Objetivos. Sistemas no lineales, caos y fractales. Observación. Organización. Quién creo el caos? Caos vs Cosmos

Transcripción

1 Objetivos Sistemas no lineales, caos y fractales Comprender la diferencia entre simplicidad y complejidad. Demostrar como nace el caos a partir de sistemas determinísticos sencillos. Obtener una visión de los modelos no lineales caóticos en biología, fisiología y anatomía. Comprender la relación entre el caos y los fractales. Analizar algunos ejemplos interesantes de la aparición de estructuras fractales en la naturaleza. Observación Caos no es una técnica de modelización, es una propiedad matemática de algunas ecuaciones determinísticas. Organización Introducción y Motivación Simplicidad vs Complejidad Estabilidad y Caos. Caos en sistemas discretos: La ecuación logística. Caos en sistemas continuos Fractales. Quién creo el caos? Un médico, un ingeniero civil y una informática estaban discutiendo acerca de cuál era la profesión más antigua del mundo. El médico señaló: Bueno, en la Biblia dice que Dios creó a Eva de una costilla que le quitó a Adán. Evidentemente, esto requirió cirugía, y por eso bien puedo afirmar que la mía es la profesión más antigua de mundo. El ingeniero civil interrumpió y dijo: Pero incluso antes, en el Génesis, se dice que Dios creó el orden de los cielos y la tierra a partir de caos. Esta fue la primera y desde luego la más espectacular aplicación de la ingeniería civil. Por lo tanto, querido doctor, está usted equivocado: la mía es la más antigua de las profesiones. La informática se reclinó en su silla, sonrió, y dijo tranquilamente: Pero bueno, quién piensan que creó el caos? G. Booch, Complejidad. Caos vs Cosmos Caos ( χάος ) es el estado sin forma y vacio que precede a la formación del cosmos en las cosmogonías antiguas. Cosmos ( κόσμος ) es un sistema ordenado o armonioso. Deriva del término griego que significa orden. Es la antítesis del caos. 1

2 Del Caos al Cosmos Auto-génesis (p.ej. Egipcios) vs Creación. En el principio era el verbo y el verbo estaba en Dios, y el verbo era Dios. Todas las cosas fueron hechas por Él y sin Él no se hizo nada de todo lo que existe. (Jn 1:1) Notas históricas 500 a.c.: Leucipo de Mileto Determinación ontológica: Nada sucede porque sí, sino que todo sucede con razón y por necesidad, Esta formulación es la que ha pasado a la Filosofía con el nombre de principio de causalidad o principio de razón suficiente. Notas históricas 1776: El determinismo laplaciano Laplace, matemático francés, afirmaba que, si se conociera la velocidad y la posición de todas las partículas del Universo en un instante, se podría predecir su pasado y su futuro. Notas históricas 1903: El cuestionamiento de Poincaré Henri Poincaré, matemático francés, fue el primero en pensar en la posibilidad del caos, en el sentido de comportamiento que dependiera sensiblemente en las condiciones iniciales. El azar no es más que la medida de la ignorancia del hombre Notas históricas 1920: El debate Bohr-Einstein Aparece la teoría cuántica y toma fuerza el indeterminismo. Se retoma la discusión acerca de la existencia de un azar objetivo y no meramente epistemológico. Se cuestiona el principio de causalidad. Einstein: Dios no juega a los dados, Bohr: Señor Einstein, deje de decirle a Dios lo que debe hacer! Notas históricas 1961: Edward Lorenz (meteorólogo MIT): Realizó predicciones con 12 ecuaciones y 6 cifras decimales. Luego utilizó sólo 3 cifras decimales. Encontró diferencias significativas en los pronósticos. Simplificó el sistema a sólo tres ecuaciones. Encontró sensibilidad importante a las condiciones iniciales. Comportamiento que parecía aleatorio con ecuaciones determinísticas. Descubrimiento casual 2

3 Notas históricas 1961: Edward Lorenz (meteorólogo MIT): Graficó la salida obteniendo un espiral doble, un número 8 acostado, como las alas de una mariposa. A este comportamiento se le dio el nombre de efecto mariposa. Surge teoría del caos. "el aleteo de las alas de una mariposa puede provocar un tornado al otro lado del mundo" Notas históricas 1997: Ilya Prigogine (Premio Nobel 1977): Publica su libro El fin de las certidumbres : afirma que el determinismo no es una creencia científica viable, es fundamentalmente una negación de la flecha del tiempo y pierde su poder explicativo frente a la irreversibilidad y la inestabilidad (por ej. en sistemas caóticos). Otro libro Explorando la Complejidad Cuanto más sabemos acerca de nuestro universo, más difícil se vuelve a creer en el determinismo. Complejidad vs simplicidad No hay una definición unánime acerca del significado del término complejidad. Proviene del latín complectere, cuya raíz plectere significa trenzar, enlazar. El prefijo com añade el sentido de la dualidad de dos elementos opuestos que se enlazan íntimamente, pero sin anular su dualidad. Se utiliza para caracterizar algo (i.e. un sistema) con muchas partes, de índole diversa, que forman un arreglo intrincado y que interactúan entre sí. Complejidad vs simplicidad Enfoque clásico lineal y reduccionista de la causalidad: sólo mediante las leyes probabilísticas es posible obtener conocimiento científico causal, grandes causas se corresponden siempre con grandes efectos y viceversa. Enfoque de la complejidad : la causalidad surge y se diluye en una topología de redes de interacciones no lineales distribuidas, emergencia de fenómenos de auto-organización. Complejidad vs simplicidad El enfoque de la complejidad está llamado a transformar profundamente el marco teórico y conceptual de la ciencia: distinguir cuándo nos enfrentamos a un problema complejo o a uno lineal, reconocer cuando uno se transforma en el otro; reconocer leyes, principios y categorías que rigen la causalidad en la complejidad, construir modelos matemáticos para el estudio de los sistemas complejos, Estabilidad, orden y caos Generalmente tendemos a tratar con situaciones estables. En caso contrario: Si los cambios duran muy poco tiempo en relación a los períodos estables los ignoramos. Si los cambios duran un cierto tiempo tratamos de encontrar alguna regularidad en ellos y de no encontrar ningún patrón estable los encasillamos dentro de los ruidos o los tratamos como fenómenos aleatorios. No todos los sistemas complejos generan caos 3

4 Estabilidad, orden y caos La teoría del caos retoma estos últimos casos: Ciertos sistemas no lineales muestran un comportamiento impredecible a pesar de no tener ninguna influencia del azar y ser enteramente determinísticos. Llamativamente esto puede suceder en sistemas extremadamente simples. Estabilidad, orden y caos En estos sistemas no lineales puede identificarse un parámetro del cual depende su comportamiento. Cuando este parámetro cambia podemos encontrarnos con un comportamiento: Ordenado: puntos fijos o ciclos límite en el espacio de fase. Desordenado: atractores extraños en el espacio de fase. Preguntas importantes Qué es un atractor? Qué es una bifurcación? Qué son los mapas iterados? Qué son los exponentes de Lyapunov? Qué sistemas pueden producir caos? Como identificar el caos? Atractor Un atractor es un objeto matemático en el cual la dinámica de un sistema queda eventualmente confinada. Cualitativamente, el objeto es el conjunto de soluciones de las ecuaciones dinámicas cuando al sistema se le permite correr durante mucho tiempo. Tipos de Atractores Punto fijo: es sólo un nombre elegante para un punto de equilibrio. Ciclo límite: es una curva cerrada que representa las soluciones repetitivas. Toroidal: es una superficie en el espacio de fase en forma de anillo, que puede ser estirada y retorcida. Extraño: es una superficie similar pero más complicada a la que las soluciones se limitan. Bifurcaciones Una estructura se bifurca cuando se divide en dos ramas, como en los caminos o las ramas de los árboles. 4

5 Bifurcaciones La palabra se aplica a ecuaciones ya que cualitativamente se puede representar a las posibles soluciones de una ecuación como un camino por el que atravesamos, no a través del tiempo o espacio físico, sino a través del espacio de los parámetros. El parámetro que se altera es llamado el parámetro de control. Del orden al caos: Bifurcaciones Cuando variamos continuamente este parámetro encontramos que existe un período en el que el sistema pasa de la estabilidad al caos. Las bifurcaciones consisten en una pérdida de la estabilidad de una solución atractiva dando lugar a otra de periodicidad doble. Diagrama de Bifurcaciones Los efectos del parámetro de control sobre la dinámica cualitativa están representados en el diagrama de bifurcación, que es una gráfica x-y con el parámetro de control en el eje de abscisas y los valores a largo plazo de la variable de estado en la ordenada. Algoritmo p/diagrama de Bifurcaciones 1. Establecer valor inicial y máximo del parámetro y N de valores a muestrear. 2. Ejecutar la simulación durante M pasos de tiempo (para que el sistema se establezca en el comportamiento de largo plazo). 3. Mientras que el valor del parámetro sea inferior al máximo, hacer: 1. Ejecutar la simulación durante M pasos de tiempo adicionales. 2. Guardar una muestra de la dinámica [por ejemplo, encontrar los picos (caso continuo), o guardar el valor actual (caso discreto)]. 3. Incrementar el valor del parámetro y volver al paso 1. M ~ 200 a veces más, diferentes condiciones iniciales Ecuaciones de recurrencia Podemos expresar en forma genérica la solución de una ecuación en diferencias de primer orden y tiempo discreto mediante la siguiente expresión: xn 1 F ( xn ) Ecuaciones de recurrencia La iteración de un sistema lineal sólo puede dar lugar a una sucesión creciente, o a una sucesión que converge a cero. La dinámica iterativa de ecuaciones no lineales puede dar lugar a comportamientos extraños. donde es algún parámetro de la función F. 5

6 Recurrencia con la calculadora... Mapas iterados Ponga el modo radianes para la unidad angular. Elija un número inicial cualquiera. Pulse una y otra vez el botón de la función coseno. La serie de números que aparece en la pantalla oscilará y al cabo de un cierto número de pasos se aproximará a un valor estable y no habrá más cambios: Dicha serie de números recibe el nombre de órbita, y el punto final se llama punto fijo estable. Una forma de representar la evolución de un sistema dinámico discreto es a través de mapas iterados o diagramas de recurrencia. Colocamos en las abcisas los valores de x n+1 (=y) y en las ordenadas los de x n (=x). Luego dibujamos la función y A = g(x) = F(x n ) y la recta y B =x que representa x n+1 = x n. xn 1 F ( xn ) Punto fijo y Mapa iterado del coseno x n x 1 cos( xn) x n Atractor o punto fijo estable En el siguiente mapa iterado se encuentra nuevamente un punto fijo estable o atractor para la salida del sistema. En este caso también se cumple que cuando t la salida del sistema se aproxima a la intersección de la recta y B =x con la función y A =g(x). En este caso, el punto fijo del mapa de recurrencia se corresponde con un punto crítico estable en el plano de fase del sistema dinámico equivalente. Puntos fijos inestables Condición de estabilidad La condición de estabilidad de un punto fijo x * n es: F '( x n *) 1 La derivada F puede calcularse derivando a F o por medio de: F xn F xn F' ( xn ) = lím ( ) ( ) 0 6

7 Una medida del caos En las dinámicas caóticas encontramos existe una gran dependencia de las condiciones iniciales. La separación de órbitas vecinas está dada en promedio por una función exponencial (no necesariamente exacta). Es por esto que en la práctica se hace imposible predecir el comportamiento futuro. Estas ideas pueden ser cuantificadas mediante la utilización de los exponentes de Lyapunov. Exponentes de Lyapunov La iteración de una ecuación de recurrencia a partir de los valores iniciales x 0 y x 0 + da como resultado: F ( x ) y F ( x + ) n 0 n 0 Supongamos que existe un tal que: F x F x e n n n. ( 0+ ) ( 0). n: iteración, : parámetro Exponentes de Lyapunov A medida que 0 y n siempre que n. también. e 0, tendremos: df dx n ( x0 ) n. n e que expresa la separación exponencial promedio entre la órbita partiendo de x 0 y la órbita partiendo de x 0 +. Exponentes de Lyapunov Luego podemos escribir: 1 df ( x ) 1 n 0 lím ln lím ln F '( xn 1). F '( xn 2)... F '( x0) n n dx n n n n 1 1 lím ln F '( xi ) n n i 0 Regla de la Cadena Si este límite existe, es una medida de la separación exponencial promedio de las órbitas vecinas a todos los puntos de una órbita alrededor de un atractor. Exponentes de Lyapunov Separación exponencial promedio de las órbitas vecinas a todos los puntos de una órbita alrededor de un atractor. Exponentes de Lyapunov Para ciclos estables < 0 y las órbitas convergen. Para atractores extraños encontramos que > 0 y las órbitas no convergen. Siendo F '( xn) 1 cuando ocurre una bifurcación tenemos entonces = 0. Se llaman ciclos superestables cuando - ya que en estos casos F '( xn) 0 y la velocidad de convergencia a la estabilidad es máxima. 7

8 Caos en sistemas discretos La ecuación logística Una de las ecuaciones más sencillas que describen sistemas caóticos. Está inspirada en un modelo poblacional (Lota- Verhulst): dn N r N 1 dt N Población de N(t) individuos y recursos limitados dados por r Si discretizamos esta ecuación utilizando el método de Euler podemos llegar a: N t +1 = (-N t 2 + N t ), 0 < N < 1, N t +1 = N t (1- N t ), 0 < N < 1, - N t ( ) 2 - ( ) No linealidad Ganancia N t+1 donde juega el papel de r. Esta ecuación de recurrencia se denomina ecuación logística. z -1 Retardo Sistema no lineal de control realimentado con retardo Observación: Este modelo demográfico simple de tiempo discreto podemos considerarlo basado en generaciones. Puede considerarse que cada 20 años aparece una nueva generación, por lo que no es necesario considerar los instantes de tiempo intermedios. Que pasa cuando cambiamos? 8

9 En la notación anterior: F ( N ). N ( 1 N ) t t t En este caso tendremos puntos fijos de la recurrencia cuando: F ( Nt 1 ) Nt ( 1- ) Nt + Nt 0 2 Para < 1 (mortandad mayor que natalidad) la ecuación anterior posee una única solución N t (1) =0. Para >1 encontramos dos soluciones: N (1) (2) 1 t 0 y Nt = Para = 2.9 tenemos el siguiente resultado: En el contexto demográfico: la vida no aparece espontáneamente de la nada, pero si hay una cantidad de individuos, por pequeña que sea, la especie no desaparecerá (en este modelo simple), sino que tenderá a un valor estacionario no nulo que dependerá de la cantidad de alimento disponible. Para llegar a un punto fijo estable en la recurrencia debe cumplirse que: Entonces: F '( N *) ( 1 2. N *) 1 t t (1) 1 F '( Nt ) 1 (2) 1 F '( N ) 2 1 t Para > 3 ambos puntos fijos son inestables. La desestabilización de N t (1) cuando =1 se produce porque F 1 (0)=1. Para N t (2) en =3 tenemos F 1 (0)= -1. Así en =3 se produce la bifurcación o duplicación de período. 9

10 Para = 3.1 se produce la bifurcación: Ahora la comida ha aumentado hasta el punto en que una generación pequeña dispone de tanto alimento que tiene un rápido crecimiento de forma súbita, mientras que en la siguiente generación hay demasiados individuos pero una cantidad insuficiente de comida, por lo que la población vuelve a bajar en la siguiente generación, y así sucesivamente. Este comportamiento estable puede observarse en algunas colonias de bacterias. Si seguimos aumentando, este ciclo de periodo 2 se convierte en un ciclo de periodo 4, después en uno de periodo 8, y así sucesivamente. En cada bifurcación, el sistema sufre un cambio drástico en su comportamiento a largo plazo. Para > el sistema ya no sigue un ciclo periódico, sino que siempre varía sin repetirse a sí mismo. Este comportamiento recibe el nombre de caos. Para = 3.9 tenemos: Si representamos los puntos fijos estables, o los puntos pertencientes a ciclos estables, en función de, se puede ver que cada uno de los ciclos se bifurca en otro de periodo doble que el original. N, Por encima de = el comportamiento es caótico, por lo que un continuo puntos corresponden a un mismo valor de (la órbita ya no es periódica, y toma infinitos valores de N t ). Se puede apreciar la autosemejanza típica de las estructuras fractales. N, Diagrama de bifurcación Diagrama de bifurcación 10

11 Existen ventanas de comportamiento periódico en la zona caótica. El exponente de Lyapunov predice éstas haciéndose repentinamente negativo. Las bifurcaciones se corresponden con los =0. Conclusión: Un sistema tan sencillo como el descripto por la ecuación logística puede presentar, bajo ciertas condiciones, comportamiento caótico y estructura fractal. N, N, Otros ejemplos relacionados Caos vs inestabilidad numérica Regulación de la densidad de Neutrófilos. Variabilidad Cardiovascular. Ritmos Circadianos. Complex Dynamics in Physiological Control Systems (Cap. 10) Condiciones iniciales Observación Si las condiciones iniciales fueran exactamente las mismas, las trayectorias también serían exactamente iguales porque las ecuaciones siguen siendo determinísticas. 11

12 Caos en sistemas continuos Caos en sistemas continuos Vance / Lorenz La discusión anterior se basó en ecuaciones en diferencias finitas, es posible también que surja caos en sistemas continuos. Pero el sistema debe tener por lo menos tres variables de estado. Caos en sistemas continuos Caos en sistemas continuos Ejemplo: Modelo de dos presas y un predador (Vance 1978) Ecuaciones de Lorenz Identificando el caos Series de tiempo 12

13 Firmas del caos Firmas del caos Es sorprendentemente difícil determinar sin ambigüedad la existencia de caos en series de tiempo teóricas o empíricas. Firmas del caos Firmas del caos Firmas del caos Firmas del caos Sugihara (1994): 1. Patrones en la serie de tiempo (o su espectro). 2. Estructura en el espacio de fase (atractores). 3. Dimensionalidad de esta estructura (fractal). 4. Sensibilidad a condiciones iniciales. 5. Controlabilidad de la serie de tiempo. 13

14 Firmas del caos Firmas del caos Dimensionalidad de la estructura: Dimensión de correlación (Mullin 1993). Sensibilidad a las condiciones iniciales: Exponentes de Lyapunov. Predictibilidad. Controlabilidad: Control de un sistema caótico (Ott y Yore 1990). Firmas del caos Firmas del caos Ejemplo: Escarabajos Tribolium Ejemplo: Escarabajos Tribolium 14

15 Ejemplo: Escarabajos Tribolium Caos en biología Existe el caos biológico o sólo existe el caos matemático? En el caso que exista, Es algo común en la naturaleza? Puede aparecer caos en un sistema fisiológico saludable o indica la presencia de enfermedad? Fractales Definición de Fractal Un fractal es un objeto cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. La propiedad matemática clave es que su dimensión métrica fractal es un número no entero. Deriva del latín fractus, que significa quebrado o fracturado. El término fue propuesto por Mandelbrot en Fractales en el arte y la cultura Cruz germana (o recrucetada): significa la propagación del evangelio a las cuatro puntos cardinales. Muy usada en heráldica. Fractales en el arte y la cultura Iglesia romana de Santa María del Trastevere: Mosaico que reproduce hasta cinco niveles de uno de los fractales más conocidos: triángulo de Sierpinsi. 15

16 Fractales en el arte y la cultura Dios el Geómetra: grabado medieval Fractales en la naturaleza Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, y la luz no viaja en línea recta. La complejidad de las estructuras de la naturaleza difiere en tipo, no meramente en grado, de aquella proveniente de las formas de la geometría ordinaria. Mandelbrot, Introduction to the Fractal Geometry of Nature Fractales en la naturaleza Fractales en la naturaleza Marismas Fractales en la naturaleza Fractales en la naturaleza Montañas fractales sintéticas y reales Girasol Brocoli Romanesco 16

17 Fractales en la naturaleza También es posible modelizar mediante geometría fractal diversos procesos naturales como, por ejemplo, los procesos erosivos sobre un terreno. Fractales en la naturaleza Un ejemplo clásico de estructura fractal se observa en hidrodinámica cuando un fluido poco viscoso desplaza a otro más viscoso. La interfase que se crea tiene estructura compleja. Fractales en Fisiología Estructura del árbol bronquial. Fractales en Fisiología Estructura del árbol arterial. Fractales en Fisiología Estructura del cerebro. Señal artificial. Señales Fractales 17

18 Fractales en Fisiología Señal de EEG. Señal de VFC. Fractales en Fisiología Crecimiento bacteriano en una cápsula de Petri. Fractales en Biología Fractales en las Matemáticas Desde principios del siglo XX matemáticos como Cantor, Poincaré o Julia, se interesaron por el estudio de objetos extraños ( monstruos matemáticos ) que no encajaban en las ideas de la geometría clásica. Muchos de estos objetos se construían mediante algoritmos iterativos, partiendo de un iniciador y aplicando reiterativamente un conjunto de transformaciones. Fractales en las Matemáticas De esta forma se pueden definir gran cantidad de objetos matemáticos con propiedades comunes, como la autosemejanza. Longitud infinita encerrada en un área finita!!!! Fractales: el conjunto de Mandelbrot Si consideramos ahora iteraciones de la función z 2 +c, para distintos valores de c (complejo). Y graficamos aquellos valores de c donde la órbita está acotada. Encontramos un objeto que posee estructura a cualquier escala y contiene copias de sí mismo. 18

19 Fractales: el conjunto de Mandelbrot Como generar el Conjunto de Mandelbrot Se genera estudiando el comportamiento de la iteración de la ecuación compleja : Z n+1 = Z n 2 + C donde Z, C son complejos, la condicion inicial es Z = 0 + 0i y a C se le asignan todos los puntos del plano complejo. Se convierte para cada pixel de la pantalla a coordenadas del plano complejo, se le asigna a C este punto y se comienza a iterar la ecuación. Si Z >2 y no se supero MaxIterations, se sale del bucle y se le asigna a ese pixel un color de acuerdo al número de iteraciones realizadas, entonces ese pixel esta fuera del Conjunto de Mandelbrot. Si se alcanza el número máximo de iteraciones MaxIterations, y el módulo sigue siendo Z <2 entonces se asume que el pixel esta dentro del Conjunto de Mandelbrot, y le asignamos el color negro. Formalización del concepto de Fractal La geometría fractal permite estudiar fenómenos irregulares que no pueden ser caracterizados con las teorías geométricas clásicas. Invarianza a cambios de escala: Misma estructura (determinística o estadística) a cualquier escala. La dimensión fractal Cuál es el largo de la costa de Gran Bretaña? Dimensión fractal El desarrollo de la geometría fractal ha permitido obtener parámetros cuantitativos para definir el grado de irregularidad de un determinado objeto. Uno de los parámetros más representativos es el de dimensión fractal, una generalización de la dimensión euclídea para objetos autosemejantes. La dimensión fractal El concepto de dimensión euclídea asigna un número natural a los distintos objetos geométricos que pueden definirse en un espacio dado. Este concepto de dimensión tiene diversas interpretaciones intuitivas como: el número de parámetros necesarios para definir un objeto. La dimensión fractal Otra forma: Si partimos de un segmento de longitud 1, y lo partimos en segmentos de longitud L obtendremos N(L) partes, de manera que N(L).L 1 = 1, cualquiera que sea L. Si el objeto inicial es un cuadrado de superficie 1, y lo comparamos con unidades cuadradas, cuyo lado tenga de longitud L, el número de unidades que es necesario para recubrirlo N(L), cumple N(L).L 2 = 1. 19

20 La dimensión fractal De todo esto podemos generalizar que la dimensión de un objeto geométrico es el número D que cumple: N(L).L D = 1, y D = log(n(l))/log(1/l) donde N(L) es el número de objetos elementales, o de unidades, de tamaño L que recubren el objeto. La dimensión fractal Otros ejemplos: Ejemplo: Al reducir la escala de la curva de Koch a 1/3, nos encontramos con que se descompone en 4 partes. D = log 4 / log 3 = 1, Demostración: La dimensión fractal coast\coast.exe Cómo construyo un modelo fractal o caótico? Ejemplo: 1) Detecto si el fenómeno posee estas características (medidas). 2) Recojo datos experimentales. 3) Armo mi modelo. 4) Encuentro parámetros o soluciono el problema inverso (por ej: Algoritmos Evolutivos). La complejidad de los problemas hace que, en la práctica, pueda ser necesario utilizar algún tipo de estrategia híbrida para resolverlos. Bibliografía James W. Haefner, Modeling Biological Systems, 2nd Ed., 2005 (Cap. 18). Cambel, A. B., Applied Chaos Theory. Academic Press, Wiggins, Stephen, Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos. Springer-Verlag, Drazin, P.G., Nonlinear systems. Cambridge University Press, Verhulst, Ferdinand, Nonlinear differential equations and dynamical systems. Springer-Verlag, Bibliografía Michael C. K. Khoo, Physiological Control Systems: Analysis, Simulation, and Estimation, Wiley-IEEE Press, 1999 (Cap. 10). Mandelbrot, Benoit B., The fractal geometry of nature. W. H. Freeman, Peitgen, H. O. - Ritcher, P. H., The beauty of fractals: images of complex dynamical systems. Springer Verlag, Ilya Prigogine, El fin de las certidumbres. Andrés Bello, Gutiérreza Cabria, Segundo. Dios: ciencia y azar. Madrid, BAC,