Optimización Con Restricciones de Igualdad

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1 Optimización Con Restricciones de Igualdad Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM 11 de noviembre de 2009 Índice 151Introducción 1 152El método de los Multiplicadores de Lagrange 1 153Ejemplo Ejemplo Ejemplo Nota importante Introducción En esta lectura veremos el problema de optimizar una función de valor real sujeta a un conjunto de restricciones El método que veremos se debe a Joseph Louis Lagrange ( ) y la prueba de que define condiciones necesarias para los puntos óptimos aparece en el libro de A Khuri (1993): Advanced Calculus with Applications in Statistics (John Wiley and Sons, New York) y la prueba de las condiciones de suficiencia aparecen en el libro R P Gillespie (1954): Partial Differentiation (Oliver and Boyd, Edinburgh) Veremos un par de ejemplos para clarificar los criterios de máximos y mínimos relativos 152 El método de los Multiplicadores de Lagrange Suponga que se desea optimizar la función real valuada f(x 1,x 2,,x n ) donde las variables x 1,x 2,,x n están sujetas a las restricciones de igualdad (m < n): g 1 (x 1,x 2,,x n ) = 0 g 2 (x 1,x 2,,x n ) = 0 g m (x 1,x 2,,x n ) = 0 donde las funciones f,g 1,g 2,,g m son diferenciables f debe tener segundas derivadas continuas, mientras que las g i deben tener primeras derivadas continuas El primer paso consiste en determinar los puntos críticos o estacionarios del problema restringido, para ello se forma la función: F(x,λ) = f(x)+ m λ j g j (x) j=1

2 Los puntos estacionarios se determinan resolviendo F = 0: F = x 1 x n λ 1 λ m = f x 1 + m j=1 λ j g j x 1 x n + m j=1 λ j g j x n g 1 g m = 0 Es decir, los puntos máximos o mínimos se encuentran dentro del conjunto de puntos críticos que se obtienen de resolver el sistema formado por las ecuaciones: = f m g j + λ j = 0 para i = 1,2,,n x i x i x i j=1 y junto con las m ecuaciones dadas por las restricciones: g 1 (x 1,x 2,,x n ) = 0 g 2 (x 1,x 2,,x n ) = 0 g m (x 1,x 2,,x n ) = 0 Este sistema se resuelve para las variables x 1,x 2,,x n y λ 1,λ 2,, λ m Así pues el sistema consta de n+m ecuaciones en n + m incógnitas: El resultado sobre la necesidad dice: Un máximo o mínimo al problema debe satisfacer el sistema de ecuaciones antes planteado Habiendo ubicado los puntos estacionarios viene el problema de determinar si son máximos o mínimos locales Para cada punto estacionario x o y para los valores λ 1,λ 2,,λ m correspondientes Se construye la matriz: B 1 = H F = F 11 F 12 F 1n g (1) 1 g (1) 2 g m (1) F 21 F 22 F 2n g (2) 1 g (2) 2 g m (2) g (1) 1 g (2) 1 g (n) g (1) 2 g (2) 2 g (n) g m (1) g m (2) g m (n) Sea ahora para i = 2,3,,n m, B i la matriz obtenida de B 1 eliminando las primeras i 1 filas y las primeras i 1 columnas, y sea i el determinante de B i x o es un mínimo local si: siendo m par cuando 1 > 0, 2 > 0,, n m > 0 siendo m impar, cuando x o es un máximo local si: siendo n par cuando siendo n impar, cuando 1 < 0, 2 < 0,, n m < 0 1 > 0, 2 < 0,,( 1) n m n m < 0 1 < 0, 2 > 0,,( 1) n m n m > 0 2

3 153 Ejemplo 1 Encuentre los valores óptimos de la función sujeto a f(x,y) = x 2 +12xy +2y 2 4x 2 +y 2 = 25 Solución El número de restricciones es 1, es decir m = 1, y el número de variables de la función objetivo es 2, es decir n = 2 Debemos escribir cada restricción igualada a 0: Aquí El sistema de ecuaciones es: g 1 (x,y) = 4x 2 +y 2 25 F = x 2 +12xy +2y 2 +λ(4x 2 +y 2 25) F x = 0 = 2x+12y +8λx F y = 0 = 12y +4y +λy g 1 = 0 = 4x 2 +y 2 25 De la primera ecuación despejas y (Observe que no conviene que despeje x o λ pues implica indicar una división con una expresión que dependerá de una variable y se tendría que considerar por separado el caso cuando es cero): y = 1/6x 2/3λx Si sustituimos esto en las ecuaciones 2 y 3 del sistema nos queda: F y = 0 = 34/3x 3λx 4/3λ 2 x = 0 g = 0 = 145/36x 2 +2/9λx 2 +4/9λ 2 x 2 25 = 0 Si tomamos la nueva ecuación 1 y la factorizamos queda: Esto nos origina tres posibles casos: 1/3x(4λ+17) (λ 2) = 0 x = 0, λ = 17/4, y λ = 2 Si sustituimos el caso x = 0 en la segunda nueva ecuación nos queda: 25 = 0 Es decir, este caso de la primera ecuación es incompatible con la segunda El caso λ = 2 sustituido en la segunda ecuación da: 25/4x 2 25 = 0 La cual da las soluciones: sustituyendo λ = 2 y estos casos de x dan en y: x = 2y x = 2 y = 3 y y = 3 3

4 Resumiendo tenemos los puntos: P x = 2,y = 3,λ = 2 Q x = 2,y = 3,λ = 2 El caso λ = 17/4 sustituido en la segunda ecuación da: La cual da las soluciones: sustituyendo λ = 2 y estos casos de x dan en y: Resumiendo tenemos los puntos: 100/9x 2 25 = 0 x = 3/2 y x = 3/2 y = 4 y y = 4 R x = 3/2,y = 4,λ = 17/4 S x = 3/2,y = 4,λ = 17/4 En nuestro problema n = 2 (número de variables en f) y m = 1 (número de restricciones), y por tanto debemos calcular i desde i = 1 hasta i = n m = 1 Es decir, que en este ejemplo basta calcular 1 para cada punto La matriz B 1 queda: 2+8λ 12 8x B 1 = λ 2y 8x 2y 0 Para el punto P(x = 2,y = 3,λ = 2), B 1 queda: B 1 (P) = = Como m = 1 es impar, P es mínimo local Para el punto Q(x = 2,y = 3,λ = 2), B 1 queda: B 1 (Q) = = Como m = 1 es impar, Q es mínimo local Para el punto R(x = 3/2,y = 4,λ = 17/4), B 1 queda: B 1 (R) = 12 9/2 8 1 = Como n = 2 es par, R es máximo local Para el punto S(x = 3/2,y = 4,λ = 17/4), B 1 queda: B 1 (S) = 12 9/2 8 1 =

5 Figura 1: Gráfica de f(x,y) restringida a g = 0 del ejemplo 1 Figura 2: Inicio del problema 1 Como n = 2 es par, S es máximo local La gráfica en la figura 1 ilustra los puntos críticos de ejemplo 1 sobre la misma superficie de la función: se puede observar que tales puntos corresponden a los puntos más altos y más bajos de la superficie restringidos a la elipse Repitamos los cálculos utilizando ahora la calculadora TI En la figura 2 se ilustra el borrado de las variables utilizadas (x, y, nos faltó incluir a la variable t, que funcionará como λ 1,como t no tenía asignado valor no tuvimos problema); en la variable f está la función a optimizar; en g está la restricción; y en la variable fb la función F = f +λg En la figura 3 se obtiene el cálculo de F x (variables fbx), F y (variable fby) y el planteamiento del sistema para determinar los puntos críticos En la figura 4 se obtienen las soluciones al sistema y su conversión a una forma más conveniente En la matriz representada por p: los valores de x están en la primer columna, los de y en la segunda, y en la tercera los de t (λ) También aparece el cálculo de la matriz hessiana de F (variable h) Nuevamente, utilizaremos la variable i para ahorrarnos la escritura de comandos en el cálculo de 1 en cada punto crítico representado en cada renglón de p Figura 3: Sistema para obtener los puntos críticos del ejemplo 1 5

6 Figura 4: Puntos críticos y B 1 del ejemplo 1 Figura 5: Cálculo de 1 en los puntos críticos del ejemplo 1 En la figura 5 se obtienen los determinantes 1 para cada uno de los puntos críticos encontrados Recuerde que al ser m = 1 (impar): x es mínimo local si 1 < 0 y siendo n = 2 (par): x es máximo local si 1 > 0 Por tanto, el primero y el segundo renglón de p representan mínimos locales, mientras que el cuarto y el quinto representan máximos locales Los cálculos coinciden los realizados anteriormente 154 Ejemplo 2 Hagamos un ejemplo con más restricciones utilizando la calculadora Encuentre los máximos y los mínimos de la función sujeta a las condiciones f(x,y,z) = x 2 y +3z 6y +3x g 1 (x,y,z) = y x 2 1 = 0 y g 2 (x,y,z) = x y +z 1 = 0 En la figura 6 se preparan los cálculos: se limpian las variables usadas en las expresiones (t1 hará el papel de λ 1 y t 2 hará el papel de λ 2 ); se captura la función f, las restricciones g 1 y g 2 ; y el cálculo de las parciales En la figura 7 se obtiene la hessiana de F (guardada en h) y la obtención de los puntos críticos y convenientemente codificados en la matriz p Obervamos que sólo determina tres puntos críticos P(x = 1,y = Figura 6: Preparación del ejemplo 2 6

7 Figura 7: Hessiana y puntos críticos del ejemplo 2 Figura 8: 1 en los puntos críticos del ejemplo 2 2,z = 2,λ 1 = 2,λ 2 = 3) (renglón 1 de p), Q(x = 0,y = 1,z = 2,λ 1 = 3,λ 2 = 3) (renglón 2 de p), y R(x = 1,y = 2,z = 4,λ 1 = 2,λ 2 = 3) (renglón 3 de p) Se utilizó Maple para validar este resultado y hubo concordancia Como n = 3 y m = 2, sólo debemos determinar hasta n m = 1 en los puntos críticos Recordemos que al ser m par, x es un mínimo local si 1 > 0 Mientras que al ser n impar, x es un máximo local si 1 < 0 En la figura 8 se obtiene el determinante 1 en cada uno de los puntos críticos Por tanto, P y R son mínimos locales y Q es máximo local 155 Ejemplo 3 Determine los valores máximos y mínimos relativos de f(x,y,z) = 3+4x x 2 y 2 24z sujeta a g(x,y,z) = 6+x y 3z = 0 En la figura 9 se preparan los cálculos: se limpian las variables usadas en las expresiones (t hará el papel de λ); se captura la función f, la restricción g; y el cálculo de las parciales Figura 9: Preparación del ejemplo 3 7

8 Figura 10: H f y segunda submatriz primera de H f para el ejemplo 3 Figura 11: Obtención del único punto crítico y 1 y 2 en el ejemplo 3 En la figura 10 se obtiene la hessiana de F, también llamada B 1, y se guarda en h Como en este ejemplo se debe calcular hasta n m = 2 determinamos la segunda submatriz principal primera de h, también llamada B 2, y la guardamos en la variable h1 Enlafigura11seobtieneelúnicopuntocríticodeF elcualcorrespondeap(x = 2,y = 4,z = 4,t = 8) Al ser sólo uno el punto crítico es más conveniente hacer la sustituión directa de las variables en B 1 y en B 2 Note que la sustitución no es necesaria pues ni B 1 ni B 2 tienen variables Así que la sustitución las dejará igual Los determinantes que se obtienen son 1 = 36 y 2 = 18 Al ser n impar el criterio indica que el punto P es un máximo local 156 Nota importante Los ejemplos anteriores fueron adecuadamente fabricados de forma tal que los sistemas de ecuaciones para la obtención de los puntos críticos resultaran relativamente fáciles de resolver En general, tales sistemas de ecuaciones resultan imposibles de resolver en forma exacta Y en tales casos se utiliza un método numérico 8