Para el estudiante. 0-1 Fórmulas geométricas...z Números primos y números compuestos...z Cómo factorizar...z19

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1 Para el estudiante El Capítulo 0 contiene lecciones breves para repasar las destrezas matemáticas de los cursos anteriores. Es importante conocer estos contenidos para tener éxito en Álgebra 1. Para mantener un buen manejo de las destrezas, usa estas lecciones siempre que lo necesites. Capítulo Fórmulas geométricas...z3 0-2 Diagramas de árbol...z5 0-3 El plano cartesiano...z7 0-4 Cómo redondear y estimar...z9 0-5 Cómo sumar y restar decimales...z Cómo multiplicar y dividir decimales...z Números primos y números compuestos...z Cómo factorizar...z MCD y mcm...z Fracciones equivalentes...z Decimales, fracciones y porcentajes...z Cómo hallar un denominador común...z Cómo sumar y restar fracciones...z Cómo multiplicar y dividir fracciones...z32

2 0-1 Fórmulas geométricas Objetivo Hallar el perímetro y el área de figuras geométricas básicas Recuerda algunas figuras geométricas básicas. Cuadrado Rectángulo Triángulo Círculo Vocabulario perímetro circunferencia área l = longitud del lado l = longitud; a = ancho b = base; h = altura d = diámetro; r = radio El perímetro de una figura es la distancia alrededor de la figura. El perímetro de un círculo se llama circunferencia. Para hallar el perímetro de cualquier figura, suma las longitudes de sus lados. Para algunas figuras puedes usar una fórmula del perímetro. Perímetro y circunferencia FIGURA CON PALABRAS FÓRMULA El símbolo π se usa para representar la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Es aproximadamente igual a Cuadrado Rectángulo Círculo El perímetro de un cuadrado es cuatro veces la longitud de uno de sus lados. El perímetro de un rectángulo es dos veces la longitud más dos veces el ancho. La circunferencia de un círculo es π por el diámetro ó 2π por el radio. P = 4l P = 2l + 2a C = πd C = 2πr EJEMPLO 1 Hallar el perímetro Halla el perímetro de cada figura. A P = 2l + 2a = 2 (8) + 2 (4) Escribe la fórmula. Sustituye. = = 24 El perímetro es 24 m. B P = = 16 Suma las longitudes de los lados. El perímetro es 16 pies. 1. Halla el perímetro del cuadrado. 0-1 Fórmulas geométricas Z3

3 El área de una figura es la cantidad de unidades cuadradas que se necesitan para cubrir la figura. Área FIGURA CON PALABRAS FÓRMULA Cuadrado El área de un cuadrado es la longitud de un lado al cuadrado. A = l 2 Rectángulo El área de un rectángulo es la longitud por el ancho. A = l a Triángulo El área de un triángulo es la mitad de la base por la altura. A = 1 _ 2 bh Círculo El área de un círculo es π por radio al cuadrado. A = π r 2 El símbolo significa aproximadamente igual a. EJEMPLO 2 Hallar el área Halla el área de un círculo con un radio de 8 pies. Usa 3.14 para π. A = π r (8) (64) Escribe la fórmula. Sustituye π por 3.14 y r por = 8 8 = 64 El área mide aproximadamente pies 2. Halla el área de cada figura. Usa 3.14 para π. 2a. 2b. 0-1 Ejercicios Halla el perímetro de cada figura pulg 11 pulg Halla el área de cada figura. Usa 3.14 para π Z4 Capítulo 0

4 0-2 Diagramas de árbol Objetivo Usar un diagrama de árbol para hallar posibles combinaciones de elementos Vocabulario diagrama de árbol Laura y Abigail almuerzan en un restaurante que tiene el menú que se muestra a la derecha. Cada una elige un combo. Laura ordena ensalada de frutas, sopa de guisantes y torta de chocolate. Abigail ordena ensalada de frutas, sopa de tomate y una galleta. Las chicas se preguntan cuántos combos diferentes se pueden armar. Una manera de responder a este tipo de preguntas es usar un diagrama de árbol. Un diagrama de árbol es una presentación de datos que usa ramas para representar combinaciones de elementos. Elige tu combo! Elige una opción de cada grupo. Ensalada Ensalada de frutas Ensalada griega Postre Sopa Tomate Guisantes Vegetales Galleta Torta de chocolate EJEMPLO 1 Usar un diagrama de árbol Halla la cantidad de combos que se pueden armar a partir del menú de arriba. Primero escribe las dos ensaladas. Luego, dibuja tres ramas a partir de cada ensalada y escribe cada tipo de sopa. Por último, dibuja dos ramas desde cada sopa a cada postre. T Ga Ch G, T, Ga G, T, Ch G A Ga Ch G, A, Ga G, A, Ch V Ga G, V, Ga Ch G, V, Ch T Ga F, T, Ga Ch F, T, Ch F A Ga Ch F, A, Ga F, A, Ch V Ga Ch F, V, Ga F, V, Ch Sigue cada rama del diagrama de árbol para hallar todos los combos que se pueden armar. Hay 12 combos posibles de comidas. Usa la información anterior para responder a la siguiente pregunta. 1. Cuántos combos posibles hay si se agrega sopa de pavo al menú de sopas? 0-2 Diagramas de árbol Z5

5 0-2 Ejercicios 1. Rhonda tiene camisetas de color azul, verde y rosado. Tiene shorts de jean, caqui y blancos. Los zapatos son tenis y sandalias. Usa esta información para copiar y completar el diagrama de árbol. Luego consulta el diagrama de árbol para resolver los Ejercicios del 2 al Qué representa la combinación V, C, S? 3. Cuántas combinaciones incluyen una camiseta de color rosado? Y shorts de jean? Y tenis? 4. Cuántas combinaciones posibles de una camiseta, un par de shorts y un par de zapatos hay? 5. En una heladería, los clientes pueden elegir helados de chocolate, vainilla y fresa, y coberturas de chocolate caliente y de caramelo. Cuántas combinaciones de un sabor de helado y una cobertura son posibles? 6. Una tienda de licuados ofrece licuados en tamaño pequeño, mediano y grande. Los sabores que ofrece son fresa, piña, arándano azul y durazno. Los clientes también tienen la opción de añadir proteína en polvo al licuado. Cuántos licuados diferentes hay disponibles? 7. Sarah diseña una tarjeta de felicitación en su computadora para imprimirla. Puede elegir entre 4 estilos de tarjetas, 2 tipos de letras y 3 colores diferentes. Cuántas tarjetas diferentes puede imprimir? Z6 Capítulo 0

6 0-3 El plano cartesiano Objetivos Identificar puntos en el plano cartesiano Representar puntos en el plano cartesiano El plano cartesiano está formado por una recta numérica horizontal (llamada eje x) y una recta numérica vertical (llamada eje y). El punto en el que las dos líneas se cruzan se llama origen. Vocabulario plano cartesiano origen par ordenado Un par ordenado es un conjunto de dos números que describe la ubicación de un punto en el plano. Para ubicar puntos en un plano cartesiano, debes comenzar siempre en el origen. El primer número del par ordenado te indica cuántas posiciones te debes mover a lo largo del eje x. El segundo número te indica cuánto te debes mover a lo largo del eje y. El origen se ubica en el punto (0, 0). EJEMPLO 1 Representar puntos en el plano cartesiano Representa los puntos (-3, 4), (0, 2) y (2, -3) en el plano cartesiano. (-3, 4) Comienza en el origen. Muévete 3 unidades hacia la izquierda. Muévete 4 unidades hacia arriba. (0, 2) Comienza en el origen. Muévete 0 unidades hacia la izquierda o hacia la derecha. Muévete 2 unidades hacia arriba. (2, -3) Comienza en el origen. Muévete 2 unidades hacia la derecha. Muévete 3 unidades hacia abajo. Representa cada punto en el plano cartesiano. 1a. (4, -3) 1b. (-2, -1) 1c. (1, 0) 1d. (3, 3) 0-3 El plano cartesiano Z7

7 EJEMPLO 2 Hallar las coordenadas de puntos Escribe pares ordenados para describir la ubicación de los puntos A, C y E. Comienza en el origen. El punto A está 3 unidades hacia la derecha sobre el eje x y 3 unidades hacia abajo sobre el eje y. (3, -3) El punto C está 2 unidades hacia la derecha sobre el eje x y 0 unidades hacia arriba o hacia abajo sobre el eje y. (2, 0) El punto E está 2 unidades hacia la izquierda sobre el eje x y 4 unidades hacia arriba sobre el eje y. (-2, 4) Usa la gráfica anterior. Escribe un par ordenado para describir la ubicación de cada punto. 2a. punto B 2b. punto D 0-3 Ejercicios Representa cada punto en un plano cartesiano. 1. A (4, -2) 2. B (0, 0) 3. C (5, 0) 4. D (-4, -4) 5. E (-3, 5) 6. F (-3, -2) 7. G (-4, 1) 8. H (2, -4) 9. J (0, 3) Escribe un par ordenado para describir la ubicación de cada punto. 10. punto L 11. punto M 12. punto N 13. punto P 14. punto Q 15. punto R 16. punto S 17. punto T 18. el punto que está 2 unidades hacia la izquierda del punto L 19. el punto que está 3 unidades hacia la derecha del punto P 20. el punto que está 5 unidades hacia arriba del punto S 21. el punto que está 1 unidad hacia abajo del punto T 22. el punto que está a la mitad de los puntos M y Q 23. el punto que está a la mitad de los puntos Q y S 24. el punto que está 4 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba del punto R 25. el punto que está 3 unidades hacia la izquierda y 6 unidades hacia abajo del punto N Z8 Capítulo 0

8 0-4 Cómo redondear y estimar Objetivo Redondear números Estimar sumas, diferencias, productos y cocientes Vocabulario estimar redondear números compatibles estimación alta estimación baja Estimar es hallar una respuesta aproximada a un problema en lugar de hallar una respuesta exacta. Para estimar es necesario redondear números. Redondear significa reemplazar un número por otro que tiene un valor cercano al número original, pero que hace que los cálculos sean más rápidos y fáciles. Para redondear a un valor posicional indicado, haz lo siguiente: Observa el dígito que está a la derecha del valor posicional indicado. Si el dígito es 5 o mayor que 5, suma 1 al número del valor posicional indicado. Esto se llama redondear hacia arriba. Si el dígito es menor que 5, no cambies el número del valor posicional indicado. Esto se llama redondear hacia abajo. EJEMPLO 1 Redondear números Redondea cada número al valor posicional indicado. A 34,763 al millar más cercano 34,763 El 4 está en la posición de los millares. 34,763 El 7 está a la derecha del 4. 35,000 7 > 5, por lo tanto, redondea hacia arriba. B a la centésima más cercana El 8 está en la posición de las centésimas El 4 está a la derecha del < 5, por lo tanto, redondea hacia abajo. Redondea cada número al valor posicional indicado. 1a. 382,501 a la centena de millar más cercana 1b a la décima más cercana Para estimar una suma o diferencia, busca el número menor e identifica el primer dígito distinto de cero (desde la izquierda) de ese número. Redondea todos los números a ese valor posicional. Luego suma o resta los números redondeados. Para estimar un producto, redondea cada número a su mayor valor posicional. Luego multiplica los números redondeados. EJEMPLO 2 Estimar por redondeo Estima. A B Redondea cada Redondea cada número a la decena 40 5 número a su mayor 990 más cercana 200 valor posicional. Estima. 2a. 82, b. 92,384-48,224 2c Cómo redondear y estimar Z9

9 Cuando estimas una suma, a veces todos los números se aproximan al mismo número. Cuando esto sucede, puedes estimar por aproximación. EJEMPLO 3 Estimar por aproximación Estima Todos los números se aproximan a 80. Por lo tanto, redondea cada número a Usa la multiplicación en lugar de la suma repetida. 3. Estima Los números compatibles son dos o más números con los que puedes hacer un cálculo mental. Los números compatibles suelen ser útiles para estimar cocientes. EJEMPLO 4 Estimar cocientes con números compatibles Estima. A B Razona: 36 6 = Razona: 21 7 = Estima. 4a. 24, b En algunas situaciones, puede ser útil saber si necesitas una estimación alta (una estimación mayor que la respuesta real) o una estimación baja (una estimación menor que la respuesta real). EJEMPLO 5 Estimaciones altas y bajas Según las reglas normales del redondeo, 2.49 y 2.25 se redondean a 2. Pero como quieres una estimación alta, redondea todos los números hacia arriba. Ricky tiene $18 para gastar en su nuevo cachorro. Quiere comprarle un juguete a $3.99, un collar a $4.50, un cepillo a $2.49 y golosinas a $2.25. Ricky quiere estar seguro de que tiene dinero suficiente como para comprar los cuatro artículos. Explica si debe hallar una estimación alta o una estimación baja del costo total. Luego estima el total e indica si Ricky tiene dinero suficiente para la compra. Ricky debe hallar una estimación alta. De esa manera, el costo real será menor que su estimación. Si tiene dinero suficiente según su estimación, entonces tendrá dinero suficiente para cubrir el costo real Para hallar una estimación alta, redondea cada número hacia arriba = El costo real será menor que $ Por lo tanto, Ricky tiene dinero suficiente. 5. Jen planea conducir 95 millas en su automóvil. Su automóvil recorre 25.2 millas con un galón de gasolina. Jen tiene 5.5 galones de gasolina en el tanque y quiere saber si tiene suficiente gasolina para el viaje. Explica si Jen debe hacer una estimación alta o una estimación baja de la distancia que puede recorrer con su automóvil. Luego estima cuántas millas puede recorrer Jen e indica si tiene suficiente gasolina. Z10 Capítulo 0

10 Para estimar bien, necesitas saber cuándo es adecuado estimar. Algunos problemas necesitan una respuesta exacta. EJEMPLO 6 Estimaciones o respuestas exactas Indica si una estimación es suficiente o si se necesita una respuesta exacta. La maestra Helm tiene 392 folletos para plegar y distribuir y 7 voluntarios para ayudarla. Cuántos folletos aproximadamente plegará y distribuirá cada voluntario? Se pregunta cuántos folletos aproximadamente. Una estimación es suficiente. 6. Indica si una estimación es suficiente o si se necesita una respuesta exacta. Una chaqueta cuesta $28.95, con impuestos incluidos. Jane entrega al cajero $30. Cuánto vuelto debe devolverle a Jane el cajero? 0-4 Ejercicios Redondea cada número al valor posicional indicado a la decena más cercana a la milésima más cercana 3. 30,567 al millar más cercano _ al número cabal más cercano 2 Estima , , _ _ _ _ _ , La lección de piano de Ron comienza dentro de 2 horas. Ron tarda 30 minutos en llegar a su clase. Tiene que hacer la tarea durante 45 minutos y pasear a su perro durante 25 minutos. Ron quiere saber si tiene tiempo suficiente como para terminar su tarea y pasear a su perro antes de ir a su clase. Explica si debe hallar una estimación alta o una estimación baja para el tiempo total que necesita. Luego estima el tiempo total e indica si Ron tiene tiempo suficiente para hacer ambas tareas. Indica si una estimación es suficiente o si se necesita una respuesta exacta. 18. Shelly hace disfraces. En cada disfraz usa 3 3 yd de tela. Si Shelly necesita hacer 4 12 disfraces, cuántas yardas de tela debe comprar? 19. Sal tenía 349 cromos y regaló 62. Tiene ahora más de 250 cromos en su colección? 20. Kelly gasta el 20% de sus ingresos en impuestos. El año pasado ganó $34,512. Cuánto debe pagar Kelly en impuestos? 0-4 Cómo redondear y estimar Z11

11 0-5 Cómo sumar y restar decimales Objetivo Sumar y restar decimales Al sumar y restar decimales, primero alinea los números por sus puntos decimales. Tal vez necesites agregar ceros a uno o más números para que todos tengan la misma cantidad de posiciones decimales. Luego suma o resta de la misma manera que harías con números cabales. EJEMPLO 1 Sumar y restar decimales Si agregas ceros a un número después de la última posición decimal, el valor del número no cambia. Suma o resta. A Alinea los números por sus puntos decimales. Coloca dos ceros después de Suma y coloca el punto decimal en la misma posición. Puedes estimar la suma para comprobar que tu respuesta es razonable = 25 B Alinea los números por sus puntos decimales Coloca dos ceros después de Resta y coloca el punto decimal en la misma posición. Estima para comprobar que tu respuesta es razonable: 43-7 = 36 C Alinea los números por sus puntos decimales. Coloca un cero después de 8.1 y un cero después de Suma y coloca el punto decimal en la misma posición. Estima para comprobar que tu respuesta es razonable: = 24 Suma o resta. 1a b c En el Ejemplo 1, se agregaron ceros adicionales para alinear correctamente los puntos decimales. Sin embargo, los problemas se podían resolver sin ellos. En los siguientes ejemplos de resta, se deben agregar ceros adicionales como marcadores de posición. Esto se debe a que el primer número del problema tiene menos posiciones decimales que el número que se resta. EJEMPLO 2 Agregar ceros como marcadores de posición Resta. A Agrega dos ceros después de Alinea los números por sus puntos decimales Resta y coloca el punto decimal en la misma posición. Z12 Capítulo 0

12 Resta. B Agrega un cero después de Alinea los números por sus puntos decimales Resta y coloca el punto decimal en la misma posición. Comprueba Usa la suma C Agrega tres ceros después de Alinea los números por sus puntos decimales Resta y coloca el punto decimal en la misma posición. Comprueba Usa la suma Resta. 2a b c Ejercicios Suma o resta Cómo sumar y restar decimales Z13

13 0-6 Cómo multiplicar y dividir decimales Objetivo Multiplicar y dividir decimales El procedimiento para multiplicar decimales es semejante al proceso para multiplicar números cabales. La única diferencia es que para multiplicar decimales necesitas colocar el punto decimal en la posición correcta en el producto. Cómo multiplicar decimales PASOS EJEMPLO 1. Multiplica como lo harías con números cabales. 2. Cuenta la cantidad de posiciones decimales en cada factor. 3. Suma las posiciones decimales del Paso 2. Esta es la cantidad de posiciones decimales que debe tener el producto final posición decimal posiciones decimales posiciones decimales EJEMPLO 1 Multiplicar decimales Otra forma de ubicar el punto decimal en el producto es estimar. En el Ejemplo 1A, la respuesta será aproximadamente 3 7 = 21. Multiplica. A posiciones decimales 7 0 posiciones decimales posiciones decimales Estima para comprobar que tu respuesta es razonable. 3 7 = 21 B posición decimal posición decimal posiciones decimales Estima para comprobar que tu respuesta es razonable. 2 2 = 4 Multiplica. 1a b Z14 Capítulo 0

14 Cuando divides, el divisor debe ser un número cabal. Si el divisor es un decimal, mueve el punto decimal hacia la derecha hasta obtener un número cabal. Luego mueve el punto decimal del dividendo hacia la derecha la misma cantidad de posiciones. EJEMPLO 2 Volver a escribir problemas de división cociente divisor dividendo dividendo divisor = cociente Vuelve a escribir cada problema de división de modo que el divisor sea un número cabal. A B Mueve cada punto decimal Mueve cada punto decimal 2 posiciones hacia la derecha. 1 posición hacia la derecha Agrega un 0 como marcador de posición. Vuelve a escribir cada problema de división de modo que el divisor sea un número cabal. 2a b Cómo dividir decimales MUEVE 1. Si es necesario, desplaza el punto decimal para que el divisor sea un número cabal. Mueve el punto decimal del dividendo la misma cantidad de posiciones. 2. Divide como lo harías con números cabales. Agrega ceros al dividendo si es necesario. 3. Coloca el punto decimal en el cociente directamente por encima del punto decimal del dividendo. EJEMPLO EJEMPLO 3 Dividir decimales Divide. A Mueve el punto decimal en el divisor y en el dividendo Comprueba Agrega ceros en el dividendo. Usa la multiplicación: = Cómo multiplicar y dividir decimales Z15

15 Divide. B Mueve el punto decimal en el divisor y en el dividendo Comprueba Usa la multiplicación: = Divide. 3a b Observa que se siguen agregando ceros al final del dividendo hasta que el cociente termina (se detiene) o se hace periódico. Aprenderás más sobre decimales periódicos en la Lección Ejercicios Multiplica Vuelve a escribir cada problema de división de modo que el divisor sea un número cabal Divide , Z16 Capítulo 0

16 0-7 Números primos y números compuestos Objetivos Usar las reglas de la divisibilidad para hallar todos los factores de un número dado Identificar números como números primos o números compuestos Vocabulario factor divisible número compuesto número primo Un factor es un número que se divide entre otro sin residuo. Un número es divisible entre sus factores. Por ejemplo, 4 es un factor de 8 y 8 es divisible entre 4. A veces puedes saber si un número es divisible entre otro número sin necesidad de hacer la división. Un número es divisible entre si su último dígito es 0, 2, 4, 6 u 8. si la suma de sus dígitos es divisible entre 3. si sus dos últimos dígitos forman un número divisible entre 4. si su último dígito es 0 ó 5. si es divisible entre 2 y entre 3 a la vez. si la suma de sus dígitos es divisible entre 9. si su último dígito es 0. EJEMPLO 1 Determinar la divisibilidad de los números Determina si 516 es divisible entre 2, 3, 4, 5, 6, 9 y sí El último dígito es 6. 3 sí 4 sí 5 no 6 sí 9 no 10 no = 12; 12 es divisible entre 3. Los últimos dos dígitos son es divisible entre 4. El último dígito no es 0 ni 5. 2 y 3 son factores = 12; 12 no es divisible entre 9. El último dígito no es 0. Por lo tanto, 516 es divisible entre 2, 3, 4 y 6. Determina si cada número es divisible entre 2, 3, 4, 5, 6, 9 y 10. 1a b Un número compuesto tiene más de dos factores. Por ejemplo, 12 es un número compuesto porque sus factores son 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Un número primo tiene sólo dos factores: 1 y él mismo. Por ejemplo, 29 es un número primo porque sus únicos factores son 1 y 29. Por definición, el número 1 no es primo ni compuesto. 0-7 Números primos y números compuestos Z17

17 EJEMPLO 2 Números primos y números compuestos Determina si cada número es primo o compuesto. Si hallas aunque sea un solo factor de un número distinto del número mismo y de 1, ese número es compuesto. No es necesario que halles todos los factores. A y 17 son los únicos factores. Por lo tanto, 17 es un número primo. B = 9; 27 es divisible entre 3 y 9. Por lo tanto, 27 es un número compuesto. Determina si cada número es primo o compuesto. 2a. 11 2b. 57 2c Ejercicios Determina si cada número es divisible entre 2, 3, 4, 5, 6, 9 y Copia y completa la tabla. Escribe una tilde en el recuadro si el número que se da es divisible entre el número que encabeza la columna Número Determina si cada número es primo o compuesto Haz una lista con todos los factores de cada número. Luego identifica si el número es primo o compuesto Número Factores Primo o compuesto Z18 Capítulo 0

18 0-8 Cómo factorizar Objetivos Escribir la factorización prima de un número Vocabulario factorización prima Todos los números compuestos se pueden expresar como el producto de dos o más números primos. Este producto se llama factorización prima del número. Puedes hallar la factorización prima de un número compuesto mediante un árbol de factores para organizar los factores. Para un número dado son posibles varios árboles, pero, excepto los cambios en el orden, los factores primos serán siempre los mismos. EJEMPLO 1 Factorizar mediante un árbol de factores El número 1 no es ni primo ni compuesto. Halla la factorización prima de cada número. A 40 Escribe el número que debes factorizar. Elige dos factores cualesquiera de 40. Sigue hasta que cada rama termine en un factor primo. B 72 La factorización prima de 40 es Elige dos factores cualesquiera de 72. Sigue hasta que cada rama termine en un factor primo. C 63 La factorización prima de 72 es Elige dos factores cualesquiera de 63. Sigue hasta que cada rama termine en un factor primo. D 110 La factorización prima de 63 es Elige dos factores cualesquiera de 110. Sigue hasta que cada rama termine en un factor primo. La factorización prima de 110 es Halla la factorización prima de cada número. 1a. 50 1b. 64 1c. 51 1d Cómo factorizar Z19

19 Cuando un factor aparece más de una vez, la factorización prima se puede escribir con potencias. Recuerda que el exponente de una potencia indica cuántas veces la base se usa como factor. EJEMPLO 2 Escribir la factorización prima con exponentes Escribe la factorización prima de cada número con exponentes. A = Escribe la factorización prima. = El 2 aparece 3 veces. La factorización prima de 24 es B = = Escribe la factorización prima. La factorización prima de 100 es Escribe la factorización prima de cada número con exponentes. 2a. 36 2b c Ejercicios Usa un árbol de factores para hallar la factorización prima de cada número Escribe la factorización prima de cada número con exponentes Completa cada recuadro para que la ecuación sea verdadera = = = = Haz tres árboles de factores diferentes para el número 60. Muestra que cada árbol de factores da como resultado la misma factorización prima. Z20 Capítulo 0

20 0-9 MCD y mcm Objetivos Hallar el MCD de dos o más números Hallar el mcm de dos o más números Vocabulario máximo común divisor mínimo común múltiplo El máximo común divisor, o MCD, de dos o más números es el mayor número cabal que es factor de todos los números. Por ejemplo, 2 y 4 son factores comunes de 8 y 12, pero 4 es el máximo común divisor. Una manera de hallar el MCD de dos o más números es hacer una lista de factores y elegir el mayor factor de cada lista. EJEMPLO 1 Hallar el MCD mediante una lista de factores Halla el MCD de 45 y : 1, 3, 5, 9, 15, 45 Haz una lista de los factores de cada número. 81: 1, 3, 9, 27, 81 El MCD es 9. Halla los factores comunes. Identifica el máximo común divisor. Halla el MCD de cada par de números. 1a. 30 y 45 1b. 32 y 48 También puedes hallar el MCD si escribes primero la factorización prima de cada número. El MCD será el producto de todos los factores primos comunes. EJEMPLO 2 Hallar el MCD mediante la factorización prima Halla el MCD de cada conjunto de números mediante la factorización prima. A 140 y : Escribe la factorización prima de cada número. 112: Multiplica los factores comunes = 28 El MCD es 28. B 10, 35 y : : : Escribe la factorización prima de cada número. Hay sólo un factor común. 5 EL MCD es 5. Halla el MCD de cada conjunto de números mediante la factorización prima. 2a. 64 y 20 2b. 12, 18 y MCD y mcm Z21

21 Un múltiplo común de dos o más números cabales es un número cabal que es múltiplo de todos los números. Por ejemplo, 30 es múltiplo común de 3 y 5. El menor número cabal que es múltiplo de los números se llama mínimo común múltiplo, o mcm. Por ejemplo, 15 es el mcm de 3 y 5. EJEMPLO 3 Hallar el mcm Halla el mcm de 8 y 12. Otra manera de hallar el mcm de dos números es hacer primero una lista de los múltiplos del número mayor y detenerte cuando encuentres un múltiplo que también sea múltiplo del número menor. Método 1 Haz una lista con los múltiplos de cada número hasta que observes el mismo múltiplo en cada lista. 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 El mcm de 8 y 12 es 24. Método 2 Usa la factorización prima. Escribe la 8 = factorización prima 12 = de cada número. Escribe un producto usando cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquiera de las factorizaciones = 24 El mcm de 8 y 12 es 24. Halla el mcm de cada par de números. 3a. 12 y 18 3b. 24 y Ejercicios Halla el MCD de cada par de números y y y y y y y y y 125 Halla el mcm de cada par de números y y y y y y y y y 81 Copia y completa la tabla. Números MCD mcm , 27 y , 15 y , 20, 70 y 98 Z22 Capítulo 0

22 0-10 Fracciones equivalentes Objetivos Escribir fracciones equivalentes Escribir fracciones en su mínima expresión Las fracciones equivalentes son fracciones que representan la misma cantidad. Por ejemplo, 2 4 y _ son fracciones equivalentes porque representan 2 la misma cantidad. Vocabulario fracciones equivalentes mínima expresión de una fracción La fracción equivalente de cualquier fracción se puede hallar multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número cabal. EJEMPLO 1 Hallar fracciones equivalentes Para cada fracción, escribe dos fracciones equivalentes. A B 2_ 3 2_ 3 = _ = _ 4 Elige cualquier número cabal. 6 Multiplica el numerador y el 2_ denominador por ese número. 3 = _ = _ Por lo tanto, _ 2 3 es equivalente a _ 4 6 y a _ _ _ = _ = _ 3 4 _ = _ = _ 6 8 Por lo tanto, 12 _ 16 es equivalente a 3 _ 4 y a 6 _ 8. Halla un número que sea un factor del numerador y del denominador. Divide ambos entre ese número. Para cada fracción, escribe dos fracciones equivalentes. 1a. 1b. _ Una fracción dada tiene infinitamente muchas fracciones equivalentes. Sin embargo, sólo una de esas fracciones, incluida la original, está en su mínima expresión. La mínima expresión de una fracción es la fracción equivalente en la que el numerador y el denominador no tienen otro factor común que no sea 1. Puedes usar el MCD del numerador y del denominador para escribir una fracción en su mínima expresión Fracciones equivalentes Z23

23 También puedes hallar el MCD de dos números mediante sus factorizaciones primas. EJEMPLO 2 Escribir fracciones en su mínima expresión Escribe cada fracción en su mínima expresión. A B _ : 1, 5, 25 Halla el MCD de 25 y : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 El MCD es 5. _ = _ 5 6 La fracción _ en su mínima expresión es _ _ 16 El único factor común de 9 y 16 es 1. La fracción _ 9 está en su mínima expresión. 16 Divide el numerador y el denominador entre 5. Escribe cada fracción en su mínima expresión. 2a. 9_ 2b. _ Ejercicios Para cada fracción, escribe dos fracciones equivalentes _ _ 9 2. _ _ _ _ _ _ Compara. Escribe <, > ó =. (Pista: escribe fracciones equivalentes con el mismo denominador. Luego compara los numeradores) _ 7 8 6_ 12 5_ _ _ 3 4 _ _ _ _ 3 5 3_ 4 _ Escribe cada fracción en su mínima expresión. 16. _ _ _ _ _ _ _ _ _ Z24 Capítulo 0

24 0-11 Decimales, fracciones y porcentajes Objetivos Escribir fracciones como decimales y porcentajes Escribir decimales y porcentajes como fracciones Muchos números se pueden escribir como decimales, fracciones o porcentajes. En la siguiente tabla se muestran tres fracciones comunes y sus decimales y porcentajes equivalentes. Representación gráfica Fracción Decimal Porcentaje % % % Algunos decimales tienen una cantidad finita de posiciones decimales. Estos decimales se llaman decimales finitos. En otros decimales, uno o más dígitos después del punto decimal se repiten indefinidamente. Estos decimales se llaman decimales periódicos. Los decimales periódicos se escriben con una barra sobre la parte que se repite. EJEMPLO 1 Escribir fracciones como decimales Escribe cada fracción como decimal. A 3_ B 5_ 8 9 Método 1 Método Divide 3 entre Divide 5 entre _ Usa una barra para indicar 8 = _ 9 = 0. 5 el decimal periódico. Método 2 Método = Usa una 5 9 = calculadora = 0. 5 Escribe cada fracción como decimal. 1a. 5_ 1b. 7_ 6 20 Usa una calculadora Decimales, fracciones y porcentajes Z25

25 En la siguiente tabla se muestran algunos valores posicionales decimales y sus fracciones equivalentes. Puedes usar esta información para escribir un decimal como fracción. Décimas Centésimas Milésimas 0.1 = 1 _ = = 1000 EJEMPLO 2 Escribir decimales finitos como fracciones Escribe cada decimal como una fracción en su mínima expresión. A 0.75 B 0.4 C = _ = _ = _ = _ = _ 4 2 = _ = _ 3 = _ 2 = 4_ Escribe cada decimal como una fracción en su mínima expresión. 2a b c Z26 Capítulo 0 Al escribir un decimal periódico como fracción, identifica la cantidad de dígitos que se repiten. Luego halla la potencia de diez que tenga esa cantidad de ceros Se repite 1 dígito Se repiten 2 dígitos 100 Luego, escribe una fracción con los dígitos que se repiten en el numerador y la potencia de 10 menos 1 en el denominador. EJEMPLO 3 Escribir decimales periódicos como fracciones Escribe cada decimal periódico como fracción en su mínima expresión. A Se repite un dígito. La potencia de 10 es 10. 6_ Divide entre 10 1, es decir, 9. 9 _ 6 3 Escribe la fracción en su mínima expresión. 9 3 = _ 2 3 B Se repiten dos dígitos. La potencia de 10 es 100. _ 63 Divide entre 100 1, es decir, _ 63 9 Escribe la fracción en su mínima expresión = _ 7 11 C Se repiten tres dígitos. La potencia de 10 es _ 121 Divide entre , es decir, Escribe cada decimal periódico como fracción en su mínima expresión. 3a b c

26 Para escribir un decimal como porcentaje, mueve el punto decimal dos posiciones hacia la derecha. Para escribir un porcentaje como decimal, mueve el punto decimal dos posiciones hacia la izquierda. EJEMPLO 4 Convertir entre decimales y porcentajes A Escribe 0.87 como porcentaje. B Escribe 64% como decimal = 87% 64% = a. Escribe 0.28 como porcentaje. 4b. Escribe 175% como decimal Ejercicios Escribe cada fracción como decimal _ _ _ _ 25 5_ 11 Escribe cada decimal como fracción Escribe cada porcentaje como decimal % % % % 17. 4% % Escribe cada decimal como porcentaje Copia y completa la tabla. Fracción Decimal Porcentaje 25. _ % 27. 6% _ Decimales, fracciones y porcentajes Z27

27 0-12 Cómo hallar un denominador común Objetivo Hallar denominadores comunes y el mcd Escribir fracciones equivalentes mediante el mcd Vocabulario mínimo común denominador Cuando trabajas con fracciones, a menudo tienes que volver a escribir las fracciones como fracciones equivalentes con el mismo denominador, el denominador común de las fracciones. 7_ 12 y _ 1 denominador común 12 5_ 8 y _ 5 denominadores distintos 6 La manera más fácil de hallar un denominador común de dos o más fracciones es multiplicar los denominadores. EJEMPLO 1 Hallar un denominador común Halla un denominador común de _ 6 y 4 9. Multiplica los denominadores: 6 9 = 54. Un denominador común de _ 6 y 4 es Halla un denominador común de _ 4 y El mínimo común denominador, o mcd, de dos o más fracciones es el menor número que es denominador común de las fracciones. El mcd es el mcm de los denominadores. EJEMPLO 2 Hallar el mcd El mcm, o mínimo común múltiplo, de dos o más números es el menor número cabal que es múltiplo de los números. Halla el mcd de cada par de fracciones. A B 4_ 6 y 9 Halla el mcm de los denominadores, 6 y 9. 6: 6, 12, 18 Haz una lista con los múltiplos de cada 9: 9, 18, 27 El mcd de _ 1 6 y _ 4 es _ 12 y 16 Halla el mcm de los denominadores, 12 y = = = 48 EL mcd de _ 5 12 y _ 1 es denominador hasta que observes el mismo múltiplo en cada lista. Escribe la factorización prima de cada número. Escribe un producto usando cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquiera de las factorizaciones. Halla el mcd de cada par de fracciones. 2a. _ 1 4 y _ 3 2b. _ y _ 5 6 Z28 Capítulo 0

28 Recuerda que para hallar fracciones equivalentes puedes multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número. 3_ 4 = _ = _ 9 12 EJEMPLO 3 Escribir fracciones equivalentes con el mcd Halla el mcd de _ 6 y 4. Luego vuelve a escribir cada fracción como una fracción 9 equivalente con el mcd. El mcm de 6 y 9 es 18. Por lo tanto, 18 es el mcd. Razona: Por qué número debes multiplicar cada denominador para obtener 18? 6 = _ = _ 18 6 = _ = _ _ 9 = _ = _ 18 4_ 9 = _ = _ 8 18 Las fracciones _ 6 y = 18. Por lo tanto, multiplica el numerador y el denominador por = 18. Por lo tanto, multiplica el numerador y el denominador por 2. 3 son equivalentes a 18 y Halla el mcd de _ 4 y 3. Luego, vuelve a escribir cada fracción 14 como una fracción equivalente con el mcd Ejercicios Halla un denominador común de cada par de fracciones y 1 _ _ 2 y 5 _ _ 12 y 3 _ 20 Halla el mcd de cada par de fracciones. 4. _ y _ y _ y _ _ 10 y _ _ 3 4 y _ _ 24 y _ _ 18 y _ _ 7 9 y _ _ 16 y _ 9 20 Halla el mcd de cada conjunto de fracciones. Luego vuelve a escribir cada fracción como una fracción equivalente con el mcd y _ _ 9 y 11 _ _ 1 5, 6 y _ _ 1 2 y _ _ 3 4 y _ _ 1 2, 2_ 3 y _ _ 10 y _ y _ _ 1 3, 3_ 4 y _ Cómo hallar un denominador común Z29

29 0-13 Cómo sumar y restar fracciones Objetivo Sumar y restar fracciones Para sumar o restar fracciones, primero debes asegurarte de que tienen denominadores comunes. Luego suma o resta las fracciones sumando o restando los numeradores y manteniendo el denominador común. EJEMPLO 1 Sumar y restar con denominadores comunes Suma o resta. Escribe cada respuesta en su mínima expresión. A 2_ _ 2 5 = _ Suma los numeradores. Mantén el denominador. = 3 _ 5 B 5_ 6-6 5_ 6 - _ 1 6 = _ = 4 _ 6 = 2 _ 3 Resta los numeradores. Mantén el denominador. Escribe la respuesta en su mínima expresión. Suma o resta. Escribe cada respuesta en su mínima expresión. 1a. _ _ 5 8 1b. _ _ 4 9 Para sumar o restar fracciones que no tienen un denominador común, primero debes volver a escribirlas como fracciones equivalentes con un denominador común. EJEMPLO 2 Sumar y restar fracciones El mcd es el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores. (Ver Lección 0-12) Suma o resta. Escribe cada respuesta en su mínima expresión. A 5_ 3_ Paso 1 Halla el mcd. El mcm de 6 y 8 es 24. Por lo tanto, 24 es el mcd. Paso 2 Escribe fracciones equivalentes usando el mcd. 5_ 6 = _ 5 4 _ 6 4 = 20 3_ 24 8 = _ 3 3 9_ 8 3 = 24 Paso 3 Suma. _ 20 9_ = _ Z30 Capítulo 0

30 Si no puedes hallar el mcd, puedes hallar un denominador común multiplicando los denominadores. Sin embargo, tal vez tengas que simplificar más la respuesta final. Suma o resta. Escribe cada respuesta en su mínima expresión. B 7_ 15-6 Paso 1 Halla el mcd. El mcm de 15 y 6 es 30. Por lo tanto, 30 es el mcd. Paso 2 Escribe fracciones equivalentes usando el mcd. 7_ 15 = _ 7 2 _ 15 2 = = _ 1 5 5_ 6 5 = 30 Paso 3 Resta. _ 14 5_ = _ 9 30 = _ 3 Escribe la respuesta en su mínima expresión. 10 C 5_ 2_ Paso 1 Halla el mcd. El mcm de 9, 3 y 2 es 18. Por lo tanto, 18 es el mcd. Paso 2 Escribe fracciones equivalentes usando el mcd. 5_ 9 = _ 5 2 _ 9 2 = 10 2_ 18 3 = _ 2 6 _ 3 6 = = _ 1 9 9_ 2 9 = 18 Paso 3 Suma. _ 10 _ _ = _ Suma o resta. Escribe cada respuesta en su mínima expresión. 2a. _ _ 3 5 2b. _ _ 5 6 2c _ _ Ejercicios Suma o resta. Escribe cada respuesta en su mínima expresión _ 5 8_ _ 9 7_ 9-1 _ 3 2_ 3 + _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 10-3 _ _ 9-5 _ _ _ _ _ _ 17-2 _ _ _ _ _ _ ( _ _ 3) 1 + _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 14-5 _ _ 12-1 _ _ _ _ 5-3 _ _ _ _ 10-3 _ 8 6_ _ _ _ _ ( _ _ 7) 3 - _ Cómo sumar y restar fracciones Z31

31 0-14 Cómo multiplicar y dividir fracciones Objetivos Multiplicar y dividir fracciones Vocabulario recíprocos Para multiplicar o dividir fracciones, no necesitas un denominador común. Para multiplicar fracciones, multiplica los numeradores y luego multiplica los denominadores. Escribe tu respuesta en su mínima expresión. EJEMPLO 1 Multiplicar fracciones Multiplica. Escribe cada respuesta en su mínima expresión. A 3_ 2_ 4 5 3_ 4 _ 2 B 4 3_ 8 5 = _ = _ 6 20 = _ _ 3 4_ 8 = 1 _ 3 8 = _ = _ 12 8 = _ 3 2 Multiplica los numeradores y los denominadores. Escribe la respuesta en su mínima expresión. Para escribir un número cabal como fracción, escríbelo con un denominador de 1: 4 = 4 1. Multiplica los numeradores y los denominadores. Escribe la respuesta en su mínima expresión. Multiplica. Escribe cada respuesta en su mínima expresión. 1a. _ 3 8 _ 4 9 1b. 2 _ 5 2 Dos números son recíprocos si su producto es 1. Para hallar el recíproco de una fracción, invierte el numerador y el denominador. Por ejemplo, el recíproco de 2 5 es. Dividir entre una fracción es lo mismo que multiplicar la fracción por su 5 2 recíproco. Por lo tanto, para dividir fracciones, multiplica la primera fracción por el recíproco de la segunda fracción. EJEMPLO 2 Dividir fracciones Divide. Escribe cada respuesta en su mínima expresión. A 3_ 2_ 4 3 3_ 2_ 4 3 = _ 3 3_ 4 2 = _ = _ 9 8 Transforma la división en una multiplicación. Escribe el recíproco de 2 3. Multiplica. Z32 Capítulo 0

32 Divide. Escribe cada respuesta en su mínima expresión. B 2_ 3 6 2_ 3 6 = 2 _ 3 6_ 1 = 2 _ 3 6 = _ = _ 2 18 = _ 1 9 Escribe 6 como fracción. Transforma la división en una multiplicación. Escribe el recíproco de 6. Multiplica. Escribe la respuesta en su mínima expresión. Divide. Escribe cada respuesta en su mínima expresión. 2a. _ 5 8 _ 3 4 2b. 1 _ Ejercicios Multiplica. Escribe cada respuesta en su mínima expresión _ _ _ 4 5. _ _ _ _ 14 _ _ 6 3 _ _ 12 _ _ 7 8 _ _ 4 9 _ _ _ 15 _ 5 12 Escribe el recíproco de cada número _ 14. _ _ 2 Divide. Escribe cada respuesta en su mínima expresión _ 12 _ _ 2 13 _ _ _ 9 _ _ _ 5 9 _ _ _ 3 5 _ _ 17 _ _ 2 9 _ 6 7 Multiplica o divide. Escribe cada respuesta en su mínima expresión. 29. _ 4 5 _ 2 3 _ _ 10 _ _ _ _ 7 8 _ _ ( 3 7 _ 6 10 ) _ Cómo multiplicar y dividir fracciones Z33

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