Diagramas de Venn. María Manzano. Febrero 2010 USAL. María Manzano (USAL) Venn Febrero / 22
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- Manuel Herrero Botella
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1 María Manzano SL Febrero 2010 María Manzano (SL) Venn Febrero / 22
2 Diagrama Hoja de Trébol Figura: Hoja de trébol María Manzano (SL) Venn Febrero / 22
3 Áreas del diagrama ertenece a a, pertenece a a, pertenece a a? Área 1 si, si, si \ \ Área 4 no, si, si ( \ ) Área 7 no, no, si ( [ ) Área 2 si, si, no ( \ ) Área 5 si, no, no ( [ ) Área 3 si, no, si ( \ ) Área 6 no, si, no ( [ ) Área 8 no, no, no ( [ [ ) María Manzano (SL) Venn Febrero / 22
4 onvenciones 1 Sombrearemos en el diagrama las zonas vacías. 2 saremos cruces entrelazadas para indicar la existencia de elementos en una zona. 3 Las zonas de las que carecemos de información permanecerán sin sombras ni cruces. María Manzano (SL) Venn Febrero / 22
5 Sintaxis La representación diagramática utiliza cuatro objetos básicos 1 Rectángulo 2 urva cerrada 3 Sombreado 4 ruces omo objetos auxiliares: 5 Líneas, para unir las cruces 6 ara nombrar las curvas y el rectángulo se usarán letras. María Manzano (SL) Venn Febrero / 22
6 Representar zonas vacías ara expresar en el diagrama que Q sombrearemos en el diagrama el área Q. Q Figura: Q María Manzano (SL) Venn Febrero / 22
7 Representar existencia elementos ara indicar en el diagrama que ( \ Q) 6= pondremos una pequeña marca en todas aquellas zonas que constituyen ( \ Q) y uniremos estas marcas entre sí Q Figura: ( \ Q) 6= María Manzano (SL) Venn Febrero / 22
8 Superposición de diagramas & Q Q Q María Manzano (SL) Venn Febrero / 22
9 onsistencia e inconsistencia Inconsistente: sombreados y cruces entrelazadas y un entrelazado completo todo sombreado. onsistente en el resto de los casos. Q Q Q 6= Q Q El resultado nal es el siguiente: Q Diagrama nal María Manzano (SL) Venn Febrero / 22
10 Modelos que satisfacen diagramas En los cuatro apartados que siguen pondremos algunos modelos del diagrama de la gura Q. 1 = f1, 2, 3g = f1, 2g Q = f2g 2 = f1, 2, 3g = Q = 3 = fn j n es un número natural} = fn j n es un número par} Q = fn j n es múltiplo de cuatrog 4 = fx j x es un paísg = fx j x es un país mediterráneog Q = fespaña, Italiag María Manzano (SL) Venn Febrero / 22
11 Razonamientos con diagramas I Hipótesis 1 Hipótesis 2 onclusión J \ R 6= E \ J = (J \ R)\ E 6= J J J R R R E E E Hipótesis 1 Hipótesis 2 onclusión negada J E R Diagrama nal Diagrama Inconsistente Razonamiento orrecto F F María Manzano (SL) Venn Febrero / 22
12 Razonamientos con diagramas II Hipótesis 1 Hipótesis 2 onclusión L F L\ 6= \ F 6= L L L F F F Hipótesis 1 Hipótesis 2 onclusión negada L Diagrama onsistente F F Razonamiento Incorrecto F María Manzano (SL) Venn Febrero / 22
13 ontraejemplo uesto que el diagrama nal es consistente, construimos un modelo que cumpla las especi caciones del mismo. = fa, b, cg F = fa, b, cg = fa, bg L = fa, cg Se observa que en este modelo se cumplen las hipótesis, pues: fa, cg = L F = fa, b, cg fa, cg \ fcg = fcg 6= L\ 6= ) ero la conclusión \ F 6= falla, pues: fα, bg \ = María Manzano (SL) Venn Febrero / 22
14 Hallar conclusión Los casos son tres: 1 El diagrama de las hipótesis sólo contiene áreas sombreadas. En este caso cualquiera de las subáreas sombreadas está sombreada y puede ser una conclusión. 2 El diagrama de las hipótesis contiene sombreado y cruces: 1 Es inconsistente. 2 Es consistente. En este caso cualquiera de las subáreas sombreadas está sombreada y puede ser una conclusión. También lo es cualquiera de los entrelazados tomado completo e incluso un nuevo entrelazado que una los entrelazados existentes (si hay más de uno). 3 El diagrama de las hipótesis sólo contiene cruces entrelazadas. Será conclusión cualquiera de los entrelazados tomado completo e incluso un nuevo entrelazado que una los entrelazados existentes (si hay más de uno). María Manzano (SL) Venn Febrero / 22
15 La Isla del Tesoro I HIÓTESIS 1 Todos los piratas enrolados en La Española saben de la existencia de un tesoro. T HIÓTESIS 2 Nadie que sepa de la existencia de un tesoro obra desinteresadamente. T D ONLSIÓN Hay piratas que obran desinteresadamente, pero no van enrolados en La Española. D\ 6= María Manzano (SL) Venn Febrero / 22
16 La Isla del Tesoro II T T T D D Hipótesis 1 Hipótesis 2 onclusión negada D T Diagrama nal Diagrama onsistente F Inconsistente Razonamiento orrecto Incorrecto F María Manzano (SL) Venn Febrero / 22 D
17 La Isla del Tesoro III uesto que el diagrama nal es consistente, construimos un modelo que cumpla las especi caciones del mismo. = f1, 2g = D = T = f1g Se observa que en este modelo se cumplen las hipótesis, pues: = T = f1g f1g = T D = f1, 2g ero la conclusión D\ 6= falla, pues: \ = María Manzano (SL) Venn Febrero / 22
18 Hallar conclusión: Sólo sombreado Figura: Sólo contiene áreas sombreadas María Manzano (SL) Venn Febrero / 22
19 Hallar conclusión: cruces y sombreado Figura: Áreas sombreadas y cruces entrelazadas María Manzano (SL) Venn Febrero / 22
20 Hallar conclusión: sólo cruces María Manzano (SL) Venn Febrero / 22
21 Lewis arroll: Hipótesis HIÓTESIS 1 HIÓTESIS 2 lgunas ostras (O) son silenciosas (S). O \ S 6= Las criaturas silenciosas no son divertidas (D). S D Mediante diagramas de Venn buscamos conclusión al argumento: O O O S S S D D D Hipótesis 1 Hipótesis 2 Superposición de hipótesis María Manzano (SL) Venn Febrero / 22
22 Lewis arroll: conclusión De entre las diversas conclusiones posibles elegiremos la estándar; esto es, la que relaciona a los conjuntos O y D. O S D O\ D 6= Expresada en español diría: lgunas ostras no son divertidas. María Manzano (SL) Venn Febrero / 22
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