Lógica de Primer Orden. Esquema. Tema 6. Introducción
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- Jorge Bustos Pinto
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1 Lógica de Primer Orden Tema 6 Transparencias IA (F29) MMarcos, 2002 (Figuras c SRussell & PNorvig, 1998) Tema 6 1 Introducción Esquema Sintaxis y semántica de la Lógica de Primer Orden Variaciones en la notación Utilizando la Lógica de Primer Orden - el dominio de las relaciones familiares - el dominio de los conjuntos Un agente para el mundo del Wumpus con Lógica de Primer Orden Transparencias IA (F29) MMarcos, 2002 (Figuras c SRussell & PNorvig, 1998) Tema 6 2
2 Introducción Los agentes basados en el conocimiento funcionan razonando con una representación del conocimiento sobre el mundo y sus acciones La lógica proposicional tiene muchas limitaciones derivadas del uso exclusivo de la proposición como construcción del lenguaje Vamos a ver un lenguaje que ofrece distintas construcciones para representar el conocimiento: lógica de primer orden (LPO) Supone que existen entidades individuales (objetos), con características distintivas (propiedades), entre los que puede haber relaciones de distintos tipos, algunas de ellas funciones Ejemplos de los elementos anteriores: objetos: gente, casas, números, colores, propiedades: rojo, redondo, primo, relaciones: hermano de, mayor que, funciones: padre de, Transparencias IA (F29) MMarcos, 2002 (Figuras c SRussell & PNorvig, 1998) Tema 6 3 Cualquier hecho se refiere a uno o varios de los anteriores elementos, pe en si el Wumpus está en una posición, las posiciones adyacentes huelen podemos distinguir objetos: Wumpus y posiciones propiedades: presencia de olor relaciones: ser adyacente a funciones: estar en La popularidad de la LPO se debe a que estructura el mundo en objetos y relaciones facilita el razonamiento da libertad para describir el mundo de la manera que el diseñador considere apropiada permite expresar sentencias sobre todos los objetos del universo Transparencias IA (F29) MMarcos, 2002 (Figuras c SRussell & PNorvig, 1998) Tema 6 4
3 Sintaxis y semántica de la LPO En la LPO existensentencias representando hechos y términos representando objetos Los símbolos que se usan son los símbolos de constante, predicado y función, las variables, las conectivas lógicas, los cuantificadores, la igualdad y los paréntesis Ejemplos: Símbolos de constante: ReyJuan, 2, UJI, Símbolos de predicado: Redondo, Hermano, >, Símbolos de función: Coseno, P adre, P iernaizquierdade, Variables: x, y, a, b, Conectivas lógicas: = Cuantificadores: Igualdad: = Transparencias IA (F29) MMarcos, 2002 (Figuras c SRussell & PNorvig, 1998) Tema 6 5 La semántica de los símbolos de constante especifica a qué objeto se refieren siguiendo las pautas: una constante se refiere a un solo objeto puede haber dos constantes haciendo referencia al mismo objeto no es necesario nombrar todos los objetos del universo La semántica de los símbolos de predicado especifica a qué relación hacen referencia Formalmente toda relación se define mediante el conjunto de tuplas que la satisfacen, pe la relación de hermandad: { Rey Juan, Ricardo Corazón De León, Ricardo Corazón De León, Rey Juan } Transparencias IA (F29) MMarcos, 2002 (Figuras c SRussell & PNorvig, 1998) Tema 6 6
4 La semántica de los símbolos de función especifica la relación funcional a que hacen referencia Una relación funcional también puede definirse mediante un conjunto de tuplas, pe la función coseno hace corresponder a un ángulo un solo número mediante tuplas con dos elementos: { 90 o,0, 0 o,1 } La sintaxis de los términos: los símbolos de constante son términos un símbolo de función seguido de una lista entre paréntesis de términos (argumentos) es un término, pe P iernaizquierdade(juan) permiten refirirse a un objeto sin necesidad de nombrarlo La semántica de los términos corresponde, en la relación especificada, al n +1elemento de la tupla cuyos primeros n objetos son los argumentos Transparencias IA (F29) MMarcos, 2002 (Figuras c SRussell & PNorvig, 1998) Tema 6 7 La sintaxis de las sentencias atómicas: unsímbolo de predicado seguido de una lista de términos es una sentencia atómica, pe Hermano(Ricardo,Juan) o Casado(P adre(ricardo), M adre(juan)) notar que los argumentos se ordenan de forma que P (x, y) se lea como x es una P de y La semántica de las sentencias atómicas: una sentencia atómica es cierta si la relación especificada se da entre los argumentos La sintaxis de las sentencias compuestas: como en la lógica proposicional, las sentencias se pueden construir combinando otras con, pe Hermano(Ricardo, Juan) Hermano(Juan, Ricardo) con, pe MasV iejo(juan, 30) MasJoven(Juan, 30) La semántica de las sentencias compuestas es similar a la de las sentencias con conectivas de la lógica proposicional Transparencias IA (F29) MMarcos, 2002 (Figuras c SRussell & PNorvig, 1998) Tema 6 8
5 Con los cuantificadores y podemos expresar propiedades sobre conjuntos de objetos sin enumerarlos: (cuantificador universal), pe todos los gatos son mamíferos : x Gato(x) Mamifero(x) Se puede ver como la conjunción de las sentencias obtenidas al sustituir la variable x: Gato(Mancha) Mamifero(Mancha) Gato(Felix) Mamifero(Felix) Gato(Juan) Mamifero(Juan) (cuantificador existencial), pe Mancha tiene una hermana que es gato : x Hermana(x, Mancha) Gato(x) Se puede ver como: (Hermana(Mancha, Mancha) Gato(Mancha)) (Hermana(Felix,Mancha) Gato(Felix)) La semántica de sentencias con cuantificadores se deriva de la de las sentencias con conectivas Transparencias IA (F29) MMarcos, 2002 (Figuras c SRussell & PNorvig, 1998) Tema 6 9 notar que la conectiva que usaremos con es y que la que usaremos con es Para expresar sentencias más complejas necesitaremos utilizar varios cuantificadores: del mismo tipo, pe si x es progenitor de y entonces y es descendiente de x : x, y P rogenitor(x, y) Descendiente(y, x) o de distinto tipo, pe todo el mundo quiere a alguien : x, y Quiere(x, y) existe alguien a quien todo el mundo quiere : y, x Quiere(x, y) El orden de los cuantificadores es muy importante: x, y P(x, y) x ( y P(x, y)) afirma que todo objeto tiene la propiedad de estar relacionado con algún objeto mediante P x, yp(x, y) x ( yp(x, y)) afirma que algún objeto tiene la propiedad de estar relacionado con todos los objetos mediante P Transparencias IA (F29) MMarcos, 2002 (Figuras c SRussell & PNorvig, 1998) Tema 6 10
6 Los cuantificadores y están relacionados mediante la negación, pe todo el mundo detesta el broccoli equivale a no existe nadie a quien le guste el broccoli x Gusta(x, Broccoli) equivale a x Gusta(x, Broccoli) a todo el mundo le gusta el helado equivale a no existe nadie a quien no le guste el helado x Gusta(x, Helado) equivale a x Gusta(x, Helado) Como y pueden verse como una conjunción y una disyunción sobre el universo de objetos, cumplen las leyes de De Morgan: x P xp x P x P x P x P x P x P Transparencias IA (F29) MMarcos, 2002 (Figuras c SRussell & PNorvig, 1998) Tema 6 11 Con la igualdad = podemos afirmar que dos términos se refieren al mismo objeto, pe P adre(juan)=enrique También sirve para afirmar que el objeto al que nos referimos en dos términos no deben ser el mismo, pe Mancha tiene dos hermanas : x, y Hermana(x, M ancha) Hermana(y,M ancha) (x = y) notar que sin (x = y) (o en su lugar x y) no estamos excluyendo el caso en que x e y son iguales La semántica de sentencias con la igualdad: una igualdad es cierta si los dos términos que une se refieren al mismo objeto Transparencias IA (F29) MMarcos, 2002 (Figuras c SRussell & PNorvig, 1998) Tema 6 12
7 Variaciones en la notación Existen notaciones alternativas desarrolladas en otros campos: Elemento de la sintaxis Notación utilizada Notaciones alternativas Negación P P P Y P Q P &Q P Q PQ P,Q O P Q P Q P; Q P + Q Implicación P Q P Q P Q Equivalencia P Q P Q P Q Universalidad x P(x) ( x)p (x) xp (x) Existencia x P(x) ( x)p (x) xp (x) Relación R(x, y) (Rxy) Rxy xry Otras notaciones derivan de lenguajes de programación lógicos, pe x P eludo(x) Maulla(x) Tiene(x, Garras) Gato(x) en Prolog: gato (X) :- peludo (X), maulla (X), tiene (X, garras) en lenguajes basados en Lisp: (forall?x (=> (and (peludo?x) (maulla?x) (tiene?x garras)) (gato?x))) Transparencias IA (F29) MMarcos, 2002 (Figuras c SRussell & PNorvig, 1998) Tema 6 13 Utilizando la LPO Denominamos dominio al fragmento del mundo al que nos estamos refiriendo cuando representamos conocimiento En matemáticas los axiomas capturan los hechos básicos de un dominio y sirven de base para la definición de otros conceptos axiomas y definiciones se utilizan en la demostración de teoremas En IA usaremos axiomas para representar el conocimiento que hay inicialmente en la KB Para representar el conocimiento de un dominio: 1 Identificar objetos, propiedades, relaciones y funciones 2 Describir el conocimiento que tenemos de ellos mediante axiomas Transparencias IA (F29) MMarcos, 2002 (Figuras c SRussell & PNorvig, 1998) Tema 6 14
8 el dominio de las relaciones familiares Podemos identificar: objetos: personas propiedades: género predicados unarios Hombre y Mujer relaciones: progenitor, descendiente, hijo, hija, cónyuge, esposo, esposa, predicados binarios P rogenitor, Descendiente, Hijo, Hija, Conyuge, Esposo, Esposa, funciones: padre y madre funciones P adre y Madre Y describir lo que de ellos sabemos Transparencias IA (F29) MMarcos, 2002 (Figuras c SRussell & PNorvig, 1998) Tema 6 15 La madre de alguien es su progenitor femenino El esposo de alguien es su cónyuge masculino Masculino y femenino son géneros disjuntos Progenitor y descendiente son relaciones inversas Abuelo de alguien es un progenitor de los progenitores de ese alguien Transparencias IA (F29) MMarcos, 2002 (Figuras c SRussell & PNorvig, 1998) Tema 6 16
9 La madre de alguien es su progenitor femenino m, c Madre(c) =m Mujer(m) P rogenitor(m, c) El esposo de alguien es su cónyuge masculino w, h Esposo(h, w) Hombre(h) Conyuge(h, w) Masculino y femenino son géneros disjuntos x Hombre(x) Mujer(x) Progenitor y descendiente son relaciones inversas p, c P rogenitor(p, c) Descendiente(c, p) Abuelo de alguien es un progenitor de los progenitores de ese alguien g, c Abuelos(g, c) pprogenitor(g, p) P rogenitor(p, c) Transparencias IA (F29) MMarcos, 2002 (Figuras c SRussell & PNorvig, 1998) Tema 6 17 Una cuestión importante es saber si hemos definido una cantidad de axiomas suficiente para especificar completamente el dominio: se puede postular un conjunto de predicados básicos, pe en el dominio de las relaciones familiares: Descendiente, Conyuge, Hombre y Mujer También es importante es saber si hemos definido demasiados axiomas, es decir, si no son independientes: un axioma independiente es aquél que no se puede obtener a partir de otros En IA se suele trabajar con axiomas dependientes con el fin de hacer más eficiente el proceso de demostración Una definición es un axioma con la forma x, y P (x, y), especificando para qué objetos se cumple P yparacuáles no La LPO permite utilizar predicados parcialmente definidos Transparencias IA (F29) MMarcos, 2002 (Figuras c SRussell & PNorvig, 1998) Tema 6 18
10 el dominio de los conjuntos Necesitaremos: representar conjuntos, incluido el vacío constante ConjuntoV acio construir nuevos conjuntos añadiendounelementoa otro conjunto función Incorporacion o mediante la unión o la intersección de otros funciones Union e Interseccion saber si un objeto es un conjunto predicado Conjunto, si un elemento es miembro de un conjunto predicado Miembro, o si un conjunto está incluido en otro predicado Subconjunto Los axiomas que se proponen Transparencias IA (F29) MMarcos, 2002 (Figuras c SRussell & PNorvig, 1998) Tema 6 19 Sólo son conjuntos el vacío y los que resultan de incorporar un elemento El conjunto vacío es aquél que no tiene ningún elemento La incorporación de un elemento que ya está en el conjunto no tiene efecto Los únicos elementos de un conjunto son aquéllos que han sido incorporados Transparencias IA (F29) MMarcos, 2002 (Figuras c SRussell & PNorvig, 1998) Tema 6 20
11 Sólo son conjuntos el vacío y los que resultan de incorporar un elemento s Conjunto(s) (s = ConjuntoV acio) ( x, s 2 Conjunto(s 2 ) s = Incorporacion(x, s 2 )) El conjunto vacío es aquél que no tiene ningún elemento x, s Incorporacion(x, s) =ConjuntoV acio La incorporación de un elemento que ya está en el conjunto no tiene efecto x, s Miembro(x, s) s = Incorporacion(x, s) Los únicos elementos de un conjunto son aquéllos que han sido incorporados x, s Miembro(x, s) y, s 2 (s = Incorporacion(y, s 2 ) (x = y Miembro(x, s 2 ))) Transparencias IA (F29) MMarcos, 2002 (Figuras c SRussell & PNorvig, 1998) Tema 6 21 Un conjunto es subconjunto de otro si y sólo si todos los miembros del primero lo son del segundo Dos conjuntos son iguales si y sólo cada uno de ellos es subconjunto del otro Un objeto es miembro de la intersección de dos conjuntos si y sólo si es también miembro de cada uno de ellos Un objeto es miembro de la unión de dos conjuntos si y sólo si es también miembro de alguno de ellos Transparencias IA (F29) MMarcos, 2002 (Figuras c SRussell & PNorvig, 1998) Tema 6 22
12 Un conjunto es subconjunto de otro si y sólo si todos los miembros del primero lo son del segundo s 1,s 2 Subconjunto(s 1,s 2 ) ( x Miembro(x, s 1 ) Miembro(x, s 2 )) Dos conjuntos son iguales si y sólo cada uno de ellos es subconjunto del otro s 1,s 2 (s 1 = s 2 ) (Subconjunto(s 1,s 2 ) Subconjunto(s 1,s 2 )) Un objeto es miembro de la intersección de dos conjuntos si y sólo si es también miembro de cada uno de ellos x, s 1,s 2 Miembro(x, Interseccion(s 1,s 2 )) Miembro(x, s 1 ) Miembro(x, s 2 ) Un objeto es miembro de la unión de dos conjuntos si y sólo si es también miembro de alguno de ellos x, s 1,s 2 Miembro(x, Union(s 1,s 2 )) Miembro(x, s 1 ) Miembro(x, s 2 ) Transparencias IA (F29) MMarcos, 2002 (Figuras c SRussell & PNorvig, 1998) Tema 6 23 Un agente para el mundo del Wumpus El esquema para un agente basado en el conocimiento usando LPO: function KB-AGENT( percept) returns an action static: KB, a knowledge base t, a counter, initially 0, indicating time TELL(KB, MAKE-PERCEPT-SENTENCE( percept, t)) action ASK(KB,MAKE-ACTION-QUERY(t)) TELL(KB, MAKE-ACTION-SENTENCE(action, t)) t t +1 return action Tell y Ask sirven para: introducir sentencias en la KB, pe Tell(KB, m, c Madre(c) =m Mujer(m) P rogenitor(m, c)) realizar consultas simples o con cuantificador existencial, pe Ask(KB, Abuelo(Maxi,Botas))oAsk(KB, x Hijo(x, Mancha)) Las últimas se responden con una lista de pares variable/término (sustitución), pe {x/botas} Transparencias IA (F29) MMarcos, 2002 (Figuras c SRussell & PNorvig, 1998) Tema 6 24
13 Para construir el agente usando LPO se deberá decidir, entre otras cosas, la representación de: las percepciones y el momento en que se reciben, pe Percept([Stench, Breeze, Glitter, None, None], 5) las reglas para convertir las percepciones en formas más útiles: b, g, p, q, t P ercept([stench,b,g,p,q],t) Stench(t) s, g, p, q, t P ercept([s, Breeze, g, p, q],t) Breeze(t) s, b, p, q, t P ercept([s, b, Glitter, p, q],t) AtGold(t) las acciones posibles: Turn(Right), Turn(Left), F orward, Grab, Release, Shoot, Climb consultas, pe a Action(a, 5) Transparencias IA (F29) MMarcos, 2002 (Figuras c SRussell & PNorvig, 1998) Tema 6 25
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