No. 4 FORMAS, PATRONES Y RELACIONES. Sexto grado del Nivel Primario. De la Evaluación a la Acción MATEMÁTICAS. Cuadernillo

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1 Serie de Cuadernillos Pedagógicos De la Evaluación a la Acción Cuadernillo No. 4 FORMAS, PATRONES Y RELACIONES En las actividades cotidianas MATEMÁTICAS Sexto grado del Nivel Primario

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3 FOTOCOPIE Y DISTRIBUYA ESTE MATERIAL DE FORMA GRATUITA Serie de Cuadernillos Pedagógicos DE LA EVALUACIÓN A LA ACCIÓN FORMAS, PATRONES Y RELACIONES En las actividades cotidianas MATEMÁTICAS SEXTO GRADO DEL NIVEL DE EDUCACIÓN PRIMARIA Material de apoyo para el docente

4 Licenciada Cynthia del Aguila Mendizábal Ministra de Educación Licenciada Evelyn Amado de Segura Viceministra Técnica de Educación Licenciado Alfredo Gustavo García Archila Viceministro Administrativo de Educación Doctor Gutberto Nicolás Leiva Alvarez Viceministro de Educación Bilingüe e Intercultural Licenciado Eligio Sic Ixpancoc Viceministro de Diseño y Verificación de la Calidad Educativa Licenciada Luisa Fernanda Müller Durán Directora de la DIGEDUCA Autoría Lcda. Amanda Quiñónez Castillo Agradecimientos M.A. Justo Magzul Programa Reforma Educativa en el Aula, REAULA USAID Lcda. Sofía Noemí Gutiérrez Méndez Edición Lcda. María Teresa Marroquín Yurrita Diseño Lic. Eduardo Avila Diagramación Lic. Roberto Franco Arias Lcda. Larisa Mendóza Ilustraciones Lcda. Marielle Che Quezada Lic. Eduardo Avila Dirección General de Evaluación e Investigación Educativa DIGEDUCA 2012 todos los derechos reservados. Se permite la reproducción de este documento total o parcialmente siempre que no se alteren los contenidos ni los créditos de autoría y edición. Para fines de auditoría este es un material desechable. Para citarlo: Quiñónez, A. (2012). MATEMÁTICAS. FORMAS, PATRONES Y RELACIONES. En las actividades cotidianas. Sexto grado del Nivel Primario. Guatemala: Dirección General de Evaluación e Investigación Educativa, Ministerio de Educación. Disponible en red: Impreso en Guatemala. divulgacion_digeduca@mineduc.gob.gt Guatemala, 2012

5 ÍNDICE PRESENTACIÓN... 5 CÓMO USAR ESTE CUADERNILLO?... 7 I. LAS MATEMÁTICAS, HABILIDADES PARA LA VIDA... 8 II. PATRONES Y RELACIONES: COMPETENCIAS PARA LA VIDA Qué es un patrón? Construcción de patrones Repetición Recurrencia Y las relaciones? Reconocer patrones, una competencia Identificar patrones y relaciones Partir de los conocimientos y experiencias previas Usar material concreto Identificar patrones y relaciones en situaciones problema Habilidades para el aprendizaje de patrones y relaciones Aprender de lo más fácil a lo más difícil Una propuesta metodológica Proponer actividades de aprendizaje desde una situación problema Aporte de ideas para la resolución del problema Discusión de las soluciones Se confirman los aprendizajes III. LOS ESTUDIANTES EN GUATEMALA IDENTIFICAN PATRONES? IV. FORMAS, PATRONES Y RELACIONES EN EL CNB Identificar formas, patrones y relaciones en la vida diaria V. ACTIVIDADES PARA IDENTIFICAR Y CONSTRUIR PATRONES El tablero de los patrones Asigno número a las casas Qué pasa si lo cambio? VI. CÓMO SE EVALÚA LA IDENTIFICACIÓN DE PATRONES? Las formas y patrones en las evaluaciones nacionales Secuencia numérica aplicando la multiplicación y la división Formar patrones descubriendo el núcleo de construcción Las evaluaciones nos dicen cuánto saben los estudiantes.. 36 AGRADECIMIENTOS REFERENCIAS CITAS BIBLIOGRÁFICAS Y NOTAS EXPLICATIVAS... 39

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7 5 PRESENTACIÓN 5 Estimado docente: Las acciones que realiza la Dirección General de Evaluación e Investigación Educativa -DIGEDUCA-, tienen el propósito de generar información objetiva, transparente y actualizada, que permita a los diferentes actores de la comunidad educativa, la reflexión y toma de decisiones tendientes a promover cambios en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Como producto de esta labor, ponemos en sus manos la serie de Cuadernillos Pedagógicos: De la Evaluación a la Acción, del área curricular de Matemáticas, en el que les presentamos actividades, que como apoyo a los docentes, les permitan en una escuela por grados, multigrado, monolingüe o bilingüe, ayudar a los estudiantes a desarrollar la capacidad de identificar patrones y relaciones, de observarlas y analizarlas no solo en situaciones matemáticas sino en actividades cotidianas (Cfr. Currículum Nacional Base, Sexto grado del Nivel Primario, 2008, p. 98). Los cuadernillos tienen una estructura sencilla. Primero presentan una parte teórica en la que se desarrollan temas del componente del área de Matemáticas de Formas, patrones y relaciones. Seguidamente, se informa sobre los resultados obtenidos por los estudiantes del Nivel de Educación Primaria en las evaluaciones nacionales, específicamente en esos temas. Por último, se sugieren actividades que pueden realizarse atendiendo al nivel de dificultad que requiere este grado y que pueden ser adaptadas por los docentes, a la realidad sociocultural de sus estudiantes. Cabe mencionar que el contenido de los Cuadernillos está vinculado en todos sus componentes al Curriculum Nacional Base y dentro del ejercicio constante de la evaluación formativa. Es importante mencionar que no pretenden agotar las actividades que pueden realizarse en el aula. Al contrario, buscan ser un estímulo para la creatividad, enriquecida por la experiencia de los docentes. Se espera que la serie de Cuadernillos Pedagógicos: De la evaluación a la acción contribuya al fortalecimiento del compromiso de los docentes en la búsqueda constante de la calidad y a desarrollar en los estudiantes competencias para transformar su realidad logrando así una mejor Guatemala.

8 6 6 En este cuadernillo se usa una serie de íconos que orienta a los docentes sobre la información que se les presenta: Indica que se expone la teoría del tema tratado. Glosario gráfico. Destaca el significado de alguna palabra que aparece dentro de la teoría. Recomienda entrelazar áreas curriculares. Presenta los resultados de investigaciones. Identifica actividades de aprendizaje. Destaca alguna conclusión o resalta una idea importante. Sugiere más actividades. Indica evaluación. Las citas bibliográficas y las notas explicativas aparecen al final del cuadernillo. Para facilitar la lectura en los Cuadernillos Pedagógicos, se usarán los términos docentes y estudiantes para referirse a hombres, mujeres, niños y niñas.

9 7 CÓMO USAR ESTE CUADERNILLO? 7 Para obtener el máximo provecho de los cuadernillos, estos se han organizado en tres apartados. A continuación se explica cómo usar cada uno de ellos. Desarrollo teórico Resultados 3 Lea, analice y estudie los conceptos básicos, esta información servirá para recordar los conocimientos sobre patrones y relaciones y su importancia en el aprendizaje de las matemáticas. Es la base teórica que el docente necesita para promover el aprendizaje en los estudiantes. De esta, el docente tomará lo necesario para conducir la clase, según el grado. Infórmese en el cuadernillo, sobre los resultados de la identificación de formas y patrones obtenidos en las pruebas nacionales, así como la relación que este tema tiene con el Curriculum Nacional Base CNB. Estos le servirán para identificar debilidades en el aprendizaje de los estudiantes y proponerse estrategias para ayudarlos a mejorar. Es importante usar los resultados obtenidos para planificar el aprendizaje de los estudiantes. Actividades de aprendizaje Analice las actividades de aprendizaje propuestas en el cuadernillo, tienen como propósito desarrollar las habilidades y destrezas necesarias para identificar formas, patrones y relaciones. Contextualícelas de acuerdo al entorno sociocultural de sus estudiantes. Observe que en todas se propone una forma determinada de evaluar, cámbielas según las necesidades de su grupo. Las actividades se plantean para desarrollar la destreza de identificación de formas, patrones y relaciones. Esperamos que esta herramienta contribuya al mejoramiento de la calidad educativa de los estudiantes guatemaltecos.

10 8 8 I. LAS MATEMÁTICAS, HABILIDADES PARA LA VIDA Cuando se habla de matemáticas, se hace referencia a la ciencia que estudia los números, las figuras geométricas, los concepto de cantidad y espacio entre otros. 1 Pero Para qué se estudia matemáticas? Para ayudar a resolver las necesidades de la vida de una persona como ciudadano preocupado y reflexivo para actuar en su medio 2, además de estimular el razonamiento. Para que las matemáticas sirvan a este propósito, es indispensable que los estudiantes no solo aprendan a identificar las figuras por su nombre, decir si están a la derecha o la izquierda; identificar los números o realizar operaciones aritméticas, además, necesitan desarrollar competencias matemáticas. Qué se entiende por competencia matemática? Se entiende como la capacidad de organizar el conocimiento, las representaciones y los procedimientos matemáticos, para comprender e interpretar el mundo real Tengo que ir al Palacio Nacional de la Cultura y no sé cómo llegar. Mi mamá me dijo que me baje de la camioneta en la parada del Palacio de la Policía Nacional y que camine 7 cuadras hacia el norte. El Palacio de la Cultura queda en la 6ª calle y el Palacio de la Policía en la 14 calle. Para llegar debo buscar que los números de las calles vayan de forma ascendente o descendente? El aprendizaje de las matemáticas debe hacerse desde los acontecimientos de la vida diaria y debe ser aplicado a la vida diaria.

11 9 II. PATRONES Y RELACIONES: COMPETENCIAS PARA LA VIDA Las Matemáticas es una de las áreas fundamentales del currículo nacional, porque por medio de ellas se desarrolla en los alumnos ( ), habilidades destrezas y hábitos mentales como: destrezas de cálculo, estimación, observación, representación, argumentación, investigación, comunicación, demostración y autoaprendizaje. 4 El aprendizaje de las formas, patrones y relaciones ayuda a los estudiantes a construir elementos geométricos y a aplicar sus propiedades en la resolución de problemas. También ayuda a desarrollar la capacidad de identificar, observar y analizar patrones, tanto en situaciones matemáticas como en actividades de la vida cotidiana. El componente de Formas, patrones y relaciones, provee al estudiante: Del lenguaje de la geometría y de las destrezas para distinguir las diversas formas para desarrollar el sentido espacial y aprender a ver el mundo a través de los ojos de la geometría para construir, dibujar, medir, visualizar, comparar, describir y transformar las cosas. 6 Los patrones y las relaciones permiten identificar cómo estos se manifiestan en la naturaleza y el mundo circundante, así como familiarizarse con el razonamiento y lenguaje algebraico. También hacen posible identificar la relación causa efecto en patrones presentes en el entorno natural, social o cultural. 7 Álgebra 5 : Parte de las matemáticas en la que las operaciones aritméticas se generalizan usando números, letras y signos. Cada letra o signo representa simbólicamente un número u otra entidad matemática. Cuando alguno de los signos representa un valor desconocido se llama incógnita. Circundante: Que rodea algo. 9 N o E o 1a. calle El Hospital La Salud, queda entre la 3ª y 4ª calle y 3ª avenida. Escuela El Saber 2a. calle 1a avenida 2a avenida 3a. calle Parque La Ilusión 3a avenida Hospital La Salud La Escuela El Saber, entre la 3ª y 2ª calle, sobre la 1ª avenida. Qué tengo que saber para encontrar las direcciones? 4a. calle Barranco Las Honduras Las matemáticas, es concebida como la ciencia de los patrones y el orden, ya que es difícil encontrar un área de las matemáticas en la que formalizar y generalizar no sea central. 8

12 Qué es un patrón? Un patrón es una sucesión de signos orales, de fenómenos naturales, gráficos, numéricos, entre otros, que se construyen siguiendo una regla, ya sea de repetición o de recurrencia. 9 Los patrones se observan en la vida real y pueden responder a un modelo matemático. Patrones de fenómenos de la naturaleza Germinación de las semillas 10 1º. Enterrar la semilla en tierra húmeda. 2º. La semilla absorbe el agua y empieza a respirar. 3º. La semilla al absorber el agua, empieza a respirar y a crecer. 4º. Para seguir creciendo necesita de raíces y estas empiezan a salir. 5º. Con las raíces se puede alimentar mejor y brotan las hojas y los tallos. El reconocimiento de los patrones existentes, facilita a los estudiantes descubrir argumentos de causa-efecto, presentes en la naturaleza. Por ejemplo: Qué pasa si la semilla se siembra en tierra seca? Por qué los agricultores esperan las primeras lluvias del invierno para empezar a sembrar? Patrones numéricos Están formados por sucesión de números y operaciones escritos en un orden definido. Por ejemplo: La secuencia de este patrón está formada por números enteros y decimales. 1, 1.5, 2, 2.5, 3, También son patrones numéricos las coordenadas de un plano cartesiano. Por ejemplo:

13 11 Patrones geométricos 11! Los patrones más fáciles de identificar son los que muestran el entorno cultural y natural. La formación de patrones geométricos se considera una estrategia importante para el desarrollo de la creatividad. central-american-tribesculturescountries/guatemala/ Son patrones geométricos los elementos decorativos de los vestuarios mayas, así como los accesorios: chachales y otros. También se pueden observar en los elementos decorativos de las casas, ventanas y puertas de las ciudades del país. Friso: Faja más o menos ancha con la que se decora la parte baja de las paredes. También puede colocarse en la parte alta de un edificio, a modo de coronamiento. Los patrones decorativos o frisos, además de su valor desde el punto de vista matemático, son una muestra de la aplicación de las matemáticas en el campo del arte. 11

14 Construcción de patrones 12 En sexto grado de primaria, los estudiantes aprenderán a identificar la estructura de un patrón y establecer generalizaciones. Si durante los grados de escolaridad anteriores, el estudiante ha ejercitado las habilidades necesarias para identificar patrones, en el último grado de la primaria, debe ser capaz, además de reconocer los patrones, construir series numéricas aplicando distintos patrones. 13 La construcción de patrones en este grado supone mayor grado de complejidad que en tercero primaria. El estudiante debe ser capaz de identificar y sustituir el número faltante en una serie numérica combinando dos o tres operaciones básicas. De igual manera debe estar preparado para identificar qué tipo de relaciones se dan en las sucesiones dadas. La estructura básica o núcleo de un patrón, puede ser de repetición o de recurrencia Repetición Sucesión: Conjunto ordenado de términos, que cumplen una ley determinada. Cuando los patrones se construyen siguiendo una regla de repetición, los elementos de que están compuestos se presentan de forma periódica. Existen y pueden crearse patrones de repetición teniendo en cuenta su estructura de base o núcleo. Un ejemplo de ellos, es el sistema de numeración de las calles y avenidas de la ciudad capital. La dirección de mi casa Qué patrón numérico sigue la dirección de mi casa? Dirección: 2ª calle 3-20, zona 1. o N E Si dice 2ª calle, debo buscar en el mapa, la calle identificada con ese número. o Escuela El Saber 2a. calle 1a avenida 1a. calle 2a avenida 3a. calle Parque La Ilusión 3a avenida Hospital La Salud El número 3 me indica que debo buscar sobre la 3ª avenida y el número 20, me indica a cuantos metros de distancia de la 3ª avenida está mi casa. Para encontrar las direcciones, debo conocer qué patrón siguen. 4a. calle Barranco Las Honduras

15 2.2.2 Recurrencia Cuando los patrones se construyen siguiendo una regla de recurrencia, la regularidad con que se presentan los elementos cambia y de ellos tiene que inferirse su ley de formación. Recurrencia: Cualidad de recurrente. Recurrente: Que vuelve a ocurrir o a aparecer, especialmente después de un intervalo. Nascencia: Acción y efecto de nacer. Necesita siempre la misma cantidad de agua? Leyendo una revista de agricultura, me encontré que para conseguir buenas cosechas de maíz, es importante regar los cultivos correctamente. La necesidad de agua es diferente según van creciendo las plantas. Encontré la siguiente información. Semana Estado de crecimiento Metros cúbicos (m 3 ) necesarios 1ª Siembra 42 2ª Nascencia 42 3ª Desarrollo primario 52 5ª Crecimiento 120 8ª Floración 185 9ª Polinización ª Fecundación ª Crecimiento y maduración de la mazorca 14ª Semana Cuando terminé de leer, se me presentaron algunas dudas: El maíz, necesita la misma cantidad de agua cuando se siembra y cuando nace? Cuándo más necesita? Qué datos me responden esa pregunta? Cuál es el momento en que el cultivo de maíz necesita más agua? Cuántos metros cúbicos más necesita el cultivo durante el periodo de fecundación, que durante el periodo de siembra? Durante el periodo de crecimiento y maduración hasta la 15ª semana, los cultivos necesitan la misma cantidad de agua. Cuántos metros cúbicos de agua necesitan, si se les debe dar 2 m 3 menos que durante el periodo de fecundación? Fuente:

16 14 14 $ Y las relaciones? Se entiende por relación la forma en que se comporta un elemento con relación a otro del mismo patrón. Al analizar la estructura del patrón y el orden de sus elementos, es posible determinar la relación existente entre ellos. Por ejemplo: Relación de uno a uno La gráfica muestra relación de uno a uno, porque cada mes se relaciona con una determinada cantidad de libros vendidos. Relación de dependencia Si se proporciona a los cultivos de maíz la cantidad necesaria de agua, durante los distintos periodos de crecimiento, se obtienen mejores cosechas. Semana Libros vendidos por mes Estado de crecimiento Enero Febrero Marzo Abril Mayo Metros cúbicos (m 3 ) necesarios 1ª Siembra 42 2ª Nascencia 42 3ª Desarrollo primario 52 5ª Crecimiento 120 8ª Floración 185 9ª Polinización ª Fecundación ª Crecimiento y maduración de la mazorca ª Semana 190 El aprendizaje de patrones y relaciones es gradual. Toda vez que se ha comprendido, cómo se forman los patrones de repetición, los estudiantes estarán en condiciones de comprender los patrones de recurrencia. El manejo de sucesiones permite desarrollar la habilidad para el reconocimiento de patrones y para establecer las relaciones que se dan entre los diferentes elementos. 14

17 Reconocer patrones, una competencia % Los estudiantes de sexto grado necesitan desarrollar habilidades para reconocer la estructura de los patrones, interpretar las operaciones aritméticas implícitas en patrones, y encontrar las relaciones de causa-efecto en patrones presentes en el ámbito que les rodea. 16 La identificación de patrones y relaciones contribuye al desarrollo de las habilidades para: Analizar y buscar regularidades. Organizar y clarificar información. Transferir conocimientos y procedimientos de las matemáticas a otras áreas del conocimiento. Aprender a razonar de forma lógica e intuitiva (deductivo e inductivo) Formular hipótesis, contrastarlas y compararlas para comprobarlas o rechazarlas. 2.3 Identificar patrones y relaciones La habilidad para identificar patrones y relaciones se adquiere de manera conjunta en las actividades de la vida diaria. Los estudiantes deben ser capaces de comprender un patrón, es decir, analizar un patrón y descubrir su estructura de base o núcleo, es decir, la ley según la cual, se construye la sucesión de los elementos y si es posible representarlo matemáticamente. Material concreto: Todo instrumento, objeto o elemento que el maestro facilita en el aula de clases, con el fin de transmitir contenidos educativos desde la manipulación y experiencia que los estudiantes tengan con estos. com/2008/05/27/material-concreto/ La Fundación La Ayuda, ofreció donar Q.5.00 por cada libro bien forrado que encontrarán en las aulas de 1º a 6º. Durante la semana nos dedicamos a forrar todos los libros y se obtuvo lo siguiente: Grado 1º 2º 3º 4º 5º 6º Libros forrados Aportación Q25. Q75.???? Cuánto dinero donó la Fundación por lo libros forrados de 6º grado? La búsqueda, construcción y clasificación de patrones promueve el desarrollo del pensamiento lógico. 17

18 16 16 & Partir de los conocimientos y experiencias previas Cualquier aprendizaje es más duradero y eficaz si se parte de los aprendizajes y experiencias previas que los estudiantes adquieren en su interacción con las personas, objetos y experiencias sociales de la vida diaria. Las experiencias ayudan al estudiante a descubrir las regularidades que luego podrán representar, a la vez que les facilitarán la identificación de otras regularidades más complejas. Juan ayuda a su papá a llenar las cajas de dulces para la venta del fin de semana. Cada caja se vende a Q Debe colocar la cantidad de dulces según le indican los precios de la tabla: Mazapán Pepitoria Higos Quiebradientes Q7.00 cada uno Q2.33 cada uno Q1.40 cada uno Q0.85 cada uno Para no confundirse, Juan elaboró la siguiente tabla, con la cantidad de dulces que debe colocar: Mazapán Pepitorias Higos Quiebradientes Qué haría Juan para elaborar esa tabla? Qué relación hay entre los elementos de la secuencia formada por la cantidad de dulces que contiene cada caja? Usar material concreto Los estudiantes se interesan y aprenden mejor los conceptos de patrones y relaciones si usan material concreto. Con él tendrán oportunidad de representar los patrones que identifican en la vida real y establecer las correspondientes relaciones Identificar patrones y relaciones en situaciones problema La identificación de patrones y relaciones es ideal hacerla desde una situación problema, de forma que los estudiantes tengan la oportunidad de formular hipótesis, comunicar las posibles soluciones, comprobarlas o refutarlas. Es importante que los estudiantes se familiaricen con los patrones y relaciones y que aprendan a identificarlas en la vida diaria.

19 Habilidades para el aprendizaje de patrones y relaciones 17 / Identificar semejanzas y diferencias Para identificar patrones es importante desarrollar la habilidad de comparación, por la cual los estudiantes distinguirán semejanzas y diferencias para detectar los rasgos fundamentales que conforman una estructura de aquellos que no son esenciales. 18 Extender y completar un patrón Cuando el estudiante ha comprendido la secuencia que sigue un patrón, podrá describir la secuencia de la serie, introduciendo símbolos; también podrá hacer predicciones acerca del tipo de objeto, figura o elemento que ocupará un lugar dado en la secuencia. Si... Entonces... Comparar: Es fijar la atención en dos o más cosas para encontrar parecidos y apreciar diferencias entre ellas. Se cambia a... Debe cambiarse a... Analizar y buscar regularidades La habilidad cognitiva de análisis es necesaria para interpretar y explicar patrones. El estudiante necesita estar expuesto al análisis de patrones, los cuales puede observar en la naturaleza, el entorno sociocultural y también los que le proporcione el docente dentro del aula. Análisis: Distinción y separación de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos Aprender de lo más fácil a lo más difícil En primer y tercer grados de primaria, los estudiantes aprenden a copiar patrones, identificar la regularidad de patrones sencillos y extender la sucesión de sus elementos y a identificar no solo la repetición o recurrencia de los elementos de patrones más complejos, sino también a explicarlos. En sexto grado, los estudiantes deben aprender a expresarlos de forma simbólica. El aprendizaje de patrones y relaciones debe desarrollarse a lo largo de todo el año y todos los años de escolaridad, relacionándolos con los otros contenidos que se estén tratando, ya sea de aritmética como de geometría, medida o estadística y probabilidades, no descuidando el poder ejemplificar regularidades con otros contenidos de las áreas de curriculares. 19 Patrones y relaciones no debe enseñarse como un automatismo. Es importante fomentar su comprensión para que encuentren regularidades, interpreten los procesos de formación y los usen con propiedad. 20

20 18 18 ( 2.4 Una propuesta metodológica Proponer las actividades de aprendizaje desde una situación problema El docente debe tener claro lo que quiere lograr con la actividad y cuáles son las habilidades que han desarrollado los estudiantes. Los estudiantes aprenderán a identificar patrones que ayuden a solucionar un problema real. Activar conocimientos y experiencias previas por medio de una conversación, que el docente propicia haciendo preguntas. Han ido alguna vez a la tienda a comprar? Qué hacen en cuanto llegan a la tienta? Los atienden con rapidez? Si hay muchas personas comprando, qué hacen ustedes? Proponer la situación problema. Saben qué sucede en la tienda de nuestra escuela? Los estudiantes que tienen a su cargo la tienda escolar, se quejan de los que van a comprar, porque dicen que son muy desordenados; todos quieren comprar a la vez y los que están vendiendo se confunden en el momento de cobrar. Qué podemos hacer? Yo quiero dos jugos! Dame una paleta! Yo quiero tres tostadas! Me puede vender unas papalinas y se las pago mañana? Papalinas Papalinas

21 Aporte de ideas para la resolución del problema 19 ) Este es el momento de resolver dudas y hacer propuestas para encontrar la solución. El docente tendrá presente que lo que se espera es que los estudiantes propongan la construcción de un patrón con el cual resolverán el problema planteado. Para conseguir la participación de los estudiantes el docente promoverá la discusión haciendo preguntas. Es muy importante que propicie la participación de todos. Si observa que algún estudiante no participa, puede hacer preguntas directas y sugerirle ideas. Qué piensan que les podemos proponer a los que tienen a su cargo la tienda? Será que solo les podemos dar esa solución? Se les ocurre alguna otra forma? José, cuál piensas que puede ser la solución? Discusión de las soluciones Toda vez que los estudiantes han aportado soluciones, el docente conduce la valoración de cada una de ellas, clasificándolas. Una forma puede ser: las correctas y las incorrectas. Se analiza cada una hasta determinar las que son correctas porque solucionan o no el problema, por medio de un patrón. Por qué les parece que la solución es cerrar la tienda escolar? Muy bien! Este grupo propone que los estudiantes hagan una fila para comprar. Habrá otra solución? Este grupo tiene otra solución. Que los estudiantes hagan dos filas. Los que van a comprar algo para comer y los que van a comprar algo para beber. Habrá otra solución? Se confirman los aprendizajes El docente repasa el concepto de patrón y cómo este se construye por medio de una serie de elementos. Se fijan en lo que estamos proponiendo? Formar una fila es formar un patrón. Con quiénes lo formamos? Con todos los niños que van a comprar. Cuando proponemos hacer dos filas, estamos formando dos patrones. Cómo pueden expresar esta solución de forma verbal y escrita?

22 = III. LOS ESTUDIANTES EN GUATEMALA IDENTIFICAN PATRONES? La DIGEDUCA, realiza cada año una evaluación muestral a estudiantes de tercer grado de primaria, con la finalidad de identificar el dominio alcanzado en las habilidades matemáticas. Una de esas habilidades es la identificación de secuencias numéricas, habilidad que forma parte del componente Formas, patrones y relaciones, del área curricular de Matemáticas. La gráfica muestra el porcentaje de respuestas correctas obtenidas en los ítems de series numéricas y patrones en las pruebas de Porcentajes de respuestas correctas a los ítems de serie numérica y patrones % 24.41% Serie numérica Patrones La información que proporciona permite inferir que de 10 ítems que evalúa series numéricas, aproximadamente 2 fueron resueltos correctamente. Y de cada 10 ítems que evalúa identificación de patrones, 3 fueron identificados correctamente. Estos resultados evidencian la necesidad de fortalecer la enseñanza del componente de Formas, patrones y relaciones, que más adelante les será de utilidad para establecer generalizaciones, distinguir entre razonamiento deductivo e inductivo, solucionar problemas algebraicos, entre otras habilidades y destrezas. Los estudiantes de tercero primaria responderán correctamente a los ítems de secuencias numéricas si: Pueden organizar y clarificar la información que les proporcionan los ítems. Establecen comparaciones para identificar diferencias y similitudes e identificar el núcleo del patrón. Detectan la regularidad de la secuencia de los elementos y efectúan las operaciones aritméticas necesarias para completar la serie cuando falta un número. Pueden extender la sucesión de los elementos, siguiendo el núcleo del patrón. Los estudiantes se familiarizan con los patrones cuando los identifican en la naturaleza y en las manifestaciones culturales.

23 IV. FORMAS, PATRONES Y RELACIONES EN EL CNB El Curriculum Nacional Base -CNB- expresa los estándares, las competencias, indicadores de logro y contenidos que el estudiante debe alcanzar al finalizar el sexto grado. Según el estándar 8 se espera que el estudiante al terminar el sexto grado de primaria plantee y resuelva Estándares educativos: Son criterios sencillos, claros, que indican los aprendizajes esperados. Cfr. Estándares Educativos para Guatemala, 2007 problemas en el conjunto de números naturales y racionales que impliquen conversiones, proporciones directa e inversa, regla de tres simple y compuesta, porcentaje, descuento e interés simple. Para ello el estudiante debe ser capaz de aplicar Curriculum Nacional Base del Nivel Primario, Sexto grado Estándar 8, p el pensamiento lógico, reflexivo, crítico y creativo para impulsar la búsqueda de solución a situaciones problemáticas en los diferentes ámbitos en los que se desenvuelve. Curriculum Nacional Base del Nivel Primario, Sexto Grado, Competencia 2, p Demuestra el desarrollo de esta competencia cuando: 2.1 Construye series numéricas aplicando diferentes patrones. Curriculum Nacional Base del Nivel Primario, Sexto Grado, Indicador de logro, p El estudiante adquiere las competencias y desarrollan las capacidades cuando ejercita la: Completación de series numéricas que tienen secuencias en las que se combina dos o tres operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación o división) Creación de series numéricas que tienen secuencias en las que se combina dos o tres operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación o división). Curriculum Nacional Base del Nivel Primario, Sexto Grado, Contenidos, p. 101.

24 Identificar formas, patrones y relaciones en la vida diaria Al planificar las actividades de enseñanza-aprendizaje 22, se debe tener en cuenta que se está desarrollando una determinada competencia. A continuación se ejemplifica la planificación de actividades que contribuyen al desarrollo de las habilidades necesarias para identificar formas y patrones. Procedimiento 23 Competencia Indicador de logro Contenidos (Actividades de aprendizaje y de Evaluación Recursos evaluación) Cuaderno, lápiz y borrador Autoevaluación Heteroevaluación Identificación de la base o núcleo de construcción de un patrón combinando operaciones aritméticas. 2.1 Construye series numéricas aplicando diferentes patrones. Dados Lista de cotejo Tablero de los patrones Pruebas objetivas Completación de patrones Completación de series numéricas que tienen secuencias en las que se combina dos o tres operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación o división). Hojas de trabajo Autoevaluación 2. Aplica el pensamiento lógico, reflexivo, crítico y creativo para impulsar la búsqueda de solución a situaciones problemáticas en los diferentes ámbitos en los que se desenvuelve Creación de series numéricas que tienen secuencias en las que se combina dos o tres operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación o división). El desarrollo de competencias implica los contenidos declarativos, procedimentales y actitudinales 24. Estos últimos tienen en cuenta: El desarrollo de la propia autonomía a través de realización de las actividades escolares planificadas. El ejercicio de hábitos de orden y limpieza en la presentación de sus trabajos. La emisión de juicios positivos acerca de las soluciones propuestas para resolver los problemas. El Curriculum Nacional Base centra su atención en el desarrollo de competencia y no en la enseñanza de contenidos.

25 V. ACTIVIDADES PARA IDENTIFICAR Y CONSTRUIRPATRONES En las siguientes páginas se presentan algunas actividades para desarrollar las destrezas que capacitan al estudiante para identificar formas, patrones y relaciones en las actividades cotidianas. En primer lugar se presentan las indicaciones para el docente, acerca del propósito de las actividades, cómo desarrollarlas y sugerencias para evaluarlas. Seguidamente se proponen hojas de trabajo para el estudiante, con la finalidad de que el docente las reproduzca si lo considera oportuno. Finalmente, en algunos casos se incluyen modelos de material concreto o manipulativo, por ejemplo dados, fichas o tableros, que reproducidos, los estudiantes pueden armar, recortar, pintar y que les servirán para realizar las actividades propuestas. Esto se indica con líneas discontinuas y tijeras. Para realizar las actividades se recomienda a los docentes: Modificarlas de acuerdo a las necesidades educativas del grupo de estudiantes que atienden. Usarlas como ejemplo para la creación de nuevas actividades que se ajusten mejor al contexto sociocultural de la comunidad.. Mis alumnos construyen patrones numéricos, puedo cambiar la actividad así Activar conocimientos previos ayudando a los estudiantes a traer a la memoria los conocimientos que ya tienen con relación al tema que van a trabajar, al inicio de cada nueva actividad. De esta manera tendrán oportunidad de relacionar lo que ya saben con lo nuevo que aprenderán, relación que promueve el aprendizaje significativo. Han visto alguna vez peces? Qué saben de ellos? Ejercitarlas antes de trabajarlas con los estudiantes para hacer las adecuaciones necesarias y alcanzar los aprendizajes esperados. Ahora ya comprobé que esta actividad sí puede funcionar. Es conveniente trabajar con material concreto o manipulativo porque facilita probar alternativas de extensión, completamiento o transferencia de patrones, por la movilidad de los elementos.

26 El tablero de los patrones Al realizar esta actividad el estudiante descubre la base o núcleo de construcción de un patrón. Materiales Tablero de patrones, aparece en la página 25. Uno por grupo. Dos dados que previamente han elaborado los estudiantes. Uno para los patrones verticales (números) y otro para los horizontales (letras). Actividades Conocimientos previos Patrones, secuencias, elementos de un patrón. Operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación, división. 1. Converse con los estudiantes acerca de las actividades de patrones que han realizado. Permítales contar los distintos tipos de patrones que han podido identificar, propóngales ejemplos. 2. Durante la conversación oriéntelos para que descubran que todos los patrones tienen un núcleo de construcción base, que está regido por una ley, la cual determina la forma en que se repiten los elementos. Ejemplifique. Fíjense. Cómo describimos esos patrones? La Fundación La Ayuda, ofreció ayudar con Q.5.00 por cada libro bien forrado que encontrarán en las aulas de 1º a 6º. Durante la semana nos dedicamos a forrar todos los libros y se obtuvo lo siguiente: Grado 1º 2º 3º 4º 5º 6º Libros forrados Aportación en dinero Q25.00 Q75.00 Q Q Q Q Si los leemos de forma horizontal, vemos que los elementos van creciendo. Pero cómo van creciendo? Descubrámoslo. Crecen al sumar 10 al primer elemento, y luego 10 a la suma y así sucesivamente. Si los leemos de forma vertical, vemos que el segundo elemento es el producto de multiplicar el primer elemento por 5. Ahora que han comprendido esto, quieren jugar El tablero de los patrones? 3. Entregue a los estudiantes una hoja como la que aparece en la siguiente página. Oriéntelos para que formen grupos y explique en qué consiste el juego (en el tablero de patrones aparecen las instrucciones). Modele la actividad y cuando esté seguro que todos han comprendido, déjeles jugar solos. 4. Concluya la actividad haciendo notar a los estudiantes qué aspectos deben tener en cuenta para descubrir la ley de formación de la secuencia de un patrón. Observe las actividades de los estudiantes para identificar si han comprendido cómo descubrir la ley de formación de los patrones. Pida a los estudiantes que realicen ejercicios leyendo los patrones de forma horizontal y vertical, de abajo hacia arriba y de arriba hacia abajo. Dependiendo de la forma de leerlo, así será la operación aritmética que deban realizar para explicar cómo se forma.

27 Instrucciones del juego El tablero de los patrones 1. Lanzar el dado de los patrones verticales. El dado de letras es para patrones horizontales y el de números para los verticales. 2. Identificar individualmente la ley de formación del patrón. 3. Por turnos, cada miembro del grupo da su respuesta y explica como la encontró. 4. Si no coinciden las respuestas, el grupo analiza el patrón hasta encontrar la respuesta correcta. A B C D E A B C D E

28 Formo los dados Reproduzca las plantillas de los dados, los estudiantes los pegarán en cartón o cartulina de reciclaje, los recortarán y los formarán. El dado de los horizontales Repite el tiro A B C D E El dado de los verticales Repite el tiro

29 Asigno número a las casas Al realizar esta actividad el estudiante forma patrones numéricos utilizando criterios preestablecidos. Materiales Yeso o instrumento para dejar marcas en la tierra, si no hubiera piso o torta de cemento en el patio Cuaderno, lápiz y borrador Actividades Conocimientos previos Patrones, secuencias, elementos de un patrón, ley de formación de patrones. Los alumnos de sexto grado B, harán una investigación sobre la historia económica de Guatemala en el siglo XX. Para hacerla, visitarán la Academia de Geografía e Historia que está ubicada en la 3ª avenida 8-35, de la zona 1. Cómo deben encontrar la dirección? 1. Comente con los estudiantes las actividades que han realizado sobre patrones, para activar conocimientos previos. Cuénteles sobre la investigación que harán los estudiantes de sexto grado B. Cómo pueden ayudarles a llegar allí? Se han fijado que todos las casa y edificios tienen un número? Han pensado alguna vez, por qué lo tienen y cómo se los han asignado? 2. Explíqueles la forma cómo funcionan las direcciones, usando la dirección de la Academia de Geografía e historia como referencia. o N o E 8a. calle 3a avenida 9a. calle a avenida Los números que se asigna a las casa y edificios tienen en cuenta, las calles y las avenidas en las que están situadas. Por ejemplo: La Academia queda entre dos calles: la 9ª y la 8ª y sobre la 3ª avenida. Observen el mapa. Cuál es la dirección? 3ª avenida 8-35, zona 1. La dirección nos dice que está en la 3ª avenida. Buscamos esa avenida. El primer número nos indica la calle más cercana al edificio que buscamos. Cuál es el primer número? El 8. Si llegamos la 8ª calle y 3ª avenida, estaremos cerca del edificio de la Academia. El segundo número indica la distancia en metros que hay desde la calle más cercana al edificio. En este caso, cuál es el segundo número? 35. Muy bien. Si nos paramos en la esquina de la 8ª calle y 3ª avenida, quiere decir que debemos camina 35 metros aproximadamente sobre la 3ª avenida y allí encontramos la Academia. 3. Cuando han comprendido cómo funcionan las direcciones en Guatemala, indíqueles que ellos, por grupos, asignarán direcciones a las casas de una colonia imaginaria. En la página siguiente se ejemplifica la actividad. 4. Cuando todos los estudiantes hayan terminado su trabajo, explicarán a los demás compañeros qué direcciones asignaron a su colonia y por qué la asignaron. Mientras los estudiantes trabajan, observe cómo hacen la asignación de las direcciones, para identificar si han comprendido cómo los patrones contribuyen al ordenamiento de la ciudad. Aproveche el tiempo de trabajo de los estudiantes para reorientar o fortalecer el aprendizaje de patrones y su aplicación a situaciones de la vida diaria.

30 Asigno número a las casas 1. Dibujamos en el patio la colonia imaginaria, que nos entregan. (El croquis de la colonia puede dibujarla el docente en el pizarrón para que los estudiantes lo copien en sus cuadernos y después reproducirlos en el patio, de esta forma la actividad será más vivencial). 2. Atendemos las instrucciones que nos dan, para asignar los números a las casas: a. En el croquis aparecen numeradas las calles y las avenidas y, señaladas con color, las casas a las que se debe asignar un número. Recuerden las explicaciones que tuvimos en clase. b. El frente de las casas que están situadas sobre la avenida, es de 7m. c. El frente de las casas que están situadas sobre las calles tiene 10m. d. Deben tener en cuenta que las casas situadas a su izquierda de sur a norte, tienen el segundo número impar y las de la derecha, par. e. Cuando hayan terminado de numerar las casas, explicarán a los demás cómo lo hicieron. f. Si tienen alguna duda, consúltenla. 3. Explicamos a los demás compañeros cómo asignamos los números a las casas y verificamos si lo hicimos de forma correcta, descubriendo el patrón que debía seguirse. N N O S E Escuela El Saber N O S E 25 calle O S E 8a. calle 3a avenida 2a avenida 5a avenida 9a. calle 1a avenida Estación de buses 5a. calle 2a avenida 3a. calle 4a. calle 12 avenida 13 avenida 23 calle 24 calle 14 avenida 10a. calle 2a. calle 3a avenida 22 calle Barranco El Peligro 11 calle Parque Las Ilusiones 4. Evaluamos el trabajo de grupo Atendimos las indicaciones que nos dieron para realizar la actividad? Asignamos correctamente los números a las casas, porque seguimos la ley de formación de la secuencia de los patrones? Preguntamos cuando se presentó alguna duda? Explicamos la tarea a los compañeros que no habían comprendido cómo hacerla? Sí No

31 Al realizar esta actividad el estudiante descube la ley de formación de los patrones encontrados en situaciones laborales. Materiales Tarjetas con prendas de vestir, un juego por estudiante. Hojas de trabajo como las de las páginas 30 y 31. Actividades 1. Converse con los estudiantes acerca de secuencias, patrones y cómo se forman. Oriéntelos para que descubran en lo que les rodea, dónde hay patrones. Pídales que expliquen por qué piensan que se consideran patrones. 2. Hágales notar que los patrones son útiles para resolver problemas de la vida diaria. Por ejemplo: para resolver el problema de Luis. 3. Entregue las hojas de trabajo y pida a los estudiantes que lean el problema de Luis. Si ustedes fueran Luis, qué harían? Propicie que los estudiantes expliquen lo que descubren en la hoja: Las camisetas siguen una secuencia. Si se fijan en la letra que indica el tamaño, se darán cuenta que están en desorden. El jefe de Luis le muestra un ejemplo de cómo deben ordenarse. Cuál es el orden que siguen las prendas? De la más grande a la más pequeña. (EG significa Extra grande, G es grande, M es mediana, P es pequeña, EP, significa Extra pequeña). Ustedes ordenarán las demás prendas utilizando las tarjetitas que recortaron. Empiecen a trabajar, a ver quien ordena primero las prendas. Los estudiantes ordenarán las prendas de vestir según el tamaño, colocándolas en las estanterías vacías de la hoja Cómo ordenar las prendas?, según el patrón que indicó el jefe de Luis. 4. Al terminar, los estudiantes explicarán qué datos tuvieron en cuenta para encontrar las respuestas a las preguntas planteadas. 5. Concluya la actividad confirmando los aprendizajes. Observe que las hojas de trabajo estén correctamente resueltas. También es importante evaluar el trabajo que cada estudiante realizó en su cuaderno para verificar que han comprendido cómo encontrar la ley de formación de un patrón dado. Registre en una lista de cotejo los resultados de cada estudiante, analícelos y reoriente o fortalezca aprendizajes en donde detecte que es necesario. Ordenó las prendas según el patrón dado? Qué pasa si lo cambio? Un reto matemáticoun reto matemático Conocimientos previos Patrones, secuencias, elementos de un patrón. Explica cómo encontró la ley de formación de por lo menos un patrón? Identificó las diferencias entre la ley de formación de los distintos patrones? Sí No Esta actividad integra el desarrollo de contenidos de Matemáticas y de Productividad y Desarrollo.

32 Qué pasa si lo cambio? Luis trabaja en una tienda de ropa. De pronto se dieron cuenta que las prendas de vestir no estaban bien colocadas. Para facilitar las ventas, le han pedido que ordene toda la mercadería que tienen. El jefe le dijo. Las prendas están colocadas en desorden. Debes colocarlas de la talla más grande a la más pequeña. Las camisetas te sirven de modelo. EG G M P EP Es importante que en las estanterías coloques primero los pantalones, luego las camisas, después los suéteres y por último las faldas. Luis examinó las estanterías y encontró las prendas colocadas como aparecen abajo. (Reproducir las prendas que aparecen a continuación y recortarlas. Se usarán para ordenarlas en los espacios en blanco que aparecen en la siguiente página, que también deberá reproducirse). M 15 P EG EG 3 G 9 EP 15 P 17 EP 13 M 11 G 7 11 M EP 27 9 EG 9 P 13 G 15 9 EG G M 15

33 Cómo ordenar las prendas? ! 1. Los cuadros que aparecen abajo representan las estanterías en donde Luis debe colocar las prendas de vestir. 2. Veo el ejemplo de las camisetas y analizo la secuencia que marcó el jefe de Luis para ordenar las demás prendas. 3. Formo las secuencias con las tarjetas de las prendas que recorté, según el modelo de las camisetas. Cuando estoy seguro que las secuencias son correctas, pego las tarjetas. 4. El número que aparece en cada una de las prendas, corresponde al número de piezas que hay en la tienda. Si coloco ese número en el cuadro que aparece debajo de cada prenda, formo diversos patrones de los cuales debo identificar su ley de formación. 5. Si tuviera que extender la secuencia numérica, cómo debo calcular el siguiente número de cada secuencia?

34 Formar las secuencias numéricas y observar sus regularidades Indicaciones para el docente 1. Pida a los estudiantes que copien en sus cuadernos las secuencias que se formaron en cada fila de prendas y oriéntelos para que las analicen y encuentren la ley de formación de cada una de ellas. Existencia de pantalones por talla Cómo se formó ese patrón? (Ley de formación) 3, 9, 15, 21, = = = = 27 Existencia de camisas por talla 9, 11, 13, 15, 17 Existencia de suéteres por talla 15, 13, 11, 9, 7 Existencia de suéteres por talla 21, 15, 9, Cómo se formó ese patrón? (Ley de formación) = = = = 17 Cómo se formó ese patrón? (Ley de formación) 15-2 = 13-2 = 11-2 = 9-2 = 7 Cómo se formó ese patrón? (Ley de formación) 21-6 = 15-6 = 9 Existencia prendas EG Cómo se formó ese patrón? (Ley de formación) 3, 9, 15, = = = 21 Existencia prendas G 9, 11, 13, 15 Existencia prendas M 15, 13, 11, 9 Existencia prendas P 21, 15, 9, Existencia prendas EP 21, 17, 7 Cómo se formó ese patrón? (Ley de formación) = = = 15 Cómo se formó ese patrón? (Ley de formación) 15-2 = 13-2 = 11-2 = 9 Cómo se formó ese patrón? (Ley de formación) 21-6 = 15-6 = 9 Cómo se formó ese patrón? (Ley de formación) = = 7 2. Hágales notar que no todos los patrones siguieron la misma ley de formación. 3. Evalúe la actividad observando cómo la realizan y pidiéndoles que copien en su cuaderno la autoevaluación que se propone en la página 29, para luego analizarla y tomar decisiones según los resultados obtenidos.

35 VI. CÓMO SE EVALÚA LA IDENTIFICACIÓN DE PATRONES? La evaluación continua de la identificación de formas, patrones y relaciones, permite al docente reflexionar sobre las habilidades que desarrollan los estudiantes y sobre las actividades de enseñanza-aprendizaje que planifica, para que alcancen las competencias esperadas. Los resultados de las evaluaciones deben servir tanto para identificar los aspectos en los que los aprendizajes están mostrando alguna deficiencia, como para reorientarlos y fortalecerlos a tiempo. Autoevaluación Este tipo de evaluación favorece la participación activa del estudiante en el proceso de aprendizaje y ayuda a ser consciente de lo que sabe y sabe hacer y la forma como aprende. La evaluación en el aula dentro del contexto del CNB debe ser: Continua: Se realiza durante todo proceso. Formativa: Como consecuencia de los resultados obtenidos, el docente reorienta los procesos en forma oportuna para mejorarlos. Integral: Tiene en cuenta todos los aspectos del crecimiento humano. Participativa: Involucra a todos los sujetos del proceso educativo. Herramientas de evaluación Se propone como actividad de autoevaluación Cuántos puntos me pondría? 25 En la que los estudiantes responden algunas preguntas en una lista de cotejo. Las preguntas deben guardar relación con los contenidos propuestos Cuántos puntos me pondría? Puedo explicar qué es un patrón numérico? 2 Encuentro la ley de formación de un patrón? 3 Puedo ampliar un patrón aplicando la suma, resta, multiplicación o división? 2 puntos significa: necesito más práctica. 3 puntos: Necesito ayuda para hacerlo. 4 puntos: Puedo hacerlo solo/a. 5 puntos: Lo sé tan bien que podría enseñarlo a otros. Pruebas objetivas Sin descuidar la observación de las actividades que realizan los estudiantes y la forma como las llevan a cabo, es importante que el docente utilice pruebas objetivas para evaluar los conocimientos y competencias procedimentales adquiridas. En la elaboración de las pruebas conviene tener presente que deben diseñarse para que evidencien de forma confiable y válida lo que los estudiantes saben y saben hacer, según los aprendizajes que se esperaba que adquirieran. Lo más importante de la autoevaluación es que el estudiante aprende a reflexionar acerca de los conocimientos que va adquiriendo, la forma como los adquiere y su actitud ante el aprendizaje.