AVANZA. Vol. II. Álgebra, sistemas dinámicos y matemáticas aplicadas. Luis Loeza Chin. Universidad Autónoma de Ciudad Juárez.

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1 AVANZA Álgebra, sistemas dinámicos y matemáticas aplicadas Coordinador: Luis Loeza Chin Vol. II Universidad Autónoma de Ciudad Juárez

2 Universidad Autónoma de Ciudad Juárez Javier Sánchez Carlos Rector David Ramírez Perea Secretario General Antonio Guerra Jaime Director del Instituto de Ingeniería y Tecnología Servando Pineda Jaimes Director General de Difusión Cultural y Divulgación Científica

3 Universidad Autónoma de Ciudad Juárez Instituto de Ingeniería y Tecnología Departamento de Física y Matemáticas Cuerpo Académico de Matemáticas Puras y Aplicadas Con aportaciones de: Gustavo Tapia Sánchez Martha Takane Juan Francisco Estrada García Julio Erasto Poisot Macías Boris Mederos Madrazo David Gardea Jaime Romero María de los Ángeles Torres García

4 AVANZA: Algebra, sistemas dinámicos y matemáticas aplicadas [Recurso electrónico]/ Coord. Luis Loeza Chin. Ciudad Juárez, Chihuahua: Universidad Autónoma de Ciudad Juárez. Cuerpo Académico de Matemáticas Puras y Aplicadas páginas. Contenido: Máx-álgebras / Gustavo Tapia Sánchez, Martha Takane.-- Transformaciones casiconformes y dinámica holomorfa / Juan Francisco Estrada García, Julio Erasto Poisot Macías.-- Sobre la descomposición en valores singulares y seudoinversa de una matriz / Boris Mederos Madrazo, David Gardea, Gustavo Tapia, Jaime Romero.-- Clases características / María de los Angeles Torres García. AVANZA, Vol. II. FM-IIT, UACJ (2012), Este documento fue creado en LATEX, última compilación: 30 de abril de 2012 ISBN de Colección: ISBN: ISBN de Volumen 2: ISBN: Máx-álgebras. 2. Semianillos. 3. Semimódulos. 4. Casiconformes. 5. Superficie de Riemann. 6. Espacio de Teichmüller. 7. Sistemas dinámicos holomorfos. 8. Matriz seudoinversa. 9. Clases características. 10. Geometría diferencial. QA159 A Cuidado de la edicion y diagramacion: Luis Loeza Chin. Correccion: Jorge Hernandez Martnez. Cubierta: Karla Mara Rascon Gonzalez. D.R Luis Loeza Chin Universidad Autónoma de Ciudad Juárez Av. Plutarco Elíaas Calles núm. 1210, Fovissste Chamizal, C.P Ciudad Juárez, Chihuahua Impreso en México / Printed in Mexico Este documento fue creado en LATEX, ultima compilacion: 17 de mayo de 2012.

5 Agradecemos a: Universidad Autónoma de Ciudad Juárez Instituto de Ingeniería y Tecnología Departamento de Física y Matemáticas Dirección General de Difusión Cultural y Divulgación Científica Coordinación General de Investigación y Posgrado

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7 Índice general Presentación VII Artículos de investigación y divulgación 3 Máx-álgebras (G. Tapia, M. Takane) 3 1. Preliminares El concepto de Máx-álgebras Ejemplos de máx-álgebras Λ-semimódulos La categoría de Λ-semimódulos Transformaciones casiconformes y dinámica holomorfa (F. Estrada, J. Poisot) Introducción Transformaciones conformes Definición y resultados básicos Sobre la solución al problema de Grötzsch Definición analítica de transformación Casiconforme El caso diferenciable El caso general Superficies de Riemann Espacios cubrientes Métricas en superficies de Riemann Deformaciones de estructuras complejas y espacio de Teichmüller 38 v

8 5.1. Deformaciones casiconformes de funciones holomorfas Deformaciones casiconformes de estructuras Complejas Espacio de Teichmüller de una superficie de Riemann Movimiento holomorfo Aplicaciones a la dinámica holomorfa Preliminares sobre dinámica holomorfa Teorema de No Errancia de Sullivan El espacio de Teichmüller de una función racional Estabilidad estructural Cirugía casiconforme Sobre la descomposición en valores singulares y seudoinversa de una matriz (B. Mederos, D. Gardea, G. Tapia, J. Romero) Introducción Ortogonalidad, normas y transformaciones ortogonales Descomposición en valores singulares Reportes de proyectos de titulación Clases características (M. Torres) Introducción Variedades diferenciables Teorema de Poincaré-Hopf Haz tangente Clases características Haces vectoriales Morfismos de haces vectoriales Subhaz y haz inducido Suma de Whitney Secciones linealmente independientes Morfismos de haces genéricos Clases características

9 Presentación El Cuerpo Académico de Matemáticas Puras y Aplicadas del Instituto de Ingeniería y Tecnología de la Universidad Autónoma de Ciudad Juárez fue creado en 2010 por la firme decisión institucional de consolidar el mejoramiento de la calidad de los académicos adscritos a la Licenciatura en Matemáticas del Departamento de Física y Matemáticas del Instituto de Ingeniería y Tecnología de la UACJ, mediante la incorporación de sus miembros en actividades de investigación colectiva y con el compromiso de transmitir esta generación de conocimiento a toda la comunidad universitaria. Las Líneas de Generación y Aplicación del Conocimiento que cultiva el Cuerpo Académico de Matemáticas Puras y Aplicadas son: Álgebra, Ecuaciones diferenciales y Sistemas dinámicos y matemáticas aplicadas. Sus miembros trabajan de manera colegiada para la creación de nuevos conocimientos en estas áreas y sus aplicaciones: asi, mismo, se busca involucrar a estudiantes avanzados de la Licenciatura en Matemáticas en estas actividades con el objetivo de acercarlos a la investigación científica, contribuyendo con ello a una formación mas solida de los egresados de esta licenciatura. El presente material es un registro de algunas de las actividades realizadas por el Cuerpo Académico de Matemáticas Puras y Aplicadas. Todos los trabajos incluidos se han presentado en las actividades regulares del Cuerpo Académico o son producto de los esfuerzos colectivos de sus miembros y sus relaciones de colaboración con investigadores de otras instituciones. Luis Gabriel Loeza Chin Febrero de 2012 vii

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11 Artículos de investigación y divulgación

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13 AVANZA. Vol. II. FM - IIT, UACJ (2012) Máx-álgebras * Gustavo Tapia, Martha Takane ** Resumen En las últimas décadas se han incrementado de manera asombrosa las investigaciones sobre las llamadas máx-álgebras, extendiéndose el uso de éstas en diversas ramas de la matemática (ver [1], [2], [3] y [6]). El objetivo principal de este artículo es establecer de manera precisa un concepto de máx-álgebra, el cual incluya todos los diferentes casos de este tipo de estructuras algebraicas que se manejan en el ambiente matemático actual. Se dan diversos ejemplos de máx-álgebras y se establecen algunas propiedades generales. Palabras clave: máx-álgebras, semianillos, semimódulos. 1. Preliminares En esta sección damos una serie de conceptos y resultados básicos, que nos permitirán posteriormente definir con precisión el concepto central de máxálgebras (ver [4] y [6]). Un semigrupo es un conjunto Λ dotado de una operación binaria: : Λ Λ Λ, la cual satisface la ley asociativa. Es costumbre omitir el punto y escribir xy en vez de x y. Si se tiene definido un orden parcial en Λ, es decir, una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva, entonces decimos que Λ es un po-semigrupo (abreviación de partial ordered semigroup ) si el orden parcial es compatible con la operación de Λ; es decir, si para todo x, y, z Λ se cumple que: x y xz yz y zx zy. * Este trabajo se presentó en el Seminario de Ecuaciones Diferenciales y Sistemas Dinámicos. ** Departamento de Física y Matemáticas IIT-UACJ,

14 4 G. Tapia, M. Takane Si Λ es un po-semigrupo y x, y Λ, entonces decimos que z Λ es un supremo para x y y, si z es la mínima cota superior del conjunto {x, y}; es decir, si se cumplen las siguientes condiciones: (i) x z y y z. (ii) Si w Λ es tal que x w y y w, entonces z w. Es claro que si existe el supremo de x y y, entonces éste debe ser único, y se le denota como x y. De forma dual se define el concepto de ínfimo de x y y como la máxima cota inferior del conjunto {x, y}, y se le denota por x y. Un po-semigrupo Λ se llama l-semigrupo (abreviación de lattice semigroup ) si para cada x, y Λ, existen x y Λ y x y Λ. Finalmente, un o-semigrupo (abreviación de ordered semigroup ) es un po-semigrupo en el cual el orden parcial es total; es decir, cualesquier par de elementos de Λ son comparables entre sí; esto es, si x, y Λ, entonces necesariamente se cumple que x y o y x. Nótese que en este caso, x y = máx{x, y} y x y = mín{x, y}, y en particular, todo o-semigrupo es un l- semigrupo. Decimos que Λ es un monoide si Λ es un semigrupo, donde además existe un elemento identidad e Λ; es decir, ex = xe = x para todo x Λ. Es claro entonces lo que significan los conceptos de po-monoide, l-monoide y o-monoide. De esta forma, un grupo es un monoide donde cada elemento tiene inverso, y también podemos hablar de po-grupos, l-grupos y o-grupos. Cuando la operación es conmutativa, entonces el semigrupo (monoide, grupo) se llama semigrupo abeliano (monoide abeliano, grupo abeliano), y también podemos hablar de po-semigrupos abelianos, etcétera. Finalmente, si se satisface la propiedad x 2 = x para todo x Λ, entonces decimos que el semigrupo (monoide, grupo) es idempotente. Terminamos esta sección con los conceptos de semianillos y l-semianillos. Def inición 1.1. Sea Λ un conjunto donde se tienen definidas dos operaciones binarias, denotadas por + y. Decimos que (Λ, +, ) es un semianillo si: (i) (Λ, +) es un monoide abeliano. (ii) (Λ, ) es un semigrupo.

15 Máx-álgebras 5 (iii) El producto distribuye a la suma + por ambos lados. (iv) El elemento neutro aditivo 0 Λ absorbe al producto, es decir, para cada x Λ se cumple que 0 Λ x = x 0 Λ = 0 Λ. Es claro entonces cuáles son los conceptos de semianillo con división y semicampo. Si además se tiene definido un orden parcial en Λ, entonces decimos que el sistema (Λ, +,, ) es un po-semianillo si: (i) (Λ, +, ) es un po-monoide. (ii) Para todo x, y, z Λ si x y y 0 Λ < z, entonces x z y z y z x z y. Finalmente, si además se cumple que para cada x, y Λ existen x y Λ y x y Λ, entonces decimos que (Λ, +,, ) es un l-semianillo. Es claro entonces lo que significa o-semianillo. 2. El concepto de Máx-álgebras Antes de enunciar el concepto de máx-álgebras, establecemos el siguiente resultado cuya prueba es de rutina. Proposición 2.1. Sea (Λ,, ) un po-semigrupo (l-semigrupo, o-semigrupo) y sea Λ = Λ { }. Si x Λ, definimos: y si x Λ, definimos: < x ( ) x = x( ) = ; entonces (Λ,, ) es un po-semigrupo (l-semigrupo, o-semigrupo). Si Λ es l-semigrupo, entonces definimos en Λ las operaciones: x y := x y x y := x y, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

16 6 G. Tapia, M. Takane (a) (Λ, ) es un monoide conmutativo idempotente con elemento neutro aditivo E =. En consecuencia, el único elemento de Λ que tiene inverso aditivo es E =. (b) (Λ, ) es un semigrupo. (c) Si (Λ,, ) es un o-semigrupo o l-grupo, entonces el producto distribuye a la suma. (d) E = absorbe el producto. Demostración. La verificación de los incisos (a) y (d) es de rutina y el inciso (b) es parte de la proposición anterior. Para ver el inciso (c), primero suponemos que Λ es un o-semigrupo, de lo cual se sigue que para cada y, z Λ se cumple que y z o z y. Si z y y x Λ, por un lado se tiene que y z = z, lo que implica que x(y z) = xz, y por otro lado, se tiene también que xy xz, lo que implica que xy xz = xz. Juntando ambas igualdades tenemos que: x (y z) = x(y z) = xy xz = (x y) (x z) y análogamente si z y. Ahora suponemos que Λ es un l-grupo y sean: x(y z)... (1) (xy) (xz)... (2), si x =, entonces (1) = = (2), así que suponemos que x ; es decir, x Λ, y entonces tenemos que: xy (xy) (xz) y x 1 [(xy) (xz)] xz (xy) (xz) z x 1 [(xy) (xz)], y por lo tanto, y z x 1 [(xy) (xz)],

17 lo que implica finalmente que: Máx-álgebras 7 x(y z) (xy) (xz); es decir, hemos probado que (1) (2). La otra desigualdad se cumple en general: y y z xy x(y z) z y z xz x(y z), de donde es claro que (2) (1). De forma análoga se prueba la otra distributividad. Juntando las propiedades (a)-(d), tenemos: Proposición 2.2. Sean (Λ,, ) y (Λ,, ) como arriba. Son válidas: (i) Si (Λ,, ) es un o-semigrupo, entonces (Λ,, ) es un semianillo. (ii) Si (Λ,, ) es un o-monoide, entonces (Λ,, ) es un semianillo con 1, donde el neutro multiplicativo es e = 1 Λ. (iii) Si (Λ,, ) es un l-grupo, entonces (Λ,, ) es un semianillo con división. (iv) Si (Λ,, ) es un l-grupo abeliano, entonces (Λ,, ) es un semicampo. En todos los casos, (Λ,,, ) es un l-semianillo. Demostración. Sólo falta ver la última afirmación, para lo cual tomamos x, y, z Λ con x y, de donde x y z y como z y z, entonces x z y z; es decir, x z y z. Ahora, si z > E, entonces z Λ y x y implica que xz yz y zx zy; es decir, x z y z y z x z y. En los casos (i) y (ii) de la proposición anterior, tenemos que: x y = x y = máx{x, y} y decimos que Λ es una máx-álgebra. En los casos (iii) y (iv), decimos que Λ es una sup-álgebra.

18 8 G. Tapia, M. Takane Es claro que si definimos Λ := Λ { }, x < para todo x Λ y x( ) = ( )x = para todo x Λ, entonces se tienen las mismas proposiciones para (Λ,, ), donde: x y = x y x y = x y (x, y Λ). En este caso, Λ se llama mín-álgebra o inf-álgebra, según sea el caso. 3. Ejemplos de máx-álgebras En esta sección, vemos varios ejemplos de máx-álgebras y mín-álgebras. Ejemplo 3.1. {N, +} es un o-semigrupo abeliano con el orden usual, por lo que N es máx-álgebra y N es mín-álgebra (o-semianillos conmutativos). Ejemplo 3.2. {N, } es un o-monoide abeliano con el orden usual, por lo que N es máx-álgebra y N es mín-álgebra (o-semianillos conmutativos con 1). Ejemplo 3.3. {Z, +} es un o-grupo abeliano con el orden usual, por lo que Z es máx-álgebra y Z es mín-álgebra (o-semicampos). Ejemplo 3.4. {Q, +} es un o-grupo abeliano con el orden usual, por lo que Q es máx-álgebra y Q es mín-álgebra (o-semicampos). Ejemplo 3.5. {Q +, } es un o-grupo abeliano con el orden usual, por lo que Q + es máx-álgebra y Q + es mín-álgebra (o-semicampos). Ejemplo 3.6. {R, +} es un o-grupo abeliano con el orden usual, por lo que R es máx-álgebra y R es mín-álgebra (o-semicampos). Ejemplo 3.7. {R +, } es un o-grupo abeliano con el orden usual, por lo que R + es máx-álgebra y R + es mín-álgebra (o-semicampos). Nota 3.8. En los ejemplos 2, 5 y 7 en vez de N, Q + y R +, podemos tomar N {0}, Q + {0} y R + {0}, respectivamente; es decir, en vez de E = se trabaja con E = 0.

19 Máx-álgebras 9 Ejemplo 3.9. {Z 2, } con el orden natural, es decir, 0 < 1, es un o-monoide abeliano, por lo que Z 2 es máx-álgebra y Z 2 es mín-álgebra (o-semianillos conmutativos con 1). Nota Bajo el orden natural, {Z n, +} no es po-grupo para n 2 y {Z n, } no es po-grupo para n 3. En efecto, en el primer caso se tiene que: n 2 n 1 (n 2) + 1 (n 1) + 1, y en el segundo caso, tenemos que: 1 n 1 1 (n 1) (n 1)(n 1). Ejemplo En los complejos C, se define el orden lexicográfico como: x + iy < z + iw si y sólo si x < z o (x = z & y w). Es un hecho conocido que con este orden, {C, +} es un o-grupo abeliano, por lo que C es máx-álgebra y C es mín-álgebra (o-semicampos). Muchos ejemplos más de máx-álgebras pueden construirse a partir de los resultados de la sección anterior. 4. Λ-semimódulos De aquí en adelante, suponemos que Λ es o-monoide o l-grupo para que Λ sea semianillo con 1. Def inición 4.1. Un Λ-semimódulo izquierdo es un conjunto M con dos operaciones: + : M M M tales que: (i) (M, +) es un monoide abeliano. : Λ M M, (ii) λ, λ 1, λ 2 Λ y m, m 1, m 2 M, se cumplen las siguientes:

20 10 G. Tapia, M. Takane (a) λ 1 (λ 2 m) = (λ 1 λ 2 ) m. (b) (λ 1 λ 2 ) m = λ 1 m + λ 2 m. (c) λ (m 1 + m 2 ) = λ m 1 + λ 2 m 2. (d) 1 Λ m = m. (e) 0 Λ m = 0 M. Es costumbre usar la notación Λ M para indicar que M es un Λ-semimódulo izquierdo. Es claro cómo se define entonces un Λ-semimódulo derecho, y en este caso la notación usada es M Λ. Ejemplo 4.2. El mismo semianillo Λ bajo las operaciones y, es tanto un Λ-semimódulo izquierdo como un Λ-semimódulo derecho, el cual llamaremos Λ-semimódulo regular. Los siguientes dos ejemplos han sido ampliamente estudiados, principalmente en el caso cuando Λ es alguno de los semianillos de los ejemplos 3.6 y 3.7. Ejemplo 4.3. Sea n un entero positivo y consideremos el conjunto: Λ n := {(λ 1, λ 2,..., λ n ) λ i Λ}, si definimos las operaciones coordenada a coordenada, entonces Λ n es un Λ- semimódulo izquierdo (derecho). Ejemplo 4.4. Sean m, n enteros positivos y consideremos el conjunto de todas las matrices de m n con entradas en Λ, el cual denotamos como M m n (Λ). Si definimos las operaciones entrada a entrada, entonces M m n (Λ) es un Λ-semimódulo izquierdo (derecho). Es claro que también podemos definir el concepto de Λ-semimódulo izquierdo (derecho), pero aquí solamente nos remitiremos al estudio de los Λ- semimódulos. Todos los Λ-semimódulos serán izquierdos, a menos que otra cosa se especifique. Algunas propiedades básicas de los Λ-semimódulos, se establecen a continuación:

21 Máx-álgebras 11 Proposición 4.5. Si M es Λ-semimódulo, entonces: (i) λ Λ, se cumple que λ 0 M = 0 M. (ii) m M, se cumple que m + m = m; es decir, (M, +) es un monoide abeliano idempotente. Por lo tanto, el único elemento de M que tiene inverso aditivo es 0 M. Demostración. (i) λ 0 M = λ (0 Λ m) = (λ 0 Λ ) m = 0 Λ m = 0 M. (ii) m = 1 Λ m = (1 Λ 1 Λ ) m = 1 Λ m + 1 Λ m = m + m. De hecho, tenemos: Proposición 4.6. (M, +) es un monoide abeliano idempotente si y sólo si M es Z 2 -semimódulo. Demostración. En este caso, definimos: 0 m = 0 M 1 m = m ( ) m = 0 M. Es fácil verificar que bajo este producto, M es Z 2 -semimódulo. Es el inciso (ii) de la proposición anterior. Por lo tanto, podemos pensar que el estudio de los Λ-semimódulos es una generalización del estudio de los monoides abelianos idempotentes; de manera similar el estudio de los R-módulos es una generalización del estudio de los grupos abelianos. Para poder dar el siguiente ejemplo, necesitamos un resultado preliminar. Lema 4.7. Sea (M, +, ) o-monoide o l-grupo, y sea entonces: M + := {x M : x 0 M },

22 12 G. Tapia, M. Takane (i) n, m N {0}, se cumple que: (ii) n N {0}, se cumple que: n m nx mx, x M + ; n(x y) = (nx) (ny), x, y M +. Demostración. (i) Si x M +, entonces 0 M x, lo que implica que 0 M x 2x y así sucesivamente se obtiene la cadena: 0 M x 2x 3x... (ii) Procedemos por inducción sobre n, siendo el resultado obvio cuando n = 0 y n = 1. Ahora suponemos válido para n 0 y lo probaremos para n + 1. Usando entonces la hipótesis de inducción, tenemos que: (n + 1)(x y) = n(x y) + (x y) = (nx ny) + (x y). Como nx ny nx y x y x, entonces: (nx ny) + (x y) nx + x = (n + 1)x y de forma análoga se tiene que (nx ny) + (x y) (n + 1)y, por lo que tenemos que la siguiente desigualdad siempre se verifica: (nx ny) + (x y) (n + 1)x (n + 1)y. Ahora supongamos que z (n + 1)x y z (n + 1)y; entonces si (M, +) es l-grupo, tenemos que z nx x y z ny y, de donde: z n(x + y) x + y. Por otro lado, como x, y M +, entonces 0 M x y de aquí y x + y, y análogamente se tiene que x x + y y estas dos desigualdades implican que x y x + y, y por transitividad se sigue que z n(x + y) x y; es decir, z n(x + y) + (x y). Además, ya que x + y x y, entonces es claro que n(x + y) n(x y), y de aquí obtenemos que: z n(x + y) + (x y) n(x y) + (x y) = (n + 1)(x y),

23 Máx-álgebras 13 lo que prueba que en este caso (n + 1)(x y) = (n + 1)x (n + 1)y. Ahora suponemos que (M, +) es o-monoide, y en este caso la igualdad se sigue de manera más directa, ya que: n(x y) = n máx{x, y} = máx{nx, ny} = nx ny. El siguiente resultado nos provee de más ejemplos de Λ-semimódulos. Proposición 4.8. Sea (M, +, ) o-monoide o l-grupo. En M +, definimos: x ˆ+y = x y nˆ x = nx si n N {0}; entonces (M +, ˆ+,ˆ ) es N-semimódulo (considerando la máx-álgebra N máx,times ). Demostración. (i) Es obvio que (M +, ˆ+) es monoide abeliano, donde el elemento neutro es 0 M. (ii) Si n, m N {0} y x M +, entonces: (n m)ˆ x = máx{n, m}x. Por lo tanto, si n m, entonces máx{n, m}x = mx y por el lema anterior (i), sabemos que nx mx, de donde máx{nx, mx} = mx. Por lo que: (n m)ˆ x = máx{n, m}x = máx{nx, mx} = nˆ x ˆ+mˆ x. Si n N {0}, x, y M +, entonces usando el lema anterior (ii) tenemos que: nˆ (x ˆ+y) = n(x y) = (nx) (ny) = (nˆ ) ˆ+(nˆ y). También tenemos que si n, m N {0}, x M +, entonces: (n m)ˆ x = (nm)x = n(mx) = nˆ (mˆ x). Finalmente, es claro que 1 Nˆ x = 1 x = x, con lo cual queda concluida la prueba.

24 14 G. Tapia, M. Takane Muchos conceptos se definen de forma natural, pero como veremos más adelante, no en todos los casos la definición es la esperada. Definición 4.9. Sean Λ M, Λ N, decimos que una función f : M N es un Λ-homomorfismo de semimódulos, si m, m 1, m 2 M y λ Λ, se cumple que: (i) f(m 1 + m 2 ) = f(m 1 ) + f(m 2 ). (ii) f(λ m) = λ f(m). Denotamos por Hom Λ (M, N) al conjunto de todos los Λ-homomorfismos de M en N. Es claro que para cada Λ M, la función identidad 1 M Hom Λ (M, M) y si f Hom Λ (M, N) y g Hom Λ (N, K), entonces la composición gf Hom Λ (M, K), de lo cual vemos que podemos definir la categoría Λ-SMod, cuyos objetos son todos los Λ-semimódulos izquierdos y cuyos morfismos son los Λ-homomorfismos de semimódulos. Una consecuencia de las propiedades vistas es que si f Hom Λ (M, N), entonces f(0 M ) = 0 N ; en efecto, tenemos que: f(0 M ) = f(0 Λ 0 M ) = 0 Λ f(0 M ) = 0 N. Definición Sean Λ M y N M, decimos que N es un Λ-subsemimódulo de M si N es un Λ-semimódulo bajo las mismas operaciones de M. Es claro que esto es equivalente a que se cumplan las siguientes condiciones: (i) 0 M N. (ii) n 1, n 2 N n 1 + n 2 N. (iii) λ Λ y n N λ n N. Por ejemplo, si consideramos el Λ-semimódulo regular Λ Λ, entonces un subsemimódulo se llama semi-ideal izquierdo de Λ, el cual es un subconjunto I Λ, tal que: (i) 0 Λ I. (ii) x 1, x 2 I x 1 x 2 I.

25 (iii) λ Λ y x I λ x I. Máx-álgebras 15 De la misma forma, decimos que un subsemimódulo de Λ Λ se llama semiideal derecho de Λ, el cual es un subconjunto I Λ, tal que: (i) 0 Λ I. (ii) x 1, x 2 I x 1 x 2 I. (iii) λ Λ y x I x λ I. Finalmente, un semi-ideal bilateral, o simplemente semi-ideal de Λ, es un subconjunto I Λ, el cual es tanto un semi-ideal izquierdo como derecho de Λ. Ejemplos de ideales Las pruebas de los siguientes ejemplos son inmediatas, por lo que las omitimos. 1. {0 Λ } y Λ son ideales de Λ, los cuales son llamados ideales triviales. 2. Si I Λ es un ideal izquierdo (derecho), tal que 1 Λ I, entonces I = Λ. 3. Si Λ es o-monoide abeliano o l-grupo abeliano, entonces para cada λ Λ se cumple que: λ Λ := {λ x x Λ} es un ideal de Λ. 4. Si Λ es l-grupo, entonces los únicos ideales izquierdos (derechos) de Λ son los triviales. 5. La categoría de Λ-semimódulos En esta sección vemos algunos aspectos de la categoría de Λ-semimódulos. Algunas cuestiones elementales se refieren a la existencia de objetos concretos como: productos, coproductos, núcleos, etcétera. Es fácil ver que si {M i } es una familia de Λ-semimódulos, entonces el producto directo M i es Λ-semimódulo definiendo las operaciones puntualmente. Además, para cada i definimos

26 16 G. Tapia, M. Takane la proyección canónica π i : M i M i, la cual es un Λ-homomorfismo de semimódulos, y se puede verificar que el sistema { M i, π i } satisface la propiedad universal del producto directo; es decir, la categoría Λ-SMod tiene productos, los cuales son de hecho productos directos usuales. De forma similar, se ve que existen coproductos en Λ-SMod, que son sumas directas usuales. Dado f : M L un Λ-homomorfismo de semimódulos, es fácil ver que kerf = {x M f(x) = 0 N } es un Λ-subsemimódulo de M e Imf es un Λ-subsemimódulo de L. A continuación vemos una caracterización interesante del núcleo, lo que nos permitirá demostrar, por un lado, la existencia de las estructuras cociente, y por otro, ver la versión del Teorema del Factor, así como del Primer Teorema de Isomorfismo en la categoría Λ-SMod. Definición 5.1. Sean M Λ SMod y N M un subsemimódulo, decimos que N es normal en M si y sólo si existen L Λ SMod y f : M L un Λ-homomorfismo, tal que N = kerf. En el caso de que N es un subsemimódulo normal de M, lo denotamos por N M. Definición 5.2. Sea M Λ SMod, si x, y M definimos la siguiente relación: x y existe z M, tal que x + z = y. Es fácil ver que la relación anterior, define un preorden parcial en M. Definición 5.3. Sean M Λ SMod y N M un subsemimódulo, decimos que N es -cerrado si y sólo si para todo x, y M, se cumple la siguiente implicación: x y, y N x N. Tenemos entonces la siguiente caracterización de los subsemimódulos normales. Proposición 5.4. N M si y sólo si N es -cerrado. Demostración. Supongamos que N M, es decir, N = kerf para algún f : M L y sean x, y M, tales que x y con y N. Entonces x + x = y implica que f(x) + f(x ) = f(y) = 0; es decir, f(x) es un elemento

27 Máx-álgebras 17 de L, el cual tiene un inverso aditivo, por lo cual se sigue que f(x) = 0; es decir, x kerf = N, lo que demuestra que N es -cerrado. Ahora suponemos que N M es un subsemimódulo -cerrado. En M definimos la siguiente relación: x N y existen n, n N, tales que x + n = y + n. Es fácil ver que esto define una relación de equivalencia en M y como siempre [x] denota a la clase de equivalencia de x M, consideramos entonces el conjunto cociente: M/N = {[x] x M}, en donde definimos las siguientes operaciones: [x] [y] = [x + y] λ [x] = [λ x]. No es difícil ver que {M/N,, } es un Λ-semimódulo en donde el elemento neutro aditivo es [0], y como N es -cerrado, entonces [0] = N. Ahora definimos la proyección canónica π : M M/N, tal que f(x) = [x] y es claro que π es un Λ-homomorfismo, el cual satisface que kerf = N. En efecto, si x N entonces es claro que x N 0, lo que implica que f(x) = [x] = [0], lo que prueba que N kerf; por otro lado, si x kerf, entonces x N 0, de donde existen n 1, n 2 N, tales que x + n 1 = 0 + n 2 = n 2, lo que implica que x n 2 N y como N es -cerrado, de aquí se sigue que x N, obteniendo así la otra contención, y por tanto, la igualdad. De esta forma, vemos que podemos formar el semimódulo cociente M/N siempre que N M, y es a través de estos subsemimódulos con los que podemos enunciar el Teorema del Factor. Teorema 5.5. Sea f : M L un Λ-homomorfismo y sea N M, tal que N kerf; entonces existe un único Λ-homomorfismo g : M/N L, el cual satisface que gπ = f, donde π : M M/N es la proyección canónica. Además, si N = kerf, entonces g es inyectivo, y si f es suprayectivo, entonces g también lo es.

28 18 G. Tapia, M. Takane Demostración. Si gπ = f, entonces g([x]) = f(x) para todo x M, lo que nos dice que el único posible homomorfismo debe estar definido de esta forma. Por lo tanto, solamente debemos mostrar que g está bien definido y que es Λ-homomorfismo. Esto último es inmediato, en tanto que si suponemos que [x] = [y], entonces existen n, n N, tales que x + n = y + n, y de aquí que f(x) + f(n) = f(y) f(n ) y como por hipótesis N kerf, entonces tenemos que f(x) = f(y). Si N = kerf y g([x]) = 0, entonces f(x) = 0; es decir, x kerf = N = [0], lo que prueba que g es inyectiva. La última parte es trivial. Como siempre, una consecuencia inmediata del Teorema del Factor es el Primer Teorema de Isomorfismo. Corolario 5.6. Si f : M L es un Λ-homomorfismo, entonces M/kerf es Λ-isomorfo a Imf. Bibliografía [1] Baccelli, F. L.; Cohen, G.; Olsder, G.-J.; Quadrat, J.-P. Synchorinization and Linearity. Chichester, New York. J. Wiley and Sons (1992). [2] Butkoviĉ, P. Max-linear Systems: Theory and Algoritms. Springer-Verlag London Limited (2010). [3] Butkoviĉ, P. Max-algebra: The Linear Algebra of Combinatoris? Linear Algebra and Its Applications, 367 (2003), pp [4] Golan, J. S. Semirings and their Applications. Kluwer Academic Publishers (1999). [5] Gondran, M.; Minoux, M. Graphs, Dioids and Semirings. New Models and Algorithms. Springer Science + Business Media, LLC (2008). [6] Heidergott, B; Olsder, G. J; van der Woude, J. Max Plus at Work: Modeling and Analysis of Synchonized Systems: A Course on Max-Plus Algebra and Its Applications. Princeton University Press (2006).

29 Máx-álgebras 19 Gustavo Tapia Sánchez Departamento de Física y Matemáticas, IIT, Universidad Autónoma de Ciudad Juárez, Av. Del Charro núm. 450 norte, Ciudad Juárez, Chih., México, C.P , A.P D. Martha Yoko Takane Imay Instituto de Matemáticas de la UNAM, Unidad Cuernavaca, Av. Universidad s/n. Col. Lomas de Chamilpa, C. P , A.P. 273, Admón. de correos #3, Cuernavaca, Mor., México.

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31 AVANZA. Vol. II. FM - IIT, UACJ (2012) Transformaciones casiconformes y dinámica Holomorfa * Juan Francisco Estrada García, Julio Erasto Poisot Macías ** Resumen En este artículo se da una introducción a los conceptos y resultados básicos de las transformaciones casiconformes y el espacio de Teichmüller con algunas de sus aplicaciones en el estudio de la dinámica generada por las transformaciones racionales definidas en la esfera de Riemann Palabras clave: Casiconformes, superficie de Riemann, espacio de Teichmüller, sistemas dinámicos holomorfos 1. Introducción De acuerdo con Ahlfors [2], la noción de transformación casiconforme fue introducido por H. Grötzsch en 1928, al darse cuenta que si Q es un cuadrado y R es un rectángulo, que no es un cuadrado, no existe transformación conforme de Q en R, tal que envíe vértices en vértices. Al conseguir medir la aproximación a la conformidad de la transformación que resolvía su problema, Grötzsch dio el primer paso hacia la creación de la Teoría de las transformaciones casiconformes. Fue hasta 1935 en que los mapeos de Grötzsch fueron retomados por Lavrentieff en un artículo, que trata acerca de las ecuaciones diferenciales parciales no lineales asociadas al estado de un flujo potencial de un gas incomprensible. Tal trabajo proporciona una nueva interpretación de las ecuaciones de Cauchy-Riemann, a saber la conformidad. Esta teoría, por amplio consenso, tiene su nacimiento en un artículo de Lars Ahlfors en 1954 en el Journal D Analyse, en donde se presenta su primer trato sistemático y en su correcta generalidad, y se ha desarrollado tanto, que no todos los tópicos pueden ser cubiertos en un solo escrito sin importar el punto de vista que se tome. * Artículo de divulgación científica. ** Facultad de Ciencias Físico Matemáticas. BUAP,

32 22 F. Estrada, J. Poisot En este artículo, introducimos las definiciones y resultados básicos necesarios para entender la Teoría de la deformación de las transformaciones casiconformes en el plano. Cualquiera de tales transformaciones, puede ser deformada a la identidad dentro de toda la familia de transformaciones casiconformes. De acuerdo al Teorema de Uniformización, el caso de las transformaciones entre superficies de Riemann puede reducirse al caso de dominios planos. Esto nos permite tratar la Teoría de los espacios de Teichmüller, la cual entre otras cosas nos da una parametrización de todas las estructuras complejas de una superficie dada. Finalizamos este artículo dando algunas de las aplicaciones de esta teoría en el estudio de la dinámica holomorfa. 2. Transformaciones conformes 2.1. Definición y resultados básicos Una transformación en plano que preserva medidas de ángulos y orientación, se llama conforme. En análisis complejo, una función f diferenciable con derivada no cero, preserva ángulos y orientación. En particular, una función biyectiva entre dos dominios (abiertos y conexos) A y B, holomorfa, es un biholomorfismo entre estos dos dominios, y establece un homeomorfismo conforme entre estos dos dominios. A tal transformación le llamamos equivalencia conforme. Estos conceptos se generalizan a dominios del plano complejo extendido C := C { } cuya representación geométrica es la esfera de Riemann. En el caso especial de que A = B, tal equivalencia conforme se llama automorfismo conforme de A. Ejemplos fundamentales de transformaciones conformes son los grupos de automorfismos conformes de los dominios canónicos C, C, = {z C : z < 1}, H = {z C : Im (z) > 0}, descritos en el siguiente teorema: Teorema 2.1. (i) Todo elemento de Aut( C) tiene la forma: donde a, b, c, d C con ad bc = 1. γ (z) = az + b cz + d,

33 Transformaciones casiconformes 23 (ii) Todo elemento de Aut(C) tiene la forma: γ (z) = az + b, donde a, b C con a 0. (iii) Todo elemento de Aut( ) tiene la forma: γ (z) = az + b bz + ā, donde a, b C con a 2 b 2 = 1. Estos elementos también se pueden escribir como. γ (z) = exp iθ z α 1 ᾱz, donde θ R y α. (iv) Todo elemento de Aut(H) tiene la forma: donde a, b, c, d R con ad bc = 1. γ (z) = az + b cz + d, Demostración. (i) Si γ Aut( C) y γ ( ) =, entonces en una vecindad de, γ tiene una expansión de Laurent: γ (z) = az + b n z n, con a 0. Entonces γ (z) az es holomorfa en C, y por el principio del máximo se tiene que γ (z) az debe ser una constante b. Así obtenemos que γ (z) = az + b con a 0. Si γ Aut( C) y γ ( ) = z 0, entonces definiendo γ 1 (z) = 1 /(z z 0 ), vemos que γ 1,γ 1 γ Aut( C), y γ 1 γ( ) =. Así obtenemos que γ 1 γ (z) = 1 /(γ(z) z 0 ) = a 1 z + b 1, donde a 1, b 1 C con a 1 0. Por lo tanto, γ se escribe en la forma enunciada con ad bc 0. Además, γ no cambia cuando a, b, c y d son multiplicados por una constante común, por lo cual podemos normalizar la expresión de γ con ad bc = 1. (ii) Cada elemento γ Aut (C) se extiende a uno de Aut( C), si establecemos que γ ( ) =. Así que por el argumento anterior, se sigue que γ se expresa en la forma estipulada. n=0

34 24 F. Estrada, J. Poisot (iii) Sea γ Aut( ) con γ(0) = β. La transformación γ 1 (z) = (z β) /(1 βz) pertenece a Aut( ). Por tanto, γ 2 = γ 1 γ Aut( ) y γ 2 (0) = 0. De acuerdo al lema de Schwarz, γ 2 es una rotación γ 2 (z) = exp iθ z; con θ R, la otra expresión estipulada se sigue de inmediato. (iv) T (z) = (z i) /(z+i) es un biholomorfismo entre H y ; entonces, para cada elemento γ Aut(H), obtenemos γ 1 = T γ T 1 Aut( ). Así, γ 1 es una transformación que puede expresarse como en (i). Y puesto que γ envía H sobre si mismo, podemos suponer que a, b, c, d R, con ad bc > 0. Por tanto, γ puede escribirse de la forma en (iii), y en consecuencia de la forma en (iv). Todas estas transformaciones pertenecen al grupo de transformaciones de Möbius, las cuales se definen como: Möb ( C) { = T (z) = az + b } : a, b, c, d C con ad bc 0 cz + d. Una propiedad geométrica de las transformaciones de Möbius, es que transforman círculos en la esfera en círculos en la esfera. Dado que tres puntos caracterizan un círculo, entonces dados dos triángulos en C, existe una única transformación de Möbius, que lleva un triángulo en el otro y que lleva vértices en vértices. Uno de los resultados más importantes del análisis complejo, tanto por sus múltiples aplicaciones a la física matemática como a la geometría, es el Teorema de Transformación Conforme de Riemann. Teorema [Representación Conforme de Riemann] Todo dominio simplemente conexo del plano que no sea todo el plano, es conformemente equivalente al disco unitario. Una demostración de este teorema puede encontrarse en [1]. Es claro que utilizando los automorfismos del disco unitario, podemos obtener una infinidad de representaciones conformes de un dominio simplemente conexo que no sea el plano. La unicidad de tal transformación queda establecida exigiendo que el cero del disco unitario, sea la imagen de un punto dado en el dominio simplemente conexo y que la derivada en ese punto sea un número real positivo, o exigiendo que el argumento de la derivada en ese punto sea un número real dado en el intervalo ( π, π ]. Para establecer el comportamiento en la frontera

35 Transformaciones casiconformes 25 de la transformación de Riemann, necesitamos recordar que un dominio de Jordan es una imagen homeomorfa del disco unitario cerrado. Teorema 2.3 (Carathéodory-Osgood). Una transformación conforme del disco unitario sobre un dominio en el plano, puede ser extendida a un homeomorfismo del disco cerrado sobre la cerradura del dominio si y solo si este dominio es de Jordan. Una demostración de este teorema puede encontrarse en [3]. El teorema de Riemann es de existencia, así que en sus aplicaciones tanto a la física como a la geometría, es muy conveniente, contar con una expresión explícita del biholomorfismo, lo cual es establecido en el siguiente resultado, donde se usa que el semiplano superior y el disco unitario son biholomorfos, y el biholomorfismo está dado por: donde Im(λ) > 0 y θ R. T (z) = exp (iθ) ( ) z λ z λ, Teorema 2.4 (Fórmula de Schwarz-Christoffel). Sea f una transformación conforme del semiplano superior H sobre el interior D de un polígono cerrado P en el plano; sean < a 1 < a 2 < < a n la lista de puntos transformados a los vértices de P por el homeomorfismo extendido f de f a la cerradura H de H en C, y sea α j π el ángulo interior de P en el vértice f(a j ). Entonces, existen constantes A y B, tales que para cualquier z H: f(z) = A z si a n, mientras que: si a n =. f(z) = A z i i (ς a 1 ) α 1 1 (ς a 2 ) α 2 1 (ς a n ) αn 1 dς + B (ς a 1 ) α 1 1 (ς a 2 ) α 2 1 (ς a n 1 ) α n 1 1 dς + B Una demostración puede encontrarse en [1].

36 26 F. Estrada, J. Poisot 2.2. Sobre la solución al problema de Grötzsch Podemos enunciar la problemática de Grötzsch del modo siguiente: existe una transformación conforme que envíe un cuadrado en un rectángulo, que no es un cuadrado, de forma que lleve vértices a vértices?, su respuesta es negativa. Â Existe un difeomorfismo C 1 que resuelva este problema?, su respuesta es afirmativa. Â Existe un modo de medir la desviación de la conformodidad de la solución?, su respuesta es afirmativa. El siguiente argumento nos permite verificar estas respuestas [2]: Sea f : U V un difeomorfismo de clase C 1 entre dos dominios U y V del plano que preserva orientación, es decir, el jacobiano J f (z) := f (z) 2 f (z) 2 es positivo en U, lo cual denotamos por f Dif + (U, V ), para el cual se definen las derivadas parciales complejas f y f con z = x + iy, la diferencial df y la derivada Df por: La derivada α f en la dirección α: f = 1 2 (f x if y ), f = 1 2 (f x + if y ) df = fdz + fd z [Df (z)] (u) = f (z) u + f (z) ū. f (z + r exp (iα)) f (z) α f (z) = lím. r 0 r exp (iα) Entonces, α f = f + f exp ( 2iα), y así: máx α αf (z) = f (z) + f (z), mín α α f (z) = f (z) f (z). La diferencia f (z) f (z) es positiva, ya que el jacobiano J f := f 2 f 2 es positivo para los difeomorfismos que preservan la orientación. En consecuencia, el cociente de dilatación: D f (z) := máx α α f (z) mín α α f (z) = f (z) + f (z) f (z) f (z) es finito y mayor o igual a 1.

37 Transformaciones casiconformes 27 La transformación f es conforme si y sólo si f se anula en su dominio. Entonces, α f es independiente de α: y obtenemos que α f = f = f, lo cual es equivalente a que el cociente de dilatación sea idénticamente igual a 1. El cociente de dilatación es un invariante conforme: si g y h son transformaciones conformes, tales que w = h f g esté definida, entonces se demuestra que D f (z) = D w ( g 1 (z) ). Sean R y R dos rectángulos con lados a, b y a, b, respectivamente. Podemos suponer que a/b a /b y que b b ; de otra manera, intercambiamos a y b. Supongamos que R U y R V y f (R) = R, y que f envía lados a en lados a y lados b en lados b. Obtenemos las siguientes estimaciones: ( f f ) dz df ( f + f ) dz, lo cual se sigue de la definición de diferencial; además: o a 2 b 2 y en particular, a = a 0 a b 0 0 df (x + iy) dx a b a b 0 0 f + f f f dxdy = a b a 0 a b a b 1 ab a a 0 ( f + f ) dx ( f + f ) dxdy b 0 a b 0 0 D f dxdy R D f dxdy ( f 2 f 2 ) dxdy b a b sup D f (z). z U El mínimo es alcanzado para la transformación afín, dada por: f (z) = 1 ( ) a 2 a + b z + 1 ( ) a b 2 a b z. b Esto demuestra que no existe transformación conforme, que resuelva el problema de Grötzsch.

38 28 F. Estrada, J. Poisot 3. Definición analítica de transformación Casiconforme 3.1. El caso diferenciable De acuerdo a la sección anterior, siguiendo a Ahlfors, podemos definir el concepto de transformación casiconforme para f Dif + (U, V ). Definición 3.1. f Dif + (U, V ) es K casiconforme, con K 1 si D f (z) K para todo z U. Diremos que f Dif + (U, V )es casiconforme, si existe un K 1, tal que f es K casiconforme. La menor K, tal que f es K- casiconforme, es llamada dilatación casiconforme de f. Ejemplo ) Sean U = {x + iy : y 2x y 0 < x < 1}, V = C. Consideremos la función f : U V, dada por: f (x + iy) = 2 x + i y x, es casiconforme, ya que f Dif + (U, V ) y D f es acotada en U. 2) Sea K > 1. La función h :, dada por h (z) = z z K, es casiconforme, ya que h Dif + (, ) y D h = h + h h h K K K K+1 3) Sea U = {x + iy : y x y 0 < x < 1}, V = C. La transformación g : U V, dada por g (x + iy) = x + i y x, es un elemento de Dif + (U, V ), tal que D g no es acotada en U por lo cual no es casiconforme. Sin embargo, para cualquier punto en U, podemos construir una vecindad de tal punto, en la cual esta transformación es casiconforme. Desde el punto de vista geométrico, podemos hacer las siguientes observaciones: 1) Una transformación conforme infinitesimalmente envía circunferencias en circunferencias, lo cual se desprende directo de la definición de derivada compleja. 2) Una transformación casiconforme infinitesimalmente envía circunferencias en elipses, es decir, la derivada envía circunferencias en elipses, lo cual se constata del siguiente argumento: Df (z) r exp (iθ) = r f (z) exp (iθ) + r f (z) exp (iθ)..

39 Transformaciones casiconformes 29 Y si tomamos f (z) = r 1 exp (iθ 1 ), y f (z) = r 2 exp (iθ 2 ), la parte derecha de la igualdad anterior toma la forma: ( r exp i θ ) { ( ) ( )} 1 + θ 2 θ1 θ 2 θ1 θ 2 (r 1 + r 2 ) cos + θ + i (r 1 r 2 ) sin + θ, que es la representación polar de una elipse, cuyo cociente de las longitudes del eje mayor y el eje menor es: r 1 + r 2 f (z) + f (z) = r 1 r 2 f (z) f (z) = D f (z), lo cual nos proporciona una interpretación geométrica de D f (z). Si S 1 = {z C : z = 1} y f Dif + (U, V ), para z U, denotamos por E f (z) la elipse Df 1 (f (z)) ( S 1) considerada módulo una homotecia real y se define la función µ f (z) := f(z) f(z). Tenemos que µ f (z) < 1. Las condiciones siguientes son equivalentes: i) La transformación f es conforme, es decir, f es holomorfa con derivada no nula en U. ii) E f es el campo de circunferencias. iii) µ f = 0 en U. Los datos provistos por el campo de elipses E f en U (considerado módulo una homotecia real en cada punto) y los de la función µ f : U, son equivalentes. Además, tenemos que µ f y D f están relacionadas por: D f (z) = 1 + µ f 1 µ f. El argumento principal de µ f (z) satisface: Arg (µ f (z)) = θ 2 θ 1 = 2ϕ, donde ϕ es el ángulo que hace el eje menor de la elipse con el eje real. La definición de la función µ f y su significado geométrico, nos permite plantearnos la siguiente pregunta: dado un dominio en U C y un campo de elipses E definido en U, podemos encontrar un difeomorfismo f : U V, tal que el campo E = E f? Lo cual equivale a: dada una función µ : U, podemos encontrar un difeomorfismo f : U V, tal que µ = µ f? Es decir, nos estamos preguntando por las soluciones de la ecuación en derivadas parciales: f = µ f,

40 30 F. Estrada, J. Poisot la cual es conocida como ecuación de Beltrami. Esta ecuación surge también en el estudio de la geometría diferencial de superficies, en particular en la teoría de superficies que admiten una estructura holomorfa, conocidas como superficies de Riemann, y esta teoría es fundamental en el estudio de la dinámica holomorfa. Una de las técnicas más exitosas en dinámica holomorfa inaugurada en la década de 1980, es la llamada cirugía holomorfa, en la cual el uso del teorema que garantiza la existencia de soluciones a la ecuación de Beltrami, es un hecho fundamental, así como en el estudio de grupos kleinianos. En todas estas aplicaciones de la ecuación de Beltrami, es necesario considerar que la función µ no es necesariamente continua; es decir, f no es necesariamente diferenciable. Por lo que necesitamos generalizar nuestro concepto de transformación casiconforme El caso general Para tratar el caso general, necesitamos introducir algunas nociones básicas de la Teoría de distribuciones de L. Schwartz. Sea U un abierto de C. Denotamos con C (U) (respect. C 1 (U), C (U)) el espacio vectorial de funciones continuas definidas en U, y que toman valores en C (respect. el espacio de funciones con derivadas continuas y el espacio de funciones con derivadas de todos los órdenes). Denotamos C comp (U) el espacio de funciones con soporte compacto definidas en U, y definimos igualmente Ccomp 1 (U) y Ccomp (U). El espacio L 2 (U) es completación del espacio C comp (U) con la norma L 2 definida por: ( f L 2) 2 = f 2 = f (z) 2 dxdy, donde la integral es considerada respecto a la medida de Lebesgue. Éste es un espacio de Hilbert complejo. Denotamos por L 2 comp (U) el subespacio de funciones de L 2 (U) que tienen soporte compacto en U, y por L 2 loc (U) el espacio de funciones definidas en U y que están localmente en L 2. De igual manera, definimos L 1 (U), L 1 comp (U), L 1 loc (U). Recordemos que z U L (U) = {f : U C medible y acotada} es un espacio de Banach complejo, con la norma f :=sup esenc z U f (z). Definición 3.3. Dadas dos funciones f y g en L 1 loc sentido de distribuciones, si: ( h C comp (U) ) gh = (U), decimos que g = f x f h x. en el

41 Transformaciones casiconformes 31 La función g está determinada de manera única (como elemento de L 1 loc (U)) por esta condición. Definición 3.4. Definimos el espacio de Sobólev Hloc 1 (U) como el espacio vectorial de funciones f L 1 f loc (U), que admiten derivadas parciales x y f y en el sentido de distribuciones contenidas en L 2 loc (U). Para f H1 loc (U), definimos f y f en el sentido de distribuciones mediante las fórmulas habituales: f = 1 ( ) ( ) f 2 x i f 1 f, f = y 2 x + i f. y Teorema(lema de H. Weyl). Si U C es abierto, y f : U C es una función continua, tal que f L 1 loc (U) y f = 0 en el sentido de distribuciones, entonces f es holomorfa en U. Una demostración puede encontrarse en [9]. Con estos conceptos estamos en la posibilidad de enunciar la definición analítica general de transformación casiconforme. Def inición 3.5. Sean U, V subconjuntos abiertos de C, tomemos K 1, y sea k := (K 1) / (K + 1), así que 0 k < 1. Una transformación f : U V es K casiconforme, si es un homeomorfismo cuyas derivadas parciales en el sentido de distribuciones f y f pertenecen a L 2 loc (U) y satisfacen: f k f en L 2 loc (U); es decir, µ k a µ se llama dilatación compleja de f. Supongamos que f es k casiconforme y g es k casiconforme, y pongamos: K = 1 + k 1 k, K = 1 + k 1 k, entonces la K correspondiente a f g es a o más K K y así f g es k casiconforme para alguna k = k (k, k ). En realidad, se puede demostrar que: Proposición 3.6. Si f : U V y g : V W son homeomorfismos casiconformes, entonces la composición g f es casiconforme y µ g f (z) = µ f (z) + µ g (z) f(z) f(z) 1 + µ g (f (z)) µ f (z) f(z) f(z) Si f es holomorfa, entonces µ g f (z) = µ g (f (z)) f(z) f(z)..

42 32 F. Estrada, J. Poisot Una demostración puede encontrarse en [2]. De acuerdo al lema de Weyl, tenemos: Teorema 3.7. Sean U, V C abiertos. Un homeomorfismo f : U V que es 1-casiconforme, es conforme. El siguiente resultado es el punto de partida para la Teoría de la deformación de transformaciones casiconformes en el plano. Teorema 3.8. (Morrey, Bojarski, Ahlfors, Bers) (Transformación medible de Riemann). i) Sea U C un abierto y sea µ L (U), tal que µ < 1. Entonces existe una transformación casiconforme f := f µ : U C, que satisface la ecuación de Beltrami: f = µ f Además, f (z) z 0 cuando z. A tal función µ se le llama coeficiente de Beltrami en U. ii) Si g es otra solución casiconforme de esta ecuación, entonces existe una función holomorfa e inyectiva ϕ : f (U) C, tal que g = ϕ f, así que µ ϕ f (z) = µ f (z). iii) Si la función µ depende también de un parámetro λ, es decir, µ : Λ U C, donde λ Λ y Λ es un dominio de C, y la dependencia de µ respecto a λ es holomorfa (respect. continua), entonces las soluciones de la ecuación de Beltrami, f µλ, dependen de manera holomorfa (respect. continua) del parámetro λ. Una demostración se encuentra en [7]. Nota 3.9. Dos transformaciones entre superficies f, g : S 1 S 2, se dicen isotópicas si existe una familia a un parámetro H t : S 2 S 2 de homeomorfismos, tal que H 0 = id S2 y H 1 f = g. De acuerdo a (ii), dos soluciones f µ y g µ de la ecuación de Beltrami, son isotópicas. Además, si f µ y g µ son homeomorfismos casiconformes de la esfera C, entonces g µ = ϕ f µ para alguna transformación de Möbius ϕ. 4. Superficies de Riemann En el estudio del comportamiento multivaluado de ciertas funciones holomorfas, o en el estudio de la extensión del dominio de holomorfía (continuación analítica) de estas funciones, surge el concepto de superficie de Riemann. Hay varias formas de introducir este concepto, pero la forma que nos conviene en esta exposición es la siguiente: Una variedad de dimensión n es un espacio topológico conexo Hausdorff X, tal que cada punto del espacio posee una vecindad abierta, que es homeomorfa a un abierto de R n o de C n (variedad topológica). Si además en cada punto p X, para

43 Transformaciones casiconformes 33 dos vecindades U, U de p, con ϕ : U R n y ψ : U R n homeomorfismos a abiertos de R n (o C n ), se tiene que: ϕ ψ 1 : ψ (U U ) ϕ (U U ) es diferenciable (analítica), la variedad se llama diferenciable (analítica). Def inición 4.1. Sea S una variedad diferenciable de dimensión real 2. Una carta compleja es un homeomorfismo ϕ : U V de un subconjunto abierto U S sobre un subconjunto abierto V C. Dos cartas complejas ϕ i : U i V i, i = 1, 2, se dicen compatibles holomorfamente si la función: es biholomorfa. ϕ 2 ϕ 1 1 : ϕ 1 (U 1 U 2 ) ϕ 2 (U 1 U 2 ) Un atlas complejo en S es un sistema U = {ϕ i : U i V i, i I} de cartas, que son compatibles holomorfamente y que cubren a S; es decir, i I U i = S. Dos atlas complejos U y U se dicen equivalentes holomorfamente,si toda carta de U es compatible holomorfamente con toda carta de U. Nótese que la composición de funciones biholomorfas es biholomorfa; en consecuencia, la noción de equivalencia holomorfa de atlas complejos es una relación de equivalencia. Una estructura compleja sobre una variedad S de dimensión real 2, es una clase de equivalencia de atlas equivalentes holomorfamente sobre S. Definición 4.2. Una superficie de Riemann es un par (S, Σ), donde S es una variedad de dimensión real 2, conexa y Σ es una estructura compleja sobre S. Usualmente escribimos S en lugar de (S, Σ), siempre que sea clara la estructura compleja Σ que estamos considerando. Ejemplo 4.3. Ejemplos de superficies de Riemann: (a) El plano complejo C. Su estructura compleja está definida por el atlas cuya única carta es la función identidad C C. (b) Dominios. Supongamos que S es una superficie de Riemann y que D S es un subconjunto abierto y conexo. Entonces D tiene una estructura compleja natural, que lo convierte en una superficie de Riemann. El atlas es aquel formado por todas las cartas complejas ϕ : U V sobre S, tales que U D. En particular, todo dominio de C es una superficie de Riemann. (c) La esfera de Riemann C. Introducimos la siguiente topología sobre C. Los conjuntos abiertos son, los conjuntos abiertos usuales U C, junto con los conjuntos de la forma V { }, donde V C es el complemento del subconjunto compacto G

44 34 F. Estrada, J. Poisot C. Con esta topología, C es un espacio topológico Hausdorff compacto, homeomorfo a la esfera de dimensión 2, S 2. Tomemos: U 1 := C { } = C U 2 := C {0} = {C {0}} { }. Definimos las funciones ϕ 1 : U 1 C como la función identidad y ϕ 2 (z) := { 1 z para z C {0} 0 para z=. El atlas definido por estas dos cartas, convierte a Cen una superficie de Riemann. (d) El cilindro. Considérese el grupo cíclico G de traslaciones actuando en C, cuyos elementos son de la forma z z + n, donde n Z. Entonces hay una transformación cubriente natural (véase la sección siguiente) π : C C/G, que envía un punto a la órbita bajo la acción de G. Topológicamente, el espacio de órbitas puede ser representado como la banda infinita {z 0 x < 1} con el punto iy en el lado izquierdo de la banda, identificado con 1 + iy en el lado derecho. Las ramas de π 1 restringidas a la imagen de π de conjuntos abiertos en C, que están estrictamente entre dos líneas verticales separadas una unidad, son homeomorfismos. Esos homeomorfismos constituyen un sistema de cartas para C/G, cuyas transformaciones de transición son traslaciones en G. Así que C/G es una superficie de Riemann. Además, se puede verificar que la transformación z exp {2πiz} induce un isomorfismo conforme de C/G sobre C \ {0}. (e) Los toros. Sea G el grupo de las traslaciones de la forma z z + nw 1 + mw 2 con n, m Z, y w 1, y w 2 forman una base sobre R para C, actuando en C. Entonces R = C/G es un toro, y como en el ejemplo anterior, este tiene una estructura de superficie de Riemann, dada por las ramas de la inversa de la transformación cubriente π : C C/G. (f) El Teorema de Transformación medible de Riemann nos conduce naturalmente a la idea de que cada µ L (U), en un dominio simplemente conexo U C, produce una nueva superficie de Riemann (U, Σ µ ), con la estructura conforme Σ µ definida por el atlas U (µ), que consiste en la familia de todas las transformaciones ϕ : U C, las cuales son casiconformes con dilatación µ en U. El punto (ii) de tal teorema garantiza que las funciones de transición entre dos diferentes cartas coordenadas, es holomorfa. Definición 4.4. Una función entre dos superficies de Riemann f : (S 1, Σ 1 ) (S 2, Σ 2 ), se dice holomorfa si para cualesquiera cartas complejas ϕ : U V, φ : U V de Σ 1 y Σ 2, respectivamente, tales que f (U) U, se verifica que la expresión local de la función φ f ϕ 1 : V V es holomorfa. Dos superficies de Riemann se dicen equivalentes biholomorfamente,si existe una función biyectiva y holomorfa entre ellas, con inversa holomorfa.

45 Transformaciones casiconformes 35 Uno de los problemas más importantes del análisis complejo es el de la clasificación de superficies de Riemann, bajo la relación de equivalencia biholomorfa. Este problema alcanzó finalmente su respuesta (Koebe, Poincaré, Klein) a principios del siglo XX, lo cual queda establecido en el siguiente teorema Espacios cubrientes La Teoría de los espacios cubrientes está relacionada con el estudio del grupo fundamental. Muchas cuestiones topológicas básicas sobre espacios cubrientes, pueden reducirse a cuestiones puramente algebraicas sobre los grupos fundamentales de los distintos espacios involucrados. Recurriremos a esta teoría para establecer resultados básicos en el estudio de las superficies de Riemann. En lo que sigue, se supondrá que todos los espacios son arco-conexos y localmente arco-conexos, mientras no se diga lo contrario. Definición 4.5. Decimos que una transformación continua π : X X entre espacios topológicos, es llamada transformación cubriente o que X recubre a X a través de π, si cada y X tiene una vecindad V, tal que π 1 (V ) = j J U j, donde los U j son abiertos conexos ajenos de X, tales que para todo j J, π : U j V es un homeomorfismo. Definición 4.6. Decimos que dos curvas α, α : [0, 1] X son homotópicas (relativas a los puntos extremos), si existe una función continua γ : [0, 1] [0, 1] X tal que para γ s (t) = γ (t, s) se tiene que γ 0 = α y γ 1 = α, y las curvas γ s tienen los mismos puntos extremos para cada s. En particular, si α es una curva cerrada α (0) = α (1) = x 0, entonces las γ s son también curvas cerradas con punto extremo x 0. La función γ es llamada homotopía entre α y α. Dado x 0 X, sea π 1 (X, x 0 ) el espacio de clases de homotopía de curvas cerradas, con γ (0) = γ (1) = x 0. Este espacio puede convertirse en el grupo fundamental de X con punto base x 0, definiendo para cada [γ 1 ], [γ 2 ], pertenecientes a π 1 (X, x 0 ), su suma [γ 1 ] + [γ 2 ] como la clase de homotopía de la curva: { γ 1(2t) para t [0, γ (t) = 2] 1 γ 2(2t 1) para t [ 1,1]. 2 Un espacio X es conexo simplemente si π 1 (X, x 0 ) = 0, donde 0 representa la clase de homotopía de la curva constante x 0. La propiedad principal de una transformación cubriente es que curvas y homotopías, pueden ser levantadas: para cada α : [0, 1] X continua, existe ᾱ : [0, 1] X con π ᾱ = α. Además, si γ es una homotopía entre α y α, entonces existe una homotopía γ entre ᾱ y algún levantamiento ᾱ de α. Un cubriente es universal si X es conexo simplemente.

46 36 F. Estrada, J. Poisot Teorema 4.7. Sea X un espacio topológico conexo por trayectorias. Entonces, tenemos lo siguiente: 1. Existe una transformación cubriente π : X X. 2. Cada transformación continua f : Y X, tiene un levantamiento. Más precisamente, para cada y Y y cada x π 1 (f (y)), existe una única transformación continua f : Y X con π f = f y f (y) = x. 3. Si f : Y Y es una transformación cubriente y Y es conexo simplemente, entonces f es un homeomorfismo. En particular, el cubriente universal es único salvo homeomorfismos. Una demostración puede consultarse en [9]. Debido al teorema precedente, uno puede levantar π : X X a una transformación π : X X. Puesto que π es una transformación cubriente, π también es una transformación cubriente, y puesto que X es conexo simplemente, es un homeomorfismo. Sea Γ el espacio de tales levantamientos: Γ = { π; π es un levantamiento de π : X X }. Este espacio es un grupo con la composición, y es llamado grupo de transformaciones cubrientes. Ejemplos de superficies cubrientes: (i) Sea π : C C {0}, dado por π (z) = exp (z). Entonces, C es una superficie cubriente universal de C {0}. (ii) Sea π : H {0}, dado por π (z) = exp (2πiz). Entonces, H es un cubriente universal de {0}. (iii) Sea π : C {0} C {0}, dado por π (z) = z n, con n N. Entonces, C {0} es una superficie cubriente de sí misma, pero no es una superficie cubriente universal. (iv) Sea λ > 1, definamos r = exp ( 2π 2 /log λ) y A = {w C : r < w < 1}. Definimos π : H A por π (z) = exp ( 2πi log(z) /log(λ)), donde log (z) denota su rama principal. Entonces, H es la superficie cubriente universal del anillo A. (v) Sea Γ τ = {γ = m 1 + nτ : m, n Z, τ H}, el grupo de red generado por 1 y τ con la operación de suma. Este grupo es isomorfo a un subgrupo del grupo Aut(C), donde el isomorfismo está dado por γ γ (z) = z + m 1 + nτ. Sea π la proyección de C C /Γ τ, entonces C es la superficie cubriente universal del toro C /Γ τ. (vi) Si X es localmente conexo simplemente, el grupo Γ actúa discontinuamente sobre X (es decir, cada punto tiene una vecindad U, tal que γ (U) U para sólo un número finito de elementos γ Γ). Además, el espacio X es homeomorfo a X /Γ y el grupo Γ es isomorfo al grupo fundamental π 1 (X). Teorema 4.8. En toda superficie de Riemann S, existe una superficie cubriente universal S de S, la cual es biholomorfa a una de las siguientes: 1) El plano complejo C. 2) La esfera de Riemann C. 3) El disco unitario.

47 Transformaciones casiconformes 37 Demostración. Este teorema es consecuencia de un notable resultado, debido a Koebe, llamado Teorema de Planaridad de Koebe, el cual establece que cualquier superficie de Riemann plana, es conformemente equivalente con una de las tres posibilidades siguientes: C, C, o un dominio contenido en C. Una superficie R es plana si cualquier curva cerrada simple, contenida en R, divide a R en dos componentes. De la Teoría de los espacios cubrientes, cualquier superficie R tiene una cubierta universal simplemente conexa R con transformación cubriente π : R R, donde π es un homeomorfismo local y hay un grupo G de transformaciones cubrientes actuando en R sin puntos fijos, con la propiedad de que e R/G es homeomorfo a R. Además, cada punto p R tiene una vecindad N, tal que γ (N) N es vacío para cada elemento γ G \ {id}. La estructura conforme dada en R, induce una estructura conforme en el espacio cubriente R, convirtiéndolo en una superficie de Riemann plana simplemente conexa. Así, el Teorema de Planaridad y el Teorema de Representación Conforme de Riemann, implican que R es conformemente equivalente a C o a C o a H. Nótese que el grupo G es libre de torsión actuando en H, cuyo espacio factor es conforme a R, pero no es determinado en forma única. Sin embargo, si G es otro subgrupo libre de torsión de P SL (2, R), tal que H factorizado por G es conformemente equivalente a R, entonces existe una transformación de Möbius B, que preserva H, tal que G = B G B 1. Nos referiremos a estas tres posibilidades como el caso euclidiano (o parabólico), hiperbólico, y esférico (o eĺıptico), respectivamente. Esas superficies de Riemann no son mutuamente conformemente equivalentes. El plano complejo C no es biholomorfo a C, ya que C no es compacto y C sí lo es. Por la misma razón, y C no son biholomorfos. El plano C y el disco no son biholomorfos, ya que en C toda función entera acotada es constante y en, existen funciones holomorfas acotadas no constantes. La transformación de Möbius w = (z i) /(z+i) modifica biholomorfamente H en el disco unitario Métricas en superficies de Riemann De acuerdo a la sección anterior, una superficie de Riemann es una variedad diferenciable de dimensión real 2 y en el estudio de la geometría diferencial, el concepto de métrica riemanniana sobre ellas es una herramienta fundamental, lo cual necesitaremos más adelante. Def inición 4.9. Una métrica riemanniana sobre una superficie de Riemann S, es una forma cuadrática positiva sobre el espacio tangente en cada punto de S. En una carta local z = x + iy, ésta se puede escribir como: ds 2 = a (z) dx 2 + 2b (z) dxdy + c (z) dy 2,

48 38 F. Estrada, J. Poisot ( donde a (z) > 0 y b (z) 2 a (z) b (z) a (z) c (z) < 0 y la matriz asociada b (z) c (z) ) depende suavemente de z. Con la notación compleja dz = dx + idy y d z = dx idy, la métrica se puede expresar como: ds 2 = ρ (z) dz + µ (z) d z 2, con ρ (z) > 0 y µ (z) < 1. La métrica estándar de C es ds 2 0 := dz 2 = dx 2 + dy 2 y la de C es: ( ) 2 ds 2 C 2 dz = 1 + z 2. La métrica hiperbólica (o de Poincaré) en el disco unitario es: ( ) 2 ds 2 2 dz = 1 z 2, la cual tiene a las transformaciones de Möbius Möb ( ) como isometrías. De cada métrica, podemos obtener una distancia d (z 1, z 2 ) integrando a lo largo de las curvas de z 1 a z 2 y tomando el ínfimo de tales longitudes. Dos métricas ds 2 1 y ds 2 2 son equivalentes conformemente, si existe una función positiva τ (z), tal que ds 2 2 = τ (z) ds 2 1. Una clase de equivalencia conforme de métricas, define una estructura conforme sobre S. Trataremos también con estructuras conformes medibles, para las cuales los coeficientes de la métrica se suponen medibles y las relaciones anteriores son satisfechas casi donde quiera, con respecto a la medida de Lebesgue. La estructura conforme estándar es σ 0 := [ [ ds0] 2 = ds 2 C], donde los corchetes denotan la clase de equivalencia de las métricas respectivas. Se puede demostrar usando lo anterior, que las estructuras conformes medibles están en una correspondencia uno a uno con las diferenciales de Beltrami, tensores de la forma µ (z) dz dz, la cual es consistente bajo cambios de coordenadas. Una estructura conforme medible es llamada acotada, si µ (z) < Deformaciones de estructuras complejas y espacio de Teichmüller En el siglo XIX, B. Riemann se pregunta cómo describir las variaciones de estructuras complejas sobre una superficie dada. Esta problemática es retomada por O. Teichmüller en 1938, utilizando como herramienta fundamental las transformaciones casiconformes, dando origen a la Teoría del espacio de Teichmüller, que da

49 Transformaciones casiconformes 39 una respuesta a este problema construyendo una parametrización del conjunto de todas las estructuras complejas de una superficie dada. Esta teoría está en la intersección de muchas importantes áreas de las matemáticas como: la Teoría de superficies de Riemann, variedades complejas, grupos fuchsianos, kleinianos, grupos de Lie, topología en dimensiones 2 y 3, ecuaciones diferenciales, dinámica holomorfa y Teoría ergódica. Recientemente esta teoría ha empezado a jugar un rol importante en la Teoría de cuerdas Deformaciones casiconformes de funciones holomorfas Dado U C abierto, denotamos con B (U ) el conjunto de todos los coeficientes de Beltrami sobre U, que es la bola unitaria en L (U). La métrica de Poincaré sobre B (U ), se define como sigue: d B (µ 1, µ 2 ) = sup esenc z U d P (µ 1 (z), µ 2 (z)), donde d P (µ 1 (z), µ 2 (z)) es la distancia de Poincaré entre dos puntos en. Un camino de Beltrami en U es una función t µ t B (U), tal que para casi todo z U, t µ t (z) es una geodésica hiperbólica en. Si µ t es un camino de Beltrami, entonces su vector tangente en t = t 0, ν t0 (z) = d dt µ t (z) t=t0, es una función medible esencialmente acotada, llamada vector de Beltrami. Inversamente, cualquier función ν L (U) es tangente a un único camino de Beltrami. Lema 5.1. (1) Sea f : U V una transformación casiconforme. Si µ B (V ), entonces su función regreso f µ se define por: (f µ) (z) = µ f (z) + µ (f (z)) f(z) f(z) 1 + µ (f (z)) µ f (z) f(z) f(z) y esta expresión es un coeficiente de Beltrami sobre U. (2) La función f : B (V ) B (U), definida por µ f µ, es una isometría de la métrica de Poincaré y transforma caminos de Beltrami en caminos de Beltrami. Observaciones. (1) Si f es holomorfa, entonces: (f µ) (z) = µ (f (z)) f (z) f (z) casi donde quiera y esta función de regreso está bien definida aún si f no es inyectiva.

50 40 F. Estrada, J. Poisot (2) µ f = f (0). En otras palabras, el coeficiente de Beltrami de un homeomorfismo casiconforme f es el regreso del coeficiente de Beltrami idénticamente cero. (3) La acción tangente de f sobre un vector de Beltrami, está dada por: (T f (µ)) (ν) (z) = ( ( ) f(z) f(z) (1 µ f 2) 1 + µ (f (z)) µ f (z) f(z) f(z) ) 2 ν (f (z)). De manera que si ν es un vector de Beltrami tangente al camino de Beltrami µ t en t = t 0 y µ t0 = µ, entonces (T f (µ)) (ν) es el vector de Beltrami tangente al camino de Beltrami f (µ t ) en t = t 0. Nótese que si f es holomorfa, entonces (T f (µ)) (ν) (z) = ν (f (z)) f (z) f (z) casi donde quiera. Los caminos de Beltrami pueden ser usados para construir deformaciones de funciones holomorfas. Una demostración del lema anterior, así como del teorema siguiente, pueden encontrarse en [4]. Teorema 5.2. Sea F : U V una función holomorfa entre conjuntos abiertos, tales que V U. Sea µ t : V C un camino de Beltrami en V con µ 0 0, satisfaciendo la condición F (µ t ) = µ t para toda t. Sea ϕ t : V V t C una familia continua de homeomorfismos casiconformes con ϕ 0 = id, tal que el coeficiente de Beltrami de ϕ t es µ t. Entonces: F t = ϕ t F ϕ 1 t es una familia continua de funciones holomorfas. Definición 5.3. Sea S una superficie de Riemann, un coeficiente de Beltrami µ sobre S es una colección de coeficientes de Beltrami µ i : V i C, uno para cada carta ϕ i : U i V i de S, llamada expresión de µ en ϕ i, satisfaciendo la condición de compatibilidad: ( ϕj ϕ 1 ) i µj = µ i sobre ϕ i (U i U j ) y la condición de acotación: donde k < 1 es independiente de i. µ i (z) < k para casi todo z V i,

51 Transformaciones casiconformes 41 Definición 5.4. Un homeomorfismo f entre dos superficies de Riemann S 1 y S 2, es K casiconforme si todas las expresiones locales de f son K casiconformes. La transformación de regreso f : B (S 2 ) B (S 1 ), se define tomando los regresos de las expresiones locales de la función f. La métrica de Poincaré sobre B (S) se define como sigue: d B (µ 1, µ 2 ) = sup sup esenc z ϕi(u i)d P (µ 1,i (z), µ 2,i (z)). i Notemos que d P (µ 1,i (z), µ 2,i (z)) = d P (µ 1,j (z ), µ 2,j (z )) si ϕ 1 i (z) = ϕ 1 j (z ). De tal manera que el supremo anterior sobre i, puede ser tomado sobre cualquier atlas. Notemos también que f es una isometría. Decimos que una familia a un parámeto µ t de coeficiente de Beltrami, es un camino de Beltrami sobre la superficie de Riemann S, si para cada carta ϕ i : U i ϕ i (U i ), t µ i,t es un camino de Beltrami en ϕ i (U i ), donde µ i,t es la expresión de µ t en esta carta. Análogamente, definimos un vector de Beltrami ν en el coeficiente de Beltrami µ como una colección ν i :ϕ i (U i ) C de vectores de Beltrami, tales que: T ( ϕ j ϕ 1 i ) (µj ) (ν j ) = ν i y tal que el supremo esencial ν i es uniformemente acotado. Esta condición de invarianza puede ser escrita en coordenadas locales como sigue: ( ϕ j ϕ 1 ) i ( ( ϕ j ϕ 1 ) ν j ϕj ϕ 1 i (z) ) = ν i (z) ; i como antes, cada vector de Beltrami ν en µ determina un único camino de Beltrami µ t con µ 0 = µ e inversamente Deformaciones casiconformes de estructuras Complejas Con los conceptos introducidos en la sección anterior y el Teorema de Morrey- Bojarsky-Ahlfors-Bers, podemos definir con toda precisión el significado de la deformación casiconforme de una estructura compleja, asociada a un coeficiente de Beltrami, sobre una superficie de Riemann. Teorema 5.5. (Superficie de Riemann S µ ). Sean S una superficie de Riemann y µ un coeficiente de Beltrami sobre S, entonces µ determina una nueva superficie de Riemann S µ y una transformación casiconforme f : S S µ, tal que f (0) = µ. Corolario 5.6. (1) Toda transformación casiconforme f : U U, donde U C un dominio, es isotópica a la identidad. (2) Toda transformación casiconforme f : S S con S una superficie, es isotópica a la identidad.

52 42 F. Estrada, J. Poisot Idea de la demostración del teorema Sea U = {ϕ i : U i V i, con i I} un atlas sobre S y para cada ϕ i U, sea µ i : V i C la expresión local de µ. Sea ψ i : V i ψ i (V i ) la transformación casiconforme cuyo coeficiente de Beltrami es µ i, es decir, ψi (0) = µ i. Entonces, U = {ϕ i = ψ i ϕ i : U i ψ i (V i )} es un atlas para S. La transformación casiconforme f queda determinada localmente por las ψ i. Nota 5.7. Sea S µ el espacio topológico S dotado con la estructura compleja definida por el atlas U. Tomando f como la transformación identidad en S µ, obtenemos f (0) = µ, Por lo cual un camino de Beltrami µ t sobre S, define una familia a un parámetro de superficies de Riemann S µt. Si µ 0 = 0, entonces ésta es una deformación de la estructura compleja original sobre S. Inversamente, dada cualquier superficie de Riemann S 1 y un homeomorfismo casiconforme f : S S 1, podemos obtener un coeficiente de Beltrami µ = f (0) sobre S. Por lo tanto, podemos identificar el espacio B (S) con el C (S) de todas las estructuras complejas sobre el espacio topológico S, que son homeomorfas casiconformemente a la estructura original Espacio de Teichmüller de una superficie de Riemann De acuerdo a las secciones anteriores, podemos dar la siguiente definición de espacio de Teichmüller: Definición 5.8. Dada una superficie S, dos coeficientes de Beltrami µ 1 y µ 2 sobre S son equivalentes en el sentido de Teichmüller µ 1 T µ 2, si µ 1 = ϕ µ 2, donde ϕ : S S es un homeomorfismo casiconforme que es isotópico a la identidad. El espacio de clases de equivalencia de coeficientes de Beltrami sobre S, es llamado espacio de Teichmüller de S y es dentado por T (S). Sea π : B (S) T (S) la correspondiente proyección, ésta puede ser utilizada para dotar a T (S) de una estructura compleja. Definimos sobre T (S) la métrica de Teichmüller como sigue: d T ([µ 1 ], [µ 2 ]) = d B ( π 1 ([µ 1 ]), π 1 ([µ 2 ]) ). Notemos que esto es precisamente el mínimo de la distancia de Poincaré, de d P (µ 1, ϕ (µ 2 )) sobre todos los homeomorfismos casiconformes ϕ : S S, que son isotópicos a la identidad. Otra manera de definir el espacio T (S) es la siguiente: para cualquier transformación casiconforme f : S S 1, donde S 1 es otra superficie de Riemann, consideramos el par (S, f). Decimos que dos pares (S 1, f 1 ) y (S 2, f 2 ) son equivalentes en el sentido de Teichmüller,si f 2 f1 1 es homotópica a una transformación conforme de S 1 sobre S 2. Denotamos por [S, f] la clase de equivalencia del par (S, f). Entonces, llamamos al conjunto de todas las clases de equivalencia el espacio de Teichmüller de S.

53 Transformaciones casiconformes 43 Ejemplo 5.9. (1) El espacio de Teichmüller C es trivial (cualquier transformación casiconforme en C es isotópica a la identidad), lo cual se desprende del Teorema de Integración de Morrey-Bojarski-Ahlfors-Bers. (2) Para la superficie de Riemann S = A R = {z C : 1 < z < R} con R > 1. Notemos que la imagen de S bajo una transformación casiconforme, es conformemente equivalente a otro anillo S 1 = {z C : 1 < z < s}, y que toda transformación casiconforme de S sobre sí misma, es homotópica a la identidad o a la transformación conforme z s z. Además, por el principio de reflexión, podemos concluir que anillos correspondientes a diferentes valores de s, no son mutuamente conformemente equivalentes. Por lo tanto, T (S) se identifica con el intervalo abierto (1, ). (3) Supongamos que S = o S = {0}. Entonces, la imagen de S bajo una transformación casiconforme es conformemente equivalente a S y toda transformación casiconforme de S sobre sí misma, es homotópica a la identidad. Por lo tanto, T ( ) y T ( {0}) consisten de un solo punto. (4) Supongamos que la cubriente universal de S es C. Por un teorema (consecuencia del Teorema de Uniformización) que afirma: una superficie de Riemann tiene una cubriente universal biholomorfa a C si y sólo si ésta es biholomorfa a una de las tres siguientes: C, C {0}, o C/Γ con Γ un grupo de red. Entonces, S es conformemente equivalente a una de las tres C, C {0}, o C/Γ. La imagen de C o C {0} por una transformación casiconforme, es equivalente conformemente a C o C {0}, respectivamente. Además, toda transformación casiconforme de C sobre sí misma es homotópica a la identidad. Por lo tanto, T (C) consiste de un solo punto. Toda transformación casiconforme de C {0} sobre sí misma, es homotópica a la identidad o a la transformación conforme z 1 z. Por tanto, T (C {0}) consiste de un solo punto. Con una argumentación un poco más elaborada, se puede mostrar que existe un homeomorfismo entre T (C/Γ) y H. 6. Movimiento holomorfo La introducción de este concepto estuvo motivada por el estudio de la estabilidad estructural (la cual trataremos en una sección posterior) de la dinámica generada por la iteración de funciones racionales de una variable compleja, actuando en la esfera de Riemann en un célebre artículo de Mané, Sad y Sullivan [MSS]. Esta teoría se ha convertido en años recientes en una herramienta muy importante para el estudio de la dinámica holomorfa y de los espacios de Teichmüller.

54 44 F. Estrada, J. Poisot Definición 6.1. Una función Φ : A C es llamada movimiento holomorfo de un conjunto A C, si: (i) para cualquier a A fijo, la transformación λ Φ (λ, a) es holomorfa en. (ii) para cualquier λ fijo, la transformación a Φ λ (a) = Φ (λ, a) es inyectiva. (iii) la transformación Φ 0 es la identidad en A. Observación. En la definición anterior, podemos sustituir el disco por una variedad compleja conexa. No es difícil convencerse de que cada transformación g, que es parte de un movimiento holomorfo, es casiconforme. En particular, cada transformación que es parte de un movimiento holomorfo, distorsiona figuras en a lo más una cantidad acotada. El resultado que introdujo este concepto y que sirve para caracterizar la estabilidad es: Teorema 6.2. (λ lema MSS). Sea Λ una variedad compleja analítica, y sea A C. Si ϕ : Λ A C es un movimiento holomorfo de A, entonces para cada λ Λ, la transformación A C, dada por a ϕ (λ, a), es casiconforme. Puede consultarse una demostración de este teorema en [15]. Nótese que no se pide que A sea abierto, así que la definición analítica de casiconformidad no tiene sentido, por lo que es necesario usar caracterizaciones geométricas de las transformaciones casiconformes. Corolario 6.3. Si ϕ : Λ A C es un movimiento holomorfo, entonces ϕ es continua, y se extiende continuamente a un movimiento holomorfo ϕ : Λ A C, donde A es la cerradura de A en C. Un resultado más general también es cierto. Teorema 6.4. (Slodkowski). Sea A C. Cualquier movimiento holomorfo ϕ : A C, se extiende a un movimiento holomorfo ˆϕ : C C. Una demostración se encuentra en [8]. 7. Aplicaciones a la dinámica holomorfa 7.1. Preliminares sobre dinámica holomorfa Una función racional f (z) = P (z) Q(z), donde P y Q son polinomios de una variable compleja con coeficientes complejos y primos relativos, define una función holomorfa de C en sí misma. Consideramos a f como una transformación cubriente

55 Transformaciones casiconformes 45 ramificada de C. Para una cantidad finita de excepciones, cada valor w C tiene exactamente d preimágenes, donde el grado de f es d = máx {grado de P, grado de Q}. Siempre supondremos que el grado de f es mayor que 1. Denotamos por R d el conjunto de todas las funciones racionales de grado d. La iteración de f es la sucesión de funciones {f n } n 0, donde f 0 = id, f n+1 = f f n, lo cual genera un sistema dinámico holomorfo en la esfera de Riemann C. La órbita de z C bajo f es O + (z) = {f n (z) : n 0}. La órbita inversa es O (z) = n 0 f n (z) = n 0 (f n ) 1 (z). La órbita grande de z es O g (z) = n 0 O (f n (z)). Dos funciones racionales f y g se dicen conjugadas por una transformación de Möbius h : C C, si g = h f h 1. Notemos que en este caso h lleva órbitas bajo f a órbitas bajo g. Por lo tanto, funciones racionales conjugadas por una transformación de Möbius serán consideradas equivalentes desde un punto de vista dinámico. Consideraremos también conjugaciones mediante homeomorfismos o transformaciones casiconformes, y conjugaciones locales, las cuales serán definidas sólo en subconjuntos de C, tales como una vecindad de un punto periódico. Un punto es llamado punto periódico si existe un n 1, tal que f n (z) = z, y el más pequeño n con tal propiedad es llamado período de z. El multiplicador del ciclo es la derivada λ = (f n ) (z) cuando z, y es definido después de una conjugación con una apropiada transformación de Möbius, enviando el en C cuando z =. Cuando 0 < λ < 1 (respect. λ = 0, λ = 1, λ > 1 ), z es llamado atractor (respect. superatractor, indiferente, repelente). Un punto periódico indiferente z es llamado parabólico, si λ es una raíz de la unidad, o irracionalmente indiferente en el otro caso. Un punto crítico de f es un punto donde f no es localmente inyectivo, lo cual equivale a que f (z) = 0, si z y f (z). Denotamos por C f el conjunto de puntos críticos y V f = f (C f ) es el conjunto de valores críticos de f. Entonces f : C \ f 1 (V f ) C \ V f es una cubierta (no ramificada) de grado d. El conjunto poscrítico P f de f, se define por: P f = z Cf, n 1 {f n (z)}. En cierto sentido, este conjunto captura la esencia del sistema dinámico generado por f. Un punto excepcional es un punto z, tal que O (z) es finito. Def inición 7.1 (Familia normal y conjuntos de Fatou y Julia). Una familia F de funciones holomorfas de un conjunto abierto U C a C, se dice ser normal si para cualquier sucesión de F, existe una subsucesión que converge uniformemente en conjuntos compactos, donde la distancia en la imagen es medida en términos de la distancia esférica. Un teorema de Montel asegura que cualquier familia que omite tres valores en C, es normal; además, las funciones límite también son holomorfas. El conjunto de Fatou

56 46 F. Estrada, J. Poisot de f está definido por: { F f = z C : la familia de iteradas {f n } n 0 es normal en alguna vecindad abierta de z } y su complemento es el conjunto de Julia J f = C \ F f. Intuitivamente, si el valor inicial z F f, entonces el comportamiento de su órbita O + (z) para n suficientemente grande, no es sensible a pequeñas perturbaciones de z. A continuación se enuncian los resultados básicos acerca de los conjuntos de Fatou y Julia. Teorema 7.2. (Linealización, forma normal). Supongamos que f es una función holomorfa definida en una vecindad de z 0 C, tal que f (z 0 ) = z 0 y λ = f (z 0 ). (i) Si 0 < λ < 1 ó λ > 1, entonces existe una transformación conforme ψ definida en una vecindad de z 0, tal que ψ (z 0 ) = 0, ψ (z 0 ) 0 y ψ f ψ 1 (z) = λz en una vecindad de 0. (ii) Si λ es una raíz q ésima primitiva de la unidad, λ = exp ( 2πi p q ), y f q no es la identidad, entonces f q tiene una expansión de la forma f q (z) = z+c (z z 0 ) kq+1 + O (z z 0 ) qk+2, donde k N y c 0. En este caso, existen kq dominios Ω i (i Z/kqZ) con z 0 Ω i y funciones holomorfas ψ i : Ω i C, tales que f ( ) Ω i {z0 } Ω i+kp, f nq (z) z 0 en Ω i (n ) y ψ i (f q (z)) = ψ i (z) + 1. d (iii) Si λ = 0, j dz f (z j 0 ) = 0 (j = 1,...k 1) y dk f (z dz k 0 ) 0, entonces existe una transformación conforme ψ definida en una vecindad de z 0, tal que ψ (z 0 ) = 0, ψ (z 0 ) 0 y ψ f ψ 1 (z) = z k en una vecindad de 0. En el caso (i), ψ es llamada coordenada linealizante; las ψ i en (ii) son llamadas coordenadas de Fatou, y ψ en (iii) es llamada coordenada de Böttcher. Teorema 7.3. Para cualquier función racional f, se tiene lo siguiente: (i) El conjunto de Julia J f es distinto del vacío y cerrado en C, y F f es abierto. Ellos son completamente invariantes (es decir, f (F f ) = F f = f 1 (F f ) y f (J f ) = J f = f 1 (J f )). Además, C = J f F f. (ii) Puntos periódicos atractores y sus cuencas de atracción están contenidos en F f, donde la cuenca de atracción de z 0 de período p, se define por: B (z 0 ) = { z C : f np (z) z 0 cuando n }. Puntos periódicos parabólicos están en J f ; sin embargo, ellos tienen cuencas (excluyendo las órbitas inversas de los puntos parabólicos) que están contenidas en F f. En ambos casos, el ciclo de cuencas contiene al menos un punto crítico. Puntos periódicos repulsores están en J f. En cuanto a los puntos indiferentes irracionales, ambos casos pueden ocurrir.

57 Transformaciones casiconformes 47 (iii) Si U es un conjunto abierto, tal que U J f, entonces n 0 f n (U)cubre C, excepto a lo más dos puntos, los cuales, si existen, son excepcionales. (iv) Si z no es un punto excepcional, entonces J f O (z). La igualdad vale si z J f. (v) J f = a la cerradura de {puntos periódicos repulsores de f}. (vi) Si f es un polinomio, entonces es un punto fijo superatractor y J f = K f = B ( ), donde K f es el conjunto de Julia lleno; es decir, { } K f = z C : {f n (z)} n 0 es acotada. Una demostración de estos teoremas puede encontrarse en [14, 15, 3] Teorema de No Errancia de Sullivan Dada la invariancia bajo iteración de los conjuntos de Julia y Fatou y como el conjunto de Fatou es abierto, en general, el conjunto de Julia subdivide en componentes conexas al conjunto de Fatou, las cuales llamaremos componentes de Fatou. Dada una componente U F f, el conjunto f (U) es una componente conexa de C J f y f induce una transformación propia de U sobre f (U). Decimos que U es periódica si existe k > 0, tal que f k (U) = U; si existe m 0, tal que f m (U) es periódica, decimos que U es periódica eventualmente si las f n (U) son dos a dos distintas, por lo que llamamos a U componente de Fatou errante. Uno de los problemas más importantes en la dinámica racional que plantearon y dejaron sin respuesta Fatou y Julia (1920), consistió en averiguar sobre la existencia de componentes de Fatou errantes. En 1982, D. Sullivan introdujo las transformaciones casiconformes y el espacio de Teichmüller en la solución de este problema. Esta técnica ha resultado la base de las subsecuentes investigaciones en esta área. Teorema 7.4. (No Errancia). Una función racional de grado mayor que uno, no tiene componente de Fatou errante. Idea de la demostración. Sea U una componente errante. Para n suficientemente grande, f induce un isomorfismo de f n (U) sobre f n+1 (U), así que haciendo un corrimiento, podemos suponer que esto sucede desde n = 0. Sea µ una forma de Beltrami sobre U, tal que µ < 1, transportémosla con f sobre las f n (U), después sobre las f m (f n ), y por último, la extendemos por 0. Se obtiene sobre C una forma de Beltrami en L de norma < 1, que de acuerdo al Teorema de Morrey-Bojarsky- Ahlfors-Bers, define sobre C una estructura compleja σ µ (diferente en general de la estructura compleja estándar σ 0 ), y f es una transformación analítica de ( C, σ µ ) en

58 48 F. Estrada, J. Poisot ella misma. Por el teorema de uniformización, existe un isomorfismo ϕ µ de ( ) C, σ µ sobre ( ) C, σ 0. Entonces, fµ = ϕ µ f ϕ 1 µ es una nueva función racional. Sullivan demuestra que para toda p, se puede encontrar en el espacio de formas de Beltrami continuas con soporte compacto sobre U, un subespacio E de dimensión p, y en E, un abierto no vacío W, tal que las {f µ } µ W son distintas dos a dos, lo cual es una contradicción con el hecho de que una transformación racional de grado d sólo depende de un número finito de parámetros El espacio de Teichmüller de una función racional Dado que no hay componentes errantes en el conjunto de Fatou, toda componente de Fatou es periódica eventualmente por lo cual el siguiente teorema nos da una descripción completa de la dinámica de una función racional sobre su conjunto de Fatou. Utilizando el teorema de linealiación y forma normal de la sección anterior y el desarrollo de Taylor de f en una vecindad de los puntos periódicos, podemos enunciar el siguiente teorema. Teorema 7.5 (Teorema de clasificación). Si U es una componente de Fatou de periódo p para f, entonces solo una de las siguientes afirmaciones es válida. (CA) Cuenca atractora: existe un punto periódico atractor z 0 U de período p tal que la sucesión de iteradas f np (z) z 0 (n ) uniformemente sobre conjuntos compactos en U; (CSA) Cuenca superatractora: igual que en (CA) excepto que z 0 es superatractor y además z 0 es un punto crítico de f. (CP) Cuenca parabólica: existe un punto periódico parabólico z 0 U tal que f p (z 0 ) = z 0, el multiplicador del ciclo es 1 y f np (z) z 0 (n ) uniformemente sobre conjuntos compactos de U. (DS) Disco de Siegel: existe una transformación conforme ψ : U y un número irracional α tal que ψ f p ψ 1 (z) = exp (2πiα) z; (AH) Anillo de Herman: Lo mismo que en (DS) excepto que es reemplazado por un anillo A = {z C : r < z < 1}. Puede consultarse un demostración en [14, 15, 3]. Para el número de ciclos de componentes de Fatou periódicas, tenemos: Teorema 7.6 (Teorema de Shishikura). Denotamos por n CA, n SCA, n CP, n DS, n AH el número de cíclos de cuencas atractoras, cuencas superatractoras, cuencas parabólicas, discos de Siegel y anillos de Herman de una función racional de grado d. Entonces n CA + n SCA + n CP + n DS + 2n AH 2d 2 y n AH d 2. Además, existen al menos (n DS + 2n AH ) de puntos críticos en el conjunto de Julia.

59 Transformaciones casiconformes 49 Para una demostración véase [17]. Deformaciones casiconformes sobre componentes de Fatou. Cuando f tiene una componente de Fatou periódica, podemos construir una deformación casiconforme específica de acuerdo a su tipo. Veamos esta construcción en el caso de cuencas atractoras. Supongamos que f tiene un punto periódico atractor z 0 de período p con multiplicador λ. Sea ψ la coordenada linealizante como en el Teorema de Linealización. Notemos que ψ puede ser extendida a toda la cuenca B (z 0 ) por medio de la ecuación funcional. Sea B (z 0 ) igual a B (z 0 ) menos la órbita grande de z 0 y puntos críticos. Definimos: E = ψ (B (z 0 )), donde la equivalencia es definida por w w si y sólo si w = λ n w para algún n Z. Entonces, E es isomorfo a un toro C ((log λ) Z + 2πiZ) menos un conjunto finito de puntos, y la función ψ induce una función natural ψ : B (z 0 ) E, que es una transformación cubriente. De hecho, E puede ser identificado con el conjunto de órbitas grandes en B (z 0 ). Dada cualquier estructura conforme medible acotada σ sobre E, podemos definir una estructura conforme f invariante por σ = π (σ) sobre B (z 0 ) y σ = σ 0 sobre el resto. Por lo tanto, el lema de Shishikura nos permite obtener la deformación casiconforme g de f mediante la estructura σ. Análogamente, una deformación casiconforme se puede construir para cuencas parabólicas, donde la coordenada linealizante es reemplazada por la de Fatou, donde el toro C (log λ ) Z + 2πiZ menos un conjunto finito de puntos, es reemplazado por el cilindro C Z menos un conjunto finito de puntos. Para discos de Siegel o anillos de Herman, notemos que cualquier órbita grande (excepto para el centro de un disco de Siegel) es densa en una curva invariante. Por esta razón, las deformaciones estarán basadas sobre la deformación de superficies de Riemann foliadas; por ejemplo, un disco o un anillo redondo foliado por discos concéntricos, y tal deformación deberá preservar la foliación. Una situación similar ocurre para cuencas superatractoras, pues la clausura de órbitas grandes corresponde a la unión de círculos concéntricos en la coordenada de Böttcher. Existe también la posibilidad de una deformación casiconforme soportada sobre un conjunto de Julia. Definición 7.7. Decimos que f tiene un campo de ĺıneas invariante sobre el conjunto de Julia, si existe un subconjunto completamente invariante medible X contenido en J f ; es decir, f 1 (X) = X, con medida de Lebesgue positiva y una función medible X z l (z), donde l (z) es una línea recta que pasa por 0 en el espacio tangente T z C y f evía l (z) en l (f (z)) para todo z X.

60 50 F. Estrada, J. Poisot Si f tiene un campo de líneas invariante sobre su conjunto de Julia, es decir, en X se tiene una diferencial de Beltrami µ = µ (z) dz dz soportada en X, con µ =1. Una diferencial de Beltrami determina una función en el espacio tangente, homogénea de grado cero, por: µ (v) = µ (z) a (z) a (z), donde v = a (z) z es un vector tangente. El correspondiente campo de líneas consiste en esos vectores tangentes, para los cuales µ (v) = 1 (unión el vector cero). Entonces, éste define un campo de elipses con una excentricidad constante. Este, a su vez, define una estructura conforme invariante σ que es diferente de la estructura conforme estándar sobre el conjunto de Julia. Por lo tanto, f puede ser deformada por σ. Para describir el espacio de Teichmüller de funciones racionales, se necesitan las siguientes definiciones: Def inición 7.8. La clase de conjugación casiconforme de f es: cc (f) = {funciones racionales que son casiconformemente conjugadas a f}. El espacio de Teichmüller de una función racional f es: { g es una función racional; h es una transformación T (f) = (g, h) casiconforme, tales que h f= g h }, donde la relación de equivalencia es definida por (g 1, h 1 ) (g 2, h 2 ) si y sólo si existe una isotopía H t : C C (t [0, 1]), tal que H t g 1 = g 2 H t y H 0 = h 2 h 1 1 y H 1 es una transformación de Möbius. Otras definiciones necesarias son: un punto es llamado acíclico si no es periódico ni preperiódico. Dos puntos son llamados equivalentemente foliados por la gran órbita, si tienen la misma órbita grande o ambos están en el conjunto de Fatou y las clausuras de las órbitas grandes dentro del conjunto de Fatou coinciden. Por ejemplo, los puntos sobre las mismas curvas invariantes de un disco de Siegel o de un anillo de Herman, son equivalentes en este sentido. También los puntos z, z en una cuenca superatractora, cuyas coordenadas de Böttcher están relacionadas por ψ (z ) = ψ (z) kn (n Z) (donde k es el grado local del punto periódico superatractor), son equivalentes en este sentido. Sea n AC (U) denota el número de clases de equivalencia foliada por grandes órbitas de puntos críticos acíclicos, cuya órbita intersecta U. Sea n CL el número máximo de campos de líneas invariantes sobre el conjunto de Julia con soportes mutuamente ajenos.

61 Transformaciones casiconformes 51 Teorema 7.9 (McMullen-Sullivan). El espacio de Teichmüller de una función racional f, puede ser descrito como sigue: T (f) = M 1 (J f, f) U T (U, f), donde el producto es sobre todos los ciclos periódicos de componentes de Fatou, con U representando una componente en el ciclo. (i) M 1 (J f, f) es el conjunto de diferenciales de Beltrami f invariantes µ con soporte en J f y µ < 1. Este espacio es isomorfo al polidisco de dimensión n CL. (ii) Si U es una cuenca atractora o una cuenca parabólica, entonces T (U, f) es el espacio de Teichmüller ordinario del toro cociente o del cilindro cociente, descritos antes con n AC (U) perforaciones correspondientes a las órbitas grandes de puntos críticos. En el último caso, el cilindro perforado es isomorfo a C con n AC (U) + 2 perforaciones. (iii) Si U es una cuenca superatractora, un disco de Siegel o un anillo de Herman, entonces T (U, f) es el espacio de Teichmüller definido por un disco foliado o anillo foliado con hojas marcadas, correspondiendo a las órbitas grandes foliadas de puntos críticos. (iv) La dimensión de T (U, f) es n AC (U) para una cuenca atractora, una cuenca superatractora o un disco de Siegel. Ésta es n AC (U) 1 para una cuenca parabólica y n AC + 1, para un anillo de Herman. Por lo tanto, dim T (f) = n AC n CP + n AH + n CL. Además, existe un grupo Mod (f) (grupo modular), que actúa sobre T (f) propia y discontinuamente y existe un isomorfismo de orbifolds: cc (f) Möbius T (f) Mod (f). Para una demostración de este teorema, consúltese [13, 12] Estabilidad estructural Def inición Una función racional es llamada hiperbólica, si todo punto crítico es atraído a un ciclo periódico atractor o superatractor. Una familia holomorfa de funciones racionales, parametrizada por una variedad compleja conexa Λ, es una función holomorfa F : Λ C C. Entonces, f λ = F (λ, ) : C C es una función racional de grado constante d > 1. Una familia se dice que es J estable en el parámetro λ 0 Λ, si existe una vecindad U de λ 0 contenida en Λ y una función H : U J (f λ0 ) C, tal que h λ = H (λ, ) : J (f λ0 ) J (f λ ) es un homeomorfismo para cada λ U; y además h λ f λ0 = f λ h λ y h λ h λ0 cuando λ λ 0, uniformemente sobre J (f λ0 ). De manera análoga, es definida estabilidad estructural en el parámetro λ 0 si reemplazamos J (f λ0 ) y J (f λ ) por C en la definición anterior.

62 52 F. Estrada, J. Poisot Cuando Λ es igual a Rac d (la variedad compleja constituida por todas las funciones racionales de grado fijo d) y F es la función F (g, z) = g (z) (donde g Rac d ), entonces las funciones mismas son llamadas J estables o estructuralmente estables, si las condiciones anteriores son satisfechas. Lema Las funciones racionales hiperbólicas son J estables. Además, el conjunto de funciones estructuralmente estables es abierto y denso dentro de las hiperbólicas. Las conjugaciones h λ pueden ser elegidas de manera que h λ es un movimiento holomorfo del conjunto de Julia (o de C en el caso de funciones estructuralmente estables). La primera afirmación en el lema anterior, es una consecuencia inmediata del λ lema. De hecho, para funciones hiperbólicas, los puntos periódicos repulsores no se bifurcan, por lo cual ellas definen un movimiento holomorfo, el cual se extiende a su cerradura, que es el conjunto de Julia. Además, hay otro notable resultado. Teorema Para cualquier familia holomorfa de funciones racionales, los parámetros estructuralmente estables forman un abierto y denso. Además, en las componentes conexas de los parámetros estructuralmente estables, la conjugación h λ es casiconforme y define un movimiento holomorfo. Una demostración de este teorema puede consultarse en [4, 13, 15] Cirugía casiconforme Cirugía casiconforme es una manera de construir nuevas funciones racionales con ciertas propiedades dinámicas, a partir de las funciones ya existentes. Para hacer esto, se construye una transformación que no es holomorfa (al menos en una parte de su dominio), pero que aún es casi-regular. Después, convocando al Teorema de la Transformación Medible de Riemann, se recupera la holomorfía. Con el paso por las transformaciones casi-regulares, se gana flexibilidad en la construcción. Definición Una transformación continua g : C C es llamada casi-regular, si existe una K 1, tal que en cada punto de C, g puede ser localmente escrita como una composición de una función holomorfa y una función K casiconforme. Las estructuras conformes medibles pueden ser regresadas por transformaciones casi-regulares. Por tanto, se puede hacer una construcción como en el teorema de la sección 5.1 para transformaciones casi-regulares. La pregunta es cómo obtener una σ que sea invariante. Lema (Principio de cirugía). Supóngase que g : C C es una transformación casi-regular y σ es una estructura conforme medible acotada, tal que g (σ) = σ (casi

63 Transformaciones casiconformes 53 donde quiera) fuera de un conjunto medible X. Si cada órbita de g pasa por X a lo más una vez (o un número acotado de veces), entonces existe una transformación casiconforme ϕ : C C, tal que h = ϕ g ϕ 1 es una función racional. Una demostración de este lema puede consultarse en [17]. A continuación, se establecen algunas aplicaciones de la cirugía. Empezamos con la Teoría de las transformaciones con parecido polinomial, introducidas por Douady- Hubbard, que de hecho inician los trabajos en cirugía. Def inición Una transformación con parecido polinomial, es un triplete f = (f, U, V ) donde, U, V son dominios conexos simplemente en C con U V y f : U V es una función holomorfa propia. Su grado es el número de imágenes inversas de un punto z V, contadas con multiplicidad, que son independientes de z. Su conjunto de Julia lleno es: K f = {z U : f n (z) (n = 0, 1, 2,...) están definidas y pertenecen a U}. Cualquier polinomio P puede ser restringido a un dominio U de modo que (P U, U, P (U)) se convierte en una transformación con parecido polinomial del mismo grado. Teorema (Rectificación). Sea f = (f, U, V )una transformación con parecido polinomial de grado d, y supóngase además que las fronteras de U y V son curvas de Jordan analíticas reales. Entonces, existe un único polinomio P (z) y una transformación casiconforme ϕ : V V C, tal que ϕ f = P ϕ sobre U. Además, ϕ puede ser escogido de forma que ϕ / z = 0 casi donde quiera en K f (lo cual unicamente tiene sentido si K f tiene medida positiva). El polinomio P es único, salvo conjugación afín si K f es conexo. Una demostración puede consultarse en [6]. La noción de transformación con parecido polinomial es de gran importancia en la Teoría de las renormalizaciones, la cual es de gran importancia en la dinámica holomorfa. Otro tipo de cirugía es la que relaciona los anillos de Herman con los discos de Siegel. Un homeomorfismo de R en sí mismo, o de S 1 en si mismo, es llamado casisimétrico si éste se extiende a una transformación casiconforme de C. Teorema Sea f una función racional que envía S 1 = {z C : z = 1} sobre sí mismo. Supóngase que f S 1 es casisimétricamente conjugada a una rotación irracional z exp (2πiα) z sobre S 1, donde α R \ Q. Entonces, existe una función

64 54 F. Estrada, J. Poisot racional h y una transformación casiconforme ϕ : C C, tal que h = ϕ f ϕ 1 sobre ϕ ( C \ ) y h tiene un disco de Siegel con número de rotación α, el cual contiene a ϕ ( ) como un subdisco invariante. La curva ϕ ( S 1) es una curva invariante en el disco de Siegel o su frontera, de acuerdo a cuando S 1 sea una curva invariante en un anillo de Herman de f o no. Una demostración puede consultarse en [16]. Si f tiene un anillo de Herman de período 1, el cual contiene a S 1 como una curva invariante, entonces f S 1 es conjugado de forma real-analítica a una rotación irracional; por tanto, esta cirugía puede ser aplicada. Sin embargo, un ejemplo más interesante es el caso de la función: f (z) = exp (iω) z 2 z 3 1 3z, la cual tiene un punto crítico en S 1. Para cualquier número irracional α, existe un ω R, tal que f S 1 tiene número de rotación α, lo cual significa en este caso que las órbitas de f S 1 tienen el mismo orden cíclico como el de z exp (2πiα) z. Sujeta α a una condición de teoría de números llamada de tipo acotado, Herman fue capaz de demostrar que f S 1 es conjugado casisimétricamente a la rotación irracional. De forma que obtuvo el siguiente: Teorema Si α es un número irracional de tipo acotado, es decir, satisface que α p q C q 2 para cualquier p q Q con una constante fija C > 0, entonces la función P α (z) = exp (2πiα) z + z 2 tiene un disco de Siegel, cuya frontera es un cuasicírculo conteniendo un punto crítico de P α. Una demostración puede consultarse en [16]. Este artículo constituye una introducción a los temas tratados. Nos resta solamente citar las referencias en las cuales se basa este artículo y dónde pueden encontrarse las demostraciones omitidas en esta presentación, así como mayor extensión en su tratamiento. Bibliografía [1] Ahlfors, L. V. Complex Analysis. McGraw-Hill, Ltd. (1966). [2] Ahlfors, L. V. Lectures on Quasiconformal Mappings. University Lecture Series, Vol. 38 (2006). AMS. [3] Lennart, C.; W. Gamelin, T. Complex Dynamics. Universitext: Tracts in Mathematics (1991).

65 Transformaciones casiconformes 55 [4] De Melo, W.; Van Strien, S. One-dimensional Dynamics. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 25. Springer-Verlag, Berlin (1993). [5] Douady A. Systéms Dynamiques Holomorphes. Séminaire Bourbaki (1982/83) No [6] Douady A.; Hubbard, J. H. On the Dynamics of Polynomial-like Mappings. Ann. Sci. école Norm. Sup. (4) 18 (1985), No. 2, pp [7] Douady A. Le théorème díntégrabilité des structures presque complexes en: The Mandelbrot Set, Theme and Variations. London Mathematical Society, Lectures Notes Serie 274. [8] Douady A. Prolongement de mouvements holomorphes. Seminairà Bourbaki No. 775 (1995), Astérisque 227, pp [9] H. Farkas; I. Kra. Riemann Surfaces. Graduate Texts in Mathematics. Springer- Verlag, New York (1980). [10] Imayoshi Y. Taniguchi M. An Introduction to Teichmüller Spaces. Springer- Verlag (1992). [11] Lehto, O. Univalent Functions and Teichmüller Spaces. GTM Springer-Verlag (1987). [12] MacMullen, C. T. Complex Dynamics and Renormalization. Annals of Mathematics Studies Princeton University Press (1994). [13] MacMullen, C. T.; Sullivan, D. Quasiconformal homeomorphisms and dynamics III. The Teichmüller Space of Holomorphic Dynamical Systems. Adv. Math. 135, No. 2 (1998), pp [14] Milnor, J. Dynamics in one Complex Variable Third edition. Annals of Mathematics Studies, 160, Princeton Univ. Press. Princeton N. J. (2006). [15] Morosawa, S.; Nishimura, Y.; Taniguchi, N.; Ueda, T. Holomorphic Dynamics. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 66. Cambridge University Press (2000). [16] Petersen, C. L. Local Connectivity of Some Julia Sets Containing a Circle with an Irrational Rotation. Acta Math. 177, No. 2 (1996), pp [17] Shishikura M. On the Quasiconformal Surgery of Rational Functions. Ann. Sci. école Norm. Sup. (4) 20, No. 1 (1987), pp [18] Sullivan, D. Quasiconformal Homeomorphisms and Dynamic. I. Solution of the Fatou-Julia Problem on Wanderings Domains. Ann. of Math. (2) 122, No. 3 (1985), pp

66 56 F. Estrada, J. Poisot Francisco Estrada García Julio Poisot Macías Facultad de Ciencias Físico Matemáticas. Benemérita Universidad Autónoma de Puebla - Ciudad Universitaria.

67 AVANZA. Vol. II. FM - IIT, UACJ (2012) Sobre la descomposición en valores singulares y seudoinversa de una matriz * Boris Mederos, David Gardea, Gustavo Tapia y Jaime Romero ** Resumen En este trabajo presentaremos la descomposición en valores singulares de una matriz y sus propiedades. Utilizaremos dicha descomposición matricial para calcular la seudovinversa A + aplicada a un vector b. Palabras clave: Matriz seudoinversa. 1. Introducción En este trabajo estudiaremos un caso muy importante de descomposición matricial conocido como descomposición en valores singulares de una matriz y su relación con el problema de aproximación de su inversa, ver [1]. Muchas veces al resolver el sistema lineal: Ax = b, con A R n m, el sistema tiene infinitas soluciones en el caso n < m o no es posible resolverlo cuando n > m. En el caso de n > m una posible idea es encontrar la ˆx tal que Aˆx sea lo más cercano al vector b con respecto a la norma euclidiana. La idea anterior es equivalente a encontrar el ˆx que minimiza el residuo Ax b, lo que equivale a resolver un problema de mínimos cuadrados. Al resolver el problema de mínimos cuadrados uno puede obtener un conjunto infinito de soluciones, lo que conduce a un problema mal planteado [2, 3]. Una posible solución a esto es encontrar dentro de todas las posibles soluciones, la que tiene menor norma (más pequeña). * Artículo de divulgación ** Departamento de Física y Matemáticas IIT-UACJ,

68 58 B. Mederos, D. Gardea, G. Tapia, J. Romero La transformación que asocia b con la solución de menor tamaño de Ax b en el sentido de los mínimos cuadrados, es lineal y se denomina de seudoinversa o inversa generalizada de Moore-Penrose. Una de las grandes utilidades de la descomposición en valores singulares (SVD), es que permite calcular de manera directa la seudoinversa; también permite analizar cómo errores en b, afectan las soluciones de Ax = b en el sentido generalizado. Nuestro trabajo está organizado de la siguiente manera: la primera sección introduce los conceptos de ortogonalidad y transformaciones ortogonales, la segunda nos explica cómo obtener la SVD de una matriz, así como algunas de sus propiedades, y finalmente, la tercera sección relaciona la SVD con el concepto de seudoinversa, llevándonos a una fórmula explícita para su cálculo. 2. Ortogonalidad, normas y transformaciones ortogonales La ortogonalidad tiene un papel muy importante a la hora de los cálculos de matrices. Un conjunto de vectores {x 1, x 2,..., x n } en R n, es ortogonal si x t i x j = 0, cuando i j; y ortonormal si x t i x j = δ ij. Intuitivamente, los vectores ortogonales son independientes, ya que apuntan en direcciones totalmente diferentes. Una colección de subespacios S 1, S 2,,, S n en R n es mutuamente ortogonal, si x t y = 0, cuando x S i y y S j para todo i j. El complemento ortogonal de un subespacio S está definido por: S = {y R n : y t x = 0, x S} y no es difícil demostrar que los vectores {v 1, v 2,..., v k } forman una base ortonormal para un subespacio S R n, si son ortonormales y su espacio generado es S. Una matriz Q R n n, se dice que es ortogonal si Q t Q = I. Si Q = [q 1, q 2,..., q n ] es ortogonal, entonces las q i forman una base ortonormal de R n. Teorema 2.1. Si V 1 R n r tiene columnas ortogonales, entonces existe V 2 R n (n r), de manera que: V = [V 1, V 2 ]

69 Descomposición en valores singulares y seudoinversa 59 es ortogonal. Téngase en cuenta que ran(v 1 ) = ran(v 2 ). A continuación, introduciremos los conceptos de norma de una matriz inducida por la norma de vectores. Definición 2.2. Dada una matriz A R n n, llamaremos a: A p = Ax p máx x R n, x 0 x p de p-norma de A inducida por la norma p en R n. En particular, la 2-norma será de gran utilidad en este trabajo. La 2-norma es invariante bajo la transformación ortogonal, ya que si Q t Q = I, entonces Q 2 2 = xt Q t Qx = x 2 2. La 2-norma y la norma de Frobenius son invariantes con respecto a las transformaciones ortogonal. En particular, es fácil demostrar que para dos matrices ortogonales Q y Z de dimensiones adecuadas, tenemos: y QAZ F = A F QAZ 2 = A Descomposición en valores singulares La teoría de las normas desarrolladas en las secciones previas, se puede utilizar para probar la muy útil descomposición en valores singulares. Teorema 3.1. Sea una matriz A R n r real, entonces existen matrices ortogonales: y U = [u 1,..., u m ] V = [v 1,..., v n ], de manera que U t AV = diag(σ 1, σ 2,..., σ p ), donde p = mín{m, n} y σ k 0, k = 1...p.

70 60 B. Mederos, D. Gardea, G. Tapia, J. Romero Demostración. Sean x R n y y R m, tal que x 2 = y 2 = 1, que satisfacen Ax = σy, σ = A 2 Existen V 2 R n (n 1) y U 2 R m (m 1), tal que V = [x, V 2 ] y U = [y, U 2 ] son ortogonales. No es difícil ver que U t AV tiene la siguiente estructura: [ ] U t σ w AV = t = A 0 B 1, ya que: [ A 1 σ w ] 2 2 [ ] A σ 1 w [ ] 2 σ w = (σ 2 + w t w) 2 + Bw 2 2 (σ 2 + w t w) = A = máx A 1z 2 2 z 2 2 A 1 [ σ w ] σ 2 + w t w 2 2 [ ] A σ 1 w [ ] 2 σ w σ2 + w t w σ 2 + w t w. Se tiene A = σ2 + w t w. Sin embargo, σ 2 = A 2 2 = A 1 2 2, conduce a que w = 0. Luego [ ] A 1 = U t σ 0 AV =. 0 B Los σ i son llamados valores singulares de A. El vector u i es el i-ésimo vector singular izquierdo y el vector v i es el i-esimo vector singular derecho. Es fácil comprobar que AV = UΣ y A t U = V Σ t. Es conveniente escribir las igualdades anteriores:

71 Descomposición en valores singulares y seudoinversa 61 Av i = σ i u i, i = 1,..., n Au i = σ i v i, i = 1,..., n La descomposición en valores singulares revela gran parte de la estructura de una matriz. A partir de la SVD de A, dada por el teorema anterior, se define r como el entero que satisface entonces, σ 1 σ 2... σ r > σ r+1 =... = σ p = 0; rank(a) = r ran(a) = span({v r+1,..., v p }) null(a) = span({v1,..., v r }). Por otro lado, haciendo el producto de matrices en la descomposición (SVD) tenemos que: A = n σ i u i vi. t i=1 Definición 3.2. v R n es llamada una Solución por mínimos cuadrados si y sólo si: Ax b = ínf{ Az b : z R n }. Mejor solución aproximada de Ax = b si y sólo si x es una solución por mínimos cuadrados: x = ínf{ z : z es una solución en mínimos cuadrados}

72 62 B. Mederos, D. Gardea, G. Tapia, J. Romero donde. es la norma euclidiana. Se podrían utilizar otras normas que llevarían a distintas nociones de soluciones generalizadas. Además, en lugar de reducir al mínimo z con frecuencia es de interés minimizar Lz para alguna matriz L dada. Vamos a demostrar que la mejor solución aproximada siempre existe y es única; entonces, la siguiente definición tiene sentido: Definición 3.3. Definiremos como A + la matriz que asigna a cada b, la mejor solución aproximada de Ax b y se llama inversa generalizada de Moore- Penrose de A. Ahora vamos a construir A + y por lo tanto, las mejores soluciones aproximadas a través de la descomposición en valores singulares (SVD) de A. Teorema 3.4. Sea A una matriz que tiene descomposición en valores singulares, entonces A + : A + = V σ σr U t. Demostración. Sea b R n arbitrario. Basta con demostrar que: x = U 1 σ σ r V t b es la mejor solución aproximada de Ax = b. Sea z R n arbitraria, y = U t z, c = V t b:

73 Descomposición en valores singulares y seudoinversa 63 y = c = ( y1 y 2 ( c1 con y 1, c 1 en R r. Usando que una transformación unitaria deja sin cambios la norma euclidiana, llegamos a: c 2 ) ) b Az 2 2 = V t (b AUU t z) 2 2 ( ) ( )( c1 Σ 0 = c ( ) 2 c = 1 Σy 1, c 2 donde Σ = diag(σ 1, σ 2,..., σ r ). Por lo tanto, b Az 2 es mínima si y sólo si y 1 = Σ 1 c 1 y y 2 puede ser arbitraria. La norma euclidiana de y es mínima si y sólo si y 2 = 0; z es la mejor solución aproximada si y sólo si: y = ( Σ 1 c 0 ) 2 y 1 y 2 ) 2 2 es decir, z = Uy = ( Σ ) V t b = x. La prueba anterior implica la existencia y unicidad de la mejor aproximación y muestra que otras soluciones en mínimos cuadrados tienen la forma: ( Σ 1 c 1 y 2 ).

74 64 B. Mederos, D. Gardea, G. Tapia, J. Romero Con y 2 arbitraria, x puede ser escrita como: x = A + b = n i=1 (v t i b) σ i u i. Esta fórmula demuestra cómo errores en b, afectan el resultado de A + b. Si los errores en b corresponden a valores singulares grandes, entonces éstos no afectan la solución A + b. Por otra parte, los errores correspondientes a valores singulares pequeños amplificarán el error por un factor de 1 σ i, de manera que estos errores en los datos son muy dañinos; esto demuestra inestabilidad numérica. Si A tiene autovalores pequeños, una idea para reducir esta inestabilidad es reemplazar la suma x = n (vi tb) i=1 σ i u i por: x α = r i=1 (v t i b) σ i u i, σ i > α, siendo α un parámetro de regularización que es seleccionado convenientemente Bibliografía [1] Golub, G.; Van Loan, C. Matrix Computation. Johns Hopkins Studies in the Mathematical Science, (1996). [2] Engl, H. Inverse Problems. Aportaciones Matemáticas, (1995). [3] Somersalo, J. Statistical and Computational Inverse Problems. Springer Verlag. Applied Mathematical Sciences, 160 (2004). Boris Mederos Madrazo David Gardea (david Gustavo Tapia Sanchez Jaime Romero Departamento de Física y Matemáticas, IIT, Universidad Autónoma de Ciudad Juárez, Av. Del Charro núm. 450 norte, Ciudad Juárez, Chih., México, C.P , A.P D.

75 Reportes de proyectos de titulación 2010

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77 AVANZA. Vol. II. FM - IIT, UACJ (2012) Clases características * María de los Ángeles Torres García ** Resumen En general, en topología sucede que se coloca un espacio vectorial en cada punto de una variedad, de tal modo que no se tiene un único espacio vectorial, sino todo un haz de espacios vectoriales. Un ejemplo de dichos haces vectoriales es el haz tangente de una variedad, donde un campo vectorial corresponde a una sección de dicho haz. Así, de manera análoga a la característica de Euler- Poincaré, es posible definir invariantes, las cuales son obstrucciones para poder construir secciones linealmente independientes en un haz vectorial ζ. Pero en este caso, a diferencia de la característica de Euler-Poincaré, dichas obstrucciones no son números, sino clases de cohomología llamadas clases características de ζ. Palabras clave: clases características, geometría diferencial. 1. Introducción Dentro de la topología es importante poder clasificar objetos (matemáticos), para lo cual son utilizadas invariantes, tales como: la característica de Euler-Poincaré, que mediante el Teorema de Poincaré-Hopf nos da la obstrucción para encontrar un campo vectorial no nulo sobre una variedad M. Pero antes de entrar de lleno a las invariantes, concideremos primeramente en los objetos que nos mueven a su estudio de los. Dichos objetos los llamaremos variedades. Digamos entonces que una variedad en términos simples, es un espacio que localmente es visto como R n siendo R n, el espacio euclidiano de dimensión n; entonces, un punto x R n es una n-ada x = (x 1,..., x n ) de números reales. * Dirección del proyecto de titulación: Dr. José Luis Cisneros Molina (UNAM), C. a Dr. Luis Loeza Chin (UACJ). ** Licenciada en Matemáticas egresada del Departamento de Física y Matemáticas IIT- UACJ. Noviembre de 2010,

78 68 M. Torres Si tenemos una variedad N de dimensión n, entonces ésta es llamada una n-variedad; así, una variedad de dimensión 2 es llamada una 2-variedad o más comúnmente superficie. Importantes aplicaciones de las variedades se relacionan con cálculo, pero para poder extender las ideas del cálculo a variedades, tomaremos un caso particular de éstas, es decir, las superficies. Definición 1.1. Sea S un subespacio topológico de R l, le llamaremos superficie si cada punto en S tiene una vecindad homeomorfa a un subconjunto abierto de R 2. Ejemplo 1.2. Algunos ejemplos muy comunes de superficies son: Figura 1: La esfera S 2 Figura 2: El toro T Un resultado matemático importante es el Teorema de Clasificación de Superficies Cerradas, el cual afirma: Teorema 1.3 ([18, Thm. 5.1]). Toda superficie cerrada es homeomorfa a algún miembro de las siguientes tres familias de superficies:

79 Clases características 69 Figura 3: La botella de Klein K Figura 4: Esfera a) La esfera. b) La suma conexa de g copias del toro T, con g 1. Figura 5: Suma conexa de toros c) La suma conexa de k copias del plano proyectivo P, con k 1. Dicho de otra manera, todas las superficies se pueden construir con las anteriores, aunque sabemos por el teorema anterior que toda superficie cerrada es homeomorfa a una esfera, una suma de toros, o una suma de planos proyectivos, no sabemos que todos éstos son topológicamente diferentes. Es concebible que existan enteros positivos m y n, n m, tal que la suma de m toros es homeomorfa a la suma de n toros. Para demostrar que esto no

80 70 M. Torres Figura 6: Suma conexa de planos proyectivos puede suceder, introducimos una invariante numérica llamada característica de Euler. Un resultado muy importante en topología, es que las superficies se pueden triangular, ver [9]. Así que definamos la característica de Euler para una superficie triangulable. Def inición 1.4. Sea S una superficie compacta con una triangulación {T 1,..., T n }. Sea: v = al número total de vértices de S, e = al número total de aristas de S, c = al número total de caras (en este caso c = n); entonces, χ(s) = v e + c es llamada característica de Euler de S. En la figura 7 se muestran algunas triangulaciones de la esfera, el toro y el plano proyectivo. Realizando algunos cálculos, se puede ver que la característica de Euler de la esfera, el toro y el plano proyectivo es: 2, 0 y 1, respectivamente. En particular, la característica de Euler está bien definida, pues no depende de la triangulación [18]. Y asumiendo la invariancia topológica de la característica de Euler y el Teorema de Clasificación de Superficies, se tiene el siguiente resultado: Teorema 1.5. Sean S 1 y S 2 superficies compactas. Entonces S 1 y S 2 son homeomorfas si y sólo si su característica de Euler es igual y si ambas son orientables o no orientables. Este teorema nos reduce el problema de clasificación de superficies cerradas, pues sólo se tiene que determinar si una superficie es orientada o no y su

81 Clases características 71 Figura 7: Triangulaciones de S 2, T, P 2 característica de Euler. También nos dice que la característica, Euler es una invariante completa para superficies cerradas; es decir, dos superficies cerradas (ambas orientables o no orientables) son homeomorfas si y sólo si tienen la misma característica. Para variedades de dimensión mayor que 2, existen variedades que no son homeomorfas con la misma característica de Euler-Poincaré. Por lo tanto, una forma de saber a qué elemento de la lista es homeomorfa la superficie de la figura 8, es encontrar una triangulación y calcular su característica de Euler-Poincaré. 2. Variedades diferenciables Def inición 2.1. Una variedad topológica n-dimensional con frontera M, es un espacio topológico de Hausdorff, segundo numerable, tal que para cada x M existe un subconjunto abierto U M homeomorfo a un subconjunto abierto de H n = {(x 1,..., x n ) R n x n 0}.

82 72 M. Torres Figura 8: Un hoyo dentro de otro hoyo, que atraviesa otro hoyo Si φ: U φ(u) H n es uno de los homeomorfismos, cuando U es un abierto conexo, φ recibe el nombre de homeomorfismo coordenado, U abierto coordenado y a la pareja (U, φ), se le conoce como carta. Y llamamos parametrización a la inversa φ 1 de un homeomorfismo coordenado. Definición 2.2. Aun conjunto de cartas A = {(U α, φ α ): α A}, se le denomina atlas si se cumple α A U α = M. Def inición 2.3. Una estructura diferenciable sobre una variedad topológica M de dimensión n, es un atlas A = {(u α, φ α ): α A}, tal que: 1) Para toda α, β A A, tal que U α U β, la aplicación: es diferenciable. φ β φ 1 α : φ α (U α U β ) φ β (U α U β ) 2) La colección A es maximal, es decir, si una carta (U, φ) es tal que φ φ 1 α y φ α φ 1 son diferenciables para todo α A, entonces (U, φ) A. Def inición 2.4. Una variedad diferenciable de dimensión n con frontera, es una pareja (M, A) formada por una variedad topológica M de dimensión n y una estructura diferenciable A sobre M. Decimos que x M está en la frontera de M, si existe un homeomorfismo coordenado φ: U φ(u) H n, tal que φ(x) = a y a = (a 1, a 2,, a n 1, 0). Denotamos como M al conjunto de puntos en la frontera de M.

83 Clases características 73 Figura 9: Una parametrización de M Decimos que una variedad diferenciable M no tiene frontera, si las imágenes de todos los homeomorfismos coordenados del atlas de su estructura diferenciable están contenidas en Int(H n ) = {(x 1,..., x n ) R n x n > 0}. Denotamos que una variedad diferenciable M es cerrada, si es compacta y no tiene frontera. Ejemplo 2.5. M n (R) es una variedad diferenciable de dimensión n 2. Ejemplo 2.6. La esfera de dimensión 2: S 2 = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x x x 2 3 = 1}. Sea U = {(x 1, x 2 ) R 2 x x2 2 < 1} y la función f : U R, tal que f(x 1, x 2 ) = 1 (x x2 2 ). Tomemos la familia (U i, F i ) 6 i=1, tal que para i=1,...,6, U i = U y F i : U i S 2, donde: F 1 (x 1, x 2 ) = (f(x 1, x 2 ), x 1, x 2 ) F 2 (x 1, x 2 ) = ( f(x 1, x 2 ), x 1, x 2 ) F 3 (x 1, x 2 ) = (x 1, f(x 1, x 2 ), x 2 ) F 4 (x 1, x 2 ) = (x 1, f(x 1, x 2 ), x 2 ) F 5 (x 1, x 2 ) = (x 1, x 2, f(x 1, x 2 )) F 6 (x 1, x 2 ) = (x 1, x 2, f(x 1, x 2 )) (1)

84 74 M. Torres con inversas F 1 i = π i Fi (U i ), donde π i : R 3 R 2 para i = 1,..., 6; (x 2, x 3 ) si i = 1, 2 π i (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1, x 3 ) si i = 3, 4 (x 1, x 2 ) si i = 5, 6. Claramente F i y Fi 1 son diferenciables para i = 1,..., 6 y así la familia {(U i, F i )} 6 i=1 satisface las condiciones de nuestra definición de variedad diferenciable; por lo tanto, S 2 es una variedad diferenciable como se muestra en la figura Figura 10: Parametrizaciones de S 2 Ejemplo 2.7. Consideremos el conjunto D 2, dado por: D 2 = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}, el disco en R 2. Veamos que D 2 es una variedad de dimensión 2 con frontera D 2 = S 1. Sea (x 0, y 0 ) D 2. Si x y2 0 < 1, entonces podemos tomar: U = V = {(x, y) R 2 x 2 + (y 1) 2 < 1}, y f : U V, la aplicación dada por: f(x, y) = (x, y 1)

85 Clases características 75 es un homeomorfismo coordenado alrededor de (x 0, y 0 ). Notemos que (x 0, y 0 ) = f(x 0, y 0 + 1). Supongamos ahora que x y2 0 = 1. Sin pérdida de generalidad suponemos que y 0 > 0. Sea U = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 < 1}, V = R 2, y f : U V, la aplicación: f(x, y) = (x, 1 x 2 y). Como x 2 + y 2 < 1 en U, y < 1 x 2, por lo que f(x, y) V para todo (x, y) U. Además, f es continuamente diferenciable en U. Ahora bien, si (x, y) U H 2, entonces y 0, por lo que: 0 <= 1 x 2 y 1 x 2, y entonces f(x, y) V D 2. Ahora bien, si (x, y) V D 2, entonces: (x, y) = f(x, 1 x 2 y), por lo que entonces f(u H 2 ) = V D 2. Su inversa está dada por sí misma, así que es continua (de hecho, C 1 ). Finalmente, verificamos que (x 0, y 0 ) D 2. Sólo es suficiente con verificar que (x 0, y 0 ) = f(x 0, 0), porque x y2 0 = 1 y y 0 > 0. Figura 11: La frontera del disco D 2 es igual a S 1 Este ejemplo se puede generalizar a la bola B n en R n. Observamos que como D 2 = S 1, entonces D 2 es una variedad de dimensión 1, mientras que D 2 es una variedad de dimensión 2. Estos ejemplos nos muestran que verificar directamente de la definición si un subconjunto dado de R 3 es una variedad diferenciable, puede resultar bastante laborioso. La propiedad principal de una variedad diferenciable M es que sobre cada punto p M, se tiene un espacio tangente, denotado por T p M, el cual es un espacio vectorial.

86 76 M. Torres Definición 2.8. Sea M una variedad diferenciable de dimensión m en R k y p, un punto M. Un vector v de R k es tangente a M en p, si v se puede expresar como el vector velocidad en p de alguna curva diferenciable en M que pase por p. Definición 2.9. El conjunto de todos los vectores tangentes a M en p, es llamado espacio tangente a M en p y se denota por T p M. Ejemplo Las figuras 12 y 13 muestran respectivamente una recta tangente a un círculo y un plano tangente a una esfera. Figura 12: Recta tangente al círculo Figura 13: Plano tangente a la esfera 3. Teorema de Poincaré-Hopf El teorema que da nombre a esta sección, es uno de los resultados más trascendentales en este ensayo, ya que éste nos servirá como motivación para

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