ANALISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA

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1 ANALISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA (Ingeniería de Control Moderna Katsuhiko Ogatha Sistemas de Control Automático Benjamin Kuo ) La señal de entrada para un sistema de control no se conoce con anticipación, pero es de naturaleza aleatoria, y la entrada instantánea no puede expresarse en forma analítica. Sólo en algunos casos especiales se conoce con anticipación la señal de entrada y se puede expresar en forma analítica o mediante curvas; tal es el caso del control automático de herramientas de corte. En el análisis y diseño de sistemas de control, debemos tener una base de comparación del desempeño de diversos sistemas de control. Esta base se configura especificando las señales de entrada de prueba particulares y comparando las respuestas de varios sistemas a estas señales de entrada. Muchos criterios de diseño se basan en tales señales o en la respuesta del sistema a los cambios en las condiciones iniciales (sin señales de prueba). El uso de señales de prueba se justifica porque existe una correlación entre las características de respuesta de un sistema para una señal de entrada de prueba común y la capacidad del sistema de manejar las señales de entrada reales. Señales de prueba típicas. Las señales de prueba que se usan regularmente son funciones escalón, rampa, parábola, impulso, senoidales, etc. Con estas señales de prueba, es posible realizar con facilidad análisis matemáticos y experimentales de sistemas de control, dado que las señales son funciones del tiempo muy simples. La forma de la entrada a la que el sistema estará sujeto con mayor frecuencia bajo una operación normal determina cuál de las señales de entrada típicas se debe usar para analizar las características del sistema. Si las entradas para un sistema de control son funciones del tiempo que cambian en forma gradual, una función rampa sería una buena señal de prueba. Asimismo, si un sistema está sujeto a perturbaciones repentinas una función escalón sería una buena señal de prueba; y para un sistema sujeto a entradas de choque, una función impulso sería la mejor. Una vez diseñado un sistema de control con base en las señales de prueba, por lo general el desempeño del sistema en respuesta a las entradas reales es satisfactorio. El uso de tales señales de prueba permite comparar el desempeño de todos los sistemas sobre la misma base. Respuesta transitoria y respuesta en estado estable. La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable. Por respuesta transitoria nos referimos a la que va del estado inicial al estado final. Por respuesta en estado estable, nos referimos a la manera en la cual se comporta la salida del sistema conforme t tiende a infinito. Estabilidad absoluta, estabilidad relativa y error en estado estable. Al diseñar un sistema de control, debemos ser capaces de predecir su comportamiento dinámico a partir del conocimiento de los componentes. La característica más importante del comportamiento dinámico de un sistema de control es la estabilidad absoluta, es decir, si el sistema es estable o inestable. Un sistema de control está en equilibrio si, en ausencia de cualquier perturbación o entrada, la salida permanece en el mismo estado. Un sistema de control lineal e invariante con el tiempo es estable si la salida termina por regresar a su estado de equilibrio cuando el sistema está sujeto a una condición inicial. Un sistema de control lineal e invariante con el tiempo es críticamente estable si las oscilaciones de la salida continúan para siempre. Es inestable si la salida diverge sin límite a partir de su estado de equilibrio cuando el sistema está sujeto a una condición inicial. En realidad, Lectura 1: Análisis en el Dominio del Tiempo Página 1

2 la salida de un sistema físico puede aumentar hasta un cierto grado, pero puede estar limitada por detenciones mecánicas o el sistema puede colapsarse o volverse no lineal después de que la salida excede cierta magnitud, por lo cual ya no se aplican las ecuaciones diferenciales lineales. Entre los comportamientos importantes del sistema (aparte de la estabilidad absoluta) que deben recibir una cuidadosa consideración están la estabilidad relativa y el error en estado estable. Dado que un sistema de control físico implica un almacenamiento de energía, la salida del sistema, cuando éste está sujeto a una entrada, no sucede a la entrada de inmediato, sino que exhibe una respuesta transitoria antes de alcanzar un estado estable. La respuesta transitoria de un sistema de control práctico con frecuencia exhibe oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar un estado estable. Si la salida de un sistema en estado estable no coincide exactamente con la entrada, se dice que el sistema tiene un error en estado estable. Este error indica la precisión del sistema. Al analizar un sistema de control, debemos examinar el comportamiento de la respuesta transitoria y el comportamiento en estado estable. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN Considere el sistema de primer orden. Física mente, este sistema representa un circuito RC, un sistema térmico o algo similar. La figura presenta un diagrama de bloques simplificado. La relación entrada-salida se obtiene mediante: En lo sucesivo, analizaremos las respuestas del sistema a entradas tales como la función escalón unitario, rampa unitaria e impulso unitario. Se supone que las condiciones iniciales son cero. Observe que todos los sistemas que tienen la misma función de transferencia exhibirán la misma salida en respuesta a la misma entrada. Para cualquier sistema físico dado, la respuesta matemática recibe una interpretación física. Respuesta escalón unitario de sistemas de primer orden. Dado que la transformada de Laplace de la función escalón unitario es l/s, sustituyendo R(s) = 1/s obtenemos: Si tomamos la transformada inversa de Laplace de la ecuación obtenemos La ecuación anterior plantea que la salida c(t) es inicialmente cero y al final se vuelve unitaria. Una característica importante de tal curva de respuesta exponencial c(t) es que, para t = T, el valor de c(t) es 0.632, o que la respuesta c(t) alcanzó 63.2% de su cambio total. Esto se aprecia con facilidad sustituyendo t = T en c(t). Es decir, Observe que, conforme más pequeña es la constante de tiempo T, más rápida es la respuesta del sistema. Otra característica importante de la curva de respuesta exponencial es que la pendiente de la línea de tangente en t = 0 es 1/T, dado que La respuesta alcanzaría el valor final en t = T si mantuviera su velocidad de respuesta inicial. A partir de la ecuación anterior vemos que la pendiente de la curva de respuesta c(t) disminuye en forma monotónica de 1/T en t = 0 Lectura 1: Análisis en el Dominio del Tiempo Página 2

3 La curva de respuesta exponencial c(t)) aparece en la figura anterior. En una constante de tiempo, la curva de respuesta exponencial ha ido de 0 a 63.2% del valor final. En dos constantes de tiempo, la respuesta alcanza 86.5% del valor final. En t = 3T, 4T y 5T, la respuesta alcanza 95,98.2 y 99.3%, respectivamente, del valor final. Por tanto, para t =4T, la respuesta permanece dentro del 2% del valor final. El estado estable se alcanza matemáticamente sólo después de un tiempo infinito. Sin embargo, en la práctica, una estimación razonable del tiempo de respuesta es la longitud de tiempo que necesita la curva de respuesta para alcanzar la línea de 2% del valor final, o cuatro constantes de tiempo. Respuesta rampa unitaria de sistemas de primer orden. Dado que la transformada de Laplace de la función rampa unitaria es 1/s 2, obtenemos la salida del sistema como: Tomando la transformada inversa de Laplace, obtenemos: De este modo, la señal de error e(t) es: Conforme t tiende a infinito, e -t/t se aproxima a cero y, por tanto, la señal de error e(t) se aproxima a T o La entrada rampa unitaria y la salida del sistema se muestran en la figura. El error después de la entrada rampa unitaria es igual a T para una t suficientemente grande. Entre más pequeña es la constante de tiempo T, más pequeño es el error en estado estable después de la entrada rampa. Respuesta impulso unitario de sistemas de primer orden. Para la entrada impulso unitario, R(s) = 1 y la salida del sistema es: o bien Lectura 1: Análisis en el Dominio del Tiempo Página 3

4 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN La función de transferencia de un sistema de segundo orden se expresa como: El comportamiento dinámico del sistema de segundo orden se describe a continuación en términos de dos parámetros ξ y w n. El valor de ξ toma diferentes valores dependiendo de su ubicación en el plano s. El semiplano izquierdo del plano s corresponde a un amortiguamiento positivo (ξ>0), esto causa que la respuesta escalón unitario establezca un valor final constante en el estado estable debido al exponente negativo (-ξw n t). Por lo tanto el sistema es estable. El semiplano derecho del plano s corresponde a un amortiguamiento negativo (ξ<0). El amortiguamiento negativo da una respuesta que crece en magnitud sin límite de tiempo, por lo tanto el sistema es inestable. El eje imaginario corresponde a un amortiguamiento de cero (ξ=0). Este resulta en una amortiguación sostenida, y el sistema es marginalmente estable o marginalmente inestable Lectura 1: Análisis en el Dominio del Tiempo Página 4

5 Si 0 < ξ < 1, los polos en lazo cerrado son complejos conjugados y se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s. El sistema, entonces se denomina subamortiguado y la respuesta transitoria es oscilatoria. Si ξ = 1, el sistema se denomina críticamente amortiguado. Los sistemas sobreamortiguados corresponden a ξ > 1. La respuesta transitoria de los sistemas críticamente amortiguados y sobreamortiguados no oscila. Si ξ = 0, la respuesta transitoria no se amortigua. Ahora obtendremos la respuesta del sistema para una entrada escalón unitario. Consideraremos tres casos diferentes: (1) Caso subamortiguado (0 < ξ < 1): en este caso, C(s)/R(s) se escribe como en donde La frecuencia se denomina frecuencia natural amortiguada Los polos del sistema se encuentran en: s 2 ξω ω ξ = σ ± 1,2 = n ± j n 1 jω d (2) Caso críticamente amortiguado (ξ = 1): si los dos polos de C(s)/R(s) son casi iguales, el sistema se aproxima mediante uno críticamente amortiguado. Los polos se encuentran ubicados en: s1,2 = ξω n (3) Caso sobreamortiguado (ξ > 1): en este caso, los dos polos de C(s)/R(s) son reales negativos y diferentes. p = ξω ω ξ 2 1,2 n ± n En resumen se tiene lo siguiente: 1 La siguiente figura contiene una familia de curvas c(t) con diversos valores de ξ, en donde la abscisa es la variable adimensional wt. Las curvas solo son funciones de ξ Lectura 1: Análisis en el Dominio del Tiempo Página 5

6 En la figura observamos que un sistema subamortiguado con ξ entre 0.5 y 0.8 se acerca al valor final con mayor rapidez que un sistema críticamente amortiguado o sobreamortiguado. Entre los sistemas que responden sin oscilación, un sistema críticamente amortiguado presenta la respuesta más rápida. Un sistema sobreamortiguado siempre es lento para responder a las entradas. Definiciones de las especificaciones de respuesta transitoria. En muchos casos prácticos, las características de desempeño deseadas del sistema de control se especifican en términos de cantidades en el dominio del tiempo. Los sistemas que pueden almacenar energía no responden instantáneamente y exhiben respuestas transitorias cada vez que están sujetos a entradas o perturbaciones. Con frecuencia, las características de desempeño de un sistema de control se especifican en términos de la respuesta transitoria para una entrada escalón unitario, dado que ésta es fácil de generar y es suficientemente drástica. (Si se conoce la respuesta a una entrada escalón, es matemáticamente posible calcular la respuesta para cualquier entrada.). La respuesta transitoria de un sistema para una entrada escalón unitario depende de las condiciones iniciales. Por conveniencia al comparar respuestas transitorias de varios sistemas, es una práctica común usar la condición inicial estándar de que el sistema está en reposo al inicio, por lo cual la salida y todas las derivadas con respecto al tiempo son cero. De este modo, las características de respuesta se comparan con facilidad. La respuesta transitoria de un sistema de control práctico exhibe con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable. Al especificar las características de la respuesta transitoria de un sistema de control para una entrada escalón unitario, es común especificar lo siguiente: 1. Tiempo de retardo, td 2. Tiempo de levantamiento, tr 3. Tiempo pico, tp 4. Sobrepaso máximo, Mp 5. Tiempo de asentamiento, ts Estas especificaciones se definen enseguida y aparecen en forma gráfica en la figura: Lectura 1: Análisis en el Dominio del Tiempo Página 6

7 1. Tiempo de retardo, td: el tiempo de retardo es el tiempo requerido para que la respuesta alcance la primera vez la mitad del valor final. 2. Tiempo de levantamiento, tr: el tiempo de levantamiento es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para sistemas subamortiguados de segundo orden, por lo común se usa el tiempo de levantamiento de 0 a 100%. Para sistemas sobreamortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90%. 3. Tiempo pico, tp: el tiempo pico es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico del sobrepaso. tp es proporcional a ξ e inversamente proporcional a w n.. Al incrementar la frecuencia natural no amortiguada, se reduce tp 4. Sobrepaso máximo (porcentaje), Mp: el sobrepaso máximo es el valor pico máximo de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la respuesta es diferente de la unidad, es común usar el porcentaje de sobrepaso máximo. Se define mediante o La cantidad de sobrepaso máximo (en porcentaje) indica de manera directa la estabilidad relativa del sistema. Los sobrepasos se presentan en números impares de n (n=1,3,5 ) y los sobrepasos negativos ocurren en valores positivos de n (n=2,4,6, ). Debe hacerse notar que si bien una respuesta para una entrad escalón con ξ 0 no es periódica, los sobrepasos y los sobrepasos negativos se presentan a intervalos periódicos. Lectura 1: Análisis en el Dominio del Tiempo Página 7

8 5. Tiempo de asentamiento, ts: el tiempo de asentamiento es el tiempo que se requiere para que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final del tamaño especificado por el porcentaje absoluto del valor final (por lo general, de 2 a 5%) y permanezca dentro de él. El tiempo de asentamiento se relaciona con la mayor constante de tiempo del sistema de control. Los objetivos del diseño del sistema en cuestión determinan cuál criterio de error en porcentaje usar. El tiempo de asentamiento que corresponde a una banda de tolerancia del 2 o f 5 % se mide en términos de la constante de tiempo T=1/ξw n si se usa el criterio del 2%, ts es aproximadamente cuatro veces la constante de tiempo del sistema. Si se usa el criterio del 5%, ts es aproximadamente tres veces la constante de tiempo. El tiempo de asentamiento alcanza un valor mínimo alrededor de ξ = 0.76 (para el criterio del 2%) o de ξ = 0.68 (para el criterio del 5%) y después aumenta casi linealmente para valores grandes de ξ El tiempo de asentamiento es inversamente proporcional al producto del factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural no amortiguada del sistema. Dado que el valor de ξ se determina, por lo general, a partir de los requerimientos del sobrepaso máximo permisible, el tiempo de asentamiento se determina principalmente mediante la frecuencia natural no amortiguada w n. Esto significa que la duración del transitorio puede variarse, sin modificar el sobrepaso máximo, ajustando la frecuencia natural no amortiguada w n. Para ξ>0.69, el tiempo de asentamiento es inversamente proporcional a ξ y w n Una forma practica de reducirlo es el incremento de wn mientras ξ se mantiene constante. Aún cuando la respuesta se más oscilatoria el Mp puede controlarse solo mediante ξ. Para ξ>0.69 el tiempo de asentamiento es proporcional a ξ e inversamente proporcional a w n, nuevamente ts puede reducirse a través de w n Lectura 1: Análisis en el Dominio del Tiempo Página 8

9 Las especificaciones en el dominio del tiempo que se proporcionaron son muy importantes, dado que casi todos los sistemas de control son sistemas en el dominio del tiempo; es decir, deben presentar respuestas de tiempo aceptables. (Esto significa que el sistema de control debe modificarse hasta que la respuesta transitoria sea satisfactoria.) Observe que, si especificamos los valores de td, t,, tp, ts y Mp, la forma de la curva de respuesta queda prácticamente determinada. Todas estas especificaciones no necesariamente se aplican a cualquier caso determinado. Por ejemplo, para un sistema sobreamortiguado no se aplican los términos tiempo pico y sobrepaso máximo. (En los sistemas que producen errores en estado estable para entradas escalón, este error debe conservarse dentro de un nivel de porcentaje especificado. Lectura 1: Análisis en el Dominio del Tiempo Página 9

10 ANÁLISIS DEL LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES (Dynamic System Modeling and Control Hugh Jack) The system can also be checked for general stability when controller parameters are varied using root-locus plots. ROOT-LOCUS ANALYSIS In a engineered system we may typically have one or more design parameters, adjustments, or user settings. It is important to determine if any of these will make the system unstable. This is generally undesirable and possibly unsafe. For example, think of a washing machine that vibrates so much that it walks across a floor, or a high speed aircraft that fails due to resonant vibrations. Root-locus plots are used to plot the system roots over the range of a variable to determine if the system will become unstable, or oscillate. Recall the general solution to a homogeneous differential equation. Complex roots will result in a sinusoidal oscillation. If the roots are real the result will be e-to-the-t terms. If the real roots are negative then the terms will tend to decay to zero and be stable, while positive roots will result in terms that grow exponentially and become unstable. Consider the roots of a second-order homogeneous differential equation, as shown in Figure 11.1 to Figure These roots are shown on the complex planes on the left, and a time response is shown to the right. Notice that in these figures (negative real) roots on the left hand side of the complex plane cause the response to decrease while roots on the right hand side cause it to increase. The rule is that any roots on the right hand side of the plane make a system unstable. Also note that the complex roots cause some amount of oscillation. Lectura 1: Análisis en el Dominio del Tiempo Página 10

11 Lectura 1: Análisis en el Dominio del Tiempo Página 11

12 Next, recall that the denominator of a transfer function is the homogeneous equation. By analyzing the function in the denominator of a transfer function the general system response can be found. An example of root-locus analysis for a mass-spring-damper system is given in Figure In this example the transfer function is found and the roots of the equation are written with the quadratic equation. At this point there are three unspecified values that can be manipulated to change the roots. The mass and damper values are fixed, and the spring value will be varied. The range of values for the spring coefficient should be determined by practical and design limitations. For example, the spring coefficient should not be zero or negative. Lectura 1: Análisis en el Dominio del Tiempo Página 12

13 CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH HURWITZ (Ingeniería de Control Moderna Katsuhiko Ogatha) CASOS ESPECIALES: Si el término de la primera columna de cualquier renglón es cero pero los términos reptantes no son cero, o no hay términos restantes, el término cero se sustituye con un número positivo muy pequeño E y se evalúa el resto del arreglo. Por ejemplo, considere la ecuación: El arreglo de coeficientes es Si el signo del coeficiente que está encima del cero (E) es igual al signo que está debajo de él, quiere decir que hay un par de raíces imaginarias. En realidad, la ecuación (5-7) tiene dos raíces en s = ± j. Sin embargo, si el signo del coeficiente que está encima del cero (E) es opuesto al del que está abajo, quiere decir que hay un cambio de signo. Por ejemplo, para la ecuación: el arreglo de coeficientes es: Hay dos cambios de signo en los coeficientes de la primera columna. Esto coincide con el resultado correcto indicado por la forma factorizada de la ecuación polinomial. Si todos los coeficientes de cualquier renglón son cero significa que existen raíces de igual magnitud que se encuentran radialmente opuestas en el plano s, es decir, dos raíces con magnitudes iguales y signos opuestos y/o dos raíces imaginarias conjugadas. En este caso, la evaluación del resto del arreglo continúa mediante la formación de un polinomio auxiliar con los coeficientes del último renglón y mediante el empleo de los coeficientes de la derivada de este polinomio en el renglón siguiente. Tales raíces con magnitudes iguales y radialmente opuestas en el plano s se encuentran despejando el polinomio auxiliar, que siempre es par. Para un polinomio auxiliar de grado 2n, existen n pares de raíces iguales y opuestas. Por ejemplo, considere la ecuación El arreglo de coeficientes es: Todos los términos del renglón s3 son cero. Después se forma el polinomio auxiliar a partir de los coeficientes del renglón s 4. El polinomio auxiliar P(s) es: lo cual indica que hay dos pares de raíces de igual magnitud y signo opuesto. Estos pares se obtienen resolviendo la ecuación del polinomio auxiliar P(s) = 0. La derivada de P(s) con respecto a s es: Lectura 1: Análisis en el Dominio del Tiempo Página 13

14 Los coeficientes de la última ecuación, es decir, 8 y 96, sustituyen los términos del renglón s 3. Por consiguiente, el arreglo de coeficientes se convierte en: Vemos que hay un cambio de signo en la primera columna del arreglo nuevo. Por tanto,la ecuación original tiene una raíz con una parte real positiva. Despejando las raíces de la ecuación del polinomio auxiliary Obtenemos o bien Es evidente que la ecuación original tiene una raíz con una parte real positiva. Análisis de estabilidad relativa. El criterio de estabilidad de Routh proporciona la respuesta a la pregunta de la estabilidad absoluta. Esto, en muchos casos prácticos, no es suficiente. Por lo general, se requiere información acerca de la estabilidad relativa del sistema. Un enfoque útil para examinar la estabilidad relativa es cambiar el eje del plano s y aplicar el criterio de estabilidad de Routh. Es decir, escribimos: en la ecuación característica del sistema, escribimos el polinomio en términos de ŝ y aplicamos el criterio de estabilidad de Routh al nuevo polinomio en ŝ. La cantidad de cambios de signo en la primera columna del arreglo desarrollado para el polinomio en ŝ es igual a la cantidad de raíces que se localizan a la derecha de la línea vertical s = -σ. Por tanto, esta prueba revela la cantidad de raíces que se encuentran a la derecha de la línea vertical s = -σ: Aplicación del criterio de estabilidad de Routh al análisis de un sistema de control. El criterio de estabilidad de Routh tiene una utilidad limitada en el análisis de un sistema de control lineal, sobre todo porque no sugiere cómo mejorar la estabilidad relativa ni cómo estabilizar un sistema inestable. Sin embargo, es posible determinar los efectos de cambiar uno o dos parámetros de un sistema si se examinan los valores que producen inestabilidad. A continuación consideraremos el problema de determinar el rango de estabilidad para el valor de un parámetro. Lectura 1: Análisis en el Dominio del Tiempo Página 14

15 Determinemos el rango de valores de K para la estabilidad. La función de transferencia en lazo cerrado es: La ecuación característica es: El arreglo de coeficientes se convierte en: Para la estabilidad, K debe ser positiva, y todos los coeficientes de la primera columna deben serlo también. Por tanto, Cuando K =14/9, el sistema se vuelve oscilatorio y, matemáticamente, la oscilación se mantiene en una amplitud constante. (Ingeniería de Control Moderna Katsuhiko Ogatha) Lectura 1: Análisis en el Dominio del Tiempo Página 15