OBTENCIÓN DE LÓBULOS DE ESTABILIDAD EN UNA HERRAMIENTA DE PUNTA ESFÉRICA MEDIANTE UN MODELO DE FUERZAS TRIDIMENSIONAL

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1 OBTENCIÓN DE LÓBULOS DE ESTABILIDAD EN UNA HERRAMIENTA DE PUNTA ESFÉRICA MEDIANTE UN MODELO DE FUERZAS TRIDIMENSIONAL Jovanny A. Pacheco, Alex E. Zúñiga, Ciro A. Rodrígez Departamento de Ingeniería Mecánica Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey E. Garza Sada 2501 Sur, C.P , Monterrey, N.L., México Teléfono (81) ext 238. a @itesm.mx, aelias@itesm.mx, ciro.rodriguez@itesm.mx Fran Campa, Norberto Lopez Delacalle Facultad de Ingeniería, Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad del País Vasco, UPV/EHU. Alameda de Urquijo s/n, C.P , Bilbao, España. Teléfono (34) impcagof@ehu.es, implomal@bi.ehu.es RESUMEN En este artículo se resuelve un problema de estabilidad en el fresado con herramientas de punta esférica en tres dimensiones mediante la aplicación del método de colocación pseudo-espectral con polinomios de Chebyshev. Este tipo de métodos permite un cálculo rápido de las condiciones de estabilidad tanto en altas como en bajas inmersiones radiales y particularmente el uso de modelos de fuerza complejos, como en el caso del mecanizado con herramientas de punta esférica. El modelo de fuerzas empleado para el análisis considera la geometría helicoidal del filo y su efecto en la dirección de las componentes de las fuerzas de corte, la variación del espesor de viruta a lo largo del filo y de los coeficientes de corte en función de la profundidad de corte axial. Los lóbulos de estabilidad han sido validados experimentalmente mediante un montaje mecánico de baja rigidez unidireccional. ABSTRACT In this paper, the three-dimensional stability problem has been solved applying Pseudo-Spectral Methods, particularly Chebyshev Polynomials. This approach allows a fast computation of stability areas in low immersion high speed milling and the use of complex forces models, as in the case of bull-nose end mills this model consider the chip thickness variation as well as cutting coefficient variation whit axial depth of cut. The cutting coefficients for the mechanistic forces model have been obtained experimentally. Then the stability lobes have been validated in an experimental setup with low dynamic stiffness. NOMENCLATURA a p D D ˆD m F r,f t,f a F x,f y,f z H h K k t,k r,k a M m N n Profundidad de corte axial Diámetro de herramienta Matriz de Amortiguamiento Modal Matriz de diferenciación Fuerzas de corte radial-tangencial-axial Fuerzas de corte en el sistema xyz Matriz de direccionamiento Espesor de viruta dinámico Matriz de rigidez modal Coeficientes de corte Matriz de masas modales Orden del polinomio de Chebyshev Número de dientes de la herramienta Número de grados de libertad del sistema dinámico en espacio de estados 909

2 P,Q Matrices del sistema en espacio de estados R Radio de la herramienta t Tiempo U Matriz de transición v,w Vectores de solución aproximadas por Chebyshev x,y,z Coordenadas de posición de la Herramienta γ,φ,κ Ángulos de orientación del filo τ Retraso en el Tiempo Ω Velocidad de giro del Husillo INTRODUCCIÓN La fabricación de partes aeronáuticas de geometría compleja requiere la utilización de herramientas de corte y equipos de la más avanzada tecnología. La utilización de herramientas de geometría compleja tales como herramientas tóricas y de punta esférica en el acabado de componentes de baja rigidez local tanto en paredes como en pisos delgados ha motivado el esfuerzo de varios investigadores en modelar y predecir las fuerzas en el mecanizado con este tipo de herramientas. Lamikiz y su equipo [1] desarrollaron un modelo lineal semi-mecanístico para predecir fuerzas en herramientas de punta esférica en corte estable, considerando tanto el efecto del ángulo de hélice del filo de corte como el mecanizado de superficies inclinadas. Por otra parte, Gradišek y sus colaboradores [2] presentaron una metodología para el cálculo de los coeficientes semi-empíricos para diferentes geometrías de herramientas considerando coeficientes constantes. Un método para la obtención de coeficientes variables ajustados mediante polinomios fue presentado por Lamikiz en [3], el cual considera coeficientes de rozamiento constantes. Por otra parte, el análisis de estabilidad para procesos de mecanizado con herramientas esféricas fue estudiado por Altintas y Lee en [4], mediante la utilización de simulación numérica calcularon los lóbulos de estabilidad utilizando coeficientes obtenidos mediante cortes ortogonales, siguiendo el procedimiento desarrollado por Armarego en [5]. Posteriormente Altintas y colaboradores aplicaron en [6] el método en el dominio de la frecuencia presentado anteriormente por Budak [7] para calcular lóbulos de estabilidad de una herramienta esférica. Los resultados estuvieron limitados para los casos de media inmersión y ranurado debido a que solo incluían el primer término de la expansión de Fourier de la matriz de coeficientes direccionales. Además los coeficientes de corte fueron calculados utilizando un espesor de viruta equivalente y considerando solo flexibilidad en el plano XY. Campa y colaboradores [8, 9] aplicaron los métodos mono y multi-frecuencia junto con un modelo de fuerzas tridimensional para el mecanizado de suelos delgados con una herramienta tórica, en esta investigación los autores presentaron un método alterno para calcular un valor promedio el espesor de viruta y los coeficientes de corte. Aunque los métodos en el dominio de la frecuencia son usados ampliamente gracias a su rapidez computacional, estos no son capaces de predecir fenómenos de estabilidad a bajas inmersiones como el caso de las bifurcaciones de doble periodo o tipo flip [10,11]. Con el fin de mejorar los resultados a bajas inmersiones se han desarrollado métodos alternativos tales como el método multi-frecuencia [12], TFEA [13,14], semi-discretización [15,16] y métodos pseudo-espectrales [17,18]. En este articulo se extiende el modelo de fuerzas desarrollado por [3] mediante la utilización de polinomios de Chebyshev, obteniendo una solución para obtener los diagramas de estabilidad en herramientas esféricas que considere tanto la variación real del espesor dinámico de viruta en la zona esférica de la herramienta, como la variación de los coeficientes de corte a lo largo del eje de la herramienta 910

3 DESARROLLO DEL MODELO DINÁMICO DE FUERZAS El modelo de fuerzas usando en los análisis de estabilidad está basado en el trabajo de [8], la Fig. 1 muestra las principales variables geométricas usadas de acuerdo con la nomenclatura APT de acuerdo con [19]. En todos los casos se considera que la herramienta permanece en contacto con la pieza ESPESOR DINÁMICO DE VIRUTA Fig. 1 Parámetros geométricos para definir la herramienta de punta esférica El espesor dinámico de viruta es calculado de acuerdo con la geometría de la herramienta. El algoritmo de cálculo incluye el cálculo de la porción del filo efectiva que corta de acuerdo con el porcentaje de inmersión y la profundidad de corte axial. Para un elemento diferencial de filo, ver Fig. 2, el espesor de viruta puede expresarse en términos de la posición angular del mismo como: h( φ, γ ) = sinφ sinγ x + cosφ sin γ y + cos γ z, (1) j j j donde x = x( t) x( t τ ), y = y( t) y( t τ ) y z = z( t) z( t τ ), τ es el retraso en el tiempo de corte entre dientes consecutivos. Para un cortador con N dientes se puede expresar como τ = 60 ( NΩ ), siendo Ω la velocidad angular del husillo en rpm. Fig. 2. Ángulos y variables para definir el espesor de viruta diferencial 911

4 MODELO DE FUERZAS DE CORTE El modelo dinámico de fuerzas de corte esta basado en el modelo propuesto por [8], incluyendo el efecto de borde en un solo coeficiente de corte para efectos del cálculo de los límites de estabilidad. Este modelo puede expresarse en forma vectorial como dft kt ( z) dfr = kr ( z) h( φ j ) db, df a ka ( z) donde dz db = sin γ. (2) Mediante la aplicación de una matriz de transformación podemos obtener las componentes cartesianas de las fuerzas de corte para el elemento diferencial dado df cosφ j sinφ j sin γ sinφ j cos γ x kt ( z) dfy = sinφ j cosφ j sinγ cosφ j cos γ kr ( z) h( φ j ) db. df 0 cos sin ka ( z) z γ γ (3) La matriz direccional H( t) puede obtenerse mediante la integración de la Ec. (3) en z desde cero hasta a p. La ecuación de movimiento del sistema en tres dimensiones puede escribirse como. Mq& ( t) + Dq& ( t) + Kq( t) = H( t)[ q( t) q( t τ )], (4) Donde las matrices M,D,K son las matrices de masas, amortiguamiento y rigidez modal y ANÁLISIS DE ESTABILIDAD q ( t) = { x( t), y( t), z( t)} T. El análisis de estabilidad de la Ec. (4) es realizado mediante el método de colocación con polinomios de Chebyshev [20]. El objetivo de este método es aproximar la matriz principal de la ecuación diferencial con retraso (DDE) Ec (4) expandiéndola en ecuaciones algebraicas expresadas en términos de una solución aproximada mediante polinomios de Chebyshev del primer tipo. Para esto, la DDE del sistema es rescrita en espacio de estados como r& ( t) = Q( t) r( t) + P( t) r( t τ ), (5) siendo r( t) = { q( t), q& } T y las matrices Q ( t) y P ( t) pueden escribirse como 0n n In n 0n n 0n n Q( t) = 1 ( ) 2 1, ( t) =, P ( t) τ τ 1 ( t) τ 2 + M K H M D M H 0n n (6) El tamaño n de las matrices Q,P es definido por el numero de modos del sistema, para un sistema tridimensional n = 3. Luego, la Ec. (5) puede expandirse en 1 m + ecuaciones algebraicas como Dˆ v = M v M w, (7) m Q + P Siendo el vector v las soluciones aproximadas mediante polinomios de Chebyshev para un tiempo t, y el vector w los valores para un tiempo t τ la matriz de diferenciación ˆD permite obtener los valores de las derivadas del vector v y en el caso de polinomios de Chebyshev del primer tipo, puede calcularse mediante el empleo de las fórmulas presentadas en [20]. 912

5 Por otra parte M Q M Q y M P son matrices n( m + 1) n( m + 1) de la forma Q( t0 ) P( t0) = O, MP = O. (8) 0n n In n 0n n donde t 0, t 1... t m son los puntos de colocación o extremos del polinomio de Chebyshev de orden m, calculado como iπ ti = cos. De acuerdo con la teoría de Floquet, la matriz principal U, la cual es dimensionalmente infinita en el m caso de DDE s, puede aproximarse mediante la matriz finita U m, donde v = U m w de la siguiente forma ˆ 1 U = (D M ) M, (9) m m Q P Una vez calculada la aproximación de la matriz principal, la estabilidad del sistema puede obtenerse mediante el análisis de los autovalores de U m, también llamados multiplicadores característicos. Para que el sistema sea estable la magnitud del autovalor dominante (el de mayor norma) debe ser menor a la unidad, en caso contrario es sistema es inestable. El método de colocación por polinomios de Chebyshev tiene la ventaja sobre otros métodos de aproximación de converger exponencialmente hacia los autovalores dominantes para valores relativamente pequeños de m. CÁLCULO NUMÉRICO Y RESULTADOS EXPERIMENTALES COEFICIENTES DE CORTE Para obtener los coeficientes semi-empíricos se realizaron una serie de pruebas de mecanizado sobre probetas de aluminio 7075-T6 para obtener los valores de las fuerzas de corte y con esto ajustar los coeficientes del modelo. Se realizaron cortes en ranurado a profundidades de 1,2,3,4,5,6 y 12 mm y a tres avances por diente (0.05, 0.1 y 0.15 mm/diente). Para ello se utilizó una herramienta de punta esférica de 12 mm y cuatro dientes con un Angulo de hélice de 30. Las pruebas se realizaron en un centro de mecanizado vertical de 5 ejes IBARMIA ubicado en los laboratorios de Fabricación de la UPV/EHU. Las fuerzas de corte se capturaron con un dinamómetro de mesa KISTLER y registradas en un analizador OROS-OR35 a razón de 25.6 KHz. Todos los cortes se realizaron a 2000 rpm para evitar la inestabilidad dinámica y resonancia de los elementos del sistema de medición, la figura 1. Muestra una foto del montaje realizado en la máquina para la medición de fuerzas. 913

6 Fig. 3. Montaje del bloque de aluminio sobre el dinamómetro para la medición de fuerzas de corte y posterior cálculo de coeficientes de corte. Los coeficientes de corte fueron calculados como linealmente variables en z para la parte esférica y constantes en la zona frontal de la herramienta, teniendo en cuenta los resultados obtenidos por [2,3], que muestran una buena aproximación de las fuerzas con estos valores. Los coeficientes obtenidos se muestran en la Tabla 1, mientras que en la Fig 4 se muestra una comparación entre la predicción del modelo y las fuerzas medidas en X,Y y Z para dos avances 0.1 y 0.2 mm/diente. Tabla 1. Coeficientes de corte para una herramienta de punta esférica de 12 mm de diámetro y 4 filos, mecanizando aluminio 7075-T6 Coeficientes t Parte Esférica N/mm Parte Frontal N/mm K z K z r K z a 100 f z = 0.10 mm/diente 100 f z = 0.20 mm/diente Fuerza de Corte, N F y Exp. F z Exp. F x Exp. F x Teor. F z Teor. F y Teor a p, mm a p,mm Figura 4. Comparativa los valores de fuerzas promedio obtenidos experimentalmente en los tres ejes a dos diferentes avances contra la predicción basada en el modelo de fuerzas presentado en este articulo. PRUEBAS DE ESTABILIDAD Con el fin de validar el modelo descrito en secciones anteriores se construye un montaje experimental con el objetivo de simular la condición de un modo dominante en la pieza en una dirección determinada. La Fig. 5 muestra al sistema colocado en posición tal que registre un modo dominante en el eje Y de la máquina. El tacómetro óptico VLS5/LSR, es orientado de tal forma que genere un pulso de +5 Vcc por cada diente que entre en contacto con la pieza, esto con el objetivo de sincronizar la señal del acelerómetro Endevco 27A11 con el giro del husillo. 914

7 Los parámetros modales del bloque flexible fueron calculados mediante el ensayo de impacto con un martillo instrumentado PCB 086D20. Los parámetros modales de partida fueron calculados como ω n = Hz, ζ = y K = kn/mm. Se realizaron ensayos modales adicionales para monitorear los posibles cambios que se pudiesen presentar debido a la perdida de masa a medida que se avanzaba en el mecanizado y los procesos de montaje y desmontaje de la unidad en la maquina. Para tener en cuenta el efecto de esta variación sobre los lóbulos y los datos experimentales se normalizó la velocidad del husillo en términos del cociente entre la frecuencia de paso de los dientes y la frecuencia natural del bloque ( f / f ). PD NB Fig. 5. Esquema del montaje experimental Los lóbulos de estabilidad se obtuvieron mediante colocación por Chebyshev utilizando los parámetros modales, coeficientes de corte y condiciones de corte del experimento. Se estimó un polinomio de orden 40 mediante un análisis previo de convergencia. El diagrama completo de estabilidad es obtenido sobre una malla rectangular de parámetros de corte (rpm vs profundidad de corte axial) 200 x 100 puntos, lo cual garantiza una buena calidad de la gráfica. El tiempo de cálculo aproximado fué de y minutos para cada diagrama en un portátil PIII 1.2 GHz con 512 MB de RAM. Los resultados se muestran en las Figs. 6 y 7. Los ensayos de corte se realizaron sobre el bloque de aluminio siguiendo cortes rectos con parámetros de corte escogidos al azar para una misma profundidad de corte. Para cada corte se realiza una pasada previa de la herramienta para limpiar la superficie de cortes previos. Se realizaron cortes a 50% y 12.5% de inmersión en concordancia. A B C Fig. 6. Diagrama de Estabilidad calculado por Chebyshev vs Datos experimentales para mecanizado a 12.5% de inmersión en concordancia. 915

8 Los datos experimentales se consideraron estables (símbolo ) por ejemplo, el punto A en las Figs. 6 y 8, muestra una frecuencia dominante igual a la frecuencia de paso de la herramienta (símbolo ) y la señal sincronizada del acelerómetro exhibe la forma de una línea recta. En los casos inestables podemos diferenciar dos casos: Inestabilidad tipo Hopf (símbolo ) e inestabilidad tipo Flip (símbolo ). Los casos de estabilidad tipo Hopf, por ejemplo el caso B y Fig. 9 la frecuencia dominante es cercana a la frecuencia natural del bloque, también puede verse que la señal sincronizada del acelerómetro muestra un comportamiento errático. El otro tipo de inestabilidad detectada es la inestabilidad de doble periodo o tipo Flip, por ejemplo el punto C y como muestra la Fig. 10 la frecuencia dominante es la mitad de la frecuencia de paso de la herramienta (símbolo ) y la señal sincronizada del acelerómetro muestra dos líneas paralelas equidistantes del eje de las abscisas. Fig. 7. Diagrama de Estabilidad calculado por Chebyshev vs Datos experimentales para mecanizado a 50% de inmersión en concordancia. Fig. 8. Punto experimental A, análisis en frecuencia, y aceleración sincronizada con la señal del tacómetro para 1000 rpm, y 1 mm a. p 916

9 Fig. 9. Punto experimental B, análisis en frecuencia, y aceleración sincronizada con la señal del tacómetro para 1500 rpm, y 2 mm a. p Fig. 10. Punto experimental C, análisis en frecuencia, y aceleración sincronizada con la señal del tacómetro para 1500 rpm, y 2 mm a. En cuanto al ajuste de los datos experimentales con las zonas de estabilidad que predice el modelo de fuerzas presentado en este artículo se aprecia un buen ajuste (superior al 90% de los datos experimentales). Aunque se presentan algunas discrepancias en la zona de baja inmersión radial (1 mm), lo cual es explicable ya que a esta inmersión es más probable que la herramienta no esté en contacto con la pieza tal como se asume en el modelo debido a la misma amplitud de vibración. CONCLUSIONES Se desarrolló un modelo de fuerzas tridimensional que permite predecir de forma precisa las fuerzas de corte para una herramienta esférica, tanto en estado estable, como en la obtención de los diagramas de estabilidad en condiciones de mecanizado tanto en altas como en bajas inmersiones radiales. La comparación con los resultados experimentales en ambos estudios realizados muestran una excelente predicción de las zonas inestables en general. También, se presenta una buena predicción de los dos tipos de inestabilidades salvo en algunos puntos a bajas inmersiones axiales. p 917

10 A diferencia de otros resultados publicados en la literatura hasta la fecha, el modelo de fuerzas presentado en este articulo y el método de solución por Chebyshev permite incluir los importantes efectos generados en la zona esférica de la herramienta sin necesidad de recurrir al cálculo de valores promedio para esta zona, con lo cual se obtiene una mejor predicción de las zonas de estabilidad tanto a altas como bajas inmersiones radiales. RECONOCIMIENTOS El presente trabajo de investigación fue financiado parcialmente por el ITESM, Campus Monterrey a través de la Cátedra de Máquinas Inteligentes. REFERENCIAS [1] Lamikiz, A., Lopez delacalle, L.N., Sanchez, J.A., y Salgado, M.A., Cutting force estimation in sculptured surface milling. International Journal of Machine Tools and manufacture, Vol 44 (14), pp , [2] Gradisek, J., Kalveram, M., y Weinert, K., Mechanistic identification of specific force coefficients for a general end mill. International Journal of Machine Tools & Manufacture, Vol 44, pp , [3] Lamikiz, A., Lopez delacalle, L.N., Sanchez, J.A., y Bravo, U., Calculation of the specific cutting coefficients and geometrical aspects in sculptured surface machining. Machine Science and Technology, Vol 9, pp , [4] Y.Altintas, and Lee, P., Mechanics and dynamics of ball end milling. Journal of Manufacturing Science and Engineering, Vol 120, pp , [5] Budak, E., Altintas, Y., and Armarego, E., Prediction of milling force coefficients from orthogonal cutting data. Journal of Manufacturing Science and Engineering, Vol 118, pp , [6] Y. Altintas, E. Shamoto, P. Lee, E. Budak, Analytical Prediction of Stability Lobes in Ball end Milling. Journal of manufacturing Science and Engineering, Vol 121, pp , [7] Altintas, Y., and Budak, E., Analytical prediction of stability lobes in milling. Annals of CIRP, Vol 44(1), pp , [8] Campa, F.J., delacalle, L. N.L., Bravo, U., Herranz, S., and Ukar, E., Determination of cutting conditions for the stable milling of flexible parts by means of a three-dimensional dynamic model ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition, Orlando, Florida USA, [9] Campa, F., delacalle, L.N., Lamikiz, A., and Sánchez, J., Selection of cutting conditions for a stable milling of flexible parts with bull-nose end mills. Journal of Materials Processing Technology, Vol 191, pp , [10] Stepan, G., and Insperger, T., Effects of radial immersion and cutting direction on chatter instability in endmilling. Proceeing of IMECE2002, ASME Internationa Mechanical Engineering Congress \& Exposition, New Orleands, Louisiana, [11] Stepan, G., Szalai, R., Mann, B.P., Bayly, P.V., Insperger, T., Gradisek, J., and Govekar, E., Nonlinear dynamics of high-speed milling -analyses, numerics, and experiments. Journal of Vibration and Acoustics, Vol 127(2), April 2005, pp , [12] Merdol, S.D., and Altintas, Y., Multi frequency solution of chatter stability for low immersion milling. Journal of Manufacturing Science and Engineering, Vol 126(3), August 2004, pp , [13] Mann, B.P., Young, K.A., Schmitz, T.L., and Dilley, D.N., Simultaneous stability and surface location error prediction in milling. Journal of Manufacturing Science and Engineering, Vol 127, pp , [14] Mann, B.P., Garg, N.K., Young, K.A., and Helvey, A.M., Milling bifurcations from structural asymetry and nonlinear regeneration. Nonlinear Dynamics, Vol 42, pp , [15] Insperger, T., and Stépán, G., Semi-discretization method for delayed systems,. International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol 55(5), pp , [16] Insperger, T., and Stépán, G., Updated semi-discretization method for periodic delay-differential equations with discrete delay. International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol 61, pp , [17] Butcher, and Allen, E., A symbolic computational technique for stability and bifurcation analysis of nonlinear time-periodic systems. PhD thesis. M3: ; M1: Ph.D, [18] Butcher, E.A., Nindujarla, P., and Bueler, E., Stability of up- and down--milling using a chebyshev collocation method. Proceedings of ASME DETC,Long Beach, CA, [19] Engin, S., and Altintas, Y., Mechanics and dynamics of general milling cutters. part i: helical end mills. International Journal of Machine Tools \& Manufacture, Vol 41, pp , [20] Lloyd, N., Spectral Methods in MATLAB, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA,