Líneas de Transmisión Carta de Smith. A. Zozaya 30 de noviembre de 2007

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1 Líneas de Transmisión Carta de Smith A. Zozaya 30 de noviembre de 2007 Resumen En este documento se describe brevemente como se construye la Carta de Smith. Sobre los orígenes de esta carta se recomienda leer la Referencia [].. Introducción El coeficiente de reflexión ΓL en los terminales de carga de una línea de transmisión es un número complejo cuyo módulo no supera la unidad para terminaciones pasivas. En efecto, llamando r N + j la impedancia de carga normalizada: r N + j = Z L /Z C, donde r N = R{Z L }/Z C y = I{Z L /Z C}, se comprueba que Γ L = r N + j r N + j + () de esta suerte, el sector circular del plano complejo definido por la variable compleja Γ L = u + jv, tal que Γ L, debe contener todo los valores complejos de Γ L correspondientes a todos los valores posibles de impedancia normalizada r N + j. 2. Construcción del Diagrama de Smith Las impedancia normalizada r N + j barre todo el plano complejo. Allí, los lugares geométricos equi-r N y equi- son simplemente rectas paralelas a los ejes real e imaginario,

2 respectivamente. Ese mismo plano complejo es barrido por el coeficiente de reflexión Γ L = u+jv. Sin embargo, como entre ambas variables complejas existe la relación Γ L = u + jv = r N + j r N + j + (2) si los valores de impedancia normalizada (r N, ) se expresan en función de Γ L : r N = r N (u, v) y = (u, v), los lugares geométricos rectilíneos equir N y equi-, en el dominio (r N, +j ), se transforman en circunferencias en el plano complejo de la varible (u + jv). Una ilustración gráfica de esta trasnformación se muestra en la Fig.. La Carta o Diagrama de Smith se obtiene, precisamente, trazando algunos de los lugares geometricos de r N y Figura : Transformación de Mobius (tomada de en el plano complejo de la variable u + jv, utilizando como base la Ec. 2. Para ello se sugiere seguir los pasos siguientes []. Multiplicar en cruz: igualar parte real y parte imaginaria (u + jv)(r N + + j ) = r N + j u(r N + ) v = r N v(r N + ) + u = ordenar y factorizar los términos r N y (u )r N v = ( u) vr N + (u ) = v con este par de ecuaciones se procede a eliminar una vez y otra vez r N, ordenando los términos restantes en potencias descendientes de u y v, respectivamente u 2 2r N r N + u + v2 = r N r N + u 2 2u + v 2 2 v = Ésta se conoce como transformación lineal de Mobius [2] 2

3 finalmente se procede a completar los cuadrados 2 correspondientes en cada ecuación { u (u ) 2 + r N r N + } 2 + v 2 = ( v ) 2 = (r N + ) 2 (3) ( ) 2 (4) 2.. Lugar geométrico de la resistencia normalizada r N = r N (u, v) La Ecuación (3) representa la familia de los lugares geométricos de todos los valores posibles de r N en el subespacio complejo barrido por las variables u y v. En( particular, ) se r observa que la Ec. (3) representa una familia de circunferencias centradas en N, 0 r N y de + radio. r N + En el Cuadro (a) se muestran los valores de las coordenadas del centro y del radio de algunos miembros de esta familia de círculos. Cuadro : Algunos valores de coordenadas del centro y del radio de algunos miembros de las familias de círculos equi-r N y equi-. (a) r N r N u C v C radio /7 /8 0 7/8 /3 /4 0 3/4 /2 0 /2 3 3/4 0 /4 7 7/8 0 /8 5 5/6 0 /6 { } 2 u r N r N + + v 2 = (r N +) 2 (b) u C v C radio 0 /5 5 5 /5 5 5 ±/2 ±2 2 ± ± ±2 ±/2 /2 ±5 ±/5 /5 (u ) 2 + ( ) 2 ( v = ) Trazado del lugar geométrico equi-r N Para trazar el locus de algún valor de r N es conveniente «retocar» la Ec. (3) seleccionando, a conveniencia, una de las variables u y v como independiente y la restante como dependiente, y fijando r N como parámetro. Luego, definiendo un intervalo de valores para la variable ( b 2 2 Dado x 2 +bx+c = 0, el cuadrado se completa sumando ( ) b 2 c ( 2 a ambos miembros obteniendo x + b 2 2) = ) 2 c. 3

4 independiente se procede a trazar las curvas con los valores correspondientes de la variable dependiente obtenidos para un conjunto de valores prefijados del parámetro r N, cuidando de que que las curvas no salgan del círculo unitario. Otra opción consiste en fijar el ángulo ϕ L como parámetro y trazar las curvas correspondientes uniendo los puntos sucesivos [u(r N, ϕ L ), v(r N, ϕ L )] para un conjunto de valores de ϕ L entre 0 y 2π, para cada miembro escogido de la familia de valores de r N, donde u(r N, ϕ L ) = u C (r N, ϕ L ) + radio(r N ) cos(ϕ L ) y v(r N, ϕ L ) = v C (r N, ϕ L ) + radio(r N ) sin(ϕ L ). En MATLAB R podría ser: rn=[0 /7 / ]; phi=linspace(0,2*pi,360); axis equal axis([- - ]) axis off hold on for n=:length(rn) x=rn(n)/(rn(n)+)+(/(rn(n)+)).*cos(phi); y=(/(rn(n)+)).*sin(phi); plot(x,y, r ) end En la Figura 2(a) se muestran algunas curvas equi-r N /7 / (a) Algunos locus equi-r N (b) Algunos locus equi- Figura 2: Lugares geométricos de algunos valores de r N y. Del Cuadro (a) y de la Fig. 2(a) se puede concluir: Todos los lugares geométricos equi-r N pasan por el punto (, 0). Los centros de la sub-familia de círculos equi-r N = 2 n, dígase r N = 0,, 3, 7, 5,..., conforman una serie donde cada radio sucesivo es la mitad del que le precede. 4

5 Los círculos correspondientes a los valores r N y r N puntos simétricos respecto del centro de la Carta. intersectan el eje horizontal en 2.3. Lugar geométrico de las reactancia normalizada = (u, v) La Ecuación (4) representa la familia de los lugares geométricos de todos los valores posibles de en el subespacio complejo barrido por las variables u y v. En particular, ( ) se observa que la Ec. (4) representa una familia de circunferencias centradas en, y de radio. En el Cuadro (b) se muestran los valores de las coordenadas del centro y del radio de algunos miembros de esta familia de círculos Trazado del lugar geométrico equi- Para el trazado de los lugares geométricos de se puede utilizar la Ec. 4 seleccionando, por ejemplo, la variable v como independiente y u como dependiente, y fijando un conjunto de valores para el parámetro. Luego, definiendo un intervalo de valores para u se procede a trazar las curvas con los valores de v que se obtienen para cada valor prefijado del parámetro r N, cuidando de que que las curvas no salgan del círculo unitario. También se puede proceder, fijando el ángulo ϕ L como parámetro, uniendo los puntos sucesivos [u(, ϕ L ), v(, ϕ L )] para un conjunto de valores de ϕ L entre 0 y 2π y para un conjunto de miembros de la familia de valores de, donde u(, ϕ L ) = u C (, ϕ L ) + radio( ) cos(ϕ L ) y v(, ϕ L ) = v C (, ϕ L ) + radio( ) sin(ϕ L ). En MATLAB R podría ser: % Trazado de los lugares geometricos equi-xn inductivos phi=linspace(3*pi/2,pi/2,80); for n=(length(xn)+)/2+:length(xn) x=+abs(/xn(n)).*cos(phi); y=/xn(n)+abs(/xn(n)).*sin(phi); plot(x,y, b ) end % Trazado de los lugares geometricos equi-xn reactivos phi=linspace(pi/2,3*pi/2,80); for n=:(length(xn)+)/2- x=+abs(/xn(n)).*cos(phi); y=/xn(n)+abs(/xn(n)).*sin(phi); plot(x,y, b ) end En la Figura 2(b) se muestran algunas curvas equi- trazadas usando la rutina anterior. Del Cuadro (b) y de la Fig. 2(b) se puede concluir: Todos los circulos equi- pasan por el punto (, 0). 5

6 Los lugares geométricos de y de intersectan el círculo unitario Γ L = en puntos simétricos respecto del eje vertical que pasa por el centro de la carta. 3. Carta de Smith completa La Carta de Smith se obtiene superponiendo los lugares geométricos equi-r N y equi- dentro del círculo unitario Γ L = y añadiendo un conjunto de escalas angulares sobre la perifería del propio círculo unitario y un conjunto de escalas de amplitud, lineales y logarítmicas fuera de éste en la parte inferior de la hoja. En la Figura 3 se muestra la versión actualmente más usada de la Carta de Smith descargada de 6

7 Figura 3: Carta de Smith completa ( 7

8 3.. Descripción de las escalas 3... Escalas varias angulares Escalas varias radiales La Carta de Smith viene provista de varias escalas radiales. En la Figura 4 se muestran estas escalas. Figura 4: Escalas radiales de la Carta de Smith. A la izquierda de arriba hacia abajo se tienen las siguientes escalas VSWR escala lineal de la ROE: + Γ L / Γ L. dbs escala logarítmica de la ROE: 20 log ( + Γ L / Γ L ). RTN. LOSS [db] pérdidas de retorno: 0 log (P r /P i ) = 0 log ( Γ L 2 ), donde P i es la potencia incidente y P r es la potencia reflejada. RFL. COEFF. P coefficiente de reflexión de potencia: Γ L 2. RFL. COEFF. E or I módulo del coeficiente de reflexión de voltaje: Γ L. A la derecha de ariba hacia abajo se tienen estas otras escalas radiales: ATTEN [db] S.W. LOSS COEFF.: RFL LOSS [db]: pérdida por reflexión: 0 log (P t /P i ) = 0 log ( Γ L 2 ), donde P i es la potencia incidente y P t es la potencia transmitida. S.W. PEAK (CONST. P): TRANSM. COEFF P: coeficiente de transmisión de potencia: Γ L 2. TRANSM. COEFF. E or I: coeficiente de transmisión de voltajes: + Γ L. 8

9 4. Aplicaciones de la Carta de Smith.. Correspondencia z N Γ L. 2. Lectura de la ROE ROE = + Γ L Γ L 3. Lectura de d Vmin /λ d Vmin λ 2π d Vmin }{{} λ β } {{ } ngulo = 4 + ϕ L 4π ± 2 n = π 2 + ϕ L 2 ± πn } {{ } ngulo 4. Impedancia de entrada de la línea a d metros de la carga. Z(d) Γ(d) = Γ L e j2βd de donde se comprueba que si d entonces {Γ(d)}. 5. Lectura de y N z N = y N = Γ L e ±jπ = Γ L Γ L + 6. Adaptación con un stub. Referencias [] Robert A. Chipman. Teoría y Problemas de Líneas de Transmisión. McGraw-Hill, 97. [2] Aldo Bianchi. Sistemas de Ondas Guiadas. Marcombo Boixareu Editores, 980. [3] M. A. Plonus. Electromagnetsimo aplicado. Editorial Reverté, 982. [4] Ron Schmitt. Electromagnetics Explained. Newnes,