NUEVAS TENDENCIAS EN SÍNTESIS MUSICAL.

Transcripción

1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID. ESCUELA UNIVERSITARIA DE INGENIERÍA TÉCNICA DE TELECOMUNICACIONES. PROYECTO FIN DE CARRERA. NUEVAS TENDENCIAS EN SÍNTESIS MUSICAL. Octubre, 1997 Daniel Pascual Herranz.

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3 AGRADECIMIENTOS Primeramente agradecer a mi familia su apoyo moral y no tan moral, ya que sin su ayuda no hubiese podido abordar este gran reto. Agradezco también a mi tutor en el proyecto, Danilo Simón Zorita, el interés que se ha tomado y el seguimiento que ha tenido de este; ya que sin su interés y sus consejos, el proyecto no hubiese quedado tan claro y conciso. Agradecer también a mis amigos la paciencia que han tenido conmigo al soportar mis innumerables charlas sobre síntesis musical en esos bares de copas nocturnos. Mi agradecimiento, también, a toda esa gente que por medio de internet facilita todo tipo de información sin ningún ánimo de lucro, favoreciendo con ello que el conocimiento esté al alcance de cualquiera de una manera inmediata. Y por supuesto mi agradecimiento al autor del proyecto ya que ha sido el que más a trabajado para que este saliese a flote. Por último, agradezco a mi gata la compañía que me ha dado, pues ha estado conmigo en la mayor parte de las horas dedicadas a este trabajo.

4 Bienaventurados los que leen, y los que escuchan las palabras de esta profecía, y los que observan las cosas en ella escritas, pues el tiempo está próximo ( Libro del Apocalipsis, ver 3 )

5 ÍNDICE Introducción... 7 Capítulo 1: Algoritmos Genéticos Qué son los Algoritmos Genéticos? Por qué usar un GA y no otro método de optimización? Basados en cálculos Enumerativos Aleatorios Funcionamiento de un Algoritmo Genético Operadores Genéticos Mutación Cruce con un sólo punto Cruce con dos puntos Cruce uniforme Selección o reproducción Inversión Procedimiento de la ruleta para la selección de padres Técnicas Fitness Enventanado Fitness es evaluación Normalización lineal Técnicas Reproductivas Elitismo Reproducción en estado estacionario Estado estacionario sin réplicas Estructura de un Algoritmo Genético Conclusión

6 Capítulo 2: Métodos de síntesis wavetable Introducción Síntesis Wavetable Simple Lectura de la wavetable para obtener la frecuencia deseada Interpolación Redondeo Truncamiento Síntesis por interpolación simple Desarrollo matemático de la técnica de interpolación espectral Proceso de análisis en el caso de interpolación espectral Reducción de datos a partir de una representación lineal en tiempo Análisis de la señal original Etapa de optimización Utilización de un GA para la determinación de espectros base Determinación de las envolventes en amplitud de los espectros base Síntesis múltiple wavetable matching Síntesis de grupo Qué significa disjuntos? Determinación de los espectros base Interpolación espectral múltiple Resultados y comparativa entre los distintos métodos de síntesis vistos Resultados obtenidos por el método wavetable matching Síntesis del corno inglés Síntesis del trombón Resultados obtenidos por el método de síntesis de grupo Síntesis de la trompeta Síntesis de la guitarra Resultados obtenidos con el método de interpolación múltiple Síntesis de la trompeta Comparativa entre síntesis wavetable matching e interpolación múltiple

7 Comparativa entre wavetable matching y síntesis de grupo Capítulo 3: Síntesis por modelado físico de instrumentos Introducción Solución de la ecuación de onda para una cuerda Solución de la ecuación de onda para un tubo cilíndrico Modelado de un instrumento de cuerda Modelo básico de una cuerda vibrante Desplazamiento, velocidad, aceleración y fuerza Modelos de cuerdas más complejos Cuerda con entrada arbitraria y salida tomada del puente Modelo de cuerda con entrada y salida arbitrarias Más aspectos relacionados con el modelado de cuerdas Modelado de la longitud de la cuerda Modelo de la cuerda ( S(z) ) Modelado del cuerpo del instrumento Temas relacionados con la síntesis de un instrumento de cuerda por modelado físico Filtrado inverso Calibración y control del modelo Modelado de un instrumento de viento Modelo de un conjunto de tubos acoplados, con secciones distintas Unión dispersiva para velocidad de volumen Unión dispersiva para ondas de presión Modelado de uniones dispersivas de tres tubos Unión dispersiva de tres tubos para ondas de velocidad de volumen Unión dispersiva de tres tubos para ondas de presión Rama lateral en un tubo uniforme Modelado por guías de onda de tubos cónicos Solución de la ecuación de onda para un tubo cónico Unión de dos tubos cónicos con sección de distinto 5

8 diámetro Unión de dos tubos cónicos con sección de igual diámetro Ejemplo de modelado de un instrumento de viento Modelo de un instrumento de lengüeta simple como el clarinete Apéndice A: Transformada de Fourier dependiente del tiempo Qué se obtiene al realizar una STFT sobre una señal en el dominio del tiempo? Cómo hace la STFT para obtener esos resultados? La Transformada de Fourier dependiente del tiempo Discreta Apéndice B: Filtros guía de onda con retardo fraccional Retardo fraccional ideal en tiempo continuo Retardo fraccional ideal en tiempo discreto Interpolación Desinterpolación Aplicaciones y ejemplos Modelado de una cuerda de longitud arbitraria Unión dispersiva de dos tubos Modelo de un agujero de sintonización Apéndice C: Modelado físico de la directividad en instrumentos musicales Filtrado direccional Grupo de fuentes elementales Excitación dependiente de la dirección Bibliografía

9 Introducción INTRODUCCIÓN A lo largo de la historia, y sobre todo con los avances de la técnica en nuestros días, el hombre a intentado imitar los sonidos que generan los instrumentos musicales reales por medio de sistemas electrónicos, los cuales ponen al alcance de su mano una herramienta muy potente, tanto para generar sonidos muy diferentes como para la composición musical. Primero fueron los sintetizadores analógicos, con todos sus osciladores, generadores de envolvente y, por supuesto un montón de cables para poder interconectar a nuestro gusto todos estos sistemas. Posteriormente, con el avance de las técnicas digitales, se tiende a imitar los sonidos reales con sistemas digitales como pueden ser los sintetizadores digitales o las tarjetas de sonido de los ordenadores, las cuales suelen incorporar un sintetizador. A la generación de sonido por medio de sistemas electrónicos, para posteriormente aplicar estos en composiciones musicales, es a lo que se denomina síntesis musical, y dentro de la síntesis musical podemos diferenciar dos finalidades de esta síntesis: generación de sonidos nuevos, y síntesis de sonidos reales. Generación de sonidos nuevos: Con esta manera de utilizar la síntesis, buscamos la generación de sonidos que no existen físicamente en la naturaleza, como pueden ser los sonidos de las naves espaciales en las películas, disparos de armas futuristas etc.. Síntesis de sonidos reales: Con este tipo de síntesis se busca la generación de sonidos lo más parecidos a los sonidos reales existentes en la naturaleza, y fundamentalmente los generados por los instrumentos musicales. No debemos equivocarnos respecto a estas dos formas de utilizar la síntesis musical, ya que las técnicas utilizadas en ambos casos son las mismas, o pueden serlo; solamente cambia el proceso. Mientras que para generar sonidos nuevos, basta con ir probando delante de nuestro sintetizador distintas combinaciones de osciladores y envolventes hasta conseguir el sonido deseado, este proceso se hace impracticable cuando nos referimos a la generación de sonidos existentes, ya que los sonidos, por lo general son tan complejos que, esta manera de 7

10 Introducción actuar no nos llevaría a obtener unos resultados satisfactorios. Por esta razón se impone otra manera de proceder. Básicamente consiste en realizar un análisis previo del sonido o instrumento real a imitar, posteriormente procesar esos datos obtenidos de la etapa de análisis, para finalmente utilizar estos datos en la generación del sonido sintético. Obteniendo, de esta manera unos resultados o una imitación que si no es perfecta, si logre engañar a los oyentes. En este proyecto, se trata con profundidad esta forma de trabajar con la síntesis musical, enfocando la mayoría de las explicaciones y los procesos a la generación de sonidos de instrumentos musicales reales. La figura I.1 muestra un diagrama de bloques que muestra los tres pasos a seguir en la obtención de una síntesis efectiva de un instrumento musical. Análisis Procesado Síntesis Fig I.1. Etapas necesarias para la síntesis de instrumentos musicales. Como veremos a lo largo de los temas, las etapas de análisis y procesado, dependiendo de la técnica a utilizar, serán etapas que se realizan de una manera automática con unos sistemas determinados, o a mano. Con esta expresión nos referimos a que el análisis y el procesado de los datos, no lo realiza ningún sistema automático, si no que lo realizamos 8

11 Introducción nosotros mediante estudios de las señales o de los instrumentos en sí, utilizando nuestras conclusiones obtenidas, en la implementación de los modelos usados en la etapa de síntesis. Veremos que, básicamente las técnicas de síntesis, se basan en la generación directa de la señal que produciría el instrumento real, o en la generación del espectro de la señal, obteniendo posteriormente la señal a partir de su espectro. En este proyecto se tratan varios métodos de síntesis los cuales están en continúa evolución. por esta razón podemos no encontrar en el mercado sintetizadores que utilicen al pie de la letra estas técnicas aquí explicadas. Se tratan técnicas conocidas por todos, como es la wavetable, pero se introduce como novedad un proceso de optimización relativamente moderno el cual utiliza los Algoritmos Genéticos para su desarrollo, obteniendo unos resultados en la síntesis bastante más elevados que con el método de síntesis wavetable tradicional. Básicamente las técnicas tratadas en este proyecto están agrupadas en dos bloques: aquellas que basan su funcionamiento en el uso de wavetables ( memoria donde se almacena una señal que posteriormente se utiliza para el proceso de síntesis ). En este grupo se incluyen tanto las técnicas de interpolación espectral ( simple y múltiple ) como las wavetable ( simple y múltiple). También tienen otro aspecto común, como es que utilizan un algoritmo genético en su etapa de optimización, haciéndolas así, diferentes a las técnicas tradicionales. El segundo bloque trata extensamente una técnica que aunque bastante antigua, no se ha podido desarrollar hasta hace poco con unos resultados satisfactorios debido a la capacidad de cálculo que requiere de los microprocesadores y D.S.P.`s; nos referimos a la síntesis por modelado físico. Dentro de esta técnica, también nos centramos en una síntesis por modelado físico la cual utiliza guías de onda para los modelos, es decir, tratamos básicamente los modelos distribuidos ya que son los que están tomando una mayor importancia en el campo del modelado físico. 9

12 Introducción También se realiza una comparación entre los resultados obtenidos con distintos tipos de síntesis en la medida de lo posible, ya que al existir multitud de métodos de síntesis y tan distintos entre ellos, se deben buscar unas medidas muy globales, para poder comparar unas técnicas con otras. David A. Jaffe [ 12 ] propone diez criterios para evaluar las distintas técnicas, dividiendo estos diez criterios en tres grupos: los que tratan de la manejabilidad de los parámetros que entran en juego en la síntesis, los concernientes a los sonidos generados, y los que tratan sobre la eficiencia de la técnica y la implementación de esta. Lo cierto es que todas las técnicas deben tomar una solución de compromiso entre: generalidad, eficiencia, y control. Generalidad: Capacidad para producir cualquier sonido ( cuerda, viento, percusión, etc.) Eficiencia: Coste computacional de la síntesis. Es un concepto muy relacionado con la calidad del sonido y con la velocidad de cálculo. Control: Capacidad para variar de una forma simple, flexible e intuitiva los parámetros del sonido, como pueden ser el timbre, el pitch, etc. Como se ha comentado anteriormente y también se hace referencia a ello a lo largo de todo el proyecto, las técnicas aquí mostradas están en continua evolución, por esa razón las referencias son muy importantes, ya que nos permiten además de profundizar en aspectos que puedan haber quedado superficiales, mantenernos al día respecto a los avances en síntesis musical. Por esta razón no sólo se incluyen referencias a libros o artículos de revistas, si no que se incluyen direcciones de internet donde de una forma simple podemos estar a la última en cuanto a estos aspectos, así como facilitar un punto de partida en la búsqueda de información en un entorno que tiene gran relevancia en los tiempos actuales. 10

13 CAPÍTULO 1 ALGORITMOS GENÉTICOS.

14 Capítulo 1 UCAPÍTULO 1 : ALGORITMOS GENÉTICOS 1.1- Qué son los algoritmos genéticos? Los algoritmos genéticos (GAs) son algoritmos de búsqueda y optimización basados en los mecanismos de la selección natural y la genética (de ahí su nombre). Por lo tanto, en el campo de los algoritmos genéticos vamos a manejar conceptos como selección, mutación, cruce, cromosomas y otras ideas relacionadas con el mundo de la biología y de la genética. Los GAs fueron desarrollados por John Holland en la universidad de Michigan en la década de los 70, partiendo de las siguientes premisas : 1-La evolución se encuentra en los cromosomas y estos codifican la creación de vida. 2- La selección natural es el lazo entre los cromosomas y el desarrollo de sus estructuras decodificadas.la selección natural causa que algunos cromosomas que codifican estructuras, se reproduzcan más frecuentemente que otros. 3- El proceso de la reproducción es el punto donde la evolución tiene lugar. Las mutaciones causan que algunos cromosomas cambien.la recombinación crea hijos con cromosomas de ambos padres. 4- La evolución no tiene memoria. Los primeros GAs que se desarrollaron, resolvían problemas muy sencillos. Pero poco a poco los GAs han ido avanzando y se han introducido en múltiples campos y aplicaciones como: cálculo de trayectorias ( proyectiles, brazos de robot, etc.. ), optimización de tablas, compresión de imágenes, o en nuestro caso para síntesis musical, por citar unos ejemplos. La cualidad de los GAs que más mejoras ha sufrido es la robustez.el concepto de robustez hace referencia al balance entre eficiencia y eficacia necesaria para sobrevivir en multitud de ambientes. En definitiva, es la capacidad de un GA para resolver problemas muy diversos. 12

15 Capítulo 1 Las consecuencias más inmediatas de la robustez son: -Si un sistema es robusto los costes de rediseño y actualización son pequeños o nulos. -Si un sistema tiene gran capacidad de adaptación, este se puede incluir dentro de un sistema existente mejorando el rendimiento de este ( algoritmos híbridos ). Sin ánimo de perder el carácter generalista de este capítulo, se describe a continuación una aplicación concreta de los GAs como es en síntesis musical. Simplemente, para situar los GAs dentro del tema principal de este proyecto y motivar desde un principio al lector que puede, en caso contrario, encontrar este tema un poco abstracto y no ver la utilidad de los GAs para ninguna aplicación real. Como ejemplo veamos un caso particular de uso de un GA en un método de síntesis musical muy típico y bastante conocido como es la síntesis Multiple Wavetable. El principal problema de la síntesis Wavetable normal o síntesis por tabla de onda ( sólo utiliza una tabla de onda ) es que la lectura de esa tabla produce un espectro estático, cuando los sonidos reales producen un espectro dinámico. Para solventar este problema se utilizan varias tablas de onda, y por tanto a este tipo de síntesis se la denomina Multiple Wavetable, como se verá en el capítulo dedicado a este tipo de síntesis. Para que el resultado sea satisfactorio, o dicho de otra manera, para obtener un espectro dinámico como el de la señal original, la elección de las wavetables no se puede realizar de una manera arbitraria, si no que es una tarea difícil. Es en este punto, donde toma parte el GA; cuya misión es a partir del análisis de una señal real ( la señal que queremos sintetizar) obtener el espectro de las tablas de onda más adecuadas ( basis spectra ), para que después cuando se realice el proceso de síntesis propiamente dicho, el espectro resultante sea variante en el tiempo y no estático. La figura 1.1 muestra el esquema del proceso. 13

16 Capítulo 1 Fig Diagrama de análisis- sintesis para síntesis wavetable múltiple Como se ve en la figura, el GA parte del análisis de la señal realizado en una etapa anterior y a su salida, suministra el espectro de las tablas de onda óptimas para nuestras necesidades. En este caso son tres tablas de onda, que se obtienen simplemente sumando las componentes que forman cada espectro base. 14

17 Capítulo Por qué usar un GA y no otro método de optimización? Los distintos métodos de búsqueda existentes se pueden clasificar en tres grandes grupos: basados en cálculos, enumerativos y aleatorios. UBasados en cálculosu: Se subdividen a su vez en dos grupos: indirectos y directos. -Indirectos: Utilizan el gradiente de la función en la que se busca. -Directos: Evalúan la función en un punto y comparan este valor con la evaluación de los puntos adyacentes.esta técnica es conocida también como hill-climbing. Estos métodos, aunque muy extendidos, no son muy robustos por lo siguiente: 1) son métodos de búsqueda local, es decir, con funciones que tengan varios máximos relativos, el algoritmo pierde eficiencia. fig ) son métodos que dependen de la existencia de derivada en el punto donde buscan, cuando en el mundo real existen multitud de comportamientos con discontinuidades, comportamientos multimodales (con muchos máximos y mínimos) fig 1.3, así como espacios ruidosos. Una función se dice que es ruidosa cuando para el mismo valor de entrada suministra a su salida valores distintos, es decir, cuando se trata de una función aleatoria. f(x) f(x) x x Fig 1.2. Función con dos máximos relativos. Fig 1.3. Función multimodal. Con todo esto podemos concluir que estos métodos de búsqueda no sirven para todo tipo de espacios, sino para un número limitado de ellos.y por lo tanto no son algoritmos robustos. 15

18 U EnumerativosU: Capítulo 1 Partiendo de un espacio finito, el algoritmo de búsqueda evalúa la función en todos los puntos del espacio, eso sí, uno cada vez. Es un algoritmo muy simple que funciona muy bien cuando el espacio de búsqueda es pequeño, pero cuando el espacio es grande el algoritmo deja de ser eficiente ya que tarda mucho tiempo en suministrar el resultado a su salida. Por lo tanto tampoco es un algoritmo robusto. UAleatoriosU: A este grupo pertenece el GA, que es un procedimiento que utiliza una elección aleatoria como herramienta para guiar la búsqueda a través de un espacio codificado. Las diferencias principales entre los GAs y los métodos tradicionales de búsqueda son: 1-Trabajan con una codificación de parámetros, no con los parámetros en si. 2-Comienzan la búsqueda a partir de muchos puntos, no de uno sólo. 3-Utilizan información objetiva de los puntos de búsqueda en vez de derivadas u otro conocimiento auxiliar. 4-Manejan reglas probabilísticas, no reglas deterministas. Estas diferencias hacen que los GAs puedan ser diseñados para ser unos algoritmos muy robustos. Con todo esto podemos ver que los métodos tradicionales de búsqueda no son robustos. Esto no quiere decir que no se utilicen, ya que nos puede interesar que un método sea eficiente en la resolución de un problema específico. En cuyo caso podemos optar por un método que aunque no sea robusto, sí sea muy eficiente en un determinado espacio. La figura 1.4 muestra un ejemplo de esto. 16

19 Capítulo 1 Eficiencia 1 Especializado Robusto Enumeración 0 Tipo de problema combinatorial unimodal multimodal Fig 1.4. Comparativa de eficiencia para varios tipos de problemas. En la figura vemos como un algoritmo especializado es muy eficiente en la resolución de un tipo de problemas muy específico, mientras que en los demás problemas es claramente ineficaz. Centrándonos en los GAs y en la robustez de estos, también existen distintos puntos de vista según autores. Algunos como Goldberg [ 1 ] defienden a toda costa los algoritmos genéticos robustos y que siempre se deben buscar algoritmos de este tipo. Otros como Davis [ 2 ] defienden la postura de que dependiendo de la aplicación unas veces puede interesar un GA robusto y otras veces uno especializado. En cuanto a la síntesis musical, nosotros necesitamos: -Un método que sea robusto ya que debe ser capaz de tratar con diversos espectros muy distintos entre si ( guitarra, bombo, trompeta, etc... ). -Si queremos realizar el proceso en tiempo real necesitamos una técnica lo suficientemente rápida, es decir, eficiente. Uniendo estos requerimientos obtenemos que los GA son la elección más acertada. Robustez + Algoritmo Genético Eficiencia 17

20 Capítulo Funcionamiento de un Algoritmo Genético: Para la mayor comprensión del funcionamiento básico de un GA se utiliza el apoyo de un ejemplo, que aunque muy sencillo, sirve para clarificar las ideas y para ir introduciendo poco a poco conceptos como: individuo, fitness, generación, etc... El proceso que sigue un GA es partir de una generación (grupo) de individuos (posibles soluciones al problema en cuestión) y realizando una evaluación de los mismos mediante la función de evaluación (función que mide lo bueno que es el individuo en la resolución del problema ) se obtiene un valor de fitness (fortaleza o capacidad). Teniendo en cuenta cada valor fitness de cada individuo, estos son seleccionados para ser procesados por los operadores genéticos ( funciones que varían de alguna manera la estructura de los individuos ) y obtener la siguiente generación de individuos con la que se repite el proceso. Veamos esto con un ejemplo: Supongamos la función de la figura 1.5. Nuestro propósito es encontrar el mínimo de la función f(x)= xp P f( x) x Fig 1.5. Función ejemplo para hallar su mínimo. Básicamente el funcionamiento del GA es el siguiente: 1- Crea la primera generación de individuos aleatoriamente. En nuestro caso los individuos son los distintos valores de x que se pueden tomar. La primera acción que ejecutaría el GA es generar un número determinado de valores de x (supongamos que son 7) aleatoriamente dentro del campo de búsqueda, que para simplificar lo tomaremos como: [-10,10]. 18

21 P y Capítulo 1 aleatoria Nuestro GA generará, por ejemplo, los siguientes 7 valores de x de una manera Fig 1.6. Individuos elegidos aleatoriamente por el GA. Una forma muy común de codificar a los individuos es mediante bit strings (conjunto de bits). Nosotros, simplemente podemos codificar cada individuo con 5 bits, cuyo bit más significativo sea el signo ( 1 si el individuo toma valor negativo y 0 si toma valor positivo ), y el resto de los bits representen el valor absoluto del individuo en binario. Individuo Valor Representación Fig 1.7. Tabla que muestra el nº de individuo, su valor y su representación en binario. 2- El segundo paso es evaluar lo bueno que es cada individuo mediante la función de evaluación. En nuestro caso la función de evaluación es la propia f(x)= xp una tabla con los individuos y su valor de evaluación. 2 obtenemos 19

22 Capítulo 1 Individuo Valor Evaluación Fig 1.8. Tabla que muestra el nº de individuo, su valor y el valor de evaluación. Como se observa en la tabla, al utilizar la función de evaluación xp Pel valor de evaluación es el cuadrado del propio valor del individuo El siguiente paso es asignar un valor deu fitnessu o un valor que indique la fortaleza del individuo en este problema concreto, es decir, asignar a cada individuo un valor que represente su capacidad para ser la mejor solución al problema. Este fitness se asigna a partir de los valores de evaluación mediante la función fitness. En el lenguaje de la biología este valor de fitness intenta modelar el hecho biológico de que solo los mejores tienen más probabilidad de reproducirse y perpetuar la especie, es decir, asigna un valor a los individuos que indica su capacidad de reproducirse y pasar a la siguiente generación. En nuestro caso la función fitness, por ejemplo, podría ser: tomar el valor de evaluación y restárselo a cien (100 es el valor máximo que se puede obtener, ya que nuestro espacio de búsqueda es [-10,10] ). Si el valor resultante es mayor que setenta ( umbral tomado como ejemplo ), el valor fitness que asignaremos al individuo será precisamente ese, si el valor es menor, el valor asignado será cero. He tomado esta función fitness, que no es una función estandarizada, porque parece lógico, o por lo menos es más fácil de asimilar que: si un individuo tiene gran capacidad para 20

23 P ). Capítulo 1 ser la solución deseada, su valor fitness sea alto y no bajo (que en nuestro caso particular son más aptos los individuos con valores de evaluación bajos a la vista de la función f(x)= xp 2 De esta forma, nuestro ejemplo quedaría de la siguiente manera: Individuo Valor Evaluación Paso intermedio Fitness = = = = = = =64 0 Fig 1.9. Tabla que incluye el fitness de cada individuo. 4- Después de tener el valor fitness de todos los individuos, se procede a crear la siguiente generación de individuos. Para ello se utilizan los denominados operadores genéticos, que no son más que unas funciones a cuya entrada se aplica uno o dos individuos simultáneamente y producen a su salida uno o dos individuos nuevos. Estos, dependen de los individuos de la entrada y de las reglas que definen al propio operador genético. Los operadores genéticos más usuales son: cruce, mutación y selección, aunque este último no es un operador estrictamente ya que simplemente propaga a la siguiente generación los mejores individuos sin modificación. La explicación más profunda de estos y otros operadores se realizará posteriormente, pero simplemente con carácter aclaratorio los operadores cruce y mutación consisten en: -Cruce: Toma dos individuos de una generación (padres) y genera a su salida otros dos nuevos individuos (hijos) a partir de los de la entrada. -Mutación : Toma un individuo y modifica aleatoriamente algunos bits de los que consta el individuo, permitiendo así la búsqueda de soluciones por otra zona del espacio. 21

24 Capítulo 1 La elección de los individuos y el emparejamiento de estos para ser aplicados a un operador, no se realiza aleatoriamente sino que dependiendo del fitness de cada individuo una técnica de selección de padres se encarga de emparejarlos. Al aplicar esta técnica de selección ( explicada en el apartado 1.5 ) conseguimos que los individuos con fitness mayor tengan más probabilidad de ser elegidos. De esta forma en nuestro ejemplo nos encontrarnos con la siguiente situación: -Los individuos 5,6 y 7 como su fitness es cero, directamente no se tendrán en cuenta para la siguiente generación. -Los individuos 2 y 3 como son los que mayor valor fitness tienen, son elegidos mayoritariamente. Para la siguiente generación, se parte de un nuevo grupo de 7 individuos: los individuos 2 y 3, además de otros cinco individuos obtenidos al aplicar operadores genéticos sobre individuos de esta generación. Estos operadores pueden ser, por ejemplo, la selección y el cruce. Como el operador selección no modifica al individuo, estos pasan tal cual a la siguiente generación. El operador cruce, toma a los dos individuos e intercambia sus bits generando otros dos individuos. Todo esto queda reflejado de una forma gráfica en el dibujo siguiente. Valor del individuo 2 3 Valor del individuo 3-2 Selección Selección Cruce Valor individuo Valor individuo Fig Ejemplos de selección y cruce. 22

25 Capítulo 1 Como se puede observar en la figura 1.10, el operador cruce toma, por ejemplo, los tres primeros bits del primer individuo y los dos últimos bits del segundo (y viceversa) para generar dos individuos nuevos. -Supongamos también, que como el individuo 3 tiene el mayor fitness, es elegido a su vez para tomar parte en otro cruce con el individuo 4, que también tiene un fitness alto. Valor individuo Valor individuo Cruce Fig Ejemplo de cruce. En este caso se debe hacer notar que el valor -0 se tomará igual que el 0, ya que el -0 no tiene mucho sentido. -Para obtener el séptimo individuo de la segunda generación aplicaremos mutación al primer individuo, ya que su fitness no es muy elevado. Valor individuo Mutación Fig Ejemplo del operador mutación. El operador mutación cambia aleatoriamente algunos bits del individuo, en este caso se han cambiado el segundo y el tercer bit. 23

26 Capítulo 1 Realizado todo este proceso nuestra nueva generación quedaría: Individuo Valor Representación Fig Tabla que muestra los individuos de la siguiente generación. 5- Por último, simplemente se repite el proceso desde el paso 2 pero esta vez con la nueva generación de individuos. Este proceso se repite un número determinado de veces (definido por el usuario), o el proceso se para si en sucesivas generaciones no se consigue obtener un individuo mejor, es decir, una solución más próxima. Al finalizar el proceso, el algoritmo suministra como resultado el individuo que ha encontrado más capacitado. En nuestro ejemplo la solución correcta (óptima) ya se ha conseguido, pues el valor 0 (ya que -0 no tiene sentido) es el valor de x que produce un mínimo en la función f(x)= xp P. Esto lo sabemos nosotros, pero el GA no, entonces Como actuará el GA para encontrar o para saber cual es la solución correcta?: Si todavía no ha repetido el proceso el número de veces determinado por el usuario, es decir, si no ha creado el número de generaciones especificadas, el algoritmo repite el proceso a partir de la generación nueva. Como el valor 0 produce un fitness de 100 (que es el máximo que se puede conseguir) el cero pasaría a la siguiente generación tal cual, y en la siguiente generación, como máximo encontraremos otro individuo con el mismo fitness, pero no superior. Si esto se repite generación tras generación, el GA llega a la conclusión de que ese individuo es insuperable y por tanto es la solución buscada, parando el proceso y suministrando este valor como respuesta. 2 24

27 Capítulo 1 Si el GA ha llegado a crear todas las generaciones especificadas, para el proceso y suministra como respuesta el individuo que tenga mayor fitness, sea o no la solución óptima, en todo caso es la solución más próxima. Una aclaración que se debe hacer al respecto es que el proceso se pare o no, al encontrar un individuo insuperable que se repite, depende única y exclusivamente del programador del GA, es decir, encontraremos GAs que si incluyan esta opción y otros que no. Desde el punto de vista purista, tener en cuenta este aspecto contradice una de las premisas en las que se basó Holland,como es que La evolución no tiene memoria. El hecho, es que se utiliza ya que acelera bastante el proceso de búsqueda aunque no sea del todo correcto con la teoría. Este es el proceso general que utilizan todos los algoritmos genéticos en su desarrollo independientemente de la aplicación a la que vayan destinados. Para que este proceso quede más claro la figura 1.14 muestra un diagrama en el que se puede ver claramente el proceso y la secuencia de este. 25

28 Capítulo 1 Inicio Gen =0 Creacción población inicial aleatoriamente Final o solución encontrada? Sí Sacar resultado No Fin Evaluación del fitness de cada individuo. individuo = 0 Gen= Gen + 1 Sí Individuo = M? Selección Seleccionar un individuo según fitness. No Selección del operador genético Cruce Seleccinoar dos individuos según fitness. Mutación Seleccinar un individuo según fitness. Selección Cruce Mutación individuo = individuo + 1 individuo = individuo + 2 individuo = individuo + 1 Fig Diagrama de funcionamiento de un algoritmo genético. 26

29 Capítulo 1 Antes de pasar a describir los distintos operadores genéticos y las distintas técnicas utilizadas por los GAs hay que aclarar un par de ideas que pueden llevar a confusión: -Los dos mecanismos que enlazan el GA con el problema real a resolver son: la codificación y la función de evaluación. La codificación hace referencia a la manera en la que representamos las posibles soluciones (individuos) de una manera que las entienda el ordenador. La técnica usada para codificar depende del problema a resolver y del GA utilizado. Una forma muy habitual de codificación es en forma de paquetes de bits (bit strings). La función de evaluación es el lazo de unión entre el GA y el problema a resolver. Por lo tanto la función de evaluación es propia del problema a resolver no del algoritmo y varía para cada problema. La función de evaluación toma como entrada un individuo ( también llamado cromosoma ) y suministra a su salida un número o una lista de números que son la medida de la fortaleza del individuo para ser la solución óptima en el problema a resolver. La función de evaluación podemos decir que modela el efecto medioambiental, por eso depende de cada problema. -Otra idea que puede llevar a confusión ya que en la bibliografía no suele aparecer es la diferencia entre función de evaluación y función fitness. Estas dos funciones no son lo mismo ya que la primera evalúa al individuo y la segunda modela un efecto de la naturaleza como se ha explicado anteriormente. La confusión aparece del hecho de que las dos están relacionadas y una se aplica detrás de la otra como indica la figura 1.15, siendo siempre el valor fitness el utilizado en todo el proceso. individuo Función de medida Técnica fitness Evaluación Fitness Nº Nº1 ó Nº2... Nºn valor fitness Fig Diferencia entre función de evaluación y función fitness. 27

30 U Generación UGeneración Capítulo 1 También contribuye a esta confusión la existencia de una técnica muy usada denominada fitness is evaluation que suministra a su salida el mismo valor de la entrada, luego el valor de fitness es el mismo que el de evaluación pudiendo llevar a la confusión de que la función de evaluación es la misma que la función fitness. Así que aunque en muchos textos aparece como función fitness la función de evaluación no es estrictamente correcto Operadores Genéticos: Un operador genético como se ha indicado anteriormente, no es más que una función a cuya entrada se aplican uno o dos individuos (según operador) y él, a su salida, suministra uno o dos individuos nuevos. Estos individuos dependen de los de la entrada y de las propias leyes de operador. Los operadores tienen uno o varios parámetros de control (típicamente dos), uno controla la potencia del operador al actuar, el otro es un fitness que se asigna a cada opera-dor y que controla la participación del operador en cuestión en el proceso de reproducción. Otro aspecto que queda reflejado en la figura 1.14 pero que conviene aclarar, referente a los operadores genéticos, es la siguiente: no se aplican dos o más operadores consecutivos sobre un individuo para obtener un individuo de la siguiente generación, es decir, el individuo X de la generación N puede ser procesado por varios operadores obteniendo como resultado varios individuos de la generación N+1, pero el individuo X no puede pasar por dos operadores uno detrás de otro para obtener como resultado un individuo de la generación N+1. Esta idea queda reflejada más claramente en las figuras 1.16 y NU N+1 individuo X Operador Operador individuo X1 individuo X2 Operador individuo X3 Fig Caso que sí se puede dar en un GA. 28

31 Capítulo 1 UGeneración N UGeneración N+1 individuo X Operador Operador individuo X1 Fig Caso que no se puede dar en un GA. Existen multitud de operadores, pero aquí solamente se mencionan algunos de ellos: - Bit Mutation (mutación): Este operador toma un individuo a su entrada y cambia el valor de algunos bits del string aleatoriamente en función de un parámetro de ocurrencia de esta mutación dando como resultado otro individuo. El proceso que sigue el operador es el siguiente: 1- primero se genera un número aleatorio para cada bit del string. 2- si el número generado para un bit es menor que el valor del parámetro de ocurrencia, ese bit no cambia, y si el número generado es mayor que el parámetro, sí se cambia el bit. - One-Point Crossover (cruce con un sólo punto): Este operador es el conocido como cruce simplemente, ya que como se detalla más abajo existen otros operadores cruce. Este operador toma dos individuos a su entrada (padres) y suministra a su salida otros dos individuos (hijos). Para ello realiza un intercambio de partes de sus cromosomas, estas partes que se intercambian quedan determinadas por lo que se denomina el punto de cruce. El operador de cruce es la principal diferencia entre un GA y otros algoritmos de optimización. El proceso seguido se detalla en la figura 1.18 punto de cruce Padre Padre Hijo Hijo Fig Proceso de cruce en un GA. 29

32 Capítulo 1 Por otro lado el operador One-Point Crossover tiene un inconveniente, y para entenderlo es imprescindible introducir el concepto deu SchemataU: un schemata es una plantilla que refleja similitudes entre individuos, esto queda reflejado en la siguiente figura. Individuo Individuo * 1 * 0 Fig Ejemplo de schemata. Como se puede observar en la figura el schemata indica qué bits son iguales entre los dos individuos considerados. A lo largo de una búsqueda puede interesar que una determinada estructura (schemata) pase a la siguiente generación sin modificación. Es en este punto donde el operador One- Point Crossover deja de servir ya que tiene un solo punto por donde se corta. Si un individuo, por ejemplo, debe pasar a la siguiente generación sin modificar su primer y último bit, este ope-rador no es capaz de realizar su función sin romper esta estructura (schemata). Por esta razón aparecen otros operadores de cruce. -Two-Point Crossover (cruce con dos puntos): Este operador solamente difiere del anterior en que éste posee dos puntos de cruce y permite manejar algunas estructuras invariables, pero en cuanto el schemata es un poco complejo tampoco permite la transmisión de éste a la siguiente generación. Por eso, generalizando esta idea de aumentar el número de puntos de cruce aparece el siguiente operador. -Uniform Crossover (cruce uniforme): Para cada bit se elige aleatoriamente qué padre contribuye con su bit para la obtención del hijo1, así el hijo2 recibe el bit del padre no seleccionado. Con este procedimiento podemos transmitir un patrón fijo de un padre a la siguiente generación y realizar el proceso de cruce con los demás bits. -Selection o Reproduction (selección o reproducción) : Como ya indiqué anteriormente este es un operador que algunos autores no lo consideran como tal, ya que simplemente transmite a la siguiente generación los individuos mejores sin realizar sobre ellos ninguna modificación. 30

33 Capítulo 1 -Inversion (inversión): Este operador trabaja sobre un cromosoma o individuo e invierte los bits de éste entre dos puntos elegidos aleatoriamente. Estos son los operadores más utilizados, y aunque existen muchos más, básicamente derivan de estos. Además para mi propósito, que es dar una idea de lo que son los algoritmos genéticos para poder comprender como funcionan en la síntesis musical,no aclaran nada nuevo. Para mayor información ver referencia [ 1 ] Procedimiento de la ruleta para la selección de padres Este procedimiento denominado Roulette Wheel Parent Selection se utiliza tanto para la elección de los individuos que deben tomar parte en un operador, como para elegir el operador a utilizar, de todos los disponibles. El funcionamiento de este proceso es el siguiente: 1- Se parte de una población de cromosomas (individuos) y su evaluación individual (fitness). Cromosoma: Fitness: Fig Se hallan unos resultados totales sumando los valores fitness de los individuos anteriores con el del cromosoma en cuestión, de tal manera que se obtiene el Running Total,que es una función acumulativa. Cromosoma: Fitness: Running Total: Fig 1.21 Fitness total máximo 31

34 Capítulo 1 3- En este momento se eligen N números aleatorios entre 0 y el fitness total máximo ( en el ejemplo N=7) y se selecciona para cada número generado, el cromosoma cuyo Running Total sea mayor o igual al número aleatorio. Nº Aleatorio: Cromosoma elegido: Fig 1.22 Por medio de este procedimiento logramos un proceso por el cual la probabilidad de elegir un cromosoma es proporcional a su fitness. Como se ve en el dibujo el cromosoma 3 ha sido elegido tres veces ( más que ningún otro) ya que su fitness es el que tiene valor mayor (17). También se aprecia que el cromosoma 7 es seleccionado dos veces ya que su fitness también es alto (11). Como señalé anteriormente este proceso también se utiliza en la selección de operadores. Como sabemos, no se pueden aplicar dos o más operadores consecutivos a un individuo para obtener otro individuo de la siguiente generación, por lo tanto, cuando tenemos una lista de operadores genéticos debemos elegir uno para aplicárselo a cada individuo. Esta es la razón de asignar un parámetro a los operadores, que sea el fitness del operador ( el valor de este fitness no se modifica, por lo general, continuamente como el fitness de los individuos que se evalúa generación a generación), ya que de esta manera podemos seleccionar el operador a utilizar con el mismo procedimiento que a los individuos. Estos cambios en los operadores introducen complicaciones teóricas a los GA. Básicamente, el problema es saber el porcentaje de hijos que genera cada operador (para poder controlar la actuación de cada uno) y esto en determinadas situaciones no es posible saberlo. 32

35 Capítulo Técnicas Fitness En este apartado se exponen ciertas técnicas fitness para tener un conocimiento sobre ellas y para resaltar aún más la diferencia entre técnica fitness y función de evaluación. -Windowing (enventanado): Esta técnica encuentra la evaluación menor de la población. Asigna a cada cromosoma un fitness igual a la cantidad que excede cada cromosoma del mínimo. Opcionalmente se puede definir una barrera mínima para que los cromosomas cuya evaluación no supere ese valor, no sean tratados en el proceso de reproducción. - Fitness is Evaluation ( Fitness es evaluación ): No es una técnica como tal ya que asigna como valor fitness el mismo obtenido de la evaluación. - Linear Normalization ( Normalización lineal ): Esta técnica ordena los cromosomas por evaluación decreciente y empezando por un valor constante de fitness asigna a los demás un valor de fitness que es el valor anterior menos una constante ( el valor inicial y el valor que se resta, son los parámetros de esta técnica ). En la figura 1.23 se muestra un ejemplo de todas estas técnicas con distintos valores en sus parámetros. Evaluación original: Fitness is evaluation: Windowing con mínimo=0: Windowing con mínimo=10: Linear Fitness con decremento=1: Linear Fitness con decremento=20: Fig Ejemplos para las distintas tecnicas fitness. 33

36 Capítulo Técnicas Reproductivas: Estas técnicas determinan la manera en la que el GA realiza el proceso de reproducción, es decir, se encargan de aspectos como : Cuántos individuos deben pasar a la siguiente generación sin modificación? Se permite que en una generación existan dos o más individuos iguales?. Las técnicas reproductivas más utilizadas son las siguientes: -Elitism ( elitismo ) : Técnica por la cual los individuos mejores son copiados en la siguiente generación directamente. Es más común encontrarse técnicas elitistas que no el operador genético de selección, ya que realizan funciones similares. - Steady-State Reproduction ( reproducción en estado estacionario ): Esta técnica realiza un cambio total de una generación por la siguiente. Como contrapartida esta técnica permite que los schematas de los individuos mejores ( y de todos en general ) puedan perderse en la siguiente generación al realizarse un cruce o una mutación sobre ellos. Esta técnica tiene una variante, la cual no cambia toda la población, sino que solamente cambia N individuos ( N aparece como parámetro de la técnica ). Cuando se cambia toda la población a la técnica se la denomina Generational- Replacement ( remplazamiento generacional ). - Steady-State without Duplicates ( estado estacionario sin réplicas ): Es similar a la anterior con la diferencia que esta técnica elimina, en las sucesivas generaciones, los individuos que sean iguales dejando sólo 1, por lo tanto, todos los individuos dentro de una generación son distintos. De esta manera se mejora el rendimiento de la técnica anterior ya que no evalúa varias veces al mismo individuo para dar igual fitness. Aunque esta técnica puede incrementar un poco el tiempo de optimización del GA, es despreciable en la solución de un problema real. 34

37 Capítulo Estructura de un Algoritmo Genético La estructura de un GA se puede dividir en tres módulos[ 2 ]: módulo de evaluación, módulo de población y módulo de reproducción. Con todo lo visto anteriormente no nos debe estrañar ver especificaciones de GAs como el siguiente: -Módulo de evaluación: Función de evaluación: F6 -Módulo de población: Técnica de representación: representación binaria longitud del string: 44 bits Técnica de inicialización: aleatoria Técnica de borrado: borrar último. Técnica de reproducción: estado estacionario sin réplicas Técnica de selección de padres: ruleta Técnica fitness: normalización lineal interpolar fitness desde 100 a 1 en pasos de 1 tamaño de población: 100 pruebas deseadas: Módulo de reproducción: Técnica de selección de operador: Ruleta Operadores: Cruce uniforme Mutación binaria parámetro de mutación: 0.04 Pesos de los operadores ( ) Desglosando cada módulo nos encontramos con lo siguiente: En el módulo de evaluación, vemos que la función de evaluación especificada es la denominada F6. Esta es una función conocida a la que se ha puesto nombre, pero no es de ningún interés para nosotros el incluirla en este texto. 35

38 Capítulo 1 En el módulo de población, lo primero que nos encontramos es la definición de la técnica de representación, que es una representación binaria normal (bit string),cuya longitud es de 44 bits, es decir cada individuo o posible solución tendrá un tamaño de 44 bits. La siguiente definición pertenece a la técnica de inicialización, siendo esta aleatoria, que es la técnica más común. Aunque, como se indica en un apartado anterior, un GA puede ser aplicado después de otra técnica de búsqueda, en cuyo caso, los resultados de la primera nos pueden servir para iniciar el GA con una información adicional, que guíe a este en su búsqueda particular. La técnica de borrado hace referencia a lo que se debe hacer con la generación anterior, y en este caso es borrarla por completo. En cuanto a las técnicas usadas tanto para reproducción como para la selección de padres, poco que comentar, ya que han sido explícitamente comentadas en apartados anteriores. El siguiente punto determina la técnica fitness a usar, simplemente decir que, como se trata de una normalización lineal, se debe especificar además el fitness máximo a asignar y el decremento que debe sufrir el valor de fitness del siguiente individuo. Por último se especifica el tamaño de la población ( nº de individuos en cada generación ) y el número de veces que queremos se repita el proceso ( nº de generaciones que deben transcurrir antes de dar por finalizado el proceso de búsqueda ). El módulo de reproducción comienza definiendo la técnica para seleccionar el operador a utilizar con cada individuo, y como se ve es la misma que la de selección de padres, es decir, la técnica de la ruleta. Posteriormente, se especifican los operadores que se van a utilizar, como son el cruce uniforme y la mutación binaria. A este le acompaña un parámetro que determina, como se explicó en el apartado de operadores, el grado de ocurrencia de la mutación. El campo que determina el peso de los operadores, es precisamente el valor fitness que se asigna a cada operador para, de esta manera, controlar la actuación de cada operador en el proceso de la reproducción. 36