elegidas al azar 95 páginas, se obtuvieron los siguientes resultados: Número de erratas Número de páginas Halla el intervalo de confianza al 90% para el número medio de erratas por página en todo el libro. 3. Se mide el tiempo de duración (en segundos) de un proceso químico realizado 20 veces en condiciones similares, obteniéndose los siguientes resultados 93; 90; 97; 90; 93; 91; 96; 94; 91; 91; 88; 93; 95; 91; 89; 92; 87; 88; 90; 86 Suponiendo que la duración sigue una distribución Normal, halla los intervalos de confianza al 90% para ambos parámetros. 4. En una población, la altura de los individuos varones sigue una distribución N(µ; ν = 7.5). Halla el tamaño de la muestra para estimar µ con un error inferior a ±2 cm con un nivel de confianza La vida activa (en días) de cierto fármaco sigue una distribución N(1200; 40). Se desea enviar un lote de medicamentos de modo que la vida media del lote no sea inferior a 1180 días, con probabilidad Halla el tamaño del lote. 6. Se intenta estudiar la influencia de la hipertensión en los padres sobre la presión sanguínea de los hijos. Para ello se seleccionan dos grupos de niños, unos con padres de presión sanguínea normal (grupo1) y otros con uno de sus padres hipertenso (grupo 2), obteniéndose las siguientes presiones sistólicas: Grupo Grupo Halla el intervalo de confianza para la diferencia de medias, suponiendo que las varianzas en las poblaciones de niños son iguales. 7. Se quiere estudiar la proporción p de declaraciones de la renta que presentan algún defecto. En una muestra preliminar pequeña (muestra piloto) de tamaño 50 se han observado 22 declaraciones defectuosas. Cuál es el tamaño muestral necesario para estimar p cometiendo un error máximo de 0.01 con una probabilidad de 0.99?. 8

9 8. En un estudio sobre el tiempo de desarrollo de una especie de insectos en dos poblaciones, A 1 y A 2, aisladas se obtuvieron los siguientes datos: n 1 = 13 x 1 = 4 s 1 = 3 n 2 = 11 x 2 = 5 s 2 = 2.2 Suponiendo que el tiempo de desarrollo en la población A i sigue una distribución N(µ i ; ν i ), para i = 1, 2, se pide: (a) Hallar un intervalo de confianza para el cociente de varianzas al nivel (b) Obtener un intervalo de confianza para µ 1 µ 2, con nivel de confianza 0.95 (suponemos igualdad de varianzas). (c) Cuántos individuos habría que observar para estimar µ 1 con un error máximo de ±0.2 y un nivel de confianza de 0.95?. 9. Los valores observados para la tensión de ruptura de una muestra de 12 elementos de una determinada fibra sintética es: 9.9; 6; 5.2; 7.3; 11.8; 10.3; 8.2; 7.5; 6.6; 12.6; 16.8; 12.3 (a) Determina el intervalo de confianza para la tensión media de ruptura. (b) Calcula el intervalo de confianza para la varianza poblacional de la variable tensión. (c) De acuerdo con los datos, es aceptable la afirmación según la cual dicha fibra soporta por término medio una tensión de ruptura igual a 12?. 10. Se recibe un envío de latas de conserva de las que se afirma que le peso medio son 1000 gramos. Examinada una muestra de 5 latas se obtiene un peso medio de 995 gr. con una cuasivarianza s 2 = Al nivel confianza 95% (a) obtener el intervalo de confianza del peso medio de la muestra. (b) Se puede aceptar que el peso medio son 1000 gr.?. 11. La concentración media de dióxido de carbono en el aire en una cierta zona no es habitualmente mayor que 355 p.p.m.v. (parte por millón de volumen). Se sospecha que esta concentración es mayor en la capa de aire más próxima a la superficie. Para contrastar esta hipótesis se analiza el aire en 20 puntos elegidos aleatoriamente a una misma altura cerca del suelo. Resultó una media muestral de 580 p.p.m.v. y una cuasi-desviación típica muestral de 180. Suponiendo normalidad para las mediciones, proporcionan estos datos suficiente evidencia estadística, al nivel de significación 0.01, a favor de la hipótesis de que la concentración es mayor cerca del suelo?. 12. Un dentista afirma que el 40% de los niños de 10 años presentan indicios de caries dental. Tomada una muestra de 100 niños, se observó que 36 presentaban indicios de caries. Contrastar la hipótesis del dentista para un nivel de confianza del 90%. 13. La duración media de una muestra de 10 bombillas es x = 1250 horas, con una cuasi-desviación típica muestral de s X = 115. Se cambia el material del filamento por otro nuevo y de una muestra de 12 bombillas se obtuvo una duración media de y = 1340 horas, con una cuasi-desviación típica muestral de s Y = 106. (a) Realiza un boceto de las distribuciones muestrales resultantes y compáralas. (b) Puede aceptarse que las varianzas, antes y después del cambio de filamento, son iguales? bajo qué hipótesis?. 14. El 67% de las empresas azulejeras tienen una plantilla de más de 25 empleados, mientras que de una muestra de 56 empresas en general (cualquier actividad) resultó que 42 eran las que tenían más de 25 empleados. Con esta información cabe suponer que la proporción de empresas azulejeras es distinta a la de las empresas en general si trabajamos con un nivel de significación del 5%?. 9

10 PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS Estadística Curso Primero Licenciatura en Químicas FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Departamento de Matemáticas Universidad de Castilla-La Mancha 4 Tema 4: Regresión y correlación 1. Consideremos la siguiente reparametrización del modelo de regresión simple: Y i = a + b(x i x) Obtener los estimadores de mínimos cuadrados de los parámetros a y b. 2. Los datos sobre la longitud de las plantas en centímetros al cabo de un año de vida son: 15.3; 17.8; 20.7; 25.1; 16.4; 21.6; 19.6; 18.8; 20.2; 19.4 y los datos de las mismas plantas cuando son adultas son: 30.5; 32.6; 38.3; 45.7; 33.6; 42.2; 37.5; 38.1; 41.6; 40.4 Interesados en estudiar la posible relación lineal entre las características: X = longitud al cabo del primer año de vida ; e Y = longitud máxima que alcanzan. (a) Representa la nube de puntos. (b) Estudiar la variabilidad de las características. (c) Obtener la recta de regresión lineal óptima ŷ = â + b x. (d) Obtener los intervalos de confianza para a un nivel de confianza del 0.95 del término independiente y de la pendiente. (e) Contrastar si la variable regresora ejerce una influencia positiva sobre la varible respuesta a un nivel de significación del Un profesor de Estadística tiene la sospecha de que los salarios que perciben los licenciados en Matemáticas dependen linealmente de sus conocimientos de estadística. Esto es Y i = a + b x i + ɛ i, donde ɛ i es el término de error del modelo de regresión. Y i representa el sueldo por hora en miles de las antiguas pesetas del individuo i, x i su nivel de estadística medido en un test. Para comprobar su teoría, el profesor a obtenido los siguintes resultados de una muestra de 100 licenciados en Matemáticas: n x i = 1000 n y i = 1180 n x i y i = n x 2 i = n yi 2 = (a) Obtener los estimadores insesgados de los parámetros a y b. (b) Obtener los intervalos de confianza del 95% para los parámetros anteriores. (c) Con un nivel de significación del 0.05, contrastar la hipótesis H 0 : b = Ajusta a una parábola los siguientes datos: Calcula la varianza residual V R. x y = 5. Dados los datos de la siguiente tabla, se pide obtener un ajuste de estos datos a la expresión y αe βx+γx2 x y