PROGRAMACIÓN LINEAL ( )

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1 PROGRAMACIÓN LINEAL (887) Formulación de Modelos Problemas propuestos Diciembre Para cada caso, formule el modelo de programación lineal correspondiente.. En una pequeña empresa se fabrican dos productos plásticos, y. Cada producto debe pasar por una máquina de cepillado A y otra de pulido B antes de salir a la venta. El producto se vende a Bs. 6 por unidad y el, a Bs. 5 por unidad. El tiempo requerido por cada unidad de los productos y se muestra en la siguiente tabla: Tiempo requerido por unidad de producto Producto En máquina A En máquina B min. min. min. min. Tiempo total disponible 8 min. 6 min. Se desea determinar el número de unidades que se debe fabricar de cada producto de manera de maximizar la ganancia (bruta) por ventas.. Una compañía elabora tres productos, y. Cada producto requiere un cierto tiempo de producción en cada uno de los tres departamentos A, B y C de la compañía, como se muestra en la siguiente tabla: Tiempo en cada departamento (horas/unidad) Producto A B C Tiempo total disponible (hr) 6 Las ganancias netas por venta de los productos son: Producto Bs. /unidad Bs. /unidad Bs..5/unidad Construya un modelo matemático que permita determinar la cantidad de unidades que debe fabricarse de cada producto para que la ganancia sea la máxima.. Una compañía fabricante de gabinetes de cocina elabora dos tipos: económico (E) y de lujo (L), en sus tres departamentos de producción A, B y C. En A se elaboran las armaduras de madera del tipo E; en B se elaboran las armaduras del tipo L y en C se ensamblan y se pintan los dos tipos. El tiempo de producción por cada unidad en cada departamento, así como la ganancia neta por venta de los gabinetes, se muestra en la siguiente tabla: Tiempos de producción por departamento Tiempo en cada dpto. Ganancia por unidad (horas/unidad) (Unidad x ) Producto A B C E 6 6 L Tiempo disk. (hr) 8 6 Prof. José Luis Quintero

2 La compañía desea determinar el número de unidades del modelo E y el número de unidades del modelo L que debe fabricar a fin de maximizar las ganancias.. Un agricultor tiene algunas hectáreas de tierra donde puede sembrar maíz, trigo y soya. Cada hectárea de maíz cuesta Bs. 5 en preparación, requiere 7 días-hombre de trabajo y produce una ganancia de Bs. 5. Una hectárea de trigo cuesta Bs. 6 en preparación, requiere días-hombre de trabajo y produce una ganancia de Bs.. Una hectárea de soya cuesta Bs. 5 en preparación, requiere 8 días-hombre de trabajo y produce una ganancia de Bs.. Si el agricultor dispone de Bs. 5 para preparación y puede contar con 8 días-hombre de trabajo, cuántas hectáreas debe sembrar de cada cultivo para maximizar las ganancias? 5. Una compañía de productos químicos recibe una orden de Kg de un determinado producto que se obtiene de la mezcla de tres ingredientes básicos. Los costos de estos ingredientes son: Ingrediente Costo (Bs/kg) Se exige que el producto elaborado cumpla con los siguientes requisitos: a. Debe contener al menos 98 Kg del material b. No puede contener más de 5 Kg del material c. Debe contener por lo menos 5 Kg del material Determine la mezcla que cumple con los requisitos, a un costo mínimo. 6. Con el objeto de mejorar la calidad de un tipo de combustible se emplean dos aditivos, y. Se requiere que cumpla: a. La cantidad total de aditivos no debe exceder ½ Kg/barril b. La cantidad de aditivo más dos veces la cantidad de aditivo debe ser por lo menos ½ Kg/barril c. Kg de aditivo añade octanos/kg al combustible y Kg de aditivo añade octanos/kg. Para asegurar un buen funcionamiento de los motores donde se usa el combustible, el número de octanos no puede ser menor de 6 d. El aditivo cuesta Bs. 5/Kg y el aditivo cuesta Bs. /Kg Se quieren determinar las cantidades de aditivos (llámese x) y (llámese x) a fin de minimizar el costo total. 7. Un pequeño taller manufactura tipos de productos de madera, y. Cada producto requiere horas de torno y horas de pulitura. Cada producto requiere dos horas de torno y 5 horas de pulitura. El taller disponde de dos tornos y pulidoras en la semana de horas. La ganancia que se obtiene por la venta de cada producto es de Bs. 5 y de Bs. por la venta de cada producto. Cuántos artículos de cada tipo debe fabricar el taller a fin de maximizar sus ganancias? (Suponiendo que todo lo que fabrica lo puede vender) Prof. José Luis Quintero

3 8. Supongamos dos tipos de alimentos sintéticos A y B. Sean sus componentes nutritivos los siguientes: Componentes nutritivos de cada alimento Alimento Calorías por Proteínas por Grasas por unidad de peso unidad de peso unidad de peso A 5 B Las unidades en que se miden las proteínas y las grasas son arbitrarias y no es necesario siquiera especificarlas. Del mismo modo, el número de unidades de cada componente es totalmente artificial. Vamos a suponer que las necesidades diarias mínimas de un hombre activo son 5 calorías; 5 de proteínas; 5 de grasas. Qué alimento o combinación de alimentos debería emplearse: ) para cubrir las necesidades mínimas diarias de nutrición; ) con el mínimo de peso total ingerido? 9. Un pequeño inversionista quiere comprar acciones de dos compañías ( y ). Cada acción de la compañía le suministrará al final del año una ganancia estimada de Bs. y cada acción de la compañía le suministrará una ganancia estimada de Bs. 5. La compañía no vende más de 8 acciones. Además, cada acción de la compañía cuesta Bs. y cada acción de la cuesta Bs.. El inversionista dispone de un máximo de Bs. 6 para la compra de acciones. Designe por x y x el número de acciones que se deben comprar de las compañías y respectivamente. Se quiere construir un modelo matemático que permita determinar los valores de x y x para que el inversionista maximice sus ganancias.. Una compañía de productos electrónicos produce dos modelos de radio, cada uno en una línea de producción de volumen diferente. La capacidad diaria de la primera línea es de 6 unidades y la de la segunda es de 75 radios. Cada unidad del primer modelo utiliza piezas de cierto componente electrónico, en tanto que cada unidad del segundo modelo requiere ocho piezas del mismo componente. La disponibilidad diaria máxima del componente especial es de 8 piezas. La ganancia por unidad de los modelos y es $ y $, respectivamente. Determine la producción diaria óptima de cada modelo de radio.. Un hacendado cría cerdos para su venta a distribuidores de productos de ganado porcino. El hacendado desea determinar la cantidad de alimento que debe ser suministrado a cada cerdo, a fin de cumplir con ciertos requisitos de nutrición y a la vez con un costo mínimo. La tabla que se muestra a continuación, da los ingredientes nutritivos básicos (por cada kilogramo de alimento tipo, tipo y tipo ), el número requerido y el costo por Kg. de alimento. Ingredientes nutritivos básicos por cada Kg de alimento Ingredientes nutritivos Tipo Tipo Tipo Mínimo Requerido Carbohidrato Proteínas Vitaminas Costo (Bs/Kg) Una compañía manufacturera fabrica dos productos y. Como se indica en la tabla anexa, cada producto requiere un tiempo de manufacturación en los tres departamentos. Posteriormente en la tabla que sigue se indica el hecho de que cada departamento tiene Prof. José Luis Quintero

4 actualmente una cantidad fija de horas-hombre disponibles por semana. El problema consiste en decidir qué cantidad de cada producto debe manufacturarse con el objeto de hacer el mejor empleo de los medios limitados de producción con el propósito de maximizar la ganancia. La ganancia por cada unidad de producto es Bs. y de producto es de Bs..5. (Suponiendo que todo lo que produce lo puede vender) Requerimientos de tiempo de manufacturación para producir una unidad de producto por departamento. Producto Dpto A Dpto B Dpto C Límites de la capacidad de producción Horas-hombre Departamento Disponible por Semana A B C 6 8. Una planta armadora de radios produce dos modelos, HiFi- y HiFi-, en la misma línea de ensamble. La línea de ensamble consta de tres estaciones. Los tiempos de ensamble en las estaciones de trabajo son: Tiempos de ensamble en las estaciones de trabajo Minutos por unidad de Estación de HiFi- HiFi- Trabajo Cada estación de trabajo tiene una disponibilidad máxima de 8 minutos por día. Sin embargo, las estaciones de trabajo requieren mantenimiento diario, que contribuyen al %, % y % de los 8 minutos totales de que se dispone diariamente para las estaciones, y, respectivamente. La compañía desea determinar las unidades diarias que se ensamblarán de HiFi- y HiFi- a fin de minimizar la suma de tiempos no usados (inactivos) en las tres estaciones.. Para proveer de nitrógeno (N), fósforo (P) y cal (L) suficientes a las hectáreas de su granja, J. Pérez compra x sacos de A e y sacos de B por Ha, siendo A y B dos clases de fertilizantes comerciales. Los datos necesarios se dan en la tabla siguiente: Información al problema de la granja de J. Pérez N P L Primer Año Precio/Saco Segundo Año Precio/Saco A B $ 5 $ $ 6 $ Mín nec. por Ha Hallar, para cada año, los valores de x e y que proporcionen el mínimo necesario de fertilizante con el mínimo costo por Ha. Prof. José Luis Quintero

5 5. En una institución ha sido acordado realizar un estudio relacionado con el problema del rendimiento estudiantil, para lo cual serán designados miembros del personal de dos departamentos que proporcionarán sociólogos e investigadores respectivamente. En la siguiente tabla se indican la distribución del tiempo y costos por semana: Distribución de tiempo y costo Número de Horas de trabajo semanal horas exigidas Sociólogos Investigadores cada semana Trabajo de campo 7 Trabajo de investigación 6 7 Costo por semana 5 Cuántos sociólogos y cuántos investigadores deben destinarse para realizar el estudio de modo que el costo sea mínimo y de manera que se cumplan los requisitos y tiempo de trabajo semanal? 6. La WYNDOR GLASS CO. produce artículos de vidrio de alta calidad, incluyendo ventanas y puertas de vidrio. Tiene tres plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta, los marcos de madera se fabrican en la planta y en la se produce el vidrio y se ensamblan los productos. Debido a que las ganancias se han reducido, la gerencia general ha decidido reorganizar la línea de producción. Se descontinuarán varios productos no rentables y se dejará libre una parte de la capacidad de producción para emprender la fabricación de uno o dos productos nuevos que han tenido demanda. Uno de los productos propuestos (producto ) es una puerta de vidrio de 8ft con marco de aluminio. El otro (producto ) es una ventana grande (x6ft) para vidrio doble con marco de madera. El departamento de mercadotecnia ha sacado por conclusión que la compañía puede vender todo lo que pueda producir de cualquiera de los productos. Sin embargo, como ambos productos compiten por la misma capacidad de producción en la planta, no es obvio que la mezcla de los dos productos sería la más redituable. Por todo esto, la gerencia pidió al departamento de investigación de operaciones que estudiara el asunto. Después de hacer algunas investigaciones, el departamento mencionado determinó: ) el porcentaje de la capacidad de producción en cada planta que estará disponible para estos productos, ) el porcentaje de esta capacidad que requiere cada unidad producida por minuto y ) la ganancia unitaria por cada producto. Esta información se resume en la siguiente tabla: Capacidad usada por unidad de tasa de producción Planta Producto Capacidad disponible 8 Ganancia unitaria $ $5 De inmediato el departamento de operaciones reconoció éste como un problema de programación lineal clásico de mezcla de productos y emprendió la tarea de formular y resolver el problema. Prof. José Luis Quintero 5

6 7. Una industria de productos químicos decide abordar el problema de la contaminación y a la vez incrementar las utilidades que obtiene en la venta de un producto A. Con estos objetivos la industria introduce un sistema S de producción, diferente al S que actualmente utiliza y mediante el cual se pierden gramos de un compuesto B y 5 gramos de otro compuesto C por cada kilogramo que obtiene de A. Mediante el sistema S se pierden y gramos de B y C respectivamente por cada kilogramo del producto A. Mediante los sistemas S y S la industria obtiene utilidades de Bs..5 y Bs..6 por cada Kilogramo de A. Por otra parte, la industria no puede, debido a normas legales de contaminación, permitir emanaciones mayores que Kg y Kg de los compuestos B y C respectivamente. Cuántos kilogramos del producto A deben producirse en cada sistema para optimizar la utilidad, cumpliendo con las normas que regulan la contaminación? Cuál es la utilidad máxima? 8. Reddy Mikks Company posee una pequeña fábrica de pinturas que produce colorantes para interiores y exteriores de casas para su distribución al mayoreo. Se utilizan dos materiales básicos, A y B, para producir las pinturas. La disponibilidad máxima de A es de 6 toneladas diarias; la de B es de 8 toneladas por día. Los requisitos diarios de materias primas por tonelada de pintura para interiores y exteriores se resumen en la tabla que sigue: Requisitos diarios de materias primas por tonelada de pintura para interiores y exteriores Toneladas de materia prima por tonelada de pintura Disponibilidad Exterior Interior Máxima (toneladas) Materia prima A 6 Materia prima B 8 Un estudio del mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que la de pintura para exteriores en más de una tonelada. El estudio señala que la demanda máxima de pintura para interiores está limitada a dos toneladas diarias. El precio al mayoreo por tonelada es $ para la pintura de exteriores y $ para la pintura de interiores. Cuánta pintura para exteriores e interiores debe producir la compañía todos los días para maximizar el ingreso bruto? 9. Una compañía desea fabricar una nueva aleación compuesta de % de plomo, % de zinc y 5% de latón. La materia prima se puede obtener de 5 materiales (,,, y 5) cuyas propiedades y costos por Kg se señalan en la tabla siguiente: Propiedades y costos de cada material por Kg. Material 5 Propiedad % plomo % zinc % latón Costo (Bs/Kg) El objetivo es determinar las proporciones que deben tomarse de los materiales,,, y 5 para formar Kg de la nueva aleación a un costo mínimo. Prof. José Luis Quintero 6

7 . Todo almacén tiene potencialmente más artículos para exhibir y vender de lo que permite el espacio. Por consiguiente el problema que afronta el administrador de un almacén consiste en decidir cuáles articulos debe almacenar y cuánto espacio debe asignar a cada artículo. Este es un problema de distribución de recursos escasos, que conduce por sí mismo, a una formulación de programación lineal. Para simplificar el problema se ha restringido el número de artículos y el espacio disponible, sin embargo con cantidades más reales la formulación y el método de solución permanecen invariables. Se han acumulado los siguientes datos: Número del artículo Demanda Esperada Ganancia/ unidad, centavos Espacio/ unidad, pulg Si todos los artículos fueran almacenados hasta sus niveles esperados de demanda, se requerirían aproximadamente 85 pulgadas cuadradas de área de armario. El administrador sólo dispone de 576 pulgadas cuadradas de espacio para distribuir estos artículos y por consiguiente el problema consiste en repartir el espacio para maximizar la ganancia. El administrador quiere imponer algunas restricciones arbitrarias a causa de las preferencias de los clientes, compromisos previos, etc. El administrador requiere cantidades mínimas para la exhibición de cuatro artículos. Cantidades mínimas para determinados artículos Número del Cantidad mínima artículo 6 7 Prof. José Luis Quintero 7

8 . Un chef de restaurant ha constatado que su clientela prefiere los platos mixtos de mariscos y que puede ofrecer indistintamente: Platos mixtos de Bs. 8 que constan de: 5 calamares, camarones y ostra Platos mixtos de Bs. 6 que constan de: calamares, camarones y ostras El dispone de calamares, camarones y 8 ostras Cómo debe él disponer de estos mariscos para obtener un máximo de ganancia?. El problema de confrontar las necesidades de un trabajo a los recursos humanos disponibles, ha sido un programa de investigación continuo. El problema de asignación de personal es primordial en esta investigación y se puede plantear y resolver como un modelo de programación lineal. Como un ejemplo de lo anterior, tomemos un centro de reclutamiento cuando hay poco movimiento de negocio. Sólo tres reclutas están procesándose en el centro del campo P.L.; los cuales llamaremos Manuel, Fernando y Juan. Los tres han tomado una serie de pruebas ó tests para determinar su aptitud como radio-operadores, programador de computadoras y oficinista. Su puntuación se muestra en la siguiente tabla: Radio-operador Computadora Oficinista Manuel 5 7 Fernando 6 6 Juan 8 Mientras más alta es la puntuación, mayor es la aptitud del recluta para el trabajo correspondiente. El problema a que se enfrenta el centro es, como deben hacerse las asignaciones de cada hombre a cada trabajo, para maximizar la utilidad de los servicios de los reclutas.. Una viuda dispone de un capital de Bs. y tiene opción de invertir su dinero en dos planes: PLAN A: Garantiza que cada bolívar invertido ganará 7 céntimos cada año PLAN B: Garantiza que cada bolívar invertido ganará Bs. cada dos años Cómo debería colocar su capital para aumentar sus ganancias al cabo de tres años?. Un estudiante debe vivir con recursos económicos limitados y así debe cocinar él mismo para lograr comer hasta fin de mes. Una vez en un inexplicable acto de generosidad, invita a comer a tres compañeros. Decide hacer carne y papas asadas. Como conoce algo sobre requerimientos dietéticos decide que la comida debe tener por lo menos calorías y gr. de proteínas. Su problema consiste en encontrar la combinación de carnes y papas que le permita alcanzar el requerimiento mínimo de calorías y proteínas al costo mínimo. Se sabe que la carne proveerá calorías y 5 gr. de proteínas y que cuesta Bs. por libra. Las papas cuestan sólo Bs..5 por libra y proporcionan calorías y gr. de proteínas por libra. 5. El ejército está interesado en construir almacenes en tres estados. El costo por cada sitio es el siguiente: Estado A: Bs Estado B: Bs Estado C: Bs Las necesidades de inventario requieren la construcción de por lo menos 5 almacenes. Sin embargo, el departamento de Planificación ha especificado que el número de almacenes en A Prof. José Luis Quintero 8

9 sea al menos el doble del número de almacenes en B. Adicionalmente, el número total de empleados no debe exceder a ; cada almacén en A empleará, en B cada uno empleará 75 y cada uno en C empleará. Se desea determinar la cantidad de almacenes en A, B y C a fin de cumplir los requerimientos a un costo mínimo. 6. Suponga que una compañía opera tres plantas envasadoras de un producto de bebidas gaseosas, localizadas en Puerto La Cruz, Maracaibo y Ciudad Bolívar. Las envasadoras pueden llenar 5, 6 y 8 cajas de latas por día, respectivamente. Los distribuidores del producto tienen cinco almacenes localizados en Coro, Mérida, Caracas, Maturin y la Isla de Margarita. Las envasadoras desean determinar el número de cajas que deben ser enviadas desde las tres envasadoras hasta los cinco almacenes, de tal manera que cada almacén obtenga tantas cajas como pueda vender diariamente, a un costo total de transporte mínimo. Los costos unitarios de transporte desde cada envasadora a cada distribuidor sean los siguientes: Distribuidores Envasadoras Suponga además que los requerimientos diarios de los distribuidores,,, y 5 son respectivamente,,,, 5 y. 7. Suponga que una fábrica desea producir una aleación Z, con % del metal A, % del metal B y % del C. Suponga además que hay nueve aleaciones en el mercado cuya composición y precios se conocen y estan señalados en la tabla. Se desea determinar la cantidad que debe comprarse de cada una de las nueve aleaciones, para formar un kilogramo de la aleación al menor costo posible. Aleación % A % B % C Costo Bs/Kg Suponga que en la fábrica F, la gerencia de producción considera conveniente descontinuar un producto que tiene poco margen de ganancia y dedicar esa capacidad de producción para fabricar uno, dos y hasta tres nuevos productos. La capacidad disponible en las máquinas A, B y C así como el número de horas que requiere cada unidad de los productos se muestra en la tabla. El departamento de ventas indica que el potencial de venta para los productos y excede la tasa de producción y que el potencial para el producto es de unidades por semana. Cada unidad de los productos, y produce una ganancia neta de Bs., Bs. y Bs. 5, respectivamente. Se desea determinar cuánto debe producir la fábrica de cada uno de los productos a fin de maximizar la ganancia total. Tipo Tiempo Horas de máquina/unidad de Disponible Producto Máquina (h/sem) A B 5 5 C 5 Prof. José Luis Quintero 9

10 9. Considere el problema de almacenar un determinado tipo de artículo para ser vendido en fechas posteriores. El almacén sólo tiene capacidad para artículos. Los costos de almacenamiento son de Bs. por trimestre por cada unidad. En cada trimestre el precio de compra iguala al precio de venta. Este precio varía de trimestre en trimestre de acuerdo a la tabla; de tal manera que se puede obtener una ganancia comprando cuando el precio este bajo y vendiendo cuando el precio es alto. El objetivo es determinar el programa óptimo de venta, almacenamiento y compra para el período de un año (en trimestres), suponiendo que el inventario inicial es de 5 unidades. Trimestre Precio (Bs/unid) 8 9 El programa debe realizarse a un costo mínimo.. Un inversionista puede invertir en dos negocios A y B al comienzo de los primeros cinco años. Cada bolívar invertido en A al comienzo de un año le produce una ganancia de Bs.. dos años después (a tiempo de reinvertirlos si se desea). Cada bolívar invertido en B al comienzo de un año le produce una ganancia de Bs..5 tres años después. Si se dispone además de dos negocios C y D para invertir en los años y 5. Cada bolívar invertido en C al comienzo del año devuelve Bs..7 al final del año 5. Cada bolívar invertido en D al comienzo del año 5 devuelve Bs.. al final de ese año. El inversionista comienza con Bs. y desea determinar qué plan de inversiones maximiza la cantidad de dinero que puede acumular al comienzo del año 6. Designe por: At La cantidad de bolívares invertidos en el negocio A al comienzo del año t (t=,,,) Bt La cantidad de bolívares invertidos en el negocio B al comienzo del año t (t=,,) C La cantidad de bolívares invertidos en el negocio C al comienzo del año D5 La cantidad de bolívares invertidos en el negocio D al comienzo del año 5 Rt La cantidad de dinero (bolívares) no invertido en el año t (t=,,,). Un mayorista almacena uno de sus productos en una edificación que puede acomodar unidades. El primer día de cada mes, el mayorista puede comprar tanto como desee y va despachando artículos a lo largo del mes. Suponga que la demanda es constante, de tal manera que no es necesario considerar ninguna distribución de probabilidad para esa demanda. Los precios de venta y costos para los tres meses siguientes son: Mes Costo/unidad Venta/unidad 5 Actualmente el mayorista tiene 5 unidades. Designe por: x : número de unidades compradas en el mes j (j =,, ) j y j : número de unidades vendidas en el mes j (j =,, ) Prof. José Luis Quintero

11 Hay varias restricciones que caen dentro de dos categorías: aquellas que se refieren al hecho que el mayorista no puede vender lo que no tiene y aquellos que se refieren a no sobrepasar el límite de almacenamiento. Se desea maximizar la ganancia neta.. En una planta de producción que opera las horas del día, se requiere una cantidad mínima de obreros que depende de la hora del día. Los requerimientos mínimos son los siguientes: Hora del día Núm. de obreros a 6 6 a 8 a a a a Cada trabajador labora 8 horas por día. El objetivo es encontrar el menor número de trabajadores para cumplir con los requerimientos señalados.. A un centro de computación llegan cuatro tipos de programas, los cuales se procesan en dos computadoras. Los tiempos de procesamiento (en minutos por programa) se muestran en la siguiente tabla: Tiempo de procesamiento (min) por programa Computadora El costo total de procesar un programa está basado directamente en el tiempo de máquina. Suponga que el costo por minuto de máquina para las computadoras y son Bs. y Bs.5. la cantidad de minutos disponibles para todos los programas en las computadoras y son 6 y. Observación: Se obligan a pasar los programas por las computadoras. Los precios que el centro de computación cobra por correr cada programa de los tipos,, y son, respectivamente, Bs.7, Bs.8, Bs.55 y Bs.65. Determine cuántos programas deben procesarse de cada tipo, a fin de maximizar las ganancias del centro de computación.. Una corporación produce y mercadea 5 productos. Para obtener el producto final los productos deben pasar por cuatro departamentos. La tabla que se muestra a continuación proporciona el tiempo empleado por cada unidad de producto en cada uno de los departamentos, así como la ganancia obtenida por la venta de los productos. Tiempo empleado (hr/unid) en cada departamento Producto Ganancia (Bs/u) Total horas Disponibles Prof. José Luis Quintero

12 El departamento de mercado ha estimado una demanda máxima de cada producto durante el período en consideración y se han fijado unas metas mínimas de entrega. Estos datos se muestran en la siguiente tabla: Producto Demanda Máxima Cantidad Mínima requerida En la fabricación de los productos se necesitan cinco insumos A, B, C, D y E. La tabla siguiente proporciona la cantidad de insumos (en Kg.) que se necesita para fabricar una unidad de producto y la cantidad total de insumo disponible. Requerimiento de material (Kg/u) Producto A B C D E Disponibilidad 6 7 Se desea determinar cuánto debe fabricarse de cada producto para maximizar las ganancias. 5. Una compañía tiene cinco proyectos en los cuales invertir durante los próximos cinco años. El valor presente del retorno sobre la inversión y el capital (valor presente) requerido por cada proyecto en cada año, se muestra en la siguiente tabla: Capital requerido/año (en miles) Proyecto Retorno Inversión Disponible (miles) Determine la cantidad de dinero que debe asignarse a cada proyecto a fin de maximizar el total del valor presente del retorno sobre la inversión. 6. Una empresa internacional desea distribuir un total de Bs. entre tres revistas (, y ) de tal manera que se expongan sus anuncios al mayor número de lectores y además que se cumplan las siguientes condiciones: a. Alcanzar al menos 5 lectores en la región y al menos 6 en la región. b. Alcanzar a lo sumo de lectores entre años y 5 años. c. Alcanzar al menos 5 lectores con educación universitaria (población tipo A) La tabla siguiente ha sido recopilada por una firma especializada. Prof. José Luis Quintero

13 Costo por anuncio (Bs) Máximo de anuncios disponibles Min. anuncios que acepta la revista Num. lectores/anuncio en región Num. lectores/anuncio en región Num. lectores entre -5/anuncio Num. lectores A por anuncio Num. total de lectores por anuncio Revistas Una compañía desea invertir Bs. en publicidad. Se desea llegar a la mayor cantidad de clientes potenciales utilizando a lo sumo la cantidad señalada. Las opciones consideran colocación de anuncios en periódicos, radio y televisión. Se tiene que: Prensa () Radio () TV () Costo por anuncio Núm. de personas alcanzadas/anuncio Núm. de personas en el rango /anuncio Núm. de hombres mayores de 5 años/anuncio Máximo número de anuncios disponibles Mínimo número de anúncios Núm. total de personas/anuncio 8 6 Los objetivos de la compañía son: a. Llegar a no menos de personas en el área. b. Por lo menos el 5% de esas personas debe estar en el rango establecido. c. Llegar a no menos de hombres mayores de 5 años. 8. La compañía Telares HM elabora tres tipos de telas de algodón en tres plantas de producción T, T y T. La maquinaria en cada planta de producción produce cada uno de los tres tipos de telas, sin embargo, la velocidad de producción es diferente; es decir, el número de Kg de tela por huso y por tres turnos de horas difiere entre las fábricas. Aun cuando el problema es simplificado, la metodología es la misma empleada, con ligeras modificaciones, en telares de cualquier tamaño. Las dos tablas muestran los datos más relevantes para un determinado período de producción. Las tres telas diferentes están representadas por, 6 y, designando las dimensiones del producto terminado. Puesto que cada una de los diferentes tamaños de telas pueden ser manufacturadas en cada una de los tres telares, es conveniente definir las variables de tal manera que refleje este hecho; es decir: Producida en Tipo de tela Telar Telar Telar X X X 6 X X5 X6 X7 X8 X9 Prof. José Luis Quintero

14 TELAR TELAR TELAR A B C D C D C D E 5 5 A: Tipo de tela B: Mínimo requerido (Kg) C: Kg. por hiladas en horas D: Costo por Kg E: Hiladas disponibles Se desea determinar la cantidad de tipo de tela que debe producirse en cada una de las plantas para minimizar el costo total de producción. 9. Una corporación tiene una planta de producción donde se elaboran productos P y Q en las máquinas K y L durante los meses, y. La corporación tiene un almacén propio (W) pero también necesita alquilar (A) espacio de almacenamiento. Se estima que la demanda de productos para los meses, y son las siguientes: Meses Producto P 55 Q Las capacidades de producción de las máquinas no varían de un período a otro. Estas capacidades (unidad/día) y los días disponibles de cada máquina en cada período se muestran en las siguientes tablas: Capacidades (unid/día) Producto K L P 5 Q 5 Días disponibles por mes K L 8 7 Para cada producto y cada tipo de almacenaje (propio o alquilado), hay tres combinaciones posibles de manufactura-retiro de producto de los almacenes. Así, por ejemplo, para el producto P y el almacén propio, se pueden considerar las opciones siguientes: Opción -: Producir en el período y retirarlo en el Opción -: Producir en el período y retirarlo en el Opción -: Producir en el período y retirarlo en el El objetivo es determinar cuántos días de producción deben dedicarse a P y a Q en cada uno de los períodos y las unidades involucradas en cada una de las combinaciones de manufactura-retiro de productos de los almacenes, de tal manera que los costos totales sean los mínimos. Los costos de operación de las máquinas (Bs/día) en cada uno de los períodos y para cada producto son los siguientes: Prof. José Luis Quintero

15 Costos Operación (Bs/día) Período K P Q L P Q Los costos involucrados en el almacenamiento de los productos P y Q, por tipo de almacenaje y por combinación manufactura-retiro, son los siguientes (Bs/unidad) Almacén propio (W), Producto P Produce en, retira en Costo: 8, 8, 7 Almacén Propio (W), Producto Q Produce en, retira en Costo: 9, 9, 8 Almacén Alquilado (A), Producto P Produce en, retira en Costo:,, Almacén Alquilado (A), Producto Q Produce en, retira en Costo:, 5,. Considere una corporación que tiene dos plantas de producción, y. En las plantas se producen los productos P y Q, procesándose en las máquinas K y L de la planta y en las máquinas M, N, O de la planta. Debido a la distancia entre las plantas, debe tomarse en consideración los costos de transporte de productos entre las plantas y. Se admite que el intercambio de productos entre las plantas es en los dos sentidos, es decir, se pueden enviar productos de a y viceversa. Las demandas de los productos P y Q en las plantas y, respectivamente, son las siguientes: Demanda (unidades) P Q 5 8 Las capacidades de producción de las máquinas (unidades/día) y el tiempo disponible (días) de cada máquina en cada planta, se muestran en la siguiente tabla: K L M N O P Q Disponible 8 (días) Los costos de transportar una unidad de producto entre las plantas son las siguientes: Prof. José Luis Quintero 5

16 Producto P De planta a planta : De planta a planta : Producto Q De planta a planta : De planta a planta : Los costos de operación de las máquinas en las plantas y son los siguientes: Costos (Bs/día) Producto K L M N O P 5 9 Q El objetivo es determinar cuántos días de producción deben dedicarse a los productos P y Q en cada una de las plantas y cuántas unidades deben intercambiarse, para cumplir con la demanda a un costo total mínimo. (Considere mes de período de producción). El Departamento de Nutrición del Hospital General de San Luis prepara menús de cena, uno para cada día del mes. Una comida consiste en espagueti, pavo, papas en escalope, espinacas y pastel de manzana. Como director del Departamento de Nutrición, usted ha determinado que esta comida debe proporcionar 6 miligramos (mg) de proteínas, mg de hierro, 5 mg de niacina, mg de tiamina y 5 mg de vitamina C. Cada gramos de esta comida proporciona la cantidad de cada nutriente y grasas indicadas en la tabla. Nutriente (mg/ g) Proteínas Hierro Niacina Tiamina Vitamina C Grasa Espagueti Pavo Papas Espinacas Pastel de manzana Para evitar demasiada cantidad de un tipo de comida, no debe incluirse en ella más de gramos de espagueti, gramos de pavo, gramos de papas, gramos de espinacas y gramos de pastel de manzana. Como director del departamento de nutrición, usted desea determinar la composición de una comida que satisface los requerimientos nutricionales y proporciona la mínima cantidad de grasas.. BlubberMaid fabrica tres productos de caucho: Airtex (material esponjoso), Extendex (material elástico) y Resistex (material rígido). Los tres productos requieren los mismos tres polímeros químicos y una base. La cantidad total de cada ingrediente usada por libra del producto final se muestra en la tabla: Ingrediente (oz/lb de producto) Producto Polímero A Polímero B Polímero C Base Airtex 6 Extendex 9 Resistex 6 5 BlubberMaid tiene el compromiso de producir al menos libras de Airtex, 5 libras de Extendex y libras de Resistex para la próxima semana, pero la gerencia de la compañía sabe que puede vender más de cada uno de los tres productos. Los inventarios actuales de los ingredientes son 5 libras del polímero A, 5 libras del polímero B, 65 libras del polímero C Prof. José Luis Quintero 6

17 y libras de la base. Cada libra de Airtex produce a la compañía una ganancia de $7, cada libra de Extendex una ganancia de $7 y cada libra de Resistex una ganancia de $6. Como gerente del deparatmaneto de producción, usted necesita determinar un plan de producción óptimo para esta semana.. Steel Company produce tres tamaños de tubos: A, B y C, que son vendidos, respectivamente en $, $ y $9 por pie. Para fabricar cada pie del tubo A se requieren.5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de máquina de modelado. Cada pie del tubo B requiere.5 minutos y cada pie del tubo C requiere.6 minutos. Después de la producción, cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere onza de material de soldar. El costo total se estima es $, $ y $ por pie de los tubos A, B y C, respectivamente. Para la siguiente semana, MTV Steel ha recibido pedidos excepcionalmente grandes que totalizan pies del tubo A, pies del tubo B y 5 pies del tubo C. Como sólo se dispone de horas de tiempo de máquina esta semana y sólo se tienen en inventario 55 onzas de material de soldar, el departamento de producción no podrá satisfacer esta demanda, que requiere un total de 97 horas de tiempo de máquina y onzas de material de soldar. No se espera que continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de producción, la gerencia de MTV Steel está considerando la compra de algunos de estos tubos a proveedores de Japón a un costo de entrega de $6 por pie del tubo A, $6 por pie del tubo B y $7 por pie del tubo C. Estos diversos datos se resumen en la tabla. Como gerente del departamento de producción, se le ha pedido hacer recomendaciones respecto a la cantidad de producción de cada tipo de tubo y la cantidad de compra a Japón para satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la compañía. PRECIO TIEMPO DE MATERIAL COSTO DE COSTO DE TIPO DE VENTA DEMANDA MÁQUINA PARA SOLDAR PRODUCCIÓN COMPRA ($/FT) (FT) (MIN/FT) (OZ/FT) ($/FT) ($/FT) A.5 6 B.5 6 C Cantidad disponible hr 55 oz. Al gerente de cartera de Pension Planners se le ha pedido invertir $ de un gran fondo de pensiones. El departamento de investigación de Inversiones ha identificado seis fondos mutuos con estrategias de inversión variables, resultando en diferentes rendimientos potenciales y riesgos asociados, como se resume en la tabla: Fondo 5 6 Precio ($/acción) Devolución esperada (%) 5 7 Categoría de riesgo Alto Alto Alto Mediano Mediano Bajo Una forma de controlar el riesgo es limitar la cantidad de dinero invertido en los diversos fondos. Para ese fin, la administración de Pension Planners ha especificado las siguientes pautas: a. La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre 5 y 75% de la cartera. b. La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre y % de la cartera. Prof. José Luis Quintero 7

18 c. La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser al menos de 5% de la cartera. Una segunda forma de controlar el riesgo es diversificar, esto es, esparcir el riesgo invirtiendo en muchas alternativas diferentes. La gerencia de Pension Planners ha especificado que la cantidad invertida en los fondos de alto riesgo, y deben estar en la tasa :: respectivamente. La cantidad invertida en los fondos de mediano riesgo y 5 debe ser :. Con estas pautas, qué cartera debería usted, gerente de cartera, recomendar para maximizar la tasa esperada de retorno? 5. Birdeyes Real es propietaria de 8 acres de terreno no urbanizado a orillas de un lago panorámico en el corazón de las Montañas Ozark. En el pasado, se aplicaban muy pocas regulaciones, o ninguna, a las nuevas urbanizaciones alrededor del lago. En la actualidad, las playas del lago están salpicadas de casas para vacacionistas. Debido a la carencia de servicios de aguas negras, se utilizan extensamente las fosas sépticas, que se instalan en forma por demás inapropiada. A lo largo de los años, las filtraciones de las fosas sépticas han dado por resultado un grave problema de contaminación del agua. Para frenar una mayor degradación en la calidad del agua, los funcionarios del condado aprobaron reglamentos muy estrictos, aplicables a todas las futuras urbanizaciones. a. Sólo se pueden construir viviendas familiares individuales, dobles y triples y las viviendas de una sola familia deben sumar por lo menos 5% del total. b. Para limitar el número de fosas sépticas, se requieren lotes de una superficie mínima de, y acres para las viviendas familiares individuales, dobles y triples, respectivamente. c. Se deben establecer áreas recreativas de un acre cada una, en una proporción de un área por cada familias. d. Para preservar la ecología del lago, las aguas freáticas no pueden bombearse para uso doméstico o de jardinería. El presidente de Birdeyes Real está estudiando la posibilidad de urbanizar los 8 acres de la compañía. La nueva urbanización incluirá viviendas familiares individuales, dobles y triples. Se calcula que 5% de la superficie se consumirá en abrir calles y en instalaciones para servicios públicos. Birdeyes calcula las utilidades de las diferentes unidades habitacionales como Unidad habitacional Individual Doble Triple Utilidad neta por unidad ($) 5 El costo de conectar el servicio de agua al área es proporcional al número de unidades construidas. Sin embargo, el condado estipula que se debe cobrar un mínimo de dólares para que el proyecto sea económicamente factible. Además, la expansión del sistema de agua, más allá de su capacidad actual, está limitada a galones al día durante los períodos pico. Los siguientes datos resumen el costo de la conexión del servicio de agua, así como el consumo de agua, suponiendo una familia promedio: Unidad habitacional Individual Doble Triple Área recreativa Costo del servicio de agua por unidad ($) 8 Consumo de agua por unidad (galones/día) Cierta compañía tiene tres plantas cada una con cierta capacidad de producción. Las tres pueden fabricar un determinado producto. El producto puede hacerse en tres tamaños: grande, mediano y pequeño, que darán una ganancia neta de Bs., Bs. 6 y Bs., Prof. José Luis Quintero 8

19 respectivamente. Las plantas tienen capacidad de mano de obra y equipo para producir 75, 9 y 5 unidades diarias, sin importar el tamaño o la combinación de tamaños de que se trate. La cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone también una limitación en las tasas de producción del nuevo producto Se cuenta con, y 5 metros cuadrados de espacio en las plantas, y, para los materiales en proceso de la producción diaria de este producto. Cada unidad grande, mediana y pequeña que se produce requiere, 5 y metros cuadrados, respectivamente. Los pronósticos de mercado indican que se pueden vender 9, y 75 unidades diarias, correspondientes a los tamaños grande, mediano y pequeño. El gerente quiere saber cuántas unidades de cada tamaño debe producir en cada planta para maximizar la ganancia. 7. Una tienda de alimentos naturistas empaca tres tipos de alimentos: Chewy, Crunchy y Nutty; los cuales resultan de la mezcla de los ingredientes: girasol, pasas y maní. Las especificaciones para las mezclas se presentan en la tabla siguiente: Alimento Girasol Pasas Maní Bs/Kg Chewy X Al menos 6% A lo sumo % Crunchy Al menos 6% X X 6 Nutty A lo sumo % X Al menos 6% Las equis en la tabla indican la no limitación de ingredientes en las respectivas mezclas. Los suministros de los ingredientes se realizan de acuerdo a un máximo de Kg de girasol a razón de Bs. por Kg, 8 Kg de pasas a razón de Bs. 5 por Kg y 6 Kg de maní a razón de Bs. 8 por Kg. Se desea determinar el esquema de mezcla que maximice la ganancia de la tienda. 8. Una empresa elabora tres productos P, P y P, los cuales requieren procesarse en dos tipos de máquinas A y B. La empresa posee dos máquinas tipo A (A y A) y tres máquinas del tipo B (B, B y B). El producto P puede elaborarse en cualquiera de las máquinas A y B. El producto P puede elaborarse en cualquiera de las máquinas tipo A, pero debe procesarse en la máquina B. El producto P puede elaborarse solamente en A y en B. El tiempo (en minutos) requerido por cada unidad de producto en cada máquina, el tiempo total disponible, T, en cada semana y los costos de operación por minuto (en bolívares), C, de cada máquina, se muestran en la siguiente tabla: P R O D U C T O T C A A 7 9 B B - 7 B El departamento de mercadeo estima que no se podrán vender más de 8 unidades del producto P. Los costos de la materia prima para elaborar los productos P, P y P, así como los precios de venta son (en bolívares), respectivamente:, 5, 7 y, 5, 5. Suponga que el costo de operación de las máquinas es proporcional al tiempo de operación y que este costo incluye todo a excepción del costo de la materia prima. Se desea determinar cuánto debe producirse de cada producto a fin de maximizar las ganancias. Formule el modelo de programación lineal correspondiente. Prof. José Luis Quintero 9

20 9. La compañía manufacturera CASCADA, produce tres productos, y en cinco plantas de producción. Los tiempos de máquinas en cada una de las plantas y por cada producto, se muestran en la siguiente tabla: Tiempos de producción (min/un) en las plantas Producto Total Disponible (min) Los costos de operación (por minuto) en cada planta son: Producto Las demandas mínimas de los productos, y son las siguientes: Producto Demanda Mínima Determine el programa de producción (cuánto producir y en cuáles plantas) que minimizan los costos. 5. Dada la siguiente situación de demanda del material de unas minas, formule el modelo de programación lineal para cumplir con la demanda al menor costo posible. La demanda semanal de material de alta, media y baja pureza es de, 8 y toneladas, respectivamente. La mina A produce 6, y toneladas diarias de alta, media y baja pureza, respectivamente. La producción de la mina B es de, y toneladas, respectivamente. Los costos diarios de operación son Bs. Para la mina A y 6 Bs. Para la mina B. Cuántos días por semana debe operar cada mina para cumplir con la demanda al menor costo? Prof. José Luis Quintero

21 RESPUESTAS PROBLEMA. max z = 6x + 5x x + x 8 x + x 6 x,x PROBLEMA. max z = 6x + x x 8 x 6x + x 6 x,x PROBLEMA 5. min z =.5x + 5.5x + x x + x + x = x 98 x 5 x 5 x,x,x PROBLEMA 7. max z = 5x + x x + 5x x + x 8 x,x PROBLEMA 9. max z = x + 5x x + x 6 x 8 x,x PROBLEMA. min z = 7x + 6x + 5x 9x + x + x x + 8x + 6x 8 x + x + 6x 5 x,x,x PROBLEMA. max z = x + x +.5x x + x + x 6 x + x + x x + x + x x,x,x PROBLEMA. max z = 5x + x + x 5x + 6x + 5x 5 7x + x + 8x 8 x,x,x PROBLEMA 6. min z = 5x + x x + x / x + x 6 x + x / x,x PROBLEMA 8. min z = x + x x + x 5 5x + x 5 x 5 x,x PROBLEMA. max z = x + x x 6 x 75 x + 8x 8 x,x PROBLEMA. max z = x +.5x x + x 6 x + x x + x 8 x,x Prof. José Luis Quintero

22 PROBLEMA. max z = x + x 6x + x 5x + 5x.8 x + 6x. x,x PROBLEMA 5. min z = 5x + x x + x 7 6x + x 7 x,x PROBLEMA 7. max z =.5x +.6x.x +.x.5x +.x x,x PROBLEMA 9. min z = 8.5x + 6x + 8.9x + 5.7x + 8.8x 5 x + x + x + x + x5 =.x +.x +.5x +.x +.5x5 =..6x +.x +.x +.x +.x5 =..x +.7x +.x +.8x +.x5 =.5 x,x,x,x,x5 PROBLEMA. max z = 8x + 6x 5x + x x + x x + x 8 x,x PROBLEMA. max z = x + x ij A B 7 x + x = A B x + x = x 7 A B A x = x + x 7 A A B x, i =,,, j = A,B PROBLEMA. er año do año min z = 5x + x 6x + 6x 8 x + 9x 85 8x + 5x 5 x,x min z = 6x + x 6x + 6x 8 x + 9x 85 8x + 5x 5 PROBLEMA 6. max z = x + 5x x x x + x 8 x,x PROBLEMA 8. max z = x + x PROBLEMA. x + x 6 x + x 8 -x + x x x,x x,x max z = x + x + x + x + x5 + 6x + 5x + 5x + 6x x + x + 6x + 5x + x + x5 + x6 + x7 + x8 + 5x9 + x x + 7x + 9x + x + x5 + x + x7 + x + x9 + 8x + x x + x + x + 9x5 + 7x6 + x7 + 6x8 + x9 + 5x 576 x 5, x 5, x 5, x, x5 5, x6 5, x7 5, x8, x9, x 5, x 5, x 5, x, x 5, x5, x6, x7 6, x8 5, x9 5, x 5, x, x, x6, x7, xi, i =,..., PROBLEMA. max z = 5x + x + 7x + 6x + 6x + ij x + 8x + x + x x + x + x = x + x + x = x + x + x = x + x + x = x + x + x = x + x + x = x, i =,...,, j =,..., PROBLEMA. min z = x + 5x x + x 5x + x x, x Prof. José Luis Quintero

23 PROBLEMA 5. min z = x + x + x PROBLEMA 7. x + x + x 5 x x x + 75x + x x, x, x min Z = 8x + 86x + 6x + x + 5x5 + 5x6 + 6x7 + 8x8 + 6x9 x + x + x + x + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 =.x +.x +.x +.6x +.x5 +.x6 +.x7 +.5x8 +.x9 =..x +.x +.5x +.x +.x5 +.x6 +.x7 +.x8 +.x9 =..8x +.6x +.x +.x +.x5 +.x6 +.5x7 +.x8 +.5x9 =. xi, i =,...,9 PROBLEMA 9. min Z = x + x + x PROBLEMA. ij x + x + x 8x + x + 8x 9x + x + 9x x + x x = 5 x x + x x = x x x + x x = x x x + x x = x x x, i =,,, j =,, max z = y + y + 5y x x x 5 + x 5 + x y 5 + x + x y 5 + x + x y y 5 + x + x + x y y 5 + x + x + x y y y xi, yi, i =,, PROBLEMA 6. min Z =.8x +.x +.7x + 5.6x +.x +.x + 6.x x +.x +.8x + 6.x + 5.9x +.9x +.8x +.x 5 x + x + x + x + x = 5 5 x + x + x + x + x = 6 5 x + x + x + x + x = 8 5 ij x + x + x = x + x + x = x + x + x = x + x + x = 5 x + x + x = x, i =,,, j =,,,,5 PROBLEMA 8. max Z = x + x + 5x 9x + x + 5x 5 5x + x 5 i x + x 5 x x, i =,, PROBLEMA. max Z =.A +.5B +.7C +.D PROBLEMA. 5 A + B + R = A + B + C + R = R A + B + R = R +.A A + R =.A +.5B + R D =.A +.5B + R 5 A, t =,,, t B, t =,, t C, D, 5 R, t =,,, t min Z = x + x + x + x + x5 + x6 x + x6 x + x 8 x + x x + x 7 x + x5 x5 + x6 xi, i =,...,6 Prof. José Luis Quintero

24 PROBLEMA. max Z = 5x + x + 5x x + x + x + x 6 x + x + x + x x, i =,,, i PROBLEMA 5. max Z = x + 6x + 5x + x + 5x (miles) 5 5x + x + x + 6x + 75x 9 5 8x + 8x + x + x + 9x 9 5 x + x + x + 8x + x 5 5 x + x + x + 5x + x 8 5 x + x + x + 6x + x 5 x, x, x, x, x 5 x, i =,,,,5 i PROBLEMA 7. max Z = x + 8x + 6x (miles) x + x + x (miles) x, x x 7, x 7x + x + 5x.5 (miles) x + x + 75x (miles) 5x +.5x + 5x (miles) x i, i =,, PROBLEMA. max Z = 9x + x + 5x + 6x + 8x 5 x + x + x + x + 5x 7 5 8x + x + x + x + x 6 5 x + x + x + x + x 5 6x + x + x + x + x 9 5 x + x + x + x + x 5 x + x + x + x + x 5 5 x + x + x + x + x5 9 x + x + x + x + x 7 5 x + x + x + x + x 5 x + x + x + x + x 5 x + x + x + x + x 5 x + x + x + x + x 5 x + 7x + 6x + x + x 6 5 x + x + x + x + x 7 5 x + x + 5x + 6x + x 5 x + x + 7x + x + x5 x + x + x + x + x 5 x, i =,,,,5 i PROBLEMA 6. max Z = 6x + 5x + 9x (en miles) 5x + 6x + x (en miles) x, x 5, x, x, x 5x + 9x + x 5 (en miles) 55x + 6x + 9x 6 (en miles) 9x + 7x + x (en miles) x + 8x + x 5 (en miles) x, i =,, i PROBLEMA 8. min Z =.x +.x +.8x +.x +.6x +.5x +.5x +.x +.x x + x + x x + x + x x + x + x x / 6 + x / 8 + x / 7 x / + x / 5 + x / x / + x / 6 + x / x, i =,,,,5,6,7,8,9 i Prof. José Luis Quintero

25 PROBLEMA 9. Cada variable representativa de los días de producción estará compuesta por la letra X seguida de un número que represente el período de producción (,,), de una letra que represente la máquina utilizada (K,L) y de otra letra que represente el producto elaborado (P,Q). Por ejemplo, la variable XKP representa el número de días de producción destinados en el primer período (utilizando la máquina K) a la elaboración del producto P. Hay entonces variables de este tipo por cada período y un total de variables en el modelo. Para las variables representativas de las distintas combinaciones manufactura-retiro de almacenes, se procederá de la siguiente manera: cada variable estará representada por la letra X seguida de la letra W o la letra A (dependiendo de la modalidad de almacenaje), de la letra P o la letra Q (dependiendo del tipo de producto elaborado) y de dos números que representan el período donde es manufacturado el producto y el período donde es retirado dicho producto de los almacenes, respectivamente. Por ejemplo, la variable XWP expresa el número de unidades del producto P, manufacturadas en el período y sacadas del almacén propio en el período. Hay variables de este tipo. min Z = XKP + XKQ + 5XLP + 8XLQ + 8XWP + 8XWP + 9XWQ + 9XWQ + XAP + XAP + XAQ + 5XAQ + 9XKP + 9XKQ + 95XLP + 98XLQ + 7XWP + 8XWQ + XAP + XAQ + 8XKP + 8XKQ + 85XLP + 88XLQ XKP + 5XLP = + XWP + XWP + XA + XA 5XKQ + XLQ = 8 + XWQ + XWQ + XAQ + XAQ XKP + 5XLP = + XWP + XAP-XWP-XAP 5XKQ + XLQ = 9 + XWQ + XAQ-XWQ-XAQ XKP + 5XLP = 55-XWP-XAP-XWP-XAP 5XKQ + XLQ = 5-XWQ-XAQ-XWQ-XAQ XKP + XKQ 6 XLP + XLQ 8 XKP + XKQ 6 XLP + XLQ 7 XKP + XKQ 9 XLP + XLQ todas las variables son no negativas. PROBLEMA. Variables: X: Número de días asignados al producto P en la máquina K X: Q K X: P L X: Q L X5: Número de unidades de P transportadas de a X6: P a X7,X8: Número de unidades de Q transportadas de a y de a respectivamente. X9,...,X: Número de días de producción (en M, N y O) de los productos P y Q. min Z = x + x + 5x + 8x + x5 + x6 + x7 + x8 + 9x9 + 9x + x + 7x + x + x x + 5x-x5 + x6 = 5x + x-x7 + x8 = 5x9 + 5x + 6x + x5 x6 = 5 x + 5x + 58x + x7 x8 = 8 x + x x + x x9 + x x + x 8 x + x xi, i =,..., Prof. José Luis Quintero 5